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Gabarito Lista 6 - Cálculo I – 2016.2 1) a) 3333223332 cos6cos3)..(cos2.cos senuuuuusenuuuu du dy b) ´cos6´cos´3)..(cos2.´cos 3333223332 usenuuuuuuusenuuuuu du dy ´3)..(cos.2´.´´cos 23332 2 2 uusenuuuuu du yd ´´)]}.´.3.(coscos´´.3.[6´cos18{ 32333233332 usenuuuuuusenuuusenuuusenuuu ´cos18cos.´6´´cos 332332232 usenuuusenuuuuuu ´´..cos6´cos18´18 3333253225 usenuuuuuuusenuu 2) x xxsen x x x xsen x x x xseny 2 cos 2 cos 22 1 .cos 2 1 .´ x x xxsenx x xsen x x y 4 2 1 2).cos(2. 2 1 . 2 1 .cos ´´ xx xxsen x xxsen x x xxsen xxsen 4 cos 4 cos 4 cos cos x xxsen xxsenxy cos cos´´4 x xxsen y cos ´2 xxsenyxy cos´2´´4 0coscos´2´´4 xsenxxxsenyyxy 3) Vamos resolver a equação do 2º grau 012 xyxy em y: )1(41 xx xx 441 2 x xx y 2 4411 2 4) 2 3 )(cos)(sec 22 yxyx 0´)1)].(().[cos(2´)1).(().sec().sec(2 yyxsenyxyyxtgyxyx 0)]().cos(2)().sec().sec(2´).[1( yxsenyxyxtgyxyxy 1´ y 5) 102 22 yxyxx 0´8´340´4´ 22 2 2 2 por multip. 2 yxyyyxxyxyxyyy xy x xy xy xyx xy xyyx xyxyx y 8 34 ´ 2 Coeficiente angular: 8 5 32 20 2.1.816 1.4.32.4.4 ´| )1,4( y Equação: )4( 8 5 1 xy 6) Se 0x então 1y . Mas 0)( xf logo 1y . 144 yxyx 0´4´4 33 yyxyyx xy xy y 3 3 4 4 ´ 0´4´).( 2 1 2 yyxyy xy xxyx 4 1 )0´( )1,0( yf 7) a) 32)2( xyx 22 3´2).2( xyyxy 2 2 4 ´ )2(2 3 ´ )1,1( 22 y xy yx y )1(21 xy b) 2 23 2. 4 9 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 yyyx 4 215 2 23 4 45 2 3 223 2 9 4 9 .3 ´ )2(2 3 ´ 2 23 , 2 3 22 y xy yx y 4 215 2 23 4 45 2 3 223 2 9 4 9 .3 ´ )2(2 3 ´ 2 23 , 2 3 22 y xy yx y 8) 22222 yxyx 224224 2 yxyyxx ´22´4´444 3223 yyxyyyyxxyx yyyx xyxx y 244 442 ´ 32 23 Retas tangentes horizontais: 0´y 0442 0 0)442(04420 244 442 0´ 22 2223 32 23 yx x yxxxyxx yyyx xyxx y 2 1 0442 2222 yxyx Substituindo na equação, temos: 8 8 8 1 2 2 1 4 1 22 yyy (retas tangentes horizontais) Pontos: Substituindo novamente na equação: 8 3318 16 27 0 64 9 2 3 8 1 8 1 242 2 2 xxxxx 8 8 , 8 3318 , 8 8 , 8 3318 , 8 8 , 8 3318 e 8 8 , 8 3318 Retas tangentes verticais: ´y não existe 0244 0 0)244(0244 22 2232 yx y yxyyyyx 2 1 0244 2222 yxyx (impossível) Substituindo 0y na equação, temos: 1 1 0 24 x x x xx (retas verticais) Pontos: 240 yyx (impossível) 003121111 24242222 yyyyyyyyx 01 yx )0,1( e )0,1( 9) 14 22 yx )4( tsen dt dx a) 082 dt dy y dt dx x y txsen y dt dx x dt dy 4 )4( 4 b) )4cos(4)4( 2 2 t dt xd tsen dt dx Derivando pela 2ª vez a equação dada no problema: 08822 2 2 2 2 dt yd y dt dy dt dy dt xd x dt dx dt dx Fazendo as substituições: 08 2 )4( )4cos(8)4(2 2 2 2 22 2 dt yd y y tsenx txtsen 3 2 1 222 3 22222 2 2 16 )4cos(16)4)(4( 16 )4()4cos(16)4(4 y txyxytsen y tsenxtxytseny dt yd 3 22 16 )4cos(16)4( y txytsen 10) 522 yx 022 dt dy y dt dx x dt dx dt dy 2 yxyx dt dx dt dx yx dt dx dt dx y dt dx x 2042 )0 pois l(impossíve 0 0)42(0.2.22 Substituindo yx 2 na equação inicial: 155545 22222 yyyyyx 10 yy e 2x . Ponto: 1,2 11) 1)1( f 3 19 )1´( 3 19 )´( 3/16 fxxf 3 16 3 19 )1( 3 19 1 xyxy 38,1 3 16 )06,1( 3 19 06,1 yx 12) a) 36x 01,0 dxx 01,0x x xfxxf 2 1 )´()( ...0008333,001,0 12 1 ).36´( dydydxfdy 9991667,5000833,0699,35 b) 3x 09,0 xx 2 1 )´( 1 )( x xf x xf 09,0 dxx 01,009,0 9 1 ).3´( dydydxfdy 323,001,0333,0 09,3 1 c) 2 1 3 cos 5,0x 512,0 xx 3 2 3 3 1 )´()( x xfxxf 012,0 dxx
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