Aplicações de integrais definidas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DE INTEGRAIS 
DEFINIDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo I (105131) 
Professor: Ricardo Nobre dos Santos 
Componentes: Antônio Roberto Leão da Cruz 
Aryane Beto Rodrigues Santos 
Douglas Bispo dos Santos 
Ívina Siqueira Perrucho Mittaraquis 
Kelwen Souza Lacerda do Nascimento 
Luíza de Jesus Meneses 
Turma: T3 
Data: 26/07/2011 
 
SÃO CRISTÓVÃO 2011 
� Introdução ao cálculo integral 
 
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a 
área sob uma curva no plano cartesiano. Posteriormente começou a ser utilizada, por 
exemplo, em dezenas de problemas da Física, como na determinação da posição de um 
objeto em vários instantes, se for conhecida a sua velocidade instantânea nos mesmos. 
O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. 
Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a 
integração, todas elas visando resolver alguns problemas conceituais relacionados à 
limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas 
definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma 
definição, mas não podem segundo outra. 
A integral definida, inicialmente definida como soma de Riemann, estabelece 
limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem 
definidos para uma função contínua nesses dois intervalos, daí o nome integral definida. 
 
� Aplicações 
 
Há uma infinita gama de utilizações que podemos fazer com a integração, que é 
uma das ferramentas de estudo algébrico e numérico mais frutíferas dentro da 
matemática. A integração fornece meios de calcular e avaliar diversos problemas 
complexos. Limitar-nos-emos a mostrar o uso das integrais definidas para o cálculo do 
volume de objetos sinuosos e para encontrar o valor médio de uma função. 
� Volume 
Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos verificar 
que muito poucas têm formas regulares, dificilmente poderíamos encontrar o volume de 
um corpo sólido encontrado na natureza por meio da geometria euclidiana. As curvas 
estão muito presentes ao nosso redor, muitas delas podem ser determinadas por 
equações. Porém, antes que a teoria do cálculo fosse elaborada, os volumes eram 
calculados por aproximações. Com a evolução da matemática, especialmente com Isaac 
Newton, o qual consolidou melhor o cálculo diferencial e integral, hoje, podemos 
encontrar precisamente o volume de corpos sinuosos, usando-se da função integrante. 
 
 
 
 
Figura 1 
Como nota-se na figura 1, para cada x, a ≤ x ≤ b, um plano perpendicular a um 
eixo x corta um sólido determinando no sólido uma secção transversal de área A(x). De 
x = a até x = b, são determinadas as áreas de todas as secções transversais desse sólido, 
sendo b – a o seu “comprimento”. 
Então, para descobrir o volume, suponhamos que o intervalo [a,b] é subdividido 
em n sub-intervalos, todos de comprimento ∆� � 	 �	���		
 . 
Se x é um ponto dessa subdivisão, determina-se o volume de uma fatia 
“cilíndrica”, de “base” com área A(x) e “altura” ∆�: 
 ∆� � ���		.		∆� 
 
Uma aproximação do volume do sólido é dada pelo somatório desses vários 
volumes cilíndricos, 
 
� ≅	�∆� �	����		.		∆�
�
 
 
sendo o somatório aqui escrito sem os habituais índices i, para simplificar a notação. 
Quanto mais finas as fatias “cilíndricas”, mais próximo o somatório estará do volume 
do sólido, sendo seu volume igual a: 
 
� � 	 lim∆�→��∆� � lim∆�→�����		.	 ∆� � � ���	 ��
�
� 
 
Os cientistas de áreas aplicadas costumam dizer que �� � 	���	 . ��	é um 
elemento infinitesimal de volume, construído sobre um ponto x, de um “cilindro” de área 
da base A(x) e altura (espessura) “infinitesimal” ��. Ao somar os infinitos elementos de 
volume, temos � �� �	�� � ���	 ���� igual ao volume do sólido. 
 
Exemplo: Qual é o volume de um tronco de uma pirâmide de altura h, cuja base é um 
quadrado de lado a e cujo topo é um quadrado de lado b? 
Solução: Posicionemos um eixo x perpendicular às duas bases. Cada ponto (altura) x 
demarcado nesse eixo, corresponde, no tronco da pirâmide, a uma secção transversal 
quadrada, de tal modo que x = 0 corresponde à base quadrada de lado a, e x = h 
corresponde ao topo quadrado de lado b. Veja a figura 2: 
 
 
 
 
Figura 2 
Procurando uma função afim, f (x) = mx + n, tal que f (0) = a e f (h) = b, 
encontramos ���	 � 	� �	���� �. 
A área da secção transversal, na altura x, é dada por: 
 
���	 � �� � � �! �" ² 
 
O volume do tronco da pirâmide é então: 
 
� �	� ���	 �� � 	� �� � � �! �" ²��
�
�
�
� 
 
Fazendo # � � � ���� �, temos �# � ���� ��. Além disso, u = a para x = 0, e u = b 
para x = h, e então: 
 
� �	� ���	�� � 	 !� �	� #$�# �	
�
�
�
�
!� �	. #
%
3
a
b
�	 !3�� �	 ��% �%	 � 	!3 ��$ � 	�� � �$	 
 
Conforme um antigo papiro, esta fórmula já era conhecida pela antiga civilização 
egípcia do século 18 a.C. 
 
∗ Volume de um sólido de revolução 
 
Quando rotacionamos uma região do plano xy em torno do eixo x ou do eixo y, 
realizando uma volta completa, o lugar geométrico descrito pelos pontos da região é o 
que chamamos um sólido de revolução. 
Suponhamos que um sólido de revolução é obtido rotacionando-se, em torno do 
eixo x, uma região plana delimitada pelas curvas y = f (x), y = g(x), e pelas retas 
verticais x = a e x = b, sendo f (x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b. 
Para cada x ∈ [a,b], um plano perpendicular ao eixo x, cortando este no ponto x, 
determina no sólido de revolução uma secção transversal. Esta secção transversal é 
obtida pela revolução completa, em torno do eixo x, do segmento vertical ��(�, sendo ��= (x, g(x)) e (�= (x, f (x)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
A área dessa secção transversal será nada mais que a área de uma região plana 
compreendida entre dois círculos concêntricos de centro (x,0), sendo um menor, de raio 
g(x), e outro maior, de raio f (x). Como a área de um círculo de raio r é )*², temos que a 
área A(x), da secção transversal do sólido de revolução, é dada por: 
 ���	 � )	,���	-$ )	,.��	-² 
 
Portanto, o volume do sólido de revolução será: 
 
� �	� ���	 �� � 	� �)	,���	-$ 	),.��	-$	 ����
�
� 
 
Se a região plana for delimitada pelo gráfico de y = f (x), pelo eixo x, e pelas retas 
x = a e x = b, teremos g(x) = 0, e então: 
 
� � 	� )	,���	-$ ���� 
 
 
Exemplo: Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo x a 
região limitada pelos gráficos de 4y = 13 - x² e 2y = x + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Os limites de integração são x = -3 e x = 1. 
 
� � )� /013 �²4 3
$ 	�� � 52 "
$6 ��7�% 
				� )� 	8169 26�$ � �;16 �
$ � 10� � 254 =
7
�% �� 
				� )16� ,169 26�$ � �; 4��$ � 10� � 25	-
7
�% 	�� 
				� )16� ,169 26�$ � �; 4�$ 40� 100-
7
�% 	�� 
 �	 >7? 	� ,69 30�$ �	�; 	40�	- ��7�% 
 
Figura 4 A região e o sólido, respectivamente. 
				� 	 >7? 	@69� − 10�% +	7A�A − 	20�²B�%
7
 
 =	 >7? 	@C69 − 10 +	7A− 	20D −	C−207 + 270 −	$;%A − 	180DB 
				= 	 )16	G10245 H 
 =	 ?;>A 	#. I. 
 
� Valor médio de uma função 
 
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. Em [a,b] tomemos os n + 1 pontos 
igualmente espaçados: 
 �� = � < 	�7 <	�$ < ⋯ <	�
�7 <	�
 = � 
 
Isto é, tais que: 
�7 −	�� =	�$ −	�7 = ⋯ =	�
 −	�
�7 =	∆� = 	� − �L 
 
A média aritmética dos n + 1 valores f (��), f (�7) f (�$), ... , f (�
), é dada por: 
 
M
 =	����) + 	���7) + ⋯+ 	���
)L + 1 
 
Definiremos a média da funçãof, no intervalo [a,b], como sendo: 
 
� = 	 lim
→∞ M
 
 
Mostraremos que: 
� = 	� ���) ��
�� � − � 
 
De fato, sendo ∆� = 	 ���
 , temos: 
 
																							M
 =	����) + 	���7) + ⋯+ 	���
)L + 1 
																													= 	 ����)L + 1 +	 1∆�	0���7)∆� + 	���$)∆� + ⋯+ 	���
)∆�L + 1 3 
																													= 	 �	���)L + 1 +	 L� − �	0���7)∆� + 	���$)∆� + ⋯+ 	���
)∆�L + 1 3 
																													= 	 �	���)L + 1 +	 1� − �	. LL + 	1 ����7)∆� + 	���$)∆� + ⋯+ ���
)∆�) 
 
Logo, como os pontos ���= �), �7, …	 , �
�7, �
	�= �)subdividem o intervalo 
[a,b] em n sub-intervalos, todos de comprimento ∆� = 	 ���
 . 
lim
→∞M
 =	 lim
→∞ 	�	���)L + 1 +	 1� − �	.		 lim
→∞	 LL + 1	. lim
→∞ 	P��	��Q)∆�
QR7
S 
= 0 +	 1� − �	.1	. � ���) ��
�
� =	
1� − �	� ���) ��
�
� 
 
Exemplo 1: Determine o valor médio de f (x) = x², no intervalo a ≤ x ≤ b. 
Solução: O valor médio de f em [a,b], é dado por: 
 
� = 	 1� − �	� �²�� =	
�
�
1� − �		�³3
a
b
= 1� − �	��³3 − �³3" 
																																	= 	 �� − �)��$ + �� + �$)3�� − �) = 	�² + �� + �²3 
 
 
Exemplo 2: Um pesquisador estima que t horas depois da meia noite, em um período 
típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada por T	�U) = 3 −	$% 	�U − 13)², 0 
≤ t ≤ 24 ºC. Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde? 
Solução: Como 6 horas da manhã e 4 horas da tarde correspondem a t = 6 e t = 16, 
respectivamente, estamos interessados em calcular a temperatura média, T(t), no 
intervalo 6 ≤ t ≤ 16, o que corresponde à integral: 
 
																	TV = 	 116 − 6� G3 −	23 �U − 13)²H
7?
? �U 
																									= 	 110 G3U −	29 �U − 13)²H?
7?
 
=	 110 G3�16) −	29 �16 − 13)³H −	 110	G3�6) −	29 �6 − 13)³H 																									= 	−5,22 
 
Assim, a temperatura média no período é -5,22 ºC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, J. Cálculo, volume I. 5ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 
2006. ISBN 85-221-0479-4. 
 
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 6º edição. São Paulo: Pearson, 
2010. 
 
VILCHES, M. A. e CORRÊA, M. L. Cálculo: Volume I. Disponível em 
http://www.ime.uerj.br/~calculo/Livro/integ2.pdf - Acesso em 26/07/2011. 
 
SAMPAIO, J. C. Aplicações selecionadas da integral definida. Disponível em 
http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1_aula20.pdf - Acesso em 26/07/2011. 
 
Wikipédia, a enciclopédia livre. Integral. Disponível em 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral - Acesso em 26/07/2011. 
 
Wikiversidade, a universidade livre. Introdução ao Cálculo / Aplicações das integrais. 
Disponível em 
http://pt.wikiversity.org/wiki/Introdu%C3%A7%C3%A3o_ao_C%C3%A1lculo/Aplica%C3%A
7%C3%B5es_das_integrais – Acesso em 26/07/2011.