P1EqDif2015 1

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
1a¯ prova de Equac¸o˜es Diferenciais (2015-1) - 30/04/2015
Questa˜o Pontos Notas
1 2,5
2 2
3 3
4 2,5
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova. Responda cada questa˜o
de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem justificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados.
Qualquer aluno pego consultando alguma fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O
mesmo ocorrera´ com o aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Questa˜o 1 (2,5 pontos)
Dada uma sequeˆncia de nu´meros reais {an}n∈N, considere a sequeˆncia {bn}n∈N das me´dias dos
an, isto e´:
bn =
a1 + a2 + ...+ an
n
para todo n ∈ N.
Mostre que:
(a) Se lim
n→+∞
{an} = β ∈ R, enta˜o lim
n→+∞
{bn} = β.
(b) Se lim
n→+∞
{an} = +∞, enta˜o lim
n→+∞
{bn} = +∞.
Questa˜o 2 (2 pontos)
Discuta a convergeˆncia das sequeˆncias:
(a)
{
n!
nn
}
n∈N
(b)
{
ln(n!)
n
}
n≥1
Questa˜o 3 (3 pontos)
(a) Mostre, de duas maneiras diferentes, que a se´rie
∑
n∈N
xn
n!
converge para todo x ∈ R.
(b) Seja f : R → (−pi
2
, pi
2
) dada por f(x) = arctan(x). Lembre que f e´ a func¸a˜o inversa da
tangente trigonome´trica, isto e´: f
(
senx
cosx
)
= x para todo x ∈ (−pi
2
, pi
2
). Mostre que:
f(x) =
+∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
2n+ 1
= x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ ... para todo x ∈ (−1, 1).
Questa˜o 4 (2,5 pontos)
(a) Determine y : R→ R satisfazendo a equac¸a˜o diferencial:
y′′(x)− 2x y′(x) + y(x) = 0 para todo x ∈ R,
com condic¸o˜es iniciais y(0) = 0 e y′(0) = 1.
(b) Mostre que lim
x→0
{
y(x)− x
x3
}
=
1
6
.