P2EqDif2015 1

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
2a¯ prova de Equac¸o˜es Diferenciais (2015-1) - 25/06/2015
Questa˜o Pontos Notas
1 2,5
2 3
3 1,5
4 3
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova. Responda cada questa˜o
de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem justificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados.
Qualquer aluno pego consultando alguma fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O
mesmo ocorrera´ com o aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Questa˜o 1 (2,5 pontos)
Seja α ∈ R uma constante, e denote por L a transformada de Laplace. Mostre que para todo
s > 0 temos que:
(a) L( cos(αt))(s) = s
s2 + α2
. (b) L( sen(αt))(s) = α
s2 + α2
.
(c) L(t sen(αt))(s) = 2αs
(s2 + α2)2
.
Questa˜o 2 (3 pontos)
Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais utilizando a transformada de Laplace:
(a) x′′(t) + x(t) = cos t para t ≥ 0 com condic¸a˜o inicial x(0) = x′(0) = 0.
(b) x′′(t) + x(t) = t2 + 1 para t ≥ 0 com condic¸a˜o inicial x(0) = x′(0) = 0.
Questa˜o 3 (1,5 pontos)
Sejam A,B ∈Mn×n(R) duas matrizes conjugadas, isto e´, existe Q ∈Mn×n(R) invert´ıvel tal que
A = QBQ−1.
(a) Mostre que detA = detB.
(b) Mostre que y : R→ Rn e´ soluc¸a˜o de y′ = By se e somente se x = Qy e´ soluc¸a˜o de x′ = Ax.
Questa˜o 4 (3 pontos)
Escolha e resolva apenas dois dos seguintes sistemas de equac¸o˜es diferenciais com condic¸a˜o inicial
x(0) =
(
x1(0), x2(0)
)
, e esboce os correspondentes retratos de fase:
(a)
{
x′1(t) = x1(t)− 2x2(t)
x′2(t) = 3x1(t)− 4x2(t)
(b)
{
x′1(t) = x1(t) + x2(t)
x′2(t) = 4 x1(t)− 2x2(t)
(c)
{
x′1(t) = −x2(t)
x′2(t) = x1(t)