A2_Classificacao

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Classificação: 
 
Em princípio, podemos classificar as equações diferenciais em dois tipos: 
 
a) Equação diferencial ordinária (EDO): 
Apresentam uma só variável independente; 
 
b) Equação diferencial parcial (EDP): 
Apresentam mais de uma variável independente. 
 
Ex: )t(uuonde0u4
dt
ud
2
2
==+ ( EDO ) 
 )t(RRondekR
dt
dR
=−= ( EDO ) 
 )y,x(uuonde0
y
u
x
u
2
2
2
2
==
∂
∂
+
∂
∂
 ( EDP ) 
 
 
Ordem: 
 
A equação diferencial é nomeada em relação a derivada de maior ordem. 
 
Ex.: 03
dx
du5
dx
ud
2
2
=−− ( EDO de 2º ordem ) 
 2y10y =+′ ( EDO de 1º ordem ) 
 )tcos(3T2T5T =+− ɺɺɺ ( EDO de 2º ordem ) 
 
xer4r =−′′′ ( EDO de 3º ordem ) 
 
Obs: Propositadamente foi colocada acima, formas diferentes de representação das 
derivadas que são largamente empregadas em literatura onde ( yy
dx
dy
ɺ=′= ). 
 
Grau: 
 
È a potência que se acha elevada a derivada de mais alta ordem. 
 
Ex.: 0
y
u
x
u
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 ( EDP de 1º grau ) 
 xcosy)y(2y 2 =′+′′+′′′ ( EDO de 1º grau ) 
 
232 xy3)y()y( =+′+′′ ( EDO de 2º grau ) 
 
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Equação diferencial linear: 
 
É toda equação escrita na forma de um polinômio do tipo: 
)x(gy).x(by).x(b...y).x(by).x(b o)1(1)1n(1n)n(n =++++ −− 
 
Ex.: kyy =′ ( linear ) 
 0y)3x(y3y =−+′−′′ ( linear ) 
 1h5h 2 =−′ ( não linear ) 
 
 
Equação diferencial linear homogênea: 
 
Considerando o polinômio anterior, podemos afirmar que a equação diferencial linear é 
homogênea quando a função g(x) = 0 (zero). 
 
 
Interpretação geométrica: 
 
Dada a equação diferencial ordinária de primeira ordem: 
 
 )y,x(f
dx
dy
= 
 
Podemos ver que esta equação, particularmente, estabelece uma relação entre as 
coordenadas de um ponto e o coeficiente angular da reta tangente a uma curva 
solução neste mesmo ponto, veja o exemplo: 
 
Seja a EDO y.x
dx
dy
= 
É fácil ver que podemos achar o valor de 
dx
dy
 ( coeficiente angular da reta tangente) 
para cada ponto do plano cartesiano, assim podemos construir um campo de direções, 
representado por pequenos segmentos de retas que serão tangentes às curvas 
soluções. 
Primeiramente pode-se fazer uma tabela relacionando cada ponto com sua respectiva 
inclinação ( dy/dx), veja: 
 
x y dy/dx 
0 0 0 
0 1 0 
1 0 0 
1 1 1 
1 2 2 
2 1 2 
2 2 4 
3 1 3 
3 2 6 
 
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 Plotando um número suficiente de segmentos de retas, podemos construir o gráfico: 
 
 
 
A curva vermelha representa uma das soluções da equação diferencial dada, enquanto 
as curvas pretas representam as isóclinas (mesma inclinação). 
As isóclinas na realidade são os lugares que apresentam a mesma taxa de variação ou 
derivada, podendo ser de grande auxílio para entendimento prático de algum fenômeno 
físico. 
A maneira mais funcional para determinação das isóclinas é a fixação do valor da 
esquerda da EDO, isto é, da derivada. 
 
Ex.: Podemos fixar o valor k
dx
dy
= , ficando a equação : 
 
x
kyouky.x == que representa uma família de hipérboles. 
 
 
Veja outro exemplo ao lado mostrando: 
duas soluções particulares para a 
equação diferencial: 
 
2ty
dt
dy
−= 
 
 
 
 
 
 
IST – Instituto Superior de Tecnologia 
 Set/1999 Rebello