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MATRIZ INVERSA QUAL O MELHOR MÉTODO DE RESOLUÇÃO

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Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 
 
CURSOS LIVRES DE 3º GRAU – ÁLGEBRA LINEAR 
AULA 01: MATRIZ INVRESA 
1º) Método: Sistema Linear 
Exemplo 01: Seja a matriz 
1 2 1
B 2 3 5
1 1 2
 
 
  
  
, encontre a sua inversa se possível. 
Solução: 
1
1
n
1 2 1
B 2 3 5
1 1 2
Seja a matriz inversa :
a d g
B b e h
c f i
Sabemos que :
B B I
Assim :
1 2 1 a d g 1 0 0
2 3 5 b e h 0 1 0
1 1 2 c f i 0 0 1
Efetuando oproduto das matrizes :
a 2b c 1
2a 3b 5c 0
a


 
 
  
  
 
 
  
 
 
 
     
     
      
          
   
        
d 2e f 0 g 2h i 0
I 2d 3e 5f 1 II 2g 3h 5i 0 III
b 2c 0 d e 2f 0 g h 2i 1
         
  
       
             
 
 
 
 
 
 
 
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Resolvendo o sistema linear (I): 
 
 
 
   
 
 
 
 
a 2b c 1 1
2a 3b 5c 0 2
a b 2c 0 3
Somando 1 e 3 :
a 2b c 1
b 3c 1 4
a b 2c 0
Multiplicando equação 1 por dois e somando com a equação (2) :
2a 4b 2c 2
7b 7c 2 5
2a 3b 5c 0
Resolvendo o sistema :
b 3c 1 7
7b 7c 2
   

  

  
   
  
  
   
  
  
     

 
7b 21c 7 5 5 5
14c 5 c c
7b 7c 2 14 14 14
Mas :
5 15 14 15 1 1
b 1 3c b 1 3 1 b
14 14 14 14 14
Mas :
1 5 1 10 11 11
a b 2c 0 a b 2c a 2 a
14 14 14 14 14 14
Assim :
11 1 5
a ; b ; c
14 14 14
   
        
  
 
            

                 
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolvendo o sistema linear (II): 
 
 
 
   
 
 
 
 
d 2e f 0 1
2d 3e 5f 1 2
d e 2f 0 3
Somando 1 e 3 :
d 2e f 0
e 3f 0 4
d e 2f 0
Multiplicando equação 1 por dois e somando com a equação (2) :
2d 4e 2f 0
7b 7c 1 5
2d 3e 5f 1
Resolvendo o sistema :
e 3f 0 7
7e 7f 1
   

  

  
   
  
  
   
  
  
     

 
7e 21f 0 1 1 1
14f 1 f f
7e 7f 1 14 14 14
Mas :
1 3 3
e 3f e 3 e
14 14 14
Mas :
3 1 3 2 5 5
d e 2f 0 d e 2f d 2 d
14 14 14 14 14 14
Assim :
5 3 1
d ; e ; f
14 14 14
 
         
  
 
          
 
 
                
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolvendo o sistema linear (III): 
   
 
 
 
 
g 2h i 0
2g 3h 5i 0
g h 2i 1
Somando 1 e 3 :
g 2h i 0
h 3i 1 4
g h 2i 0
Multiplicando a equação 1 por dois e somando com a equação (2) :
2g 4h 2i 0
7h 7i 0 5
2g 3h 5i 0
Resolvendo o sistema :
h 3i 1 7 7h
7h 7i 0
   

  
   
   
  
  
   
  
  
     

 
21i 7 7 1 1
14i 7 i i
7h 7i 0 14 2 2
Mas :
1 3 1 1
h 1 3i h 1 3 1 h
2 2 2 2
Mas :
1
g h 2i 1 g 1 h 2i g 1 2
2
   
        
  
 
             
 
          
1
2
 1
1
1
2
 
1 1
g
2 2
Assim :
1 1 1
g ; h ; i
2 2 2
    
    
 
Substituindo: 
1 1
11 1 5 5 3 1 1 1 1
a ; b ; c d ; e ; f g ; h ; i
14 14 14 14 14 14 2 2 2
Assim :
11 5 1
14 14 2a d g
1 3 1
B b e h B
14 14 2
c f i
5 1 1
14 14 2
 
             
 
  
   
          
    
  
 
 
 
 
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2º) Método: Matriz Adjunta 
Exemplo 02: Encontre a inversa da matriz 
2 3 4
A 0 4 2
1 1 5
 
 
 
 
   
Solução: 
Passo 1: Determinante de A 
1 5
2 3 4
det A 0 4 2
1 1 5
2 4
Assim :
det A 6 40 0 0 16 4 56 10
det A 46
 
 

 
  
 
 
  
        
  
Passo 2: Matriz dos Cofatores 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
C C C
C C C C
C C C
 
 

 
   
Onde cada elemento Cij é o determinante obtido quando são eliminadas a linha e a coluna que contém o 
elemento, MULTIPLICADO POR (-1)i+j. Assim temos: 
11 11
4 2
C 20 2 18 C 18
1 5
 
         
  
   12 12
0 2
C 0 2 2 2 C 2
1 5
 
           
  
13 13
0 4
C 0 4 4 C 4
1 1
 
      
  
 21 21
3 4
C 15 4 11 C 11
1 5
 
          
  
22 22
2 4
C 10 4 14 C 14
1 5
 
      
  
   23 23
2 3
C 2 3 5 5 C 5
1 1
 
            
  
31 31
3 4
C 6 16 10 5 C 10
4 2
 
         
  
 32 32
2 4
C 4 0 4 C 4
0 2
 
          
  
   33 33
2 3
C 8 0 8 8 C 8
0 4
 
            
  
 
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Substituindo: 
18 2 4
C 11 14 5
10 4 8
 
 
 
 
     
Passo 3: Matriz Adjunta 
A adjunta da matriz “A” é a transposta da matriz dos cofatores. Assim: 
 
18 11 10
Adj A 2 14 4
4 5 8
   
 
 
 
   
Passo 4: Cálculo da Matriz Inversa 
Agora, podemos empregar a fórmula abaixo: 
 1
1
A Adj A
det A
  
 
 
 
1
1 1 1
1
A Adj A
det A
Substituindo :
18 11 10 9 11 5
46 46 46 23 46 2318 11 10
1 2 14 4 1 7 2
A 2 14 4 A A
46 46 46 46 23 23 23
4 5 8
4 5 8 2 5 4
46 46 46 23 46 23

  
 
     
            
                     
           
        
 
 
 
 
 
 
 
 
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3º) Método: Escalonamento 
Exemplo 03: Seja a matriz 
1 2 1
B 2 3 5
1 1 2
 
 
  
  
, encontre a sua inversa se possível. 
Solução: 
 
 
1 3
2 1 2
3 1 3 1 3
1 2 1
2 3
3 2 3 2 2
1 2 1
3 3
1 2 1 | 1 0 0 L L 1 1 2 | 0 0 1
2 3 5 | 0 1 0 2 3 5 | 0 1 0 L L 2 L
1 1 2 | 0 0 1 L L 1 2 1 | 1 0 0 L L L
1 1 2 | 0 0 1 1 1 2 | 0 0 1 L L L
0 5 1 | 0 1 2 L L 0 1 3 | 1 0 1
0 1 3 | 1 0 1 L L 0 5 1 | 0 1 2 L L 5 L
1 0 5 | 1 0 2 L L L
0 1 3 | 1 0 1
0 0 14 | 5 1 7 1
L L
14
  
   
    
   
 
     
 
    
  
 
 
 
  
1 3 1
2 3 2
1 3 1
1
2 3 2
1 0 5 | 1 0 2 L L 5 L
0 1 3 | 1 0 1 L L 3 L
5 1 1
0 0 1 |
14 14 2
11 5 1 11 5 1
1 0 0 |
14 14 2 14 14 2L L 5 L
1 3 1 1 3 1
0 1 0 | L L 3 L B
14 14 2 14 14 2
5 1 1 5 1 1
0 0 1 |
14 14 2 14 14 2

   
   

   
   
         
  
Comentários Finais 
A escolha de um dos três métodos fica a critério de cada um, porém, o terceiro método é mais eficiente, mais 
rápido e ainda permite que seja utilizado para a solução de sistemas lineares. 
Goiânia, 23/03/2014 
Afonso Carioca

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