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Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 CURSOS LIVRES DE 3º GRAU – ÁLGEBRA LINEAR AULA 01: MATRIZ INVRESA 1º) Método: Sistema Linear Exemplo 01: Seja a matriz 1 2 1 B 2 3 5 1 1 2 , encontre a sua inversa se possível. Solução: 1 1 n 1 2 1 B 2 3 5 1 1 2 Seja a matriz inversa : a d g B b e h c f i Sabemos que : B B I Assim : 1 2 1 a d g 1 0 0 2 3 5 b e h 0 1 0 1 1 2 c f i 0 0 1 Efetuando oproduto das matrizes : a 2b c 1 2a 3b 5c 0 a d 2e f 0 g 2h i 0 I 2d 3e 5f 1 II 2g 3h 5i 0 III b 2c 0 d e 2f 0 g h 2i 1 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 Resolvendo o sistema linear (I): a 2b c 1 1 2a 3b 5c 0 2 a b 2c 0 3 Somando 1 e 3 : a 2b c 1 b 3c 1 4 a b 2c 0 Multiplicando equação 1 por dois e somando com a equação (2) : 2a 4b 2c 2 7b 7c 2 5 2a 3b 5c 0 Resolvendo o sistema : b 3c 1 7 7b 7c 2 7b 21c 7 5 5 5 14c 5 c c 7b 7c 2 14 14 14 Mas : 5 15 14 15 1 1 b 1 3c b 1 3 1 b 14 14 14 14 14 Mas : 1 5 1 10 11 11 a b 2c 0 a b 2c a 2 a 14 14 14 14 14 14 Assim : 11 1 5 a ; b ; c 14 14 14 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 Resolvendo o sistema linear (II): d 2e f 0 1 2d 3e 5f 1 2 d e 2f 0 3 Somando 1 e 3 : d 2e f 0 e 3f 0 4 d e 2f 0 Multiplicando equação 1 por dois e somando com a equação (2) : 2d 4e 2f 0 7b 7c 1 5 2d 3e 5f 1 Resolvendo o sistema : e 3f 0 7 7e 7f 1 7e 21f 0 1 1 1 14f 1 f f 7e 7f 1 14 14 14 Mas : 1 3 3 e 3f e 3 e 14 14 14 Mas : 3 1 3 2 5 5 d e 2f 0 d e 2f d 2 d 14 14 14 14 14 14 Assim : 5 3 1 d ; e ; f 14 14 14 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 Resolvendo o sistema linear (III): g 2h i 0 2g 3h 5i 0 g h 2i 1 Somando 1 e 3 : g 2h i 0 h 3i 1 4 g h 2i 0 Multiplicando a equação 1 por dois e somando com a equação (2) : 2g 4h 2i 0 7h 7i 0 5 2g 3h 5i 0 Resolvendo o sistema : h 3i 1 7 7h 7h 7i 0 21i 7 7 1 1 14i 7 i i 7h 7i 0 14 2 2 Mas : 1 3 1 1 h 1 3i h 1 3 1 h 2 2 2 2 Mas : 1 g h 2i 1 g 1 h 2i g 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 g 2 2 Assim : 1 1 1 g ; h ; i 2 2 2 Substituindo: 1 1 11 1 5 5 3 1 1 1 1 a ; b ; c d ; e ; f g ; h ; i 14 14 14 14 14 14 2 2 2 Assim : 11 5 1 14 14 2a d g 1 3 1 B b e h B 14 14 2 c f i 5 1 1 14 14 2 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 2º) Método: Matriz Adjunta Exemplo 02: Encontre a inversa da matriz 2 3 4 A 0 4 2 1 1 5 Solução: Passo 1: Determinante de A 1 5 2 3 4 det A 0 4 2 1 1 5 2 4 Assim : det A 6 40 0 0 16 4 56 10 det A 46 Passo 2: Matriz dos Cofatores 11 12 13 21 22 23 31 32 33 C C C C C C C C C C Onde cada elemento Cij é o determinante obtido quando são eliminadas a linha e a coluna que contém o elemento, MULTIPLICADO POR (-1)i+j. Assim temos: 11 11 4 2 C 20 2 18 C 18 1 5 12 12 0 2 C 0 2 2 2 C 2 1 5 13 13 0 4 C 0 4 4 C 4 1 1 21 21 3 4 C 15 4 11 C 11 1 5 22 22 2 4 C 10 4 14 C 14 1 5 23 23 2 3 C 2 3 5 5 C 5 1 1 31 31 3 4 C 6 16 10 5 C 10 4 2 32 32 2 4 C 4 0 4 C 4 0 2 33 33 2 3 C 8 0 8 8 C 8 0 4 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 Substituindo: 18 2 4 C 11 14 5 10 4 8 Passo 3: Matriz Adjunta A adjunta da matriz “A” é a transposta da matriz dos cofatores. Assim: 18 11 10 Adj A 2 14 4 4 5 8 Passo 4: Cálculo da Matriz Inversa Agora, podemos empregar a fórmula abaixo: 1 1 A Adj A det A 1 1 1 1 1 A Adj A det A Substituindo : 18 11 10 9 11 5 46 46 46 23 46 2318 11 10 1 2 14 4 1 7 2 A 2 14 4 A A 46 46 46 46 23 23 23 4 5 8 4 5 8 2 5 4 46 46 46 23 46 23 Rua 96 nº 285 – Setor Sul – Goiânia – Fone: (62) 3095-4964 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 98109-4036 / 99469-8239 3º) Método: Escalonamento Exemplo 03: Seja a matriz 1 2 1 B 2 3 5 1 1 2 , encontre a sua inversa se possível. Solução: 1 3 2 1 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 3 3 2 3 2 2 1 2 1 3 3 1 2 1 | 1 0 0 L L 1 1 2 | 0 0 1 2 3 5 | 0 1 0 2 3 5 | 0 1 0 L L 2 L 1 1 2 | 0 0 1 L L 1 2 1 | 1 0 0 L L L 1 1 2 | 0 0 1 1 1 2 | 0 0 1 L L L 0 5 1 | 0 1 2 L L 0 1 3 | 1 0 1 0 1 3 | 1 0 1 L L 0 5 1 | 0 1 2 L L 5 L 1 0 5 | 1 0 2 L L L 0 1 3 | 1 0 1 0 0 14 | 5 1 7 1 L L 14 1 3 1 2 3 2 1 3 1 1 2 3 2 1 0 5 | 1 0 2 L L 5 L 0 1 3 | 1 0 1 L L 3 L 5 1 1 0 0 1 | 14 14 2 11 5 1 11 5 1 1 0 0 | 14 14 2 14 14 2L L 5 L 1 3 1 1 3 1 0 1 0 | L L 3 L B 14 14 2 14 14 2 5 1 1 5 1 1 0 0 1 | 14 14 2 14 14 2 Comentários Finais A escolha de um dos três métodos fica a critério de cada um, porém, o terceiro método é mais eficiente, mais rápido e ainda permite que seja utilizado para a solução de sistemas lineares. Goiânia, 23/03/2014 Afonso Carioca
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