Anotacoes Para um Curso Basico de GEOMETRIA ANALITICA \ Cleber Haubrichs dos Santos

Prévia do material em texto

Anotac¸o˜es para um curso ba´sico de
GEOMETRIA ANALI´TICA
Cleber Haubrichs dos Santos
Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia do Rio de Janeiro.
IFRJ / Campus Nilo´polis / Licenciaturas (Matema´tica e F´ısica).
APOSTILA VERSA˜O 2o PERI´ODO LETIVO de 2014.
1
Antes de comec¸ar...
... algumas informac¸o˜es e esclarecimentos a voceˆs, meus alunos.
Essa apostila foi preparada para acompanhar o curso de Geometria Anal´ıtica das turmas de Licen-
ciatura em Matema´tica e Licenciatura em F´ısica do IFRJ (Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia
e Tecnologia do Rio de Janeiro), Campus Nilo´polis. Trata-se da transcric¸a˜o das notas de aulas dos
cursos que ministrei desde 2006, atualizadas ano apo´s ano. O texto aqui e´ resumido ao essencial e
assim sendo na˜o substitui a leitura dos livros tradicionais de Geometria Anal´ıtica recomendados por
mim ou escolhidos por voceˆs. Os exerc´ıcios propostos ao longo do texto sera˜o todos resolvidos em sala
de aula durante o andamento do curso. Semelhantemente, na medida do poss´ıvel, todas as fo´rmulas
e me´todos apenas enunciados na apostila sera˜o justificados em classe. Portanto essa apostila tambe´m
na˜o isenta voceˆs de assistirem as aula.
A apostila esta´ divida em oito cap´ıtulos conforme o programa do curso. No primeiro e segundo
cap´ıtulos estudamos a geometria anal´ıtica no plano, enquanto que nos cap´ıtulos quarto e sexto es-
tudamos a geometria anal´ıtica no espac¸o. Os vetores, suas operac¸o˜es e suas propriedades sa˜o apre-
sentados nos cap´ıtulos terceiro e quinto. O se´timo cap´ıtulo e´ uma apresentac¸a˜o suma´ria de outros
to´picos que completam o curso. No cap´ıtulo oitavo eu transcrevi uma selec¸a˜o de exerc´ıcios extra´ıdos
dos textos IEZZI e STEIBRUCH & WINTERLE, dois livros encontrados em grande quantidade na
nossa biblioteca institucional. Eu ainda inseri as provas e avaliac¸o˜es dos cursos que eu ministrei desde
2011 pra ca´.
Agradecimentos.
Agradec¸o aos alunos da turma de calouros da Licenciatura em F´ısica do 2o semestre letivo de 2012
(novembro de 2012 a marc¸o de 2013). Foi por causa do incentivo, das boas perguntas e da participac¸a˜o
desta minha turma xuxu que eu me animei em transformar as folhinhas soltas numa apostila.
Particularmente agradec¸o ao meu escriba Thallys Reis, ao meu monitor Andrey Marinho e a` minha
querida Myllena Medeiros por todo apoio.
Nilo´polis, Outubro de 2013
Cleber Haubrichs dos Santos
2
Conteu´do
1 Geometria no plano cartesiano: pontos e retas. 12
1.1 Coordenadas cartesianas de um ponto no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Distaˆncia entre dois pontos no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Recordar e´ viver... O Teorema de Pita´goras. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Ponto me´dio de um segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 A´rea de um triaˆngulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Recordar e´ viver... Ca´lculo de determinantes de matrizes 2× 2 e 3× 3. . 15
1.4.2 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Condic¸a˜o de alinhamento de treˆs pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 O que e´ geometria anal´ıtica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Correspondeˆncia entre figuras e equac¸o˜es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Retas no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2 Recordar e´ viver... As treˆs razo˜es trigonome´tricas ba´sicas num triaˆngulo
retaˆngulo. A relac¸a˜o fundamental da trigonometria. . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Posic¸o˜es relativas entre retas no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3
1.9.1 Recordar e´ viver... Sistemas lineares 2× 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.2 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.10 Perpendicularidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11 Distaˆncia entre um ponto e uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Geometria no plano cartesiano: curvas de segundo grau. 23
2.1 Circunfereˆncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Posic¸o˜es relativas entre retas e circunfereˆncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Introduc¸a˜o geral a`s curvas coˆnicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Elipses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Equac¸o˜es de elipses com eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos. 28
2.4.2 Equac¸a˜o de uma elipse com eixos de simetria “inclinados” em relac¸a˜o aos
eixos cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.3 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Hipe´rboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1 Equac¸o˜es de hipe´rboles com eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos. 30
2.5.2 Equac¸a˜o de uma hipe´rbole com eixos de simetria “inclinados” em relac¸a˜o
aos eixos cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Para´bolas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.1 Equac¸o˜es de para´bolas com eixo de simetria paralelo a um dos eixos
cartesianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.2 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Formula´rio completo de coˆnicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4
2.8 Equac¸a˜o geral do segundo grau a` duas varia´veis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8.2 Um pareˆntesis no curso de geometria anal´ıtica: a fo´rmula que resolve a
equac¸a˜o quadra´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 Inequac¸o˜es e regio˜es no plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Vetores no plano. 36
3.1 Vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Vetores no R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Mo´dulo & operac¸o˜es elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Paralelismo entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Geometria no espac¸o cartesiano: pontos. 40
4.1 Coordenadas cartesianas de um pontono espac¸o. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Distaˆncia entre dois pontos no espac¸o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Ponto me´dio de um segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Vetores no espac¸o. 42
5.1 Vetores no R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Mo´dulo & operac¸o˜es elementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Vetores canoˆnicos e vetores unita´rios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 Produto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.1 Exerc´ıcio para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4.2 Algumas propriedades do produto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5
5.5 Aˆngulo entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5.2 Recordar e´ viver... Lei dos cossenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.3 O aˆngulo entre dois vetores so´ depende da direc¸a˜o e do sentido deles. . . 45
5.6 Crite´rio de perpendicularidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.6.1 Observac¸o˜es sobre o produto escalar no plano cartesiano. . . . . . . . . . 45
5.6.2 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.7 Produto vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.8 Produto vetorial em coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.8.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.9 A´rea de um paralelograno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.9.1 Algumas fo´rmulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.9.2 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Geometria no espac¸o cartesiano: retas e planos. 48
6.1 Equac¸o˜es da reta no espac¸o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.1.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Retas em posic¸o˜es especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Equac¸a˜o do plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.4 Planos em posic¸o˜es especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5 Posic¸o˜es relativas entre figuras no espac¸o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5.1 Posic¸o˜es relativas entre duas retas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.5.2 Posic¸o˜es relativas entre dois planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5.3 Posic¸o˜es relativas entre uma reta e um plano. . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5.4 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6
6.6 Distaˆncia entre figuras no espac¸o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.6.1 Distaˆncia entre dois pontos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.6.2 Distaˆncia entre um ponto e um plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.6.3 Distaˆncia entre um ponto e uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.6.4 Distaˆncia entre figuras paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.6.5 Distaˆncia entre duas retas reversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.6.6 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Outros to´picos. 56
7.1 Esferas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Superf´ıcies de segundo grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3 Coordenadas polares (um sistema alternativo de coordenadas no plano). . . . . . 59
7.3.1 Exerc´ıcios para sala de aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8 Exerc´ıcios e provas dos per´ıodos anteriores. 61
8.1 Uma selec¸a˜o de exerc´ıcios extra´ıdos de “IEZZI, Fundamentos de Matema´tica
Elementar, Volume 7, Geometria Anal´ıtica, Editora Atual”. . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Uma selec¸a˜o de exerc´ıcios extra´ıdos do livro “STEINBRUCH & WINTERLE,
Geometria Anal´ıtica, Editora McGralHill”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.3 Prova (Outubro de 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.4 Trabalho (Agosto de 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.5 Prova (Agosto de 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.6 Prova (Fevereiro de 2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.7 Prova (Dezembro de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.8 Prova (Setembro de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.9 Trabalho (Agosto de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.10 Prova (Julho de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7
8.11 Prova (Abril de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.12 Prova (Marc¸o de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.13 Prova (Janeiro de 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.14 Prova (Junho de 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.15 Prova (Junho de 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.16 Prova (Maio de 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.17 Prova (Abril de 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8
Lista de Figuras
1.1 O plano cartesiano R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Distaˆncia entre dois pontos em R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 O ponto me´dio de um segmento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 A´rea de um triaˆngulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Treˆs pontos colineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Rene´ Descartes (1596 - 1650). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Uma pa´gina de A Geometria (1637). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Coeficiente angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 (a) Duas retas paralelas ; (b) Duas retas concorrentes. . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 Retas perpendiculares em R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 Distaˆncia entre ponto e reta em R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Circunfereˆncia no plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Posic¸o˜es relativas entre uma reta e uma circunfereˆncia. . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 As coˆnicas regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 As coˆnicas degeneradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Elipses com centro na origem do sistema cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Translac¸a˜o dos eixos de uma elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 28
2.8 Hipe´rbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9
2.9 Hipe´rboles com centro na origem do sistema cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10 Translac¸a˜o dos eixos de uma hipe´rbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.11 Para´bola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.12 Para´bolas com ve´rtice na origem do sistema cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . 33
2.13 Translac¸a˜o dos eixos de uma para´bola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.14 A hipe´rbole y = 1
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 Vetor no plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Vetor de um ponto a outro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Interpretac¸o˜es geome´tricas das operac¸o˜es elementares. . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1 O espac¸o cartesiano R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1 Vetores canoˆnicos em R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Aˆngulo entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Lei dos Cossenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Produto vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5 Aˆngulo entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.1 Equac¸a˜o vetorial da reta no espac¸o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2 Um plano e seu vetor normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 (a) Retas concorrentes ; (b) retas paralelas ; (c) retas reversas. . . . . . . . . . . 52
6.4 (a) Planos concorrentes ; (b) planos paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5 (a) Reta inclu´ıda num plano ; (b) reta e plano concorrentes ; (c) reta e plano
paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6 Distaˆncia entre ponto e plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.7 Distaˆncia entre ponto e reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.1 Esfera de raio r e centro em ( x0 , y0 , z0 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10
7.2 Esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3 Elipso´ide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.4 Hiperbolo´ide de duas folhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.5 Hiperbolo´ide de uma folha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.6 Parabolo´ide el´ıptico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.7 Parabolo´ide hiperbo´lico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.8 Cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.9 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.10 Sistema de coordenadas cartesianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.11 Sistema de coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.12 Mudanc¸a de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11
Cap´ıtulo 1
Geometria no plano cartesiano: pontos
e retas.
Coordenadas cartesianas de um ponto no plano. Distaˆncia entre dois pontos no plano. Ponto me´dio
de um segmento. A´rea de um triaˆngulo. Condic¸a˜o de alinhamento de treˆs pontos. O que e´ geometria
anal´ıtica? Correspondeˆncia entre figuras e equac¸o˜es. Retas no plano. Posic¸o˜es relativas entre retas no
plano. Perpendicularidade. Distaˆncia entre um ponto e uma reta.
1.1 Coordenadas cartesianas de um ponto no plano.
Figura 1.1: O plano cartesiano R2.
Os pontos de um plano podem ser identifica-
dos por um par ordenado de nu´meros reais.
No plano desenha-se um par de retas ortogo-
nais entre si, intersectando-se num ponto que
sera´ chamado de origem. Esse par de eixos
servira´ como refereˆncia para os elementos do
plano. Usualmente chamamos a reta hori-
zontal de eixo das abscissas ou tambe´m de
eixo x. A reta vertical e´ chamada de eixo da
ordenadas ou de eixo y.
O plano munido dos eixos de refereˆncia e´ chamado de plano cartesiano e as coordenadas de um ponto
nesse plano sa˜o chamadas de coordenadas retangulares.
R2 = {( a , b ) ; a , b ∈ R}
12
1.1.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Marque no plano os seguintes pontos em coordenadas cartesianas (x , y ).
1 a) ( 1 , 6 ) 1 b) (−2 , 3 ) 1 c) (−4 , −1 ) 1 d) ( 5 , −2 )
1 e) (−3 , −3 ) 1 f) ( 2 , 2 ) 1 g) ( 3 , 0 ) 1 h) ( 0 , −2 )
1.2 Distaˆncia entre dois pontos no plano.
Dados dois pontos A = (xA , yA ) e B =
(xB , yB ) podemos calcular a distaˆncia en-
tre eles pela fo´rmula abaixo, que pode
ser deduzida usando o ce´lebre Teorema de
Pita´goras.
dA,B =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2
Figura 1.2: Distaˆncia entre dois pontos em R2.
1.2.1 Recordar e´ viver... O Teorema de Pita´goras.
Um triaˆngulo e´ chamado de triaˆngulo retaˆngulo quando um dos seus aˆngulos e´ reto (e consequentemente
os outros dois aˆngulos sa˜o agudos). O maior lado de um triaˆngulo retaˆngulo e´ o que se opo˜e ao aˆngulo
reto. Este lado chama-se hipotenusa. Os outros dois lados, os que compo˜em o aˆngulo reto, chamam-se
catetos.
O Teorema de Pita´goras diz que num triaˆngulo
retaˆngulo, o quadrado da medida da hipotenusa e´ igual
a` soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Na figura ao lado, o aˆngulo reto esta´ no ve´rtice A. A
hipotenusa tem medida a e os catetos medem b e c.
Enta˜o o Teorema de Pita´goras pode ser escrito alge-
bricamente pela fo´rmula a2 = b2 + c2.
13
1.2.2 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Calcule o per´ımetro do triaˆngulo de ve´rtices ( 1 , −1 ), (−3 , 2 ) e ( 9 , 7 ).
Exerc´ıcio 2. Qual e´ o ponto no eixo das abscissas equidistante dos pontos (−1 , 2 ) e ( 3 , 6 ) ?
1.3 Ponto me´dio de um segmento.
O ponto me´dio de um segmento e´ o ponto que o
divide em duas partes de comprimento iguais.
Dado um segmento com extremidades nos pon-
tos A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ), as co-
ordenadas do ponto me´dio sera˜o a me´dia ar-
itme´tica simples das coordenadas das suas ex-
tremidades, isto e´,
M =
(
xA + xB
2
,
yA + yB
2
)
.
Figura 1.3: O ponto me´dio de um segmento.
1.3.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Dado os ve´rtices A = ( 1 , 4 ), B = ( 6 , −3 ) e C = (−16 , −5 ), calcule o comprimento
da mediana do triangulo ABC baixada a` partir do ve´rtice A sobre o lado BC.
1.4 A´rea de um triaˆngulo.
Figura 1.4: A´rea de um triaˆngulo.
A a´rea de um triaˆngulo com ve´rtices
A = (xA , yA ), B = (xB , yB ) e
C = (xC , yC ) e´ dada por
a´rea4ABC =
1
2
|det D|
onde D =

xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1

14
1.4.1 Recordar e´ viver... Ca´lculo de determinantes de matrizes 2× 2 e 3× 3.
Uma matriz m × n e´ um conjunto de nu´meros organizados numa tabela de m linhas e n colunas.
Uma matriz, sendo meramente uma tabela de nu´meros, na˜o tem nada de matematicamente especial
em si mesmo. Mas existem objetos matema´ticos importantes que podem ser melhor visualizados e
manipulados quando sa˜o apresentados em forma de matriz.1 Uma matriz e´ chamada de quadrada de
ordem n quando for n× n, isto e´, quando tiver n linhas e n colunas.
No que diz respeito a um curso ba´sico de geometria anal´ıtica, estamos mesmo interessados e´ num
conceito chamado de determinante. Trata-se de um nu´mero que e´ associado a cada matriz quadradapor meio de uma conta bem espec´ıfica. Dependendo do contexto em que aparec¸a, o determinante
pode ter va´rias interpetrac¸o˜es. Veremos isso melhor ao longo desse curso.
a) Como calcular o determinante de uma matriz 2× 2 ? O determinante da matriz D =
[
a11 a12
a21 a22
]
e´ dado pelo nu´mero det D = a11a22− a21a12 . Esquematicamente podemos memorizar o deter-
minante 2× 2 como na figura abaixo. O produto dos dois elementos da diagonal principal (mantendo
o sinal) adicionado ao produto dos dois elementos da outra diagonal (trocando o sinal).
b) Como calcular o determinante de uma matriz 3×3 ? O determinante da matrizD =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 332 a33

e´ dado pelo nu´mero det D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 − a13a31a22 − a23a32a11 − a12a21a33 .
Esquematicamente podemos memorizar o determinante 3 × 3 como na figura abaixo. Comece ree-
screvendo ao lado da matriz 3 × 3 original as duas primeiras colunas, formando uma grande matriz
3 × 5. A seguir calcule os treˆs produtos de treˆs elementos, o da diagonal principal e os das duas
direc¸o˜es paralelas, mantendo os sinais. Por fim acrescente os treˆs produtos de treˆs elementos, o da
outra diagonal e os das duas direc¸o˜es paralelas, mas dessa vez trocando os sinais.
Para maiores informac¸o˜es sobre matrizes e determinantes, e para o ca´lculo de determinantes de ordem
4× 4, 5× 5, etc, ... voceˆs podem consultar qualquer bom livro de matema´tica de ensino me´dio.
1 Um exemplo importante que voceˆs ira˜o conhecer no curso de A´lgebra Linear e´ o conceito de transformac¸a˜o linear.
15
1.4.2 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Qual e´ a a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o os pontos (−1, 1), (2,−3) e (3, 5)?
Exerc´ıcio 2. Qual e´ a a´rea do quadrila´tero cujos ve´rtices sa˜o os pontos (5, 7), (−3, 4), (0, 0) e (4, 3)?
1.5 Condic¸a˜o de alinhamento de treˆs pontos.
Figura 1.5: Treˆs pontos colineares.
Quando treˆs pontos esta˜o alinhados enta˜o
o “triaˆngulo” formado por eles tem “a´rea”
nula. Assim, treˆs pontos A = (xA , yA ),
B = (xB , yB ) e C = (xC , yC ) esta˜o al-
inhados quando vale
det

xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
 = 0 .
Uma outra palavra para designar que treˆs (ou mais) pontos esta˜o alinhados e´ dizer que esses pontos
sa˜o colineares.
1.5.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Verifique se os pontos (−1 , 2 ), ( 0 , 5 ) e ( 2 , 11 ) esta˜o alinhados ou na˜o.
Exerc´ıcio 2. Qual e´ o valor de p ∈ R de modo que os pontos (−1 , 4 ), ( 2 , 9 ) e ( 0 , p+ 15 ) estejam
alinhados?
Exerc´ıcio 3. Calcule o ponto do eixo das ordenadas que esta´ alinhado com os pontos (−2 , 15 ) e
( 8 , 5 ).
1.6 O que e´ geometria anal´ıtica?
A geometria anal´ıtica e´ um ramo da matema´tica cuja ide´ia principal e´ associar objetos geome´tricos (tais
como pontos, retas, figuras, curvas, aˆngulos, etc) com objetos alge´bricos (pares ordenados, nu´meros,
polinoˆmios, equac¸o˜es, etc).
16
A invenc¸a˜o da geometria anal´ıtica aconteceu em meados do se´culo XVII e e´ reputada ao filo´sofo franceˆs
Rene´ Descartes. De fato, essa associac¸a˜o entre a a´lgebra e a geometria apareceu bem marcadamente
em 1637, num livreto de Descartes intitulado justamente de A Geometria. Esse livreto junto com
outros dois livretos cient´ıficos, serviram como complemento ao seu ce´lebre tratado filoso´fico Discurso
do Me´todo.
Figura 1.6: Rene´ Descartes (1596 - 1650). Figura 1.7: Uma pa´gina de A Geometria (1637).
1.7 Correspondeˆncia entre figuras e equac¸o˜es.
Considere uma equac¸a˜o envolvendo as inco´gnitas x e y e nu´meros reais; vamos representa´-la por
F (x, y) = 0. Os pontos (a, b) ∈ R2 que satisfazem a equac¸a˜o, isto e´, os pontos tais que F (a, b) = 0,
formam uma figura no plano cartesiano. Reciprocamente, dada uma curva plana, “muitas vezes”
pode-se obter uma equac¸a˜o (ou um conjunto de equac¸o˜es) para descreveˆ-la.
Por exemplo, as retas no plano cartesiano podem sempre ser representadas por equac¸o˜es do tipo
ax+ by + c = 0. Ou ainda, as equac¸o˜es do tipo x2 + y2 = r2 representam circunfereˆncias.
Na primeira parte desse curso estudaremos equac¸o˜es que representam as seguintes figuras planas: reta,
circunfereˆncia, elipse, para´bola e hipe´rbole.
17
1.8 Retas no plano.
Toda equac¸a˜o da forma ax+by+c = 0, com a, b, c ∈ R representa uma reta no plano. Reciprocamente,
dada qualquer reta desenhada no plano cartesiano, e´ poss´ıvel calcular a, b, c ∈ R tais que a equac¸a˜o
ax+ by + c = 0 descreva essa reta.
Figura 1.8: Coeficiente angular.
O coeficiente angular (tambe´m
chamado de inclinac¸a˜o) de
uma reta passando pelos pontos
A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ) e´
definido pelo nu´mero
mAB =
∆y
∆x
=
yB − yA
xB − xA .
Essa inclinac¸a˜o e´ a tangente do
aˆngulo θ que a reta por A e B faz
com o eixo das abscissas (eixo x).
Casos particulares. Quando uma reta e´ horizontal sua equac¸a˜o reduz-se a` forma y = c e sua
inclinac¸a˜o e´ zero. Ja´ quando uma reta e´ vertical sua equac¸a˜o reduz-se a` forma x = c e sua inclinac¸a˜o
na˜o e´ definida.
Pode-se obter a equac¸a˜o de uma reta por duas maneiras:
1) Conhecendo-se a inclinac¸a˜o m e um ponto (xA , yA ) da reta temos a equac¸a˜o
y − yA = m · (x− xA) .
2) Conhecendo-se as coordenadas de dois pontos distintos A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ) da reta,
sua equac¸a˜o e´ dada por
det

x y 1
xA yA 1
xB yB 1
 = 0 .
Note que em todo caso e´ sempre necessa´rio ter duas informac¸o˜es iniciais para determinar uma reta.
Observe que quando isolamos a varia´vel y na equac¸a˜o de uma reta, deixando os demais termos do
outro lado da igualdade, o coeficiente da varia´vel x e´ o coeficiente angular da reta em questa˜o.
1.8.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Qual e´ o coeficiente angular da reta determinada pelos pontos (−1 , 2 ) e ( 3 , −4 )? Deˆ
a equac¸a˜o desta reta e esboce-a no plano cartesiano.
18
Exerc´ıcio 2. Verifique quais dos pontos abaixo pertencem a` reta 2x− y + 6 = 0.
A = ( 0 , 3 ) ; B = ( 0 , 6 ) ; C = (−3 , 0 ) ; D = ( 1 , 8 ) ; E = (−2 , 3 ) ; F = (−1 , 2 ) .
Exerc´ıcio 3. Represente no plano cartesiano as retas a seguir:
3 a) 2x+ 3y + 6 = 0 3 b) x+ 2 = 0 3 c) 2y − 6 = 0 3 d) x− 2y + 1 = 0 .
Exerc´ıcio 4. Os pontos A = (xA , 9 ) e B = (6 , yB ) esta˜o na reta de equac¸a˜o 3x − 2y + 6 = 0.
Calcule as coordenadas de A e B e a distaˆncia entre eles.
1.8.2 Recordar e´ viver... As treˆs razo˜es trigonome´tricas ba´sicas num triaˆngulo
retaˆngulo. A relac¸a˜o fundamental da trigonometria.
Dado um triaˆngulo retaˆngulo, e fixando um dos
seus aˆngulos agudos, define-se as treˆs relac¸o˜es
trigonome´tricas ba´sicas da seguinte maneira:
seno do aˆngulo =
medida do cateto oposto ao aˆngulo
medida da hipotenusa
cosseno do aˆngulo =
medida do cateto adjacente ao aˆngulo
medida da hipotenusa
tangente do aˆngulo =
medida do cateto oposto
medida do cateto adjacente
No triaˆngulo retaˆngulo da figura acima, fixando atenc¸a˜o no aˆngulo θ, temos as seguintes relac¸o˜es:
sen θ =
c
a
cos θ =
b
a
tg θ =
c
b
.
Pode-se mostrar com facilidade, usando semelhanc¸a de triaˆngulos, que as treˆs relac¸o˜es trigonome´tricas
na˜o dependem do “tamanho” do triaˆngulo retaˆngulo inicialmente dado, mas ta˜o somente do aˆngulo
agudo em questa˜o.
Direto da definic¸a˜o vem a primeira fo´rmula envolvendo as treˆs relac¸o˜es trigonome´tricas: para qualquer
θ vale tg θ =
sen θ
cos θ
. Outra fo´rmula, dessa vez envolvendo o seno e o cosseno, pode ser deduzida
usando o Teorema de Pita´goras e as definic¸o˜es dadas acima. Trata-se da equac¸a˜o conhecida como
relac¸a˜o fundamental da trigonometria: para qualquer θ vale sen2θ + cos2θ = 1 .
Apesar das treˆs relac¸o˜es trigonome´tricas serem definidas inicialmente para um aˆnguloagudo (num
triaˆngulo retaˆngulo), pode-se estender essas definic¸o˜es para quaisquer aˆngulos, usando um truque
esperto de encaixar triaˆngulos retaˆngulos de maneira adequada dentro de um c´ırculo de raio 1. Mas
isso ja´ e´ assunto para outro momento. Para maiores detalhes sobre isso, voceˆs podem consultar
qualquer bom livro de matema´tica de ensino me´dio.
19
1.9 Posic¸o˜es relativas entre retas no plano.
Duas retas distintas no plano sa˜o concorrentes ou paralelas entre si quando, respectivamente, elas teˆm
intersec¸a˜o ou na˜o. E´ bom frisar que no caso da concorreˆncia entre duas retas, o ponto de intersec¸a˜o
entre elas e´ u´nico.
Figura 1.9: (a) Duas retas paralelas ; (b) Duas retas concorrentes.
Analiticamente, podemos decidir quando duas retas sa˜o concorrentes ou paralelas entre si avaliando
seus coeficientes angulares. Duas retas r e s sa˜o paralelas entre si se e somente se os coeficientes
angulares sa˜o iguais (isto e´, mr = ms). Claramente vale que se mr 6= ms, as retas sa˜o (e so´ podem
ser) concorrente entre si.
Pode-se ainda tomar as equac¸o˜es r : ax+ by+ c = 0 e s : px+ qy+ r = 0 de duas retas e considerar o
sistema linear 2× 2 dado por {
ax+ by + c = 0
px+ qy + r = 0
.
Nesse caso, quando o sistema for poss´ıvel e determinado as retas sa˜o concorrentes entre si. A (u´nica)
soluc¸a˜o (a, b) desse sistema alge´brico da´ as coordenadas do ponto de intersec¸a˜o r ∩ s. Por outro lado
quando o sistema for imposs´ıvel, isso significa que na˜o ha´ ponto (a, b) que satisfac¸a simultaneamente
as equac¸o˜es r e s. Portanto as retas so´ podem ser paralelas entre si.
1.9.1 Recordar e´ viver... Sistemas lineares 2× 2.
Um sistema linear 2 × 2 e´ um conjunto formado por um par de equac¸o˜es, cada uma delas com ate´
duas varia´veis, e todas as varia´veis com expoente um. Dito mais diretamente, um sistema linear 2× 2
e´ algo do tipo
{
Ax+By = P
Cx+Dy = Q
, onde A, B, C, D, P e Q sa˜o nu´meros reais previamente conhecidos.
Ao se deparar com um sistema como esse, temos como objetivo resolveˆ-lo, o que significa encontrar
um par (x0 , y0 ) de nu´meros reais que satisfac¸a simultaneamente a`s duas equac¸o˜es. Nem sempre e´
poss´ıvel encontrar esse par de nu´meros. Por isso um sistema linear e´ classificado inicialmente como
poss´ıvel ou imposs´ıvel. Ha´ ainda outro detalhe interessante: quando o sistema e´ poss´ıvel, ele pode ter
uma u´nica soluc¸a˜o ou va´rias soluc¸o˜es diferentes. Por isso um sistema linear poss´ıvel e´ reclassificado
como poss´ıvel determinado ou poss´ıvel indeterminado.
20
Sistema Imposs´ıvel (SI)
↗
Sistemas lineares Sistema Poss´ıvel e Indeterminado (SPI)
↘ ↗
Sistema Poss´ıvel
↘
Sistema Poss´ıvel e Determinado (SPD)
Na˜o vou entrar em detalhes aqui, mas existe um procedimento chamado Regra de Cramer que usa al-
guns ca´lculos de determinantes (aquele nu´mero apresentado nas sec¸o˜es anteriores) para decidir quando
um sistema e´ SI, SPI ou SPD.2 Maiores detalhes sobre isso pode ser encontrado em qualquer bom
livro de matema´tica de ensino me´dio.
De um ponto de vista mais direto e elementar, ha´ duas estrate´gias muito populares para se resolver
um sistema linear 2 × 2. Uma delas chama-se me´todo da substituic¸a˜o. Consiste em isolar uma das
varia´veis numa das equac¸o˜es e a seguir substituir o resultado encontrado na outra equac¸a˜o. A nova
equac¸a˜o que surge tera´ uma varia´vel so´. Uma vez calculada esta, podemos voltar a` primeira equac¸a˜o
para calcular a outra varia´vel. Outra estrate´gia chama-se me´todo da adic¸a˜o. Consiste em preparar
as equac¸o˜es, multiplicando-as por nu´meros convenientes, de modo que ao soma´-las, uma das varia´veis
seja eliminada. Mas atenc¸a˜o, infelizmente nem tudo e´ ta˜o simples. Quando o sistema e´ SPD, qualquer
uma das duas estrate´gias funciona muito bem. Entretanto, caso o sistema seja SI ou SPI, algumas
coisas “estranhas” podem acontecer.3
1.9.2 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Considere as retas r : 4x + 3y − 11 = 0, s : x + 3y − 5 = 0, t : x − y + 2 = 0 e
u : 4x + 3y + 1 = 0. (1 a) Verifique que as retas r e s sa˜o concorrentes e calcule as coordenadas do
ponto de concorreˆncia r∩ s. (1 b) Verifique que as retas r e u sa˜o paralelas. (1 c) Obtenha uma reta
que seja paralela a t e que passe pelo ponto r ∩ s.
1.10 Perpendicularidade.
A perpendicularidade entre duas retas e´ um caso particular de concorreˆncia. Ale´m das duas retas se
intersectarem, vale ainda que os quatro aˆngulos formados entre elas sa˜o iguais (e igual ao aˆngulo reto).
2 “Ah... Agora entendi o porque da palavra determinante pra aquele nu´mero...”
3 Nesse caso fica a dica: se liga nos exemplos que eu oferec¸o em sala de aula.
21
Analiticamente, se r e s sa˜o duas retas perpendiculares entre si, enta˜o vale a fo´rmula mr ·ms = −1
ou equivalentemente ms = − 1
mr
.
1.11 Distaˆncia entre um ponto e uma reta.
A distaˆncia entre o ponto P = (xP , yP ) e a reta r : ax + by + c = 0 e´ dada pela fo´rmula
dP,r =
|axP + byP + c|√
a2 + b2
. Para deduzir esta fo´rmula, adotamos os seguintes procedimentos. Ini-
cialmente determinamos uma reta s que seja perpendicular a` reta dada r e que passe pelo ponto dado
P . A seguir, calculamos o ponto Q, intersec¸a˜o das retas r e s. Por fim, a distaˆncia entre P e r reduz-se
distaˆncia entre P e Q.
Figura 1.10: Retas perpendiculares em R2. Figura 1.11: Distaˆncia entre ponto e reta em R2.
1.11.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Calcule a reta perpendicular a 2x− 3y + 7 = 0 passando pelo ponto (−4 , 1 ).
Exerc´ıcio 2. Qual e´ a equac¸a˜o da mediatriz do segmento que une os pontos (−3 , −1 ) e ( 7 , 12 )?
Exerc´ıcio 3. Dados o ponto P = ( 1 , −1 ) e a reta r : 3x+ 2y − 6 = 0, fornec¸a: (3 a) a equac¸a˜o da
reta perpendicular a r passando por P ; (3 b) a intersec¸a˜o das duas retas em questa˜o; (3 c) o ponto
sime´trico de P em relac¸a˜o a` r.
Exerc´ıcio 4. Calcule a distaˆncia do ponto (−1 , 5 ) a` reta 2x− y − 3 = 0.
Exerc´ıcio 5. Calcule a medida da alturaAH sobre a baseBC do triaˆnguloABC dado porA = ( 3 , 5 ),
B = ( 1 , 0 ) e C = ( 7 , −2 ).
22
Cap´ıtulo 2
Geometria no plano cartesiano: curvas
de segundo grau.
Circunfereˆncia. Posic¸o˜es relativas entre retas e circunfereˆncias. Introduc¸a˜o geral a`s curvas coˆnicas.
Elipses. Hipe´rboles. Para´bolas. Formula´rio completo de coˆnicas. Equac¸a˜o geral do segundo grau a`
duas varia´veis. Inequac¸o˜es e regio˜es no plano.
2.1 Circunfereˆncia.
A circunfereˆncia e´ o lugar geome´trico de todos os pontos do plano que esta˜o a` mesma distaˆncia de um
ponto fixo. Este ponto fixo e´ chamado de centro e a distaˆncia e´ chamada de raio.
Figura 2.1: Circunfereˆncia no plano cartesiano.
A equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro
(x0 , y0 ) e raio r e´ dada por
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2 .
Em particular, quando a circunfereˆncia
esta´ centrada na origem do sistema carte-
siano, isto e´, no ponto (0, 0), sua equac¸a˜o
sera´
x2 + y2 = r2 .
Observe que se desenvolvermos os produ-
tos nota´veis da primeira equac¸a˜o, obter-
emos a mesma na seguinte forma
x2 + y2 +Ax+By + C = 0 .
23
Atenc¸a˜o, que nem toda equac¸a˜o com o perfil acima fornece a figura de uma circunfereˆncia. Veremos
nos exerc´ıcios a seguir que as vezes essas equac¸o˜es podem representar apenas um ponto, ou ainda o
conjunto vazio.
Dada uma equac¸a˜o na forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0, usamos o me´todo do completamento de
quadrados para identificar a figura que ela representa; e caso seja mesmo uma circunfereˆncia, obter
seu centro e o raio.
2.1.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Qual e´ a equac¸a˜o da circunfereˆncia centrada em (−1, 7) e com raio 2?
Exerc´ıcio 2. Qual e´ a equac¸a˜o da circunfereˆncia com centro na origem e raio 7?
Exerc´ıcio 3. Identifiqueo centro e o raio da circunfereˆncia (x+ 3)2 + (y + 2)2 = 5.
Exerc´ıcio 4. Qual e´ a equac¸a˜o da circunfereˆncia de raio 3 e centro (1, 2)? Em que pontos essa
circunfereˆncia intersecta os eixos coordenados?
Exerc´ıcio 5. Achar a equac¸a˜o da reta que passa pelo centro da circunfereˆncia (x− 3)2+(y− 2)2 = 8
e e´ perpendicular a` reta x− y − 16 = 0.
Exerc´ıcio 6. Indentifique as figuras correspondentes a`s equac¸o˜es abaixo usando o me´todo do com-
pletamento de quadrados.
6 a) x2+y2−4x+6y+12 = 0 6 b) x2+y2−6x−10y+32 = 0 6 c) x2+y2+8x−2y+21 = 0
6 d) x2 + y2 + 2x+ 4y + 5 = 0 6 e) x2 + y2 + 4x+ 3 = 0
Exerc´ıcio 7. Um quadrado tem ve´rtices consecutivos A = (−1 , 0 ) e B = ( 5 , 0 ). Determinar a
circunfereˆncia circuscrita ao quadrado.
2.2 Posic¸o˜es relativas entre retas e circunfereˆncias.
Existem treˆs posic¸o˜es relativas poss´ıveis entre uma reta e uma circunfereˆncia e isso diz respeito a`
quantidade de pontos de intersec¸a˜o entre essas duas figuras.
1) Quando a reta atravessa a circunfereˆncia em dois pontos distintos, dizemos que as figuras sa˜o
secantes entre si.
2) Quando a reta e a circunfereˆncia apenas se tocam em um ponto, dizemos que as figuras sa˜o tangentes
entre si.
3) Quando a reta e a circunfereˆncia na˜o teˆm pontos em comum, dizemos que as figuras sa˜o externas
uma a` outra.
24
Analiticamente, considere a reta ax+ by + c = 0 e a circunfereˆncia x2 + y2 +Ax+By +C = 0. Para
decidir a posic¸a˜o relativa entre as figuras precisamos manipular o sistema alge´brico{
ax+ by + c = 0
x2 + y2 +Ax+By + C = 0
.
Isolando uma das varia´veis da equac¸a˜o de 1o grau (a da reta) e substituindo-a na equac¸a˜o de 2o
grau (a da circunfereˆncia), obtemos uma equac¸a˜o de 2o grau de apenas uma varia´vel. No ca´lculo do
discriminante ∆, treˆs situac¸o˜es podem acontecer:
1) Se ∆ > 0, enta˜o o sistema tem duas soluc¸o˜es distintas e portanto as figuras sa˜o secantes entre si.
2) Se ∆ = 0, enta˜o o sistema tem apenas uma soluc¸a˜o e portanto as figuras sa˜o tangentes entre si.
3) Se ∆ < 0, enta˜o o sistema na˜o tem soluc¸a˜o em R2 e portanto as figuras sa˜o externas entre si.
Uma observac¸a˜o importante no caso de tangeˆncia e´ a seguinte. Uma reta tangente e´ sempre perpen-
dicular ao raio que passa no ponto de tangeˆncia. Sendo ainda mais espec´ıfico, este ponto de tangeˆncia
e´ o pe´ da perpendicularidade.
Figura 2.2: Posic¸o˜es relativas entre uma reta e uma circunfereˆncia.
2.2.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Dadas as retas r : x − 2y + 11 = 0, s : 3x − 4y + 35 = 0, t : 3x + 4y − 22 = 0 e
u : 4x+5y− 68 = 0 e a circunfereˆncia x2+ y2− 4x− 8y− 5 = 0; identifique as posic¸o˜es relativas entre
cada reta e a circunfereˆncia. Quando for o caso, calcule os pontos de intersec¸a˜o.
Exerc´ıcio 2. Identifique o centro e o raio da circunfereˆncia 9x2 + 9y2 + 42x− 45y + 85 = 0.
Exerc´ıcio 3. A reta 3x+ 4y = 4 e´ tangente a uma circunfereˆncia de centro (4, 3). Calcule o raio, as
coordenadas do ponto de tangeˆncia e a equac¸a˜o desta circunfereˆncia.
25
2.3 Introduc¸a˜o geral a`s curvas coˆnicas.
As curvas coˆnicas aparecem ao intersectarmos um cone com planos no
espac¸o. Dependendo da posic¸a˜o do plano em relac¸a˜o aos elementos
do cone as figuras regulares que podem aparecer sa˜o circunfereˆncia,
elipse, para´bola ou hipe´rbole. E´ poss´ıvel que aparec¸am ainda outras
figuras (na˜o regulares) que sa˜o: um par de retas, uma “reta dupla”
ou um ponto isolado.
(As treˆs figuras dessa pa´gina foram recolhidas no Google Imagens.)
Figura 2.3: As coˆnicas regulares.
Figura 2.4: As coˆnicas degeneradas.
26
2.4 Elipses.
Elementos e medidas. Fixe dois pontos no plano. Os pontos cuja soma das distaˆncias aos dois
pontos fixos e´ constante formam uma curva chamada elipse. Os pontos fixos chamam-se focos. O
ponto me´dio dos focos e´ chamado de centro. A maior das cordas da elipse e´ a que passa pelos focos e
e´ chamada de eixo maior. A menor das cordas, chamada de eixo menor, e´ a que passa pelo centro e
e´ perpendicular ao eixo maior.
Figura 2.5: Elipse.
Denotemos por O o centro da elipse, F1 e F2 os seus focos e P um ponto qualquer do seu per´ımetro.
A definic¸a˜o da elipse como lugar geome´trico pode ser (re)escrita como
dP,F1 + dP,F2 = constante .
Agora escreva: 2a = medida do eixo maior; 2b = medida do eixo menor; 2c = distaˆncia entre os dois
focos. Colocando o ponto P numa das extremidades do eixo maior, pode-se concluir que
dP,F1 + dP,F2 = 2a .
E colocando o ponto P numa das extremidades do eixo menor, pode-se concluir que
a2 = b2 + c2 .
A excentricidade e´ o nu´mero definido por e =
distaˆncia focal
medida do eixo maior
=
c
a
.
Note que 0 < e < 1. Esse nu´mero “mede” quanto a elipse esta´ mais “arredondada” ou mais
“achatada”.1 Quando a excentricidade e´ pequena (isto e´, e e´ perto de 0), a elipse esta´ mais pro´xima
de ser uma circunfereˆncia. Caso e esteja perto de 1, a elipse e´ mais achatada.
1 Dizer que a elipse esta´ mais perto ou mais longe de ser uma circunfereˆncia e´ uma condic¸a˜o menos matema´tica do que
psicolo´gica, ja´ que a elipse, uma vez fixada, na˜o vai se deformar num movimento rumo a` forma de uma circunfereˆncia.
27
2.4.1 Equac¸o˜es de elipses com eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos.
Inicialmente vamos deduzir a equac¸a˜o da elipse desenhada no plano cartesiano de modo que seu centro
esteja na origem do sistema cartesiano e que seus eixos coincidam com os eixos x e y.
Vamos considerar que o eixo maior repouse sobre o eixo x. Neste caso, as coordenadas dos focos sera˜o
(c, 0) e (−c, 0). Enta˜o temos √
(x+ c)2 + y2 +
√
(x− c)2 + y2 = 2a ,
de onde se conclui que
x2
a2
+
y2
b2
= 1 .
Quando o eixo maior repousa sobre o eixo y e o centro da elipse ainda esta´ na origem, a fo´rmula acima
sofre uma pequena adaptac¸a˜o, tornando-se
x2
b2
+
y2
a2
= 1 .
Por fim, no caso do centro da elipse estar na posic¸a˜o (x0, y0) que na˜o seja a origem, os termos
quadra´ticos x2 e y2 que aparecem nas equac¸o˜es acima devem ser substituidos pelos binoˆmios quadra´ticos
(x− x0)2 e (y − y0)2. Esse procedimento e´ chamado em matema´tica de translac¸a˜o de eixos.
Figura 2.6: Elipses com centro na origem do
sistema cartesiano.
Figura 2.7: Translac¸a˜o dos eixos de uma
elipse.
2.4.2 Equac¸a˜o de uma elipse com eixos de simetria “inclinados” em relac¸a˜o aos
eixos cartesianos.
Apenas para informac¸a˜o, eis uma equac¸a˜o que descreve uma elipse centrada na origem e com eixos de
simetria “inclinados”. Dito mais exatamente, trata-se da elipse cujo eixo maior esta´ suportado sobre
a reta y = mx:
(x+my)2
a2
+
(y −mx)2
b2
= 1 +m2 .
28
Embora a deduc¸a˜o desta equac¸a˜o na˜o seja essencialmente diferente das deduc¸o˜es anteriores, as “contas”
ficam bastante grandes e quase desagrada´veis. Num curso posterior,2 as elipse “inclinadas” (bem como
as demais coˆnicas) e suas equac¸o˜es sera˜o tratadas com ferramentas alge´bricas mais eficazes.
2.4.3 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Para cada equac¸a˜o de elipse dada abaixo, identifique as posic¸o˜es a as medidas dos eixos
maior e menor, calcule a distaˆncia focal, calcule a excentricidade, esboce a figura no plano cartesiano
e marque os focos.
1 a)
x2
16
+
y2
4
= 1 1 b) (x+ 1)2 +
(y − 2)2
9
= 1
1 c) (x− 2)2 + 4(y + 1)2 = 4 1 d) x
2
25
+
y2
49
= 1 .
2.5 Hipe´rboles.
Elementos e medidas. Fixe dois pontos no plano. Os pontos cuja diferenc¸a (em valor absoluto) das
distaˆncias aos dois pontos fixos e´ constante formam uma curva chamada hipe´rbole.3 Os pontos fixos
chamam-se focos. O ponto me´dio dos focos e´ chamado de centro. A hipe´rbole e´ sime´trica em relac¸a˜o
a dois eixos de simetria. O eixo de simetria determinado pelos dois focoschama-se eixo real, enquanto
que o outro eixo, que e´ perpendicular ao primeiro e passa pelo centro, e´ chamado de eixo imagina´rio.
Os pontos onde a hipe´rbole intersecta o eixo real chama-se ve´rtices. O trac¸ado da hipe´rbole e´ limitado
por duas retas cujas bissetrizes sa˜o os eixos de simetria. Essas retas sa˜o chamadas de ass´ıntotas.
Denotemos por O o centro da hipe´rbole, F1 e F2 os seus focos e P um ponto qualquer do seu per´ımetro.
A definic¸a˜o da hipe´rbole como lugar geome´trico pode ser (re)escrita como
|dP,F1 − dP,F2 | = constante .
Agora escreva: 2a = distaˆncia entre os dois ve´rtices; 2c = distaˆncia entre os dois focos. Colocando o
ponto P num dos ve´rtices, pode-se concluir que
|dP,F1 − dP,F2 | = 2a .
As ass´ıntotas sa˜o inclinadas em relac¸a˜o ao eixo real por aˆngulos cujas tangentes valem ±
√
c2 − a2
a
.
Por comodidade, representamos o nu´mero
√
c2 − a2 por b, inspirado na relac¸a˜o a2 + b2 = c2 ana´loga
a uma ja´ obtida quando do estudo da elipse.
2 Trata-se do curso de A´lgebra Linear.
3 Esta curva, curiosamente, em sua “versa˜o tradicional”, e´ formada de dois pedac¸os disjuntos.
29
Levando-se em conta essas informac¸o˜es, pode-se guiar o desenho da hipe´rbole usando o seguinte
recurso. Desenhamos um retaˆngulo de lados 2a e 2b. As diagonais deste retaˆngulo sera˜o as ass´ıntotas
e os pontos me´dios dos lados que medem 2b sera˜o os ve´rtices da hipe´rbole.
Figura 2.8: Hipe´rbole.
A excentricidade e´ o nu´mero definido por e =
distaˆncia focal
distaˆncia entre os ve´rtices
=
c
a
.
Note que e > 1. Esse nu´mero “mede” quanto a hipe´rbole esta´ mais “fechada” ou mais “aberta”.4
Quando a excentricidade e´ pequena (isto e´, e e´ perto de 1), a hipe´rbole esta´ mais fechada. Caso e
esteja longe de 1, a hipe´rbole e´ mais aberta.
2.5.1 Equac¸o˜es de hipe´rboles com eixos de simetria paralelos aos eixos cartesianos.
Vamos deduzir a equac¸a˜o da hipe´rbole desenhada no plano cartesiano de modo que seu centro esteja
na origem do sistema cartesiano e que seus eixos coincidam com os eixos x e y.
Inicialmente vamos considerar que o eixo real repouse sobre o eixo x. Neste caso, as coordenadas dos
focos sera˜o (c, 0) e (−c, 0). Enta˜o temos
|
√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2 | = 2a ,
de onde se conclui que
x2
a2
− y
2
b2
= 1 .
4 Dizer que a hipe´rbole esta´ mais fechada ou mais aberta e´, de novo, uma condic¸a˜o mais psicolo´gica do que matema´tica.
30
Quando o eixo real repousa sobre o eixo y e o centro da hipe´rbole ainda esta´ na origem, a fo´rmula
acima sofre uma pequena adaptac¸a˜o, tornando-se
−x
2
b2
+
y2
a2
= 1 .
Finalmente, no caso do centro da hipe´rbole estar fora da origem em (x0, y0), enta˜o acontece aqui o
mesmo que aconteceu com as equac¸o˜es das elipse: os termos x2 e y2 que aparecem nas equac¸o˜es devem
ser substituidos pelos binoˆmios quadra´ticos (x− x0)2 e (y − y0)2.
Figura 2.9: Hipe´rboles com centro na origem
do sistema cartesiano.
Figura 2.10: Translac¸a˜o dos eixos de uma
hipe´rbole.
2.5.2 Equac¸a˜o de uma hipe´rbole com eixos de simetria “inclinados” em relac¸a˜o
aos eixos cartesianos.
Apenas por curiosidade, eis abaixo uma equac¸a˜o que descreve uma hipe´rbole com centro na origem
e com eixos de simetria “inclinados”. Dito mais exatamente, trata-se da hipe´rbole cujos focos esta˜o
sobre a reta y = mx:
(x+my)2
a2
− (y −mx)
2
b2
= 1 +m2 .
2.5.3 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Para cada equac¸a˜o de hipe´rbole dada abaixo, identifique os eixos real e imagina´rio,
calcule a distaˆncia focal, calcule a excentricidade, esboce a figura no plano cartesiano e marque os
focos.
1 a)
x2
4
− y
2
16
= 1 1 b) −x
2
4
+
y2
25
= 1 1 c)
(x− 1)2
9
− (y + 2)2 = 1
1 d) −4(x+ 1)2 + y2 = 1 1 e) x2 − y2 = 1
31
2.6 Para´bolas.
Figura 2.11: Para´bola.
Elementos. Fixe um ponto e uma reta no plano.
Os pontos que distam igualmente do ponto fixo e da
reta fixa formam uma curva chamada para´bola. Este
ponto fixo e´ chamado de foco enquanto que a reta fixa e´
chamada de diretriz. A para´bola e´ sime´trica em relac¸a˜o
a uma reta perpendicular a diretriz e passando pelo
foco. Esta reta e´ chamada de eixo. A intersec¸a˜o do
eixo de simetria com a pro´pria para´bola acontece num
ponto chamado de ve´rtice. Note que a figura de uma
para´bola tem uma “abertura” (o nome correto disso e´
concavidade) que aparece “de costas” para a reta dire-
triz e contendo o foco.
Denotemos por V o ve´rtice da para´bola, F o seu foco, r a sua diretriz e P um ponto qualquer do seu
per´ımetro. A definic¸a˜o da para´bola como lugar geome´trico pode ser (re)escrita como
dP,F = dP,r .
2.6.1 Equac¸o˜es de para´bolas com eixo de simetria paralelo a um dos eixos carte-
sianos.
Vamos deduzir a equac¸a˜o da para´bola desenhada no plano cartesiano de modo que seu ve´rtice esteja
na origem do sistema cartesiano e que seu eixo coincida com um dos dois eixos x ou y.
Inicialmente vamos considerar que o eixo da para´bola repouse sobre o eixo x e que as coordenadas do
foco sejam (p, 0). Note que nesse caso, a concavidade da para´bola esta´ voltada para a esquerda ou
para a direita. O nu´mero real p e´ chamado de paraˆmetro da para´bola. Vamos supor a princ´ıpio que
p > 0. Neste caso, a reta diretriz sera´ dada por x = −p. Enta˜o temos√
(x− p)2 + y2 = | x+ p | ,
de onde se conclui que
y2 = 4px .
Algumas considerac¸o˜es sobre o paraˆmetro. Para comec¸ar, o sinal de p determina o sentido para o
qual esta´ voltada a concavidade da para´bola. Quanto ao valor absoluto | p |, esse nu´mero “mede a
abertura” dessa concavidade, isto e´, quanto a para´bola esta´ mais “fechada” ou mais “aberta”. Se
duas para´bolas teˆm o mesmo ve´rtice, as concavidades voltadas para a mesma direc¸a˜o, mas paraˆmetros
diferentes, o maior paraˆmetro (em mo´dulo) da´ uma figura mais fechada, enquanto o menor paraˆmetro
(em mo´dulo) da´ uma figura mais aberta.
32
Quando o eixo de simetria da para´bola esta´ suportado no eixo y e o seu ve´rtice ainda esta´ na origem, a
fo´rmula acima sofre uma pequena adaptac¸a˜o. Note que nesse caso a concavidade da figura fica voltada
para cima ou para baixo. Eis a equac¸a˜o:
x2 = 4py .
Ha´ ainda o caso em que o ve´rtice da para´bola encontra-se fora da origem do sistema cartesiano, no
ponto (x0 , y0 ). Como das vezes anteriores, o efeito dessa translac¸a˜o do eixo da figura na sua equac¸a˜o
e´ que os termos y2 e x (ou x2 e y, conforme o caso) devem ser substituidos pelos binoˆmios (y− y0)2 e
(x− x0) (ou (x− x0)2 e (y − y0), conforme o caso).
Figura 2.12: Para´bolas com ve´rtice na origem
do sistema cartesiano.
Figura 2.13: Translac¸a˜o dos eixos de uma
para´bola.
2.6.2 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Para cada equac¸a˜o de para´bola dada abaixo, identifique o eixo de simetria, o sentido
da concavidade, a reta diretriz, esboce a figura no plano cartesiano e marque o foco.
1 a) (y−2)2 = x+1 1 b) (x−1)2 = −y+1 1 c) x2 = 4y+4 1 d) (y−1)2+3x = 3
2.7 Formula´rio completo de coˆnicas.
Um formula´rio completo de coˆnicas, com centro na˜o necessariamente na origem do sistema cartesiano.
1) Circunfereˆncia com centro em (x0, y0) e raio r: (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2.
2) Elipse com centro em (x0, y0), semi-eixo maior a e semi-eixo menor b.
2 a) O eixo maior e´ paralelo ao eixo x:
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1.
2 b) O eixo maior e´ paralelo ao eixo y:
(x− x0)2
b2
+
(y − y0)2
a2
= 1.
33
3) Hipe´rbole com centro em (x0, y0), semi-eixo real a e semi-eixo imagina´rio b.
3 a) O eixo focal e´ paralelo ao eixo x:
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
= 1.
3 b) O eixo focal e´ paralelo ao eixo y: −(x− x0)
2
b2
+
(y − y0)2
a2
= 1.
4) Para´bola com ve´rticeem (x0, y0) e distancia do vertice ao foco |p|.
4 a) Eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade para direita: (y − y0)2 = 4p(x− x0) ; p > 0.
4 b) Eixo de simetria paralelo ao eixo x e concavidade para esquerda: (y − y0)2 = 4p(x− x0) ; p < 0.
4 c) Eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade para cima: (x− x0)2 = 4p(y − y0) ; p > 0.
4 d) Eixo de simetria paralelo ao eixo y e concavidade para baixo: (x− x0)2 = 4p(y − y0) ; p < 0.
2.8 Equac¸a˜o geral do segundo grau a` duas varia´veis.
Observando as equac¸o˜es da circunfereˆncia, elipse, hipe´rbole ou para´bola, vemos que todas elas se
encaixam numa equac¸a˜o mais geral de segundo grau a duas varia´veis dada por
Ax2 +By2 + Cxy +Dx+ Ey + F = 0 .
De fato, uma equac¸a˜o como a acima sempre representa uma figura de circunfereˆncia, elipse, hipe´rbole
ou para´bola (essas sa˜o chamadas de coˆnicas regulares), ou ainda as figuras de um ponto isolado, um par
de retas, uma “reta dupla” ou o conjunto vazio (essas figuras sa˜o chamadas de coˆnicas degeneradas).
2.8.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio. Use atenciosamente o me´todo do completamento de quadrados para identificar as figuras
correspondentes a`s equac¸o˜es abaixo. Esboce o gra´fico de cada uma delas no plano cartesiano.
1) x2 + 4y2 − 2x− 24y + 33 = 0 2) −4x2 + y2 − 16x− 2y − 19 = 0
3) 3x2 + 2y2 − 6x− 12y + 21 = 0 4) y2 − 3x− 4y + 1 = 0
5) x2 + y2 − 4x− 5 = 0 6) x2 + 6x− 9y2 = 0
7) x2 + y2 − 2x− 2y = 0 8) 9x2 + 4y2 − 16y − 20 = 0
9) x2 + y2 − 8x− 2y + 18 = 0 10) x2 + 6x+ 2y + 5 = 0
11) x2 − y2 = 0
34
Figura 2.14: A hipe´rbole y = 1x .
Uma observac¸a˜o sobre o termo misto “Cxy”: Quando
esse termo aparece numa equac¸a˜o, isso indica que a
coˆnica tem seus eixos de simetria na˜o paralelos aos eixos
cartesianos. Essas equac¸o˜es na˜o sera˜o objetos deste
curso ba´sico de geometria anal´ıtica
Exemplo u´nico: A hipe´rbole xy = 1 que aparece nos
cursos de pre´-ca´lculo.
2.8.2 Um pareˆntesis no curso de geometria anal´ıtica: a fo´rmula que resolve a
equac¸a˜o quadra´tica.
Dada a func¸a˜o quadra´tica y = ax2 + bx + c, com a 6= 0, pode-se deduzir as famosas fo´rmulas abaixo
usando o me´todo do completamento de quadrado.
Os ve´rtice da para´bola sa˜o xV = − b2a e y = −
∆
4a
. Os zeros da func¸a˜o x =
−b±√b2 − 4ac
2a
.
2.9 Inequac¸o˜es e regio˜es no plano.
As inequac¸o˜es (tambe´m chamadas de desigualdades) envolvendo os sinais >, ≥, < ou ≤, e as varia´veis
x e y representam regio˜es do plano. As fronteiras dessas regio˜es sa˜o as curvas cujas equac¸o˜es corre-
spondem a`s inequac¸o˜es dadas substituindo os sinais >, ≥, < ou ≤ por =. Quando as inequac¸o˜es forem
com sinais ≥ ou ≤ enta˜o a curva da fronteira faz parte da regia˜o. Quando os sinais forem > ou <
enta˜o a curva da fronteira na˜o faz parte da regia˜o.
2.9.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio. Esboce as regio˜es planas descritas abaixo.
1) x+ y ≥ 1 2) x2 + y2 − 4x− 5 ≥ 0 3) x+ y2 < 1
4)
y2
4
− x
2
25
< 1 5)
x2
16
+
y2
9
< 1 6) |y| < 2
7)
{
y − x ≤ 1
x+ y ≥ 3
8)
{
x2 + y2 < 4
x+ y > 2
9)
{
4x2 + y2 ≥ 1
y ≤ x
10)
{
y + 2x2 ≤ 3
x2 + (y − 3)2 ≤ 9
11)
{
−x < y < x
x2 + y2 < 1
12) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4
35
Cap´ıtulo 3
Vetores no plano.
Vetores. Vetores no R2. Mo´dulo. Operac¸o˜es elementares. Paralelismo entre vetores.
3.1 Vetores.
O termo vetor e´ usado por cientistas para indicar uma grandeza que tenha treˆs informac¸o˜es: magnitude
(que tambe´m e´ chamado de mo´dulo), direc¸a˜o e sentido. Os exemplos cla´ssicos de vetores em f´ısica sa˜o
distaˆncia, velocidade, forc¸a.
Um vetor e´ as vezes representado por uma seta. O comprimento da seta da´ o seu mo´dulo. A reta
suporte da seta da´ a direc¸a˜o, enquanto que a ponta da seta indica o sentido.
Para um pequeno exerc´ıcio visual preliminar, observe os diversos pares de vetores dados na figura
acima e compare-os no que diz respeito aos seus mo´dulos, direc¸o˜es e sentidos.
36
3.2 Vetores no R2.
Para um tratamento alge´brico de vetores, utilizamos os pares ordenados no plano cartesiano. Assim,
o vetor −→v = (a, b) e´ aquele cuja representac¸a˜o e´ uma seta que parte da origem e cuja ponta esta´ na
posic¸a˜o (a, b).
Dados dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB) no plano, o vetor cujo in´ıcio esta´ na posic¸a˜o A e o
final na posic¸a˜o B e´ indicado por
−−→
AB e e´ dado por
−−→
AB = (xB − xA , yB − yA ) .
Por causa dessa interpretac¸a˜o dos pontos do plano como vetores, esse plano as vezes e´ chamado de
espac¸o vetorial de dimensa˜o 2. Uma observac¸a˜o e´ que no contexto do estudo de vetores, os nu´meros
reais geralmente sa˜o chamados de grandezas escalares.
Figura 3.1: Vetor no plano cartesiano. Figura 3.2: Vetor de um ponto a outro.
3.3 Mo´dulo & operac¸o˜es elementares.
O mo´dulo do vetor −→v = (a, b) e´ dado pela fo´rmula |−→v | = √a2 + b2 .
Quanto a`s operac¸o˜es elementares entre vetores, elas sa˜o as operac¸o˜es aritme´ticas executadas coorde-
nada por coordenada. Assim sendo, dados os vetores −→u = (a, b) e −→v = (p, q), e o nu´mero m ∈ R,
temos as treˆs seguintes operac¸o˜es:
a) Adic¸a˜o: −→u +−→v = ( a+ p , b+ q ).
b) Subtrac¸a˜o: −→u −−→v = ( a− p , b− q ).
c) Produto por escalar: m · −→u = (m · a , m · b ).
As interpretac¸o˜es geome´tricas das operac¸o˜es elementares entre vetores podem ser conferidas na figura
a seguir.
37
Figura 3.3: Interpretac¸o˜es geome´tricas das operac¸o˜es elementares.
3.3.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Dados −→u = ( 2 , 1 ), −→v = ( 3 , 5 ) e −→w = ( 0 , −1 ), calcule os vetores a seguir.
1 a) −→u +−→v 1 b) −→u −−→v 1 c) −→u +−→v +−→w 1 d) 3−→u
1 e) −2−→w 1 f) 2−→u − 3−→w 1 g) 12(−→u − 2−→v + 5−→w )
Exerc´ıcio 1 (continuac¸a˜o). Desenhe os vetores −→u , −→v , −→w e mais os vetores obtidos nos exerc´ıcios
(1a), (1b), (1c), (1d) e (1e).
Exerc´ıcio 2. Determinar os nu´meros reais a e b tais que −→w = a−→u + b−→v , onde −→u = ( 1 , −2 ),
−→v = ( 2 , 0 ) e −→w = (−4 , −4 ).
Exerc´ıcio 3. Dados os pontos A = (−3 , 4 ), B = ( 1 , 5 ), C = (−1 , 0 ) e D = ( 0 , −5 ), calcule o
vetor −→v tal que −−→BC = 2(−→v +−−→AD) + 3−→AC.
3.4 Paralelismo entre vetores.
Dois vetores sa˜o paralelos quando tem a mesma direc¸a˜o; e isso na˜o depende de seus mo´dulos ou de
seus sentidos. Assim sendo dois vetores sa˜o paralelos quando diferem entre si pelo produto por um
escalar (um nu´mero) real na˜o nulo qualquer. Dito mais claramente, em termos alge´bricos, dois vetores
sa˜o paralelos quando suas coordenadas sa˜o proporcionais entre si.
38
3.4.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Dados o ponto P = (−1 , −2 ) e o vetor −→v = ( 3 , −4 ), determine o ponto Q no eixo
das ordenadas tal que
−−→
PQ seja paralelo a −→v .
Exerc´ıcio 2. Qual e´ o mo´dulo do vetor −→v = ( 8 , −6 )? Qual e´ o vetor paralelo a −→v que tem mo´dulo
igual a 5 e sentido contra´rio a −→v ?
39
Cap´ıtulo 4
Geometria no espac¸o cartesiano:
pontos.
Coordenadas cartesianas de um ponto no espac¸o. Distaˆncia entre dois pontos no espac¸o. Ponto me´dio
de um segmento.
4.1 Coordenadas cartesianas de um ponto no espac¸o.
Os pontos do espac¸o podem ser identificados por uma tripla ordenada de nu´meros reais.
Figura 4.1: O espac¸o cartesiano R3.
No espac¸o fixamos treˆs eixos perpen-
diculares dois a dois intersectando-se
num mesmo ponto chamado de origem.
Usualmente chamamos essas retas de
eixo x (abscissa), eixo y (ordenada) e eixo
z (cota).
O espac¸o munido dos treˆs eixos ortogo-
nais e´ chamado de espac¸o cartesiano e as
coordenadas de um ponto nesse espac¸o
sa˜o chamados de coordenadas retangu-
lares.
R3 = {( a , b , c ) ; a , b , c ∈ R}
Fixados os eixos x e y, a direc¸a˜o e o sentido do eixo z e´ dada pela regra da ma˜o direita (Esta regra e´descrita na lic¸a˜o “Produto vetorial”, no pro´ximo cap´ıtulo).
40
4.2 Distaˆncia entre dois pontos no espac¸o.
Dados os pontos A = (xA , yA , zA ) e B = (xB , yB , zB ), a distaˆncia entre eles pode ser calculada
aplicando o Teorema de Pita´goras duas vezes, para obter a seguinte fo´rmula:
dAB =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 .
4.3 Ponto me´dio de um segmento.
Lembramos que ponto me´dio de um segmento e´ o ponto que o divide em duas partes de comprimento
iguais. Dado um segmento com extremidades nos pontos A = (xA , yA , zA ) e B = (xB , yB , zB ), as
coordenadas do ponto me´dio sera˜o a me´dia aritme´tica simples das coordenadas das suas extremidades,
isto e´,
M =
(
xA + xB
2
,
yA + yB
2
,
zA + zB
2
)
.
41
Cap´ıtulo 5
Vetores no espac¸o.
Vetores no R3. Mo´dulo & operac¸o˜es elementares. Vetores canoˆnicos. Vetores unita´rios. Produto
escalar. Aˆngulo entre vetores. Crite´rio de perpendicularidade. Projec¸a˜o ortogonal. Observac¸o˜es sobre
o produto escalar no plano cartesiano. Produto vetorial. Produto vetorial em coordenadas. A´rea de
um paralelograno. Produto misto. Interpretac¸a˜o geome´trica do produto misto.
5.1 Vetores no R3.
Um vetor no espac¸o e´ uma tripla ordenada de nu´meros −→v = ( a , b , c). A representac¸a˜o desse vetor
se da´ na seta cujo in´ıcio esta´ na origem do sistema cartesiano e a ponta esta´ na posic¸a˜o (a, b, c).
Dados dois pontos A = (xA , yA , zA ) e B = (xB , yB , zB ) no espac¸o, o vetor cujo in´ıcio esta´ em A
e o final em B e´ indicado por
−−→
AB e e´ dado por
−−→
AB = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ) .
Por causa dessa interpretac¸a˜o dos pontos do espac¸o como vetores, esse espac¸o cartesiano as vezes e´
chamado de espac¸o vetorial de dimensa˜o 3.
5.2 Mo´dulo & operac¸o˜es elementares.
O mo´dulo do vetor −→v = ( a , b , c ) e´ dado pela fo´rmula |−→v | = √a2 + b2 + c2.
Dados os vetores −→u = (a, b, c) e −→v = (p, q, r), e o nu´mero m ∈ R, temos as treˆs seguintes operac¸o˜es:
a) Adic¸a˜o: −→u +−→v = ( a+ p , b+ q , c+ r ).
b) Subtrac¸a˜o: −→u −−→v = ( a− p , b− q , c− r ).
c) Produto por escalar: m · −→u = (m · a , m · b , m · c ).
42
5.3 Vetores canoˆnicos e vetores unita´rios.
Os vetores de mo´dulo 1 que tem as direc¸o˜es dos eixos
cartesianos e os sentidos positivos desses eixos sa˜o chama-
dos de vetores canoˆnicos. Esses vetores sa˜o representados
pelas letras
−→
i ,
−→
j e
−→
k . Dito mais claramente:
−→
i = (1, 0, 0) ,
−→
j = (0, 1, 0) e
−→
k = (0, 0, 1) .
Todo vetor −→v = ( a , b , c ) pode ser escrito como soma de
mu´ltiplos de vetores canoˆnicos da seguinte forma
−→v = a−→i + b−→j + c−→k . Figura 5.1: Vetores canoˆnicos em R3.
Um vetor unita´rio (as vezes tambe´m chamado de versor) e´ qualquer vetor que tenha mo´dulo 1. Por
exemplo, os vetores canoˆnicos sa˜o unita´rios. De modo geral, se −→v 6= (0, 0, 0), podemos obter um vetor
unita´rio −→u que tenha a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido de −→v calculando −→u =
−→v
|−→v | .
5.3.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Dados os vetores −→u = ( 4 , 0 , 3 ) e −→v = (−2 , 1 , 5 ), calcule |−→u |, |−→v |, −→u +−→v , −→u −−→v ,
3−→v , 2−→u + 5−→v e |−→u + 2−→v |.
Exerc´ıcio 2. Determinar a extremidade do segmento que suporta o vetor −→v = ( 2 , −5 , 1 ) sabendo
que sua origem e´ o ponto A = (−1 , 3 , −4 ).
Exerc´ıcio 3. Calcule a e b de modo que os vetores (−4 , a , −3 ) e ( 6 , 1 , b ) sejam paralelos.
Exerc´ıcio 4. Qual e´ o comprimento do vetor 2
−→
i −−→j − 2−→k ?
Exerc´ıcio 5. Qual e´ o vetor unita´rio na mesma direc¸a˜o e sentido de ( 1 , −2 , 2 ) ?
Exerc´ıcio 6. Qual e´ o vetor unita´rio na mesma direc¸a˜o de −3−→i +3−→j −−→k , mas de sentido oposto ?
Exerc´ıcio 7. Verifique se os pontos A = (−1 , −5 , 0 ), B = ( 2 , 1 , 3 ) e C = (−2 , −7 , −1 ) sa˜o
colineares.
Exerc´ıcio 8. Mostre que os pontos A = ( 1 , −1 , 0 ), B = ( 2 , 4 , −3 ), C = (−5 , 7 , 9 ) e D =
(−4 , 12 , 6 ) sa˜o ve´rtices de um paralelogramo.
43
5.4 Produto escalar.
O produto escalar e´ um produto entre dois vetores cujo resultado e´ um nu´mero real. Sua definic¸a˜o e´
a seguinte: sendo dados −→u = ( a , b , c ) e −→v = ( p , q , r ) enta˜o
−→u · −→v = ap+ bq + cr .
5.4.1 Exerc´ıcio para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Sejam −→u = ( 1 , −2 , 1 ) e −→v = −3−→i + 3−→j −−→k . Calcule o que se pede.
1 a) −→u · −→v 1 b) −→u · −→u 3 c) −→v · −→v 3 d) −→u · −→i .
1 e) −→v · −→j 1 f) (2−→u ) · −→v 3 g) −→u · −→k 3 h) −→i · (−→u − 3−→v ) .
5.4.2 Algumas propriedades do produto escalar.
a) O produto escalar e´ comutativo, isto e´, −→u · −→v = −→v · −→u .
b) Para qualquer vetor vale que −→v · −→v ≥ 0. Mais do que isso, −→v · −→v = |v|2.
c) O produto escalar de um vetor qualquer por algum dos vetores canoˆnicos, da´ como resposta a
coordenada correspondente a esse vetor canoˆnico.
d) Propriedade distributiva: −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w .
e) “Quadrado da soma”: (−→u +−→v ) · (−→u +−→v ) = |−→u |2 + 2−→u · −→v + |−→v |2.
5.5 Aˆngulo entre vetores.
A interpretac¸a˜o geome´trica do produto escalar e´ a
seguinte. Se −→u e −→v sa˜o dois vetores na˜o nulos (isto e´
diferentes de (0, 0, 0)) enta˜o o aˆngulo θ formado pelos dois
vetores (com 0 < θ < 180◦) e´ dado pela fo´rmula
cos θ =
−→u · −→v
|−→u | · |−→v | . Figura 5.2: Aˆngulo entre vetores.
5.5.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Qual e´ o aˆngulo entre os vetores −→u = −→i +−→j +−→k e −→v = 2−→i +−→j + 3−→k ?
Exerc´ıcio 2. Qual e´ o aˆngulo entre os vetores −→u = ( 2 , 2 , −1 ) e −→v = (−4 , −3 , 2 ) ?
44
5.5.2 Recordar e´ viver... Lei dos cossenos.
Esta sec¸a˜o e´ um pareˆntesis no curso de geometria anal´ıtica e um breve retorno a` geometria plana
cla´ssica.
Figura 5.3: Lei dos Cossenos.
Num triaˆngulo qualquer com lados a, b e c e com
aˆngulo θ no ve´rtice oposto ao lado a, vale a fo´rmula
a2 = b2 + c2 − 2 b c cos θ .
Apo´s demonstrar a fo´rmula da “lei dos cossenos”,
podemos utiliza´-la para justificar a interpretac¸a˜o
geome´trica do produto escalar.
5.5.3 O aˆngulo entre dois vetores so´ depende da direc¸a˜o e do sentido deles.
Dois vetores que mante´m a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido, diferem apenas pelo produto por um
escalar (um nu´mero) real positivo. Se α e β sa˜o dois nu´meros reais positivos, e´ fa´cil ver que o aˆngulo
entre os vetores −→u e −→v e´ o mesmo que o aˆngulo entre α−→u e β−→v .
5.6 Crite´rio de perpendicularidade.
Dois vetores u e v sa˜o perpendiculares entre si quando o aˆngulo entre eles e´ o aˆngulo reto, ou seja,
quando o cosseno desse aˆngulo e´ zero. Assim, dois vetores −→u e −→v sa˜o perpendiculares entre si se e
somente se −→u · −→v = 0.
5.6.1 Observac¸o˜es sobre o produto escalar no plano cartesiano.
Dados dois vetores −→u = ( a , b ) e −→v = ( p , q ) em R2, podemos definir o produto escalar como
−→u · −→v = ap+ bq .
No plano cartesiano ainda vale a fo´rmula cos θ =
−→u · −→v
|−→u | · |−→v | .
Tambe´m continua valendo o crite´rio de perpendicularidade: os vetores −→u e −→v sa˜o ortogonais entre si
se e somente se −→u ·−→v = 0. Em particular, dado um vetor ( a , b ) pode-se obter um vetor perpendicular
a este tomando (−b , a ).
45
5.6.2 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Verifique se os vetores −→u = 2−→i + 2−→j −−→k e −→v = 5−→i − 4−→j + 2−→k sa˜o perpendiculares
entre si ou na˜o.
Exerc´ıcio 2. Determine o valor de m ∈ R para que os vetores −→u = m−→i + −→j + (m − 1)−→k e
−→v = 2−→i +m−→j − 6−→k sejam ortogonais entre si.
Exerc´ıcio 3. Dado o vetor −→u = 2−→i −−→j +−→k , escreva um vetor que lhe seja perpendicular, um outro
que lhe seja paralelo e um terceiro que na˜o lhe seja nem perpendicular e nem paralelo.
Exerc´ıcio 4. Identifique o ve´rtice onde esta´ o aˆngulo reto no triaˆngulo retaˆngulo dado pelos pontos
( 10 , 3, 5 ), (−2 , 2 , 1 ) e ( 1 , −3 , 4 ).
Exerc´ıcio 5. Considere no plano cartesiano os pontos A = ( 5 , −4 ) e B = ( 9 , −1 ), ve´rtices conse-
cutivos de um quadrado. Determine os outro dois ve´rtices.
5.7 Produto vetorial.
Figura 5.4: Produto vetorial.
O produto vetorial e´ uma multiplicac¸a˜o entre dois vetores cujo re-
sultado da´ um terceiro vetor. Escrevemos o produto vetorial de −→u
por −→v como −→u ×−→v . O vetor −→u ×−→v e´ simultaneamente ortogonal
aos dois vetores −→u e −→v . Seu sentido e´ dado pela regra da ma˜o dire-
ita. Esta regra da ma˜o direita e´ uma convenc¸a˜o que funciona assim:
ponha a ma˜o direita aberta sobre o vetor −→u de modo que ao fecha´-la
os dedos estejam indo ao encontro de −→v . Enta˜o o vetor
−→u ×−→v tem o sentido que aponta o dedo polegar esticado.
Joinha!
O produto vetorial na˜o e´ comutativo, isto e´, −→u ×−→v 6= −→v ×−→u . Para ser mais exato, esses dois vetores
diferem entre si pelo sentido, ou seja, −→u ×−→v = −−→v ×−→u .
Entre os vetores canoˆnicos vale
−→
i ×−→j = −→k , −→j ×−→k = −→i e −→k ×−→i = −→j .
5.8 Produto vetorial em coordenadas.
Dados os vetores −→u = ( a , b , c ) e −→v = ( p , q , r ) define-se −→u ×−→v = det

−→
i
−→
j
−→
k
a b c
p q r
 , isto e´,
−→u ×−→v = ( br − cq , cp− ar , aq − bp ) .
46
Observamos que o produto vetorial e´ exclusivo apenas para os vetores do R3 e na˜o tem correspondente
no plano R2.
5.8.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Dados os vetores −→u = ( 1 , 2 , 3 ) e −→v = ( 2 , 7 , −5 ), fac¸a o que se pede.
1 a) Calcule −→u ×−→v ; 1 b) Calcule −→v ×−→u e verifique que difere do anterior pelo sinal ;
1 c) Verifique que realmente o vetor −→u ×−→v e´ simultaneamente perpendicular aos vetores −→u e −→v .
Exerc´ıcio 2. Obtenha um vetor perpendicular ao plano determinado pelos pontos P = ( 1 , 4 , 6 ),
Q = (−2 , 5 , −1 ) e R = ( 1 , −1 , 1 ).
5.9 A´rea de um paralelograno.
A interpretac¸a˜o geome´trica do produto vetorial e´ a seguinte. Se −→u e −→v sa˜o dois vetores na˜o nulos (isto
e´ diferentes de (0, 0, 0)) enta˜o o mo´dulo do produto vetorial −→u ×−→v fornece a a´rea do paralelogramo
cujos lados sa˜o −→u e −→v .
5.9.1 Algumas fo´rmulas.
Para chegar a essa conclusa˜o, veremos uma sequeˆncia de
fo´rmulas:
a) Uma fo´rmula que “mistura” produto escalar com pro-
duto vetorial:
|−→u ×−→v |2 + (−→u · −→v )2 = |−→u |2 · |−→v |2 .
b) Duas fo´rmulas diferentes, uma para cada produto (es-
calar e vetorial), mas parecidas:
cos θ =
−→u · −→v
|−→u | · |−→v | e sen θ =
|−→u ×−→v |
|−→u | · |−→v | .
c) Por fim a a´rea: A´rea = |−→u ×−→v |. Figura 5.5: Aˆngulo entre vetores.
5.9.2 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Calcule a a´rea do paralelogramo cujos lados sa˜o os vetores ( 1 , 0 , −1 ) e (−3 , 5 , 1 ).
Exerc´ıcio 2. Qual e´ a a´rea do triaˆngulo dado pelos pontos ( 1 , 4 , 6 ), (−2 , 5 , −1 ) e ( 1 , −1 , 1 ) ?
47
Cap´ıtulo 6
Geometria no espac¸o cartesiano: retas
e planos.
Equac¸o˜es da reta no espac¸o. Retas em posic¸o˜es especiais. Equac¸a˜o do plano. Planos em posic¸o˜es
especiais. Posic¸o˜es relativas entre duas retas no espac¸o. Posic¸o˜es relativas entre dois planos. Posic¸o˜es
relativas entre uma reta e um plano. Mais exerc´ıcios. Distaˆncia entre dois pontos (de novo). Distaˆncia
entre um ponto e um plano. Distaˆncia entre um ponto e uma reta. Distaˆncia entre figuras paralelas.
Distaˆncia entre retas reversas.
6.1 Equac¸o˜es da reta no espac¸o.
Lembramos que em R2, uma das maneiras de se conhecer uma reta era saber previamente sua inclinac¸a˜o
e um de seus pontos. Semelhantemente em R3, uma reta r e´ bem determinada ao se conhecer um
ponto P = (x0 , y0 , z0 ) ∈ r e a sua direc¸a˜o. Essa direc¸a˜o e´ dada por um vetor −→v = ( a , b , c )
chamado de vetor diretor da reta.
A equac¸a˜o vetorial da reta e´ dada por r = P + t−→v ; t ∈ R.
Figura 6.1: Equac¸a˜o vetorial da reta no espac¸o.
Cada paraˆmetro t ∈ R da´ a posic¸a˜o de um ponto da reta r. O paraˆmetro t = 0 corresponde ao ponto
P = (x0 , y0 , z0 ) conhecido inicialmente. Para os paraˆmetros t > 0 temos os pontos da reta a partir
de P “pra frente”, isto e´, seguindo o sentido do vetor diretor −→v . Para os paraˆmetros t < 0 temos os
pontos a partir de P “pra tra´s”, isto e´, seguindo no sentido oposto ao do vetor −→v .
48
Ale´m da equac¸a˜o vetorial, ha´ outros dois modos de escrever a equac¸a˜o de uma reta. Ao calcular os
seus pontos por coordenadas, escrevemos r = (x , y , z ). Temos enta˜o as equac¸o˜es parame´tricas dadas
por
r :

x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
.
O outro modo de representar a reta e´ eliminando o paraˆmetro t nas treˆs equac¸o˜es acima. Se nem a,
nem b e nem c sa˜o zeros, enta˜o temos as equac¸o˜es sime´tricas dadas por
r :
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
.
6.1.1 Exerc´ıcios para sala de aula.
Exerc´ıcio 1. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas e as sime´tricas da reta r passando pelo ponto P =
(5, 1, 3) e paralela ao vetor
−→
i + 4
−→
j − 2−→k . Calcule dois outros pontos quaisquer nessa reta, um de
cada lado do ponto P .
Exerc´ıcio 2. Calcule as equac¸o˜es parame´tricas e sime´tricas da reta determinada pelos pontos A =
( 2 , 4 , −3 ) e B = ( 3 , −1 , 1 ). Em que pontos essa reta “fura” cada um dos planos coordenados?
6.2 Retas em posic¸o˜es especiais.
Quando uma ou duas das coordenadas do vetor diretor e´ zero enta˜o a reta que tem a direc¸a˜o desse
vetor sera´ paralela a um dos eixos ou um dos planos coordenados. Dizemos que essa reta esta´ em
uma posic¸a˜o especial. As equac¸o˜es parame´tricas podem ser escritas sem restric¸a˜o, mas as equac¸o˜es
sime´tricas sofrem pequenas adaptac¸o˜es. Veremos a seguir os seis casos de reta em posic¸a˜o espacial.
Caso 1. −→v = ( a , b , 0 ) com
a 6= 0 e b 6= 0.
A reta e´ paralela ao plano xy.
r :

x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0
r :
x− x0
a
=
y − y0
b
; z = z0
Caso 2. −→v = ( a , 0 , c ) com
a 6= 0 e c 6= 0.
A reta e´ paralela ao plano xz.
r :

x = x0 + at
y = y0
z = z0 + ct
r :
x− x0
a
=
z − z0
c
; y = y0
Caso 3. −→v = ( 0 , b , c ) com
b 6= 0 e c 6= 0.
A reta e´ paralela ao plano yz.
r :

x = x0
y = y0 + bt
z = z0 + ct
r :
y − y0
b
=
z − z0
c
; x = x0
49
Caso 4. −→v = ( a , 0 , 0 ) com
a 6= 0.
Na˜o ha´ equac¸o˜es sime´tricas.
O vetor diretor tem a mesma
direc¸a˜o do vetor canoˆnico
−→
i .
A reta e´ paralela ao eixo x.
r :

x = x0 + at
y = y0
z = z0
Caso 5. −→v = ( 0 , b , 0 ) com
b 6= 0.
Na˜o ha´ equac¸o˜es sime´tricas.
O vetor diretor tem a mesma
direc¸a˜o do vetor canoˆnico
−→
j .
A reta e´ paralela ao eixo y.
r :

x = x0
y = y0 + bt
z = z0
Caso 6. −→v = ( 0 , 0 , c ) com
c 6= 0.
Na˜o ha´ equac¸o˜es sime´tricas.
O vetor diretor tem a mesma
direc¸a˜o do vetor canoˆnico
−→
k .
A reta e´ paralela ao eixo z.
r :

x = x0
y = y0
z = z0 + ct
6.3 Equac¸a˜o do plano.
Figura 6.2: Um plano e seu vetor normal.
Toda equac¸a˜o da forma ax + by + cz + d = 0 com
a, b, c e d ∈ R representa um plano espac¸o. Para
determinar um plano α no espac¸o precisamos con-
hecer um ponto pelo qual ele passa e um vetor que
lhe seja ortogonal. Esse vetor e´ chamado de vetor
normal do plano e eventualmente representado pela
letra −→n .
Note bem que a “inclinac¸a˜o” de um plano fica bem
determinada quando se conhece uma direc¸a˜o que
lhe seja perpendicular.
Em coordenadas, suponha que o ponto seja dado por P = (x0 , y0 , z0 ) ∈ α e o vetor normal seja
−→n = ( a , b , c ). Se (x , y , z ) e´ outro ponto qualquer do plano, enta˜o o vetor (x− x0 , y− y0 , z− z0 )
e´ um vetor “contido” no plano (isto e´, esta´ paralelo a uma reta contida no plano). Este vetor