F328 Física Geral 3 Resumo

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F328 – FÍSICA GERAL 3 
 
TURMA C – Prof. Dr. José Antônio Roversi 
PED: Matheus Veronez 
 
ELETRICIDADE 
CARGAS ELÉTRICAS 
 
É uma propriedade intrínseca das partículas fundamentais de que é feita a matéria. 
 
CONDUÇÃO ELÉTRICA 
Nos sólidos => explicada pela teoria de bandas. 
Confinar o movimento de elétrons a uma região limitada do espaço => elétrons ocupam estados 
discretos de energia. Elétrons => sujeitos à interação com os átomos vizinhos. 
Aproximação de átomos isolados => leve perturbação nos níveis de energia; 
Aproximação de um grande número de átomos => grande número de níveis de energia 
próximos => formação de uma "banda de energia" quase contínua. 
Dois tipos de bandas: a banda de valência (de baixa energia) e a banda de condução (de alta 
energia). Quando as bandas não coincidem, o espaço entre elas é chamado de bandgap. 
 
TIPOS DE MATERIAIS 
CONDUTORES: São materiais onde as cargas elétricas se movem com facilidade. Em geral, são 
materiais metálicos, como fios de cobre, ouro, alumínio, entre outros. Em geral essa 
condutividade elétrica se dá por conta das ligações entre os átomos do material, a chamada 
ligação metálica, que possibilita o conhecido “mar de elétrons”, ou seja, uma região onde os 
elétrons estão todos em contato e podem se mover sem enfrentar resistência alta. 
NÃO CONDUTORES: Também conhecidos como isolantes, esses materiais oferecem tal 
resistência à passagem de carga que está se passa pelo material, o faz de forma lenta. O plástico 
é um exemplo de isolante. 
SUPERCONDUTORES: São materiais que não oferecem nenhuma resistência à passagem de 
carga, daí a condutividade neles pode ser considerada perfeita e possui diversas aplicações, 
como na levitação quântica, por exemplo. 
SEMICONDUTORES: São materiais que apresentam características intermediárias entre as dos 
condutores e a dos isolantes. Dependendo da dopagem (adição de impurezas ao semicondutor 
puro), podemos fazer dois tipos de semicondutores: 
- Tipo p: (p-positivo) – As impurezas (trivalentes) entre as bandas de valência e de condução 
criam estados eletrônicos positivos na banda de valência. Esses estados atraem os elétrons e 
deixam o bandgap negativo, chamado bandgap aceitador. 
- Tipo n: (n-negativo) – As impurezas (pentovalentes) entre as bandas de valência e de condução 
criam estados eletrônicos negativos na banda de valência. Esses estados fazem os elétrons se 
afastarem do bandgap, deixando um “buraco de condução” no interior das bandas de energia. 
Em geral, semicondutores tipo n são melhores condutores que os do tipo p. 
 
Quando existe em igualdade diz-se que o objeto é eletricamente neutro. 
 
- Movimento de cargas => força entre elas 
 
- Atrativa => sinal oposto; Repulsiva => mesmo sinal 
 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒𝟏𝒒𝟐
𝒓𝟐
�̂� (lei de Coumlomb) 
 
𝒌 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
 ≅ 𝟖, 𝟗𝟗𝐱𝟏𝟎𝟗 𝐍𝐦𝟐/𝐂𝟐 , 𝜀0 = 8,85 x 10
12 C2/Nm2 
 
- A estabilidade dos materiais resulta da interação de cargas, e forças nucleares. 
 
Nome Natureza Ordem de Grandeza 
Gravitacional Matéria 10-38 
Nuclear Fraca Decaimento radioativo 10-7 
Eletromagnética Cargas 10-2 
Nuclear Forte Quarks 1 
 
TEOREMA DAS CASCAS: 
- Uma casca com distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula externa à 
casca como se toda a carga da casca estivesse situada no seu centro. 
 
- Se uma partícula condutora está no interior de uma casca com distribuição uniforme de 
cargas então a casca não exerce força na partícula. (No interior de condutores => não 
existe campo elétrico => força elétrica nula). 
 
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO: Em um sistema de cargas, a força elétrica total é a soma 
vetorial das forças das demais cargas. 
 
PROPRIEDADES DA CARGA: 
 
Quantização => quando tem um número finito de valores 
Aq =ne; n = ±1, ±2, ...; e = 1,602 x 10−19 C (carga quantizada) 
 
Conservação: a soma entre as cargas positivas e negativas de um sistema isolado se 
conserva (assim como momento e energia). Exemplos: aniquilação, produção de pares. 
CAMPO ELÉTRICO 
 
Definição: (para medir o campo elétrico em uma dada região, devemos medir a força F que age 
sobre uma carga de prova q0) 
 
�⃗� ≡ lim
𝑞0 ⟶ 0
= 
𝐹 
𝑞0
 (para que não haja interferência de q0) ⇒ 𝐹 = 
�⃗� 
𝑞0
 (campo elétrico) 
 
Linhas de força: (visualização) 
 
- A direção do campo elétrico tem a direção da tangente a cada ponto das linhas; 
- O número de linhas por unidade de área é proporcional ao módulo do campo elétrico; 
- As linhas de campo saem das cargas positivas e se aproximam das cargas negativas. 
 
 
 Dipolo elétrico Cargas +2q e –q 
 
Em uma distribuição de cargas o campo elétrico resultante obedece ao princípio da 
superposição 
 
Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico 
 
E = 
1
2𝜋𝜀0
 
𝑝 
z3
 (dipolo elétrico) 
 
I𝑝 = qd (momento dipolar elétrico) 
 
Campo elétrico produzido por uma linha de cargas 
 
 
λ = densidade linear de carga 𝑑𝑞 = λdl 
σ = densidade superficial de carga 𝑑𝑞 = σdA 
ρ = densidade volumétrica de carga 𝑑𝑞 = ρdV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E = 
𝑞𝑧
4𝜋𝜀0(𝑧2 + 𝑅2)
3
2
 (anel carregado) 
 
 
 
Campo elétrico produzido por um disco carregado e por uma placa infinita 
 
 
 
 E = 
𝜎
2𝜋𝜀0
(1 −
𝑧
√𝑧2 + 𝑅2
) (disco carregado) 
 
𝑅 → ∞ ∶ E = 
𝜎
2𝜀0
 (placa infinita) 
 
 
 
Ruptura dielétrica e centelhamento 
 
Quando o campo elétrico excede um valor crítico, 𝐸𝐶, o campo arranca elétrons do ar, tornando-
se um condutor de corrente (elétrons em movimento). Nesse movimento há colisão entre os 
elétrons e os átomos do ar, emitindo luz. Essa luz permite a visibilidade do caminho percorrido 
pelos elétrons (o qual é chamado de centelha). 
 
Força exercida por um Campo Elétrico sobre um dipolo 
 
𝜏 = 𝑝 x �⃗� (torque em um dipolo) 
 
𝑈 = −𝑝 . �⃗� (energia potencial de um dipolo) 
 
LEI DE GAUSS 
 
Superfície gaussiana: superfície fechada imaginária. 
 
 
 
Fluxo de um campo elétrico 
 
𝜙 = ∮ �⃗� 𝑑𝐴 (fluxo atrvés de uma superfície gaussiana) 
 
Linhas de campo elétrico => apontam pra fora => fluxo e carga envolvida positivos 
Linhas de campo elétrico => apontam pra dentro => fluxo e carga envolvida negativos 
 
𝜀0∮�⃗� 𝑑𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣 (Lei de Gauss) 
 
- Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se encontra na 
superfície do condutor; o interior continua neutro. E ≠ 0 => F ≠ 0 => movimento de carga 
(aparecimento de corrente) => condutores fora de circuitos não podem ter uma corrente 
perpétua passando por eles. 
 
Condutor com cavidade: tomando uma gaussiana no interior de um condutor e próxima 
à cavidade dele, como E⃗⃗ = 0, o fluxo através dessa superfície também será nulo => não 
existe carga em excesso na superfície da cavidade, toda a carga em excesso permanece 
na superfície externa do condutor. 
 
Campo elétrico externo 
 
E =
𝜎
𝜀0
 (superfície condutora) 
 
 
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO 
 
Simetria cilíndrica 
 
𝐸 = 
𝜆
2𝜋𝜀0𝑟
 (linha de cargas) 
 
Simetria planar 
 
𝐸 = 
𝜎
2𝜀0
 (placa de cargas) 
 
𝐸 = 
𝜎
𝜀0
 (duas placas condutoras) 
 
 
 
𝐸1 = {
𝜎
𝜀0
 à direita da placa
−
𝜎
𝜀0
 à esquerda da placa
 𝐸2 = {
−
𝜎
𝜀0
 à direita da placa 
𝜎
𝜀0
 à esquerda da placa
 
Aproximando as placas: 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸1 + 𝐸2 = {
2𝜎
𝜀0
 entre as placas 
0 fora das placas
 
 
 
Simetria esférica: 
 
Esfera condutoracarregada 
�⃗� (𝑟) = {
 
𝑞
4𝜋𝜀0𝑟2
�̂� (𝑟 > 𝑅)
0 (𝑟 < 𝑅)
 
 
Esfera não condutora uniformemente carregada 
�⃗� (𝑟) = {
 
𝑞
4𝜋𝜀0𝑟2
�̂� (𝑟 > 𝑅)
𝑞𝑟
4𝜋𝜀0𝑅3
�̂� (𝑟 < 𝑅)
 
 
POTENCIAL ELÉTRICO 
Definição: Energia potencial por unidade de carga. 
 
𝒱 =
𝑈
𝑞0
 
 
Superfícies equipotenciais: superfícies que tem os mesmos valores de potencial elétrico. 
 
 
Acampo uniforme carga positiva dipolo elétrico 
 
Campo Elétrico a partir do potencial 
 
𝐸𝑠 = − 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
= − ∇𝑉 . �̂� 
 
(A componente de �⃗� em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial 
com a distância naquela região – derivada direcional – e por isso, o vetor campo elétrico 
é perpendicular às superfícies equipotenciais). 
 
Diferença de potencial entre dois pontos 
 
𝒱𝑓 − 𝒱𝑖 = ∫ �⃗� (𝑟 )dl 
𝑟 𝑓
𝑟 𝑖
 
 
 
 
Diferença de potencial de um dipolo elétrico 
 
𝒱𝑓 − 𝒱𝑖 = ∫ �⃗� (𝑟 )dl 
𝑟 𝑓
𝑟 𝑖
= 
1
4𝜋𝜀0
 
𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2
= 
1
4𝜋𝜀0
 
𝜌 . 𝑟 
𝑟2
 ( |�⃗� | = 𝑞𝑑 ) 
 
 
Potencial de um condutor isolado 
�⃗� = 0 ⇒ 𝒱𝑓 − 𝒱𝑖 = ∫ �⃗� (𝑟 )dl = 0
𝑟 𝑓
𝑟 𝑖
 
(Todos os pontos internos e na superfície de um condutor estão a um mesmo potencial). 
 
Condutor esférico carregado e isolado: (carga Q e raio R) 
 
𝒱(𝑟) = 
{
 
 
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟
, 𝑟 > 𝑅 (fora)
𝑄
4𝜋𝜀0𝑅
, 𝑟 < 𝑅 (dentro)
 
 
NOTA: Podemos deduzir expressões como essa para diferentes formas de condutores, a 
partir da equação de potencial e a aplicação da lei de Gauss. 
 
 
CAPACITORES 
 
Definição: componente eletrônico composto de dois condutores isolados entre si carregados com 
carga oposta de mesmo módulo. 
 
Capacitância: medida da quantidade de carga que precisa ser armazenada para produzir certa 
diferença de potencial. Depende apenas da geometria das placas. 
 
𝐶 = 
𝑞
𝒱
 dimensionalmente [𝐹] = [
𝐶
𝑉
] 
 
Funcionamento de um capacitor 
 
 
CARGA: Ligar o capacitor em um circuito elétrico (caminho fechado por 
onde pode circular corrente elétrica) com uma bateria (dispositivo que, 
através de reações eletroquímicas, mantém uma diferença de potencial 
constante entre dois terminais + e –). 
 
- Chave S: fechada => Bateria => 𝛥𝒱𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 => E => F => movimenta os 
elétrons de condução do fio (corrente elétrica i) => os elétrons deslocam-
se da placa a do capacitor para o polo positivo da bateira (+), assim como 
os elétrons do polo negativo (–) da bateira se deslocam para a placa b do 
capacitor. 
 
- Placas carregadas => 𝛥𝒱𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 inicialmente nula, aumenta => 𝛥𝒱𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 = 𝛥𝒱𝑏𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎. 
 𝒱𝑎 = 𝒱+, 𝒱𝑏 = 𝒱− => 𝐸𝑓𝑖𝑜 = 0 => capacitor carregado. 
 
DESCARGA: 
 
- chave S aberta (circuito interrompido) => Como as placas do capacitor 
estão isoladas entre si, não há corrente elétrica entre elas. O capacitor 
passa a se comportar como uma bateria, uma vez que duas placas estão 
a mesma diferença de potencial que a bateria inicialmente estava. Ao se 
ligar um capacitor carregado em um circuito RC, as cargas armazenadas 
no capacitor são dissipadas pelos resistores. 
 
Cálculo da capacitância: 
 
- Supor que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q. 
- Calcular o campo elétrico E entre as placas 
- A partir de E, calcular 𝒱 
- Calcular a capacitância usando a relação q = C𝒱 
 
 
Capacitor plano de placas paralelas: 
 
− Lei de Gauss ⇒ 𝐸 =
𝑞
𝜀0𝐴
 
 
− Diferença de potencial ⇒ 𝒱 = 𝐸𝑑 
 
− Capacitância ⇒ 𝐶 =
𝜀0𝐴
𝑑
 
 
 
 
 
 
Capacitor cilíndrico 
 
− Lei de Gauss ⇒ 𝐸 =
𝑞
2𝜋𝜀0𝐿𝑟
 
 
− Diferença de potencial ⇒ 𝒱 =
𝑞
2𝜋𝜀0𝐿
ln (
𝑏
𝑎
) 
 
− Capacitância ⇒ 𝐶 = 2𝜋𝜀0
𝐿
ln (
𝑏
𝑎)
 
 
 
 
 
Capacitor esférico 
− Lei de Gauss ⇒ 𝐸 =
𝑞
4𝜋𝜀0𝑟2
 
 
− Diferença de potencial ⇒ 𝒱 =
𝑞
4𝜋𝜀0
𝑏 − 𝑎
𝑎𝑏
 
 
− Capacitância ⇒ 𝐶 = 4𝜋𝜀0
𝑎𝑏
𝑏 − 𝑎
 
 
 
 
 
Esfera isolada 
 
 
− 𝐶 = 4𝜋𝜀0
𝑎𝑏
𝑏 − 𝑎
 ⇒ lim
𝑏 ⟶∞
4𝜋𝜀0𝑎𝑏
1 −
𝑎
𝑏
 ⇒ 𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑎 
 
 
 
 
 
Associação de capacitores 
 
Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- A carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores: q1 = q2 = ... = qn = q 
 
- A ddp 𝒱 aplicada é igual à soma de todas as ddps. 
 
- Capacitor equivalente: mesma carga q individual, e a mesma ddp 𝒱 total. 
Paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- A ddp aplicada é a mesma entre as placas de todos os capacitores: 𝒱1= 𝒱2= ... = 𝒱𝑛 = 𝒱 
 
- A carga total armazenada nos capacitores é a soma das cargas armazenadas em cada capacitor 
 
-- Capacitor equivalente: mesma carga total q e mesma ddp 𝒱 individual dos capacitores. 
 
 
 
 
 
Energia armazenada em um campo elétrico 
 
𝑈 =
𝑞2
2𝐶
= 
1
2
𝐶𝑉2(energia potencial) 
 
Densidade de energia 
 
u =
1
2
ε0E
2 
 
Presença de um Dielétrico: 
 
Dielétrico: material isolante colocado entre as placas do capacitor para: 
 
 
- Aumentar a capacitância 
- Limitar a ddp entre as placas para um 𝒱𝑚á𝑥 (potencial de ruptura) 
- Diminuir o campo elétrico entre as placas (associado à rigidez dielétrica – tolerância ao campo 
elétrico que o material pode aguentar sem sofrer ruptura) 
 
MOTIVO: O campo elétrico entre as placas alinha os momentos dipolares dos átomos do 
dielétrico. 
 
Lei de Gauss para dielétricos. 
 
 
𝑞𝑒𝑛𝑣 = 𝑞 − 𝑞
′ (carga q da placa do capacitor e a carga induzida − 𝑞′no capacitor) 
 
𝐸 =
𝐸0
𝜅
⇒ 𝑞 − 𝑞′ = 
𝑞
𝜅
⇒ 𝜀0∮𝜅�⃗� 𝑑𝐴 = 𝑞𝑒𝑛𝑣 
 
 
CORRENTE E RESISTÊNCIA 
 
Corrente elétrica: (grandeza pseudo-vetorial) movimento ordenado de cargas (elétrons, prótons, 
íons, entre outros). No entanto nem toda a partícula carregada que se move produz corrente 
elétrica, deve-se ter fluxo líquido de carga, ou seja, haver uma diferença de potencial que faça as 
cargas atravessarem uma seção transversal de fio em apenas um sentido. 
 
𝑖 = 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 (definição de corrente) ⇒ dimensionalmente ⇒ [𝐀] = [
𝐂
𝐬
] 
 
Sentido da corrente: convenção: movimento dos portadores de carga positiva. 
 
Densidade de corrente: vetor que aponta no mesmo sentido da corrente 
 
𝑖 = ∫ 𝐽 . 𝑑𝐴 
Velocidade de deriva: velocidade 𝑣𝑑 para a qual tendem os elétrons de condução de um 
condutor percorrido por corrente. O movimento que era aleatório na ausência de 
corrente continua sendo, porém os portadores de carga tendem a ir, com velocidade 𝑣𝑑 
no sentido oposto ao campo elétrico que produz a corrente. 
 
nAL: número dos portadores de carga por unidade de volume. 
 
𝐽 = (𝑛𝑒)𝑣 𝑑 
 
Resistência e Resistividade 
 
Resistência (R): propriedade dos dispositivos de se oporem à passagem de corrente 
elétrica, isto é, dissiparem energia elétrica em forma de energia térmica pelo que se 
conhece por efeito Joule. Essa propriedade é observada principalmente nos resistores. 
 
𝑅 = 
𝒱
𝑖
 (definição de resistência elétrica) 
 
Resistividade: propriedade dos materiais de se oporem à passagem de fluxo de corrente 
elétrica 
 
𝜌 = 
𝐸
𝐽
 (definição de resistividade elétrica) 
 
Condutividade: oposto da resistividade 
 
𝜎 = 
1
𝜌
 (definição de condutividade) 
 
LEIS DE OHM 
 
Primeira lei de Ohm: a corrente que atravessa um resistor é diretamente proporcional a 
diferença de potencial aplicada. 
 
Segunda Lei de Ohm: Relação de resistência e resistividade 
 
𝑅 = 𝜌
𝑙
𝐴
 (relação das definições de resistência e resistividade) 
 
Lei de Ohm:visão microscópica: relaciona as colisões dos elétrons como forma de 
resistência (colisão => troca de energia => calor) 
 
𝜌 =
𝑚
𝑒2𝑛𝜏
 (τ: tempo médio entre as moléculas) 
 
 
Variação da resistividade com a temperatura 
 
𝜌 − 𝜌0 = 𝜌0𝛼(T− 𝑇0) (temperatura: agitação molecular, T↑ => colisões↑ => dissipação de 
energia na forma de calor↑) 
 
 
Potencia em circuitos elétricos 
 
P = i 𝒱 (taxa de transferência de energia elétrica) 
𝑃 = 𝑖2𝑅 =
𝒱2
𝑅
 (dissipação resistiva) 
 
Semicondutores: Os semicondutores são materiais que apresentam caraterísticas 
intermediárias entre condutores e isolantes. Semicondutores, como o silício, possuem 
um número muito menor de portadores de carga, maiores resistividades e coeficientes 
de temperatura de resistividade negativos, porém altos, quando comparado com 
condutores. Assim, quando o cobre (condutor típico) é aquecido, sua resistividade 
aumenta, enquanto a do silício, diminui. O silício puro tem uma resistividade tão alta que 
chega a ser próxima a de um isolante. Essa resistividade pode diminuir de forma 
controlada ao adicionar “impurezas” – processo de dopagem. Dependendo do dopante, 
o processo pode fornecer elétrons (semicondutores tipo n) ou buracos (déficits de 
elétrons que se comportam como portadores de carga positivos, semicondutores tipo p) 
A dopagem pode fornecer elétrons Qualitativamente, os semicondutores são como 
isolantes, porém com elétrons mais fracamente ligados à rede cristalina, assim a energia 
necessária para liberá-los é um pouco menor. Como exemplo, temos o diodo, 
componente eletrônico que funciona como retificador. 
 
Supercondutores: Os supercondutores são materiais que tem resistência nula abaixo de 
uma certa temperatura crítica (4K para o mercúrio, por exemplo). Materiais cerâmicos 
apresentam comportamento supercondutor, porém a uma temperatura muito maior que 
4K. Os elétrons responsáveis pela corrente em supercondutores se movem aos pares 
(chamados pares de Cooper). Um dos elétrons distorce a estrutura cristalina do material, 
criando nas proximidades uma concentração temporária de cargas positivas que atrai o 
outro elétron do par. Essa coordenação do movimento eletrônico impede que haja 
colisão com os átomos da rede cristalina, eliminando a resistência elétrica. 
 
CIRCUITOS 
 
- Ponto principal: as cargas estão ganhando ou perdendo energia potencial ao atravessar 
algum elemento do circuito. 
 
- Fonte de força eletromotriz: mantém a diferença de potencial constante de modo que 
possa circular uma corrente. 
 
Trabalho da fonte 
 
𝜀 =
𝑑𝑊
𝑑𝑞
 
 
 
 
 
 
 
Fonte de tensão ideal 
 
Resistência interna desprezível: não há dissipação de energia. 𝒱 = 𝒱𝑏 - 𝒱𝑎 = ℰ 
 
 
 
 
Fonte de tensão real 
 
Resistência interna considerável: há dissipação de energia. 𝒱 = 𝒱𝑏 - 𝒱𝑎 = ℰ - ir 
 
 
 
Leis de Kirchhoff: 
 
Lei dos nós: Em um nó (união de três ou mais fios em um circuito) a soma algébrica das 
correntes é nula, e há conservação de carga. 
 
 
 
 i = i1 + i2 
 
 
 
 
Lei das malhas: Em uma malha (percurso fechado em um circuito) a soma algébrica das 
diferenças de potencial é nula, e há conservação de energia potencial 
 
 
 
Iniciando no ponto a: +ℰ - Ri = 0 
 
 
 
 
Convenção 
 
De A ia B (perde potencial) 
 
Δ𝒱 = − ℰ 
 
De A ia B (perde potencial) 
Δ𝒱 = − 
𝑞
𝐶
 
 
De A ia B (perde potencial) 
 
Δ𝒱 = −𝑅𝑖 
 
 
 
 
 
ASSOCIAÇÕES DE RESISTORES 
 
Série: 
 
- A corrente que passa em todos os resistores é a mesma: i1 = i2 = ... = in = i 
 
- A soma da ddp 𝒱 aplicada em cada resistor é a ddp da bateria 
 
- Resistor equivalente (𝑹𝒆𝒒): mesma corrente i q individual, e a mesma ddp 𝒱 total. 
 
 𝑅𝑒𝑞 =∑𝑅𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 
Paralelo: 
 
- Todos os resistores são submetidos à mesma ddp: 𝒱 1 = 𝒱 2 = ... = 𝒱 n = 𝒱 
 
- Resistor equivalente (𝑹𝒆𝒒): mesma ddp 𝒱 e a mesma corrente i total dos resistores 
 
 𝑅𝑒𝑞 =∑𝑅𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 
Diferença de potencial entre os terminais de uma fonte 
 
𝒱 = ℰ − 𝑟𝑖 
 
Aterrando um Circuito 
 
Significado: ligar o circuito à superfície da Terra (solo úmido, que é um bom condutor). Isso quer 
dizer que o potencial é definido como zero no ponto do aterramento. 
 
Potência, Potencial e Força eletromotriz 
 
P = iℰ 
 
AMPERÍMETROS E VOLTÍMETROS 
 
Galvanômetros utilizados para medir grandezas como corrente e diferença de potencial. Eles 
medem essas grandezas em suas próprias resistências, por isso a resistência do amperímetro 
deve ser desprezível em relação à resistência que se quer medir (de modo a resistência interna 
dele dissipe menos energia) Analogamente a resistência interna do voltímetro deve ser 
infinitamente maior que essa mesma resistência: para evitar erros de leitura. 
 
CIRUITOS RC 
 
- Em t = 0 s => capacitor descarregado => é carregado pela ddp 
da bateria (fio normal) 
 
q = C𝜀 (1 – 𝑒
−𝑡
𝜏𝑐⁄ ), (aumento de carga) 𝜏𝑐 = RC (constante de 
tempo capacitiva) 
 
- Em t = ∞ => capacitor carregado => perde carga através dos 
resistores (fio rompido) 
q = 𝑞0𝑒
−𝑡
𝜏𝑐⁄ , (diminuição exponencial de carga), q → 0. 
 
 
 
 
GRAFICO: Curvas características de carga e descarga de um capacitor. 
MAGNETISMO 
 
- Como não existe monopólio magnético, o campo magnético não pode ser definido de maneira 
análoga ao campo elétrico: �⃗⃗� = 
𝐅𝐞⃗⃗⃗⃗ 
𝐪
. Devemos definir o campo magnético em termos da força 
magnética 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ exercida sobre uma partícula de prova, carregada e em movimento. 
 
�⃗⃗� = 
𝐅𝐁⃗⃗ ⃗⃗ 
|𝐪|𝐯
 
 
Força magnética sobre uma carga (q) em movimento (velocidade 𝒗 ⃗⃗ ⃗) 
 
𝐅𝐁⃗⃗⃗⃗ = q 𝒗 ⃗⃗ ⃗ x �⃗⃗� (equação vetorial) 
𝐅𝐁 = |q|vBsen𝝓 (módulo) 
 
- Norte terrestre: sul magnético (bússolas) 
- Representar o campo magnético através de linhas de campo 
 
EXEMPLO: 
 
Próton (q = 1,602 x 10–19); 
|𝑣 ⃗⃗⃗ | ~ 6 x 107 m/s; 
|�⃗� | = 5T; |𝐹 ⃗⃗ ⃗| = q|𝑣 ⃗⃗⃗ | x |�⃗� | = (1,602 x 10–19) (6 x 107) (5) => 
 => |𝐹 ⃗⃗ ⃗| = 4,8 x 10–12 N 
 
Fio de comprimento (𝐿 ⃗⃗⃗ ) percorrido por corrente (i) e imerso em campo magnético (�⃗� ) 
 
𝒅𝐅𝐁⃗⃗⃗⃗ = i 𝒅𝐋 ⃗⃗⃗ x �⃗⃗� (equação vetorial) 
𝐅𝐁 = |i|L B sen𝝓 (módulo) 
 
Momento magnético dipolar 
 
Bobina percorrida por i => ao ser submetida à �⃗� => sofre um torque 𝜏 (comporta-se como um 
imã em forma de barra), possuindo um dipolo magnético. 
 
𝝁 = NiA �̂� (momento dipolar magnético) 
 
Torque em uma espira percorrida por corrente 
 
�⃗� = �⃗⃗� x �⃗⃗� (equação vetorial do torque em uma espira) 
�⃗� = �⃗⃗� x �⃗� (equação vetorial do torque em um dipolo elétrico) 
 
Na presença de um campo um dipolo possui uma certa energia potencial que depende da 
orientação do momento dipolar em relação ao campo: 
 
U (𝜽) = – �⃗⃗� . �⃗⃗� (energia potencial magnética) 
U (𝜽) = – �⃗⃗� . �⃗� (energia potencial elétrica) 
W = ΔU (trabalho realizado pelo campo) 
W = – ΔU (trabalho realizado por um agente externo) 
 
Campos cruzados 
 
Diz-se de dois campos mutuamente perpendiculares. 
 
EFEITO HALL 
 
- Força magnética pode mover elétrons dentro de um condutor. 
 
- Fita de cobre percorrida por i de cima pra baixo (portadores de carga com 𝑣𝑑⃗⃗ ⃗⃗ orientada de baixo 
pra cima) com �⃗� perpendicular. 
 
- �⃗� => 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ sobre os elétrons => deflexão para a borda direita => acúmulo de cargas negativas na 
borda direita => aparecimento de cargas positivas não compensadas na borda esquerda => 
 
=> �⃗� que aponta para a direita (𝒱 = Ed (I) (diferença de potencial de Hall)) => 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗ sobre os elétrons 
=> deflexão para a borda esquerda ∴𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗ se opõe à 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ . 
 
- Os elétrons continuam a se acumular na borda direita, até que |𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗ | = |𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ | (II) => elétrons em 
linha reta com 𝑣𝑑⃗⃗ ⃗⃗ e �⃗� para de aumentar. 
 
- De (II) qE = q𝑣𝑑B (III) (q = e = 1,602 x 10
–19) => 𝑣𝑑 = 
J
ne
 = 
i
neA
 (IV) => de (I) (III) e (IV): 𝑛 = 
Bi
Vle
 
 
EFEITO HALL QUÂNTICO 
 
- Observado em estruturas semicondutoras especiais, geralmente com altos valores de 
mobilidade e a baixas temperaturas. 
- Efeito Hall Clássico: Variação de 𝒱: linear 
- Efeito Hall Quântico: Variação de 𝒱: por patamares. 
 
Partícula carregada em movimento circular 
 
�⃗� // 𝑣 ⃗⃗⃗ : trajetória circular 
 
R = 
mv
|q|B
 (raio da trajetória de uma partícula submetida à um campo magnético) 
 
T = 
2𝜋m
|𝑞|𝐵
 (período de uma partícula submetida à um campo magnético) 
 
Af = T = 
|𝑞|𝐵
2𝜋m
 , 𝜔 = 
|𝑞|𝐵
m
 (frequência e frequência angular) 
 
Acelerador de Partículas que utilizam campos magnéticos: 
 
CÍCLOTRONS 
 
Formado por duas paredes em formato de D ligados a um oscilador que alterna o potencial 
elétrico de modo que o campo elétrico entre os Ds alterne de sentido. Ao mesmo tempo é 
aplicado um campo magnético �⃗� de alta intensidade (dependente da corrente do eletroímã) no 
sentido indicado a fim de acelerar uma partícula emitida por uma fonte S, localizada no centro 
do cíclotron. A partícula é atraída por um D e entra nele, em seu interior, isola-se do campo 
elétrico pelas paredes do D (geralmente de cobre, um metal não magnético). O campo magnético 
não está sujeito à parede do D e faz a partícula descrever uma trajetória semicircular cujo raio é 
dado por: R = 
mv
|q|B
. Chegando ao espaço central, a ddp entre os Ds é invertida acelerando 
novamente, e reiniciando o processo no outro D. O processo continua com o movimento do 
próton sempre em fase com as oscilações do potencial, até que a trajetória em espiral leve a 
partícula até a borda do sistema, onde a placa defletora a faz passar por um orifício e deixar um 
dos Ds. O funcionamento do cíclotron se baseia na identidade: f = fosc (condição de ressonância) 
=> |q| B = 2𝝅mfosc Na prática, o valor de fosc é fixa e o valor de B que é variado a fim de que a 
equação anterior seja satisfeita. 
 
SÍNCROTRONS 
 
Trata-se de um acelerador de partículas em que se podem variar os valores do campo magnético 
B e da frequência do oscilador fosc. Quando realizado de forma correta, f = fosc (ressonância). Essa 
variação ocorre para cobrir partículas que aceleram até próximo de 10% da velocidade da luz, as 
quais devem ser tratadas com equações da teoria da relatividade. Massa maior => menor 
frequência de revolução. Assim, as partículas se atrasariam em relação à frequência do oscilador 
e a energia da partícula diminuiria a cada oscilação. 
 
ESPECTRÔMETRO 
 
- Filtro de velocidades 
- 
m
|q|
= 
B1B2
E
r (separação de isótopos) 
TRAJETÓRIAS HELICOIDAIS E A “GARRAFA MAGNÉTICA” 
 
𝑣 ⃗⃗⃗ = 𝑣𝑥 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑣𝑦 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ => 𝑣𝑥 = vcos𝜙 e 𝑣𝑦 = vsin𝜙 
(𝑣𝑥 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é paralelo à �⃗� e 𝑣𝑦 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é perpendicular à �⃗� ): trajetória helicoidal 
 
CAMPOS MAGNÉTICOS PRODUZIDOS POR CORRENTES 
 
Campo magnético produzido por corrente em um fio retilíneo longo. 
 
- Definir um elemento de corrente: ids e calcular o campo magnético total B em P por integração, 
com o único diferencial de que o elemento de corrente é uma grandeza vetorial: 
 
d�⃗⃗� = 
𝛍𝟎𝐢𝐝𝐬⃗⃗⃗⃗ 𝐱 �⃗� 
𝟒𝛑 𝐫²
 (Lei de Biot-Savart) 
 
Permeabilidade do vácuo: μ0 = 4π x 10
–7 T.m/A 
 
𝑩 = 
𝛍𝟎𝐢
𝟐𝛑 𝐑
 (fio longo) 
 
𝑩 = 
𝛍𝟎𝐢
𝟒𝛑 𝐑
 (fio semi-infinito) 
 
Campo magnético produzido por corrente em um fio em forma de arco de circunferência. 
 
𝑩 = 
𝛍𝟎𝐢𝛟
𝟒𝛑 𝐑
 (no centro de um arco de circunferência) 
 
𝑩 = 
𝛍𝟎𝐢
𝟐𝐑
 (no centro de uma circunferência completa; espira) 
 
Forças entre duas correntes paralelas 
 
- Fio percorrido por corrente => �⃗� => 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ (que atrai ou repele o outro fio). 
 
- Campo magnético gerado por a: Ba = 
μ0ia
2π R
 ; força produzida pelo fio a no fio b: 
 
FB⃗⃗ ⃗⃗ = ia L ⃗⃗ x Ba⃗⃗⃗⃗ => 𝑭𝒃𝒂 = 
𝝁𝟎𝑳𝒊𝒂𝒊𝒃
𝟐𝝅𝒅
 
 
- Correntes paralelas: atraem-se; correntes antiparalelas: repelem-se. 
 
- Definição de Ampère (S.I.): corrente constante que, quando mantida em dois condutores 
retilíneos paralelos, de comprimento infinito e seção reta desprezível, separados por 1m de 
distância no vácuo, produz em cada um uma força de 2 x 10–7 newtons por metro de comprimento 
de fios. 
 
Canhão Eletromagnético 
 
Dispositivo que utiliza a força magnética para acelerar um projétil à uma alta velocidade em um 
curto período de tempo. Duas placas condutoras percorridas por correntes antiparalelas. Entre 
elas há um gás condutor. Correntes antiparalelas elevadas => vaporizam o gás e geram �⃗� entre 
as placas => 𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗ no gás (devido à corrente no gás) => gás arremessado contra o projétil. 
 
Lei de Ampere 
 
(Análogo à Lei de Gauss para o campo elétrico), calcula o campo magnético total associado a 
qualquer distribuição ode correntes escrevendo um campo magnético elementar d�⃗� produzido 
por um elemento de corrente i d𝑠 . 
∮𝐵 ⃗⃗ ⃗ . 𝑑𝑠 = 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣 
 
A corrente 𝑖𝑒𝑛𝑣 é a corrente envolvida pela amperiana e é calculada por 𝑖𝑒𝑛𝑣 = 𝑖1 − 𝑖2. Se i aponta 
no mesmo sentido do polegar (aplicação da regra da mão direita), ela recebe o sinal positivo. 
 
 
Campo Magnético nas vizinhanças de um fio longo retilíneo percorrido por corrente 
 
- Simetria cilíndrica => curva amperiana circular de raio r concêntrica ao fio => �⃗� tem mesmo 
módulo em todos os pontos da amperiana => sentido de i => aplicar regra da mão direita => 
define o sentido da integração => 𝐵 ⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝑑𝑠 são tangentes à amperiana, assim em todos os pontos 
da amperiana: (𝑩 ⃗⃗ ⃗ 𝒆 𝒅�⃗� paralelos: 𝜃 = 0o, cos 𝜃 = 1; ou 𝑩 ⃗⃗ ⃗ 𝒆 𝒅�⃗� antiparalelos: 𝜃 = 180o, cos 𝜃 = –
1). Adotando arbitrariamente a primeira hipótese temos: 
∮B ⃗⃗ ⃗ . ds = ∮B . cos θ ds = B∮ds = B(2πr) = μ0ienv => 𝐁 = 
𝛍𝟎𝐢
𝟐𝛑𝐫
 
 
Campo Magnético no interior de um fio longo retilíneo percorrido por corrente 
 
- Curva amperiana circular de raio r concêntrica ao fio de raio R (r < R) => �⃗� tem mesmo módulo 
em todos os pontos da amperiana => sentido de i => aplicar regra da mão direita => define o 
sentido da integração => tomando arbitrariamente 𝐵 ⃗⃗ ⃗ 𝑒 𝑑𝑠 paralelos, temos 𝜃 = 0o, cos 𝜃 = 1 
∮B ⃗⃗ ⃗ . ds = ∮B . cos θ ds = B∮ds = B(2πr) = μ0ienv => ienv = i
𝜋𝑟²
πR²
=> 𝑩 = 
𝛍𝟎𝐢
𝟐𝛑𝐑²
 
 
Campo magnético em um Solenoide 
 
Solenoide: bobina helicoidal formada por espiras circulares. O campo magnético de um solenoide 
é a soma vetorial dos campos magnéticos produzidos pelas espiras. 
 
Aplicando a lei de Ampère: 
 
- Curva amperiana retangular abcda, (a primeira é Bh, as demais são zero) 
∮𝐵 ⃗⃗ ⃗ . 𝑑𝑠 = ∮ 𝐵 ⃗⃗ ⃗ . 𝑑𝑠 +
𝑏
𝑎
∮ 𝐵 ⃗⃗ ⃗ . 𝑑𝑠 +
𝑐
𝑏
∮ 𝐵 ⃗⃗ ⃗ . 𝑑𝑠 +
𝑑
𝑐
∮ 𝐵 ⃗⃗ ⃗ . 𝑑𝑠 
𝑎
𝑑
= 𝐵ℎ => 𝐁 = 𝛍𝟎𝐢𝐧 
 
 
 
 
Campo magnético em um Toroide. 
 
Toroide: Solenoide cilíndrico que foi encurvado até as extremidades se tocarem. 
 
Aplicando a lei de Ampère: 
 
- Curva amperiana: uma circunferência concêntrica de raio r e percorrê-la em sentido horário. 
∮𝐵 ⃗⃗ ⃗ . 𝑑𝑠 = (𝐵)(2𝜋𝑅) = 𝜇0𝑖𝑁 => 𝐁 = 
𝛍𝟎𝐢𝐍
𝟐𝛑
 .
𝟏
𝐫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campo magnético de uma Bobina 
 
Simetria => Não é possível usar a lei de Ampère => usar a Lei de Biot-Savart 
 
INDUÇÃO E INDUTÂNCIA 
 
Lei de Faraday 
 
ℰ =−
dϕB
dt
 
 
O módulo da força eletromotriz ℰ induzida em uma espira condutora é igual à taxa de variação 
com o tempo do fluxo magnético que atravessa a espira. 
 
ℰ = −N
dϕB
dt
 (Para uma bobina de N espiras) 
 
MANEIRAS DE SE VARIAR O FLUXO: 
 
(1) Alterar o módulo B do campo magnético 
(2) Alterar a área total da espira, ou a área da espira imersa no campo magnético 
(3) Alterar o ângulo entre a direção do campo magnético �⃗� e o plano da bobina. 
 
Lei de Lenz 
 
- A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético produzido pela 
corrente se opõe ao campo magnético que induz a corrente. 
 
- Vale apenas para materiais diamagnéticos. 
 
Correntes parasitas 
 
Quando uma placa é puxada para fora ou empurrada para dentro de uma região permeada por 
um campo magnético, o movimento relativo entre o campo e condutor induz uma corrente 
(chamada de corrente parasita) no condutor, fazendo surgir assim, uma força que se opõe ao 
movimento e precisamos realizar trabalho por causa da corrente induzida. Esses tipos de corretes 
são chamadas de. Energia mecânica <=> energia térmica. 
 
Campos elétricos induzidos 
 
- Um campo elétrico variável produz um campo elétrico. 
- Potencial elétrico tem significado apenas para campos elétricos produzidos por cargas estáticas, 
não se aplica, portanto, à campos elétricos produzidos por indução. 
 
Indutores, Indutância 
 
L = 
NϕB
I
 (definição de indutância) 
 
Solenoide 
 
L 
l
 = 𝜇0n²A (Indutância em um solenoide) 
 
 
Autoindução 
 
Δi => Δ𝜙𝐵 (espiras) => pela lei de Faraday => aparece uma força eletromotriz ℰ𝐿no indutor 
(autoindução) 
 
ℰ𝐿 = − 
d(NϕB)
dt
 => como NϕB = Li => ℰ𝐿 = − L
di
dt
 (força eletromotriz auto induzida) 
 
- O que importa é a variação de corrente, e não o valor dela. 
 
- O sinal negativo indica que a força eletromotriz auto induzida se opõe à variação da corrente. 
- variação ode corrente: 
di
dt
 => o aumento da corrente é a variação a que se opõe a autoindução 
- i diminui => polaridade => i associado tem o mesmo sentido de i. 
 
Circuitos RL 
 
Com a introdução de uma força eletromotriz ℰ: 
 
- Em t = 0 s => 𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 = 0 (inicialmente ele se opõe a qualquer corrente que o atravessa) 
- i = 
𝛆
𝐑
 (1 – 𝒆
−𝒕
𝝉𝑳⁄ ) (aumento de corrente em um indutor), 𝝉𝑳 = 
𝐋
𝐑
 (constante de tempo indutiva) 
 
- Em t = ∞ => 𝑖𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 = 𝑖𝑟𝑎𝑚𝑜 (se comporta como um fio comum) 
- i = 
𝛆
𝐑
 (𝒆
−𝒕
𝝉𝑳⁄ ) => i = 𝒊𝟎 (𝒆
−𝒕
𝝉𝑳⁄ ) (diminuição de corrente em um indutor) 
 
Equação do circuito RL: 
 
ℰ = L
di
dt
 + Ri 
 
Energia armazenada em um campo magnético 
 
ℰ = L
di
dt
 + Ri => ℰ𝑖 = Li
di
dt
 + Ri² => Li
di
dt
 (energia armazenada no indutor) => integrando 
=> 𝑼𝑩 = 
𝟏
𝟐
 Li² (energia magnética) | 𝑼𝑬 = 
𝟏
𝟐𝑪
 q² (energia elétrica) 
 
Densidade de energia de um campo magnético 
 
𝑢𝐵 = 
𝑈𝐵 
𝐴𝑙
 => 𝑢𝐵 = 
Li² 
2Al
 => 
L 
l
 = 𝜇0n²A => 𝒖𝑩 = 
𝐁² 
𝟐𝝁𝟎
 (densidade de energia magnética) 
 
𝒖𝑬 = 𝜺𝟎
𝐄² 
𝟐
 (densidade de energia elétrica) 
 
Indução Mútua 
 
- Duas bobinas próximas: indução mútua de uma força eletromotriz. 
- A bateria produz uma corrente constante 𝑖1 (bobina 1), 𝑖1 => 𝐵1⃗⃗⃗⃗ ; 𝜙21 => enlaça as 𝑁2 espiras 
da bobina 2. 𝑀21 = 
N2ϕ21
i1
 => 𝑀21i1 = N2ϕ21 => variando a corrente e aplicando a lei de Lenz: 
𝓔𝟏 = −𝑴
𝒅𝒊𝟐
𝐝𝐭
 ; 𝓔𝟐 = −𝑴
𝒅𝒊𝟏
𝐝𝐭
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OSCILAÇÕES ELETROMECÂNICAS E CORRENTE ALTERNADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) Capacitor: totalmente carregado; i = 0; (situação inicial) 
(B) Capacitor: descarrega; i: aumenta. 
(C) Capacitor: totalmente descarregado; i: máxima I 
(D) Capacitor: carrega com polaridade oposta à de (A); i: diminui. 
(E) Capacitor: totalmente carregado com polaridade oposta à de (A); i = 0; 
(F) Capacitor: descarrega; i: aumenta no sentido oposto à (B). 
(G) Capacitor: totalmente descarregado; i: máxima I 
(H) Capacitor: carrega; i: diminui. 
 
ENERGIA: 
 
Capacitor carregado =>UE 
Corrente máxima => UB 
 
 
 
ANALOGIA ELETROMECÂNICA 
 
SISTEMA BLOCO-MOLA OSCILADOR LC 
ELEMENTO ENERGIA ELEMENTO ENERGIA 
 
Mola Potencial, U= k 
x²
2
 
 
Capacitor 
 
Elétrica, UE= 
1
2𝐶
 q² 
 
 
Bloco Cinética, K = m 
v²
2
 
 
Indutor 
 
Magnética, UE= 
1
2
 Li² 
 
AF 
Av = 
dx
dt
 
 
A AF 
Ai = 
dq
dt
 
 
 
FREQUÊNCIA ANGULAR 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
 
 
 
 
FREQUÊNCIA ANGULAR 
𝜔 = √
1
𝐿𝐶
 
 
 
CIRCUITOS LC 
 
Decorre, da analogia eletromecânica 
 
L
𝐝²𝐪
𝐝𝐭²
 + 
𝟏
𝐂
𝒒 = 0 (equação de um circuito LC) 
 
Aq = Q cos (𝝎𝒕 +𝝓) (carga de um circuito LC) 
 
Ai = 
dq
dt
 => i = −𝜔Q sen (𝜔𝑡 + 𝜙); Como I = 𝜔Q => i = −𝑰 sen (𝝎𝒕 + 𝝓) (corrente de um circuito LC) 
 
OSCILAÇÃOES AMORTECIDAS – CIRCUITO RLC 
 
𝐋
𝐝𝟐𝐪
𝐝𝐭𝟐
+𝐑
𝐝𝐪
𝐝𝐭
+ 
𝟏
𝐂
𝐪 = 𝟎 (circuito RLC) 
 
Aq = Q𝒆−
𝑹𝒕
𝟐𝑳 cos (𝝎′𝒕 + 𝝋) (solução da equação) 
 
 
CIRCUITO RLC SÉRIE (CORRENTE ALTERNADA) 
Impedância: Z = √𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2 
Amplitude de corrente: i = 
ε
Z
 
Fase: tg𝜑 = 
XL− XC
R
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDIÇÃO DE RESSONÂNCIA: 
𝜔 = 𝜔0 <=> XL − XC (i: máxima) 
Fator de potência 
cos(𝜑) = 
𝑅
𝑍
 
 
 
Potencia média 
P = 𝜀𝑟𝑚𝑠𝑖𝑟𝑚𝑠 cos (𝜑) 
 
 
TRANSFORMADORES 
 
Transformador ideal: núcleo de ferro (devido à permeabilidade magnética do ferro) no qual são 
enroladas um enrolamento primário de 𝑁𝑝 e um enrolamento secundário de 𝑁𝑠 espiras Se o 
enrolamento primário é ligado a uma fonte de tensão alternada temos: 
 
𝓥𝒔 = 𝓥𝒑 
𝑵𝒔
𝑵𝒑
 (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜) 
 
𝑰𝒔 = 𝑰𝒑 
𝑵𝒑
𝑵𝒔
 (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒) 
 
𝑹𝒆𝒒 = (
𝑵𝒑
𝑵𝒔
)
𝟐
𝑹 (𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒) 
 
RESUMO: COMPORTAMENTO DOS CIRCUITOS 
 
RC: carga, corrente, e ddp: cresc. / Adecresc. Aexponencial; constante de tempo capacitiva. 
RL: carga, corrente, e ddp: cresc. / Adecresc. Aexponencial; constante de tempo indutiva. 
LC: carga, corrente, e ddp variação senoidal com um período T e frequência angular 𝜔 
RLC: carga, corrente, e ddp variam senoidal e exponencialmente, com um período T e frequência 
angular 𝜔 
 
 
EQUAÇÕES DE MAXWELL; MAGNETISMO DA MATÉRIA 
 
LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS 
 
- A estrutura magnética mais simples que se conhece é o dipolo magnético 
 
Φ𝐵 = ∮�⃗� 𝑑𝐴 = 0 (𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑢𝑎𝑠𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠) 
Φ𝐸 = ∮ �⃗� 𝑑𝐴 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
ℰ0
 (𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑢𝑎𝑠𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜𝑠 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠) 
 
CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS 
 
∮�⃗� 𝑑𝑠 = 𝜇0𝜀0 
dΦ𝐸
𝑑𝑡
 (𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢çã𝑜) 
 
A lei de Ampère Maxwell 
 
∮�⃗� 𝑑𝑠 = 𝜇0𝜀0 
dΦ𝐸
𝑑𝑡
+ 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣 
 
- como 𝜀0 
dΦ𝐸
𝑑𝑡
 tem dimensão de corrente, ele é chamado de corrente de deslocamento, 
logo: 
 
∮�⃗� 𝑑𝑠 = 𝜇0𝑖𝑑 + 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣(𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝è𝑟𝑒 −𝑀𝑎𝑥𝑤𝑒𝑙𝑙) 
 
DETERMINAÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO INDUZIDO EM CAPACITORES 
 
𝐵 = (
𝜇0𝑖𝑑
2𝜋𝑅2
) 𝑟 (dentro de um capacitor circular) 
 
𝐵 =
𝜇0𝑖𝑑
2𝜋𝑟
 (fora de um capacitor circular) 
 
EQUAÇÕES DE MAXWELL 
 
Equações do eletromagnetismo. Elas explicam uma grande variedade de fenômenos através de 
algumas relações (rel.): 
 
∮�⃗� 𝑑𝐴 =
𝑞𝑒𝑛𝑣
ℰ0
 (rel. fluxo elétrico e cargaselétricas envolvidas) 
∮�⃗� 𝑑𝐴 = 0 (rel. fluxo magnético e cargas magnéticas envolvidas) 
∮�⃗� 𝑑𝑠 = −
𝑑𝜙𝐵
𝑑𝑡
 (rel. campo elétrico induzido à variação de fluxo magnético) 
∮�⃗� 𝑑𝑠 = 𝜇0𝑖𝑑 + 𝜇0𝑖𝑒𝑛𝑣 (rel. campo magnético induzido à variação de fluxo e corrente) 
 
O MAGNETISMO E OS ELÉTRONS 
 
Os elétrons podem produzir campos magnéticos quando se deslocam em um fio na forma de 
corrente elétrica, produzindo um campo magnético em torno do fio. No entanto podem 
produzir campos magnéticos através de outros dois mecanismos: 
 
MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO DE SPIN 
 
Definição: momento angular intrínseco, conhecido como spin (𝑆 ). Associado a ele existe um 
momento dipolar magnético de spin (𝜇 𝑆). 
 
𝜇 𝑆 = −
𝑒
𝑚
𝑆 
 
O Spin em si não pode ser medido, mas pode ser determinado o spin em relação à alguma 
direção, por exemplo, no eixo z: 
 
𝑆𝑧 = 𝑚𝑠
ℎ
2𝜋
 para ms = ± 
1
2
 
 
 
 
 
 
 
ms: número quântico magnético de spin 
 
 
 
Ah: constante de Plank, h = 6,63 x 10-34 J.s 
 
Substituindo 𝑆𝑧 em 𝜇 𝑆 : 
 
𝜇𝐵 = ±
𝑒ℎ
4𝜋𝑚
= 9,27 x 10−24 J T⁄ (Magnéton de Bohr)
 
MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO ORBITAL 
 
Definição: momento angular adicional que um elétron recebe quando faz parte de um átomo. 
 
𝜇 𝑜𝑟𝑏 = −
𝑒
2𝑚
�⃗� 𝑜𝑟𝑏 
 
(analogamente ao spin): 𝐿𝑜𝑟𝑏,𝑧 = 𝑚𝜆
ℎ
2𝜋
�⃗� 𝑜𝑟𝑏 (para mλ = 0,±1,±2,… ,±limite) 
 
PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DOS MATERIAIS 
 
Elétron => momento dipolar magnético: orbital e de spin. A resultante desses vetores se 
combina vetorialmente com a resultante dos outros elétrons do átomo e a resultante dos 
átomos se combina com a resultante dos demais átomos e o resultado dessa combinação gera 
as 3 propriedades magnéticas: diamagnetismo, paramagnetismo e ferromagnetismo. 
 
Diamagnetismo: Materiais diamagnéticos não possuem momento dipolar magnético, apenas 
quando são submetidos a um campo magnético externo B. Nesse caso, adquirem um 
momento dipolar magnético no sentido oposto ao de B. 
B não uniforme => regiões onde o campo é mais intenso => material repelido. 
 
Paramagnetismo: Materiais paramagnéticos possuem momento dipolar magnético 
permanente, porém, orientado aleatoriamente. Um campo magnético externo B pode alinhar 
parcialmente os momentos dipolares atômicos. Nesse caso, adquirem um momento dipolar 
magnético no sentido de B. 
B não uniforme => regiões onde o campo é mais intenso => material atraído. 
 
Ferromagnetismo: (Observado apenas em elementos de liga do ferro, níquel, cobalto, 
gadolíneo e disprósio) Na ausência de um campo magnético externo B, alguns elétrons de 
materiais ferromagnéticos estão alinhados por uma interação de origem quântica chamada 
interação de câmbio, o que dá origem a domínios no interior do material que apresentam 
momento dipolar magnético diferente de zero. Um campo magnético externo pode alinhar 
esses domínios magnéticos, produzindo um momento dipolar magnético elevado no material 
como um todo, orientado na direção de B. Se B for não uniforme, o material ferromagnético é 
atraído para regiões de campo mais intenso. 
 
VELOCIDADE DA LUZ NO VÁCUO: Aplicando as leis de Maxwell. 
O vácuo é um meio linear, homogêneo e isotrópico, e suas constantes elétricas são designadas 
por ε0 (permissividade elétrica) e μ0 (permissividade magnética), desprezando-se pequenas não-
linearidades devido a efeitos quânticos. Caso não haja presença de correntes ou cargas 
elétricas, as equações de Maxwell no vácuo são: 
∇ . �⃗� = 0 I 
∇ . �⃗� = 0 II 
∇ x �⃗� = −
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
 III 
∇ x B = μ0ε0
∂E
∂t
 IV 
Estas equações têm uma solução simples em termos de ondas progressivas planas senoidais, com as 
direções dos campos elétricos e magnéticos ortogonais um ao outro e à direção do deslocamento, e 
com os dois campos em fase: 
Para o campo elétrico: 
∇ x ∇ x �⃗� = ∇(∇ . �⃗� ) − ∇2�⃗� => da equação I = 0 − ∇2�⃗� = ∇ x (−
∂B⃗⃗ 
∂t
) = −
𝜕∇ 𝑥 B⃗⃗ 
𝜕𝑡
 da equação 
IV = 
𝜕
𝜕𝑡
(μ0ε0
∂�⃗� 
∂t
 ) => 𝛁𝟐�⃗⃗� = 𝛍𝟎𝛆𝟎
𝛛²�⃗⃗� 
𝛛𝐭²
 
Para o campo magnético: 
∇ x ∇ x �⃗� = ∇(∇ . �⃗� ) − ∇2�⃗� => da equação II = 0 − ∇2�⃗� = ∇ x (𝜇0𝜀0
𝜕E⃗⃗ 
𝜕𝑡
) = 
= μ0ε0
∂∇ x E⃗⃗ 
∂t
 da equação III = μ0ε0
∂
∂t
(−
𝜕�⃗� 
𝜕𝑡
) => 𝛁𝟐�⃗⃗� = 𝛍𝟎𝛆𝟎
𝛛²�⃗⃗� 
𝛛𝐭²
 
Assim a onda eletromagnética será: 
𝛁𝟐�⃗⃗� = 𝛍𝟎𝛆𝟎
𝛛²�⃗⃗� 
𝛛𝐭²
 
 
𝛁𝟐�⃗⃗� = 𝛍𝟎𝛆𝟎
𝛛²�⃗⃗� 
𝛛𝐭²
 
Como (equação de onda), obtemos a velocidade de uma onda eletromagnética (c): 
v = 
1
√μ0ε0
 = c ≅ 3.108 m/s