Aula 01- CONTROLE - PROFESSOR CARLOS ALEXANDRE

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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1
Modelagem no Domínio da Frequência
Carlos Alexandre Mello
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Transformada de Laplace
� O que são Transformadas?
� Quais as mais comuns:
� Laplace
� Fourier
� Cosseno
� Wavelet
� .....
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Transformada de Laplace
� A transf. de Laplace representa entrada, saída e 
sistema como entidades separadas
� A relação entre elas é algébrica
� Transformada de Laplace:
� onde s = σ + jω é uma variável complexa
� F(s) é dita a transformada de Laplace de f(t)
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Transformada de Laplace
� Transformada Inversa de Laplace
� Em geral, o cálculo da transformada inversa é 
bastante custoso, pois envolve o cálculo de integrais 
complexas, mas o conjunto de funções importantes 
para a área de controle é pequeno, permitindo o uso 
de tabelas que fazem o mapeamento dessas funções 
e de suas transformadas
na qual:
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Transformada de Laplace
� Algumas transformadas conhecidas
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Transformada de Laplace
� Propriedades
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Transformada de Laplace
� Exemplo 1:
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Transformada de Laplace
� Exemplo 2: Transformada Inversa
� Pelo teorema do deslocamento em frequência e pela 
transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):
� Se: F(s) = 1/s2→ f(t) = t.u(t)
� e: F(s + a) = 1/(s + a)2→ f(t) = e-att.u(t)
� Então: F1(s) = 1/(s + 3)2→ f(t) = e-3tt.u(t)
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Transformada de Laplace
� Transformada Inversa: Expansão em Frações 
Parciais
� A Expansão em Frações Parciais é uma ferramenta 
matemática bastante útil no cálculo da transf. de Laplace
� Objetivo matemático: Simplificar uma função, 
expandindo-a em funções de menor grau
� Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da transf. de 
Laplace
� Métodos:
� Clearing Fractions
� Heaviside Cover-Up (ou Resíduos)
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Transformada de Laplace
� Expansão em Frações Parciais (Clearing 
Fractions)
� Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e 
Sistemas do prof. Aluízio 
Ribeiro.
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Transformada de Laplace
� Expansão em Frações Parciais (Heaviside Cover-
Up ou Resíduos)
� Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e 
Sistemas do prof. Aluízio 
Ribeiro.
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Transformada de Laplace
� Expansão em Frações Parciais (Uso dos dois 
métodos)
� Exemplo:
Fonte: aula de Sinais e 
Sistemas do prof. Aluízio 
Ribeiro.
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Transformada de Laplace
� Expansão em Frações Parciais
� Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas
� Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas
� Caso 3: Raízes do denominador são complexas
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Transformada de Laplace
� Uso de Transf. de Laplace:
� Resolução de Equações Diferenciais: Resolva a 
seguinte equação diferencial para y(t) com todas as 
condições iniciais nulas
� A transformada de Laplace para y(t) é:
� que leva a:
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Transformada de Laplace
� Uso de Transf. de Laplace:
� Resolução de Equações Diferenciais (cont):
� Por expansão em frações parciais:
ou
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Função de Transferência
� A função de transferência retrata a relação entre a 
saída e a entrada de um sistema
� Geralmente, as funções de entrada e saída se 
relacionam através de uma equação diferencial 
linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:
na qual y(t) é a saída e x(t) é a entrada do sistema
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Função de Transferência
� Dada a equação diferencial linear e invariante no 
tempo de n-ésima ordem:
� Calculando a transf. de Laplace:
� Se as condições iniciais forem nulas:
� Ou seja:
G(s) é a Função de Transferência
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Função de Transferência
� Função de Transferência como diagrama de bloco:
� E podemos encontrar a saída de um sistema dada 
a entrada e sua função de transferência:
� Y(s) = G(s).X(s)
X(s) Y(s)
G(s)
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Função de Transferência
� A FT de um sistema é um modelo matemático
� Método operacional de expressar a equação diferencial 
que relaciona a entrada à saída do sistema
� A FT é uma propriedade do sistema
� Independe do sinal de entrada
� A FT relaciona a entrada à saída, mas não fornece 
qualquer informação quanto à estrutura física do 
sistema
� Diferentes sistemas podem ter a mesma função de 
transferência
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Função de Transferência
� Se a função de transferência de um sistema for 
conhecida, a saída pode ser estudada para várias 
formas de entrada a fim de entender a natureza do 
sistema
� Se a função de transferência for desconhecida, ela 
pode ser inferida experimentalmente introduzindo-
se sinais de entrada conhecidos e analisando o 
sinal de saída
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Função de Transferência
� Quando a entrada é a função impulso, temos:
� Y(s) = G(s).X(s)
� X(s) = 1 ⇒ Y(s) = G(s)
� cuja transformada inversa daria g(t)
� Essa é a chamada resposta impulsional do sistema e 
também sua função de transferência
� Portanto, é possível obter informação completa sobre as 
características de um sistema excitando-o com um 
impulso unitário e medindo a sua resposta
� Na prática, seria um pulso de duração bastante curta
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Função de Transferência
� Diagrama de blocos
� Representação gráfica das funções desempenhadas por 
cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de 
sinais entre eles
� Todas as variáveis são ligadas umas às outras através 
de blocos funcionais
� O bloco traz a representação matemática da operação aplicada 
sobre a entrada que leva à saída
� A representação em diagramas de bloco de um sistema 
não é única
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Função de Transferência
� Diagrama de blocos
� Elementos:
G(s)X+ -X(s)
E(s) Y(s)
Ponto de 
Soma
Ponto de 
Ramificação
Sistema de malha fechada
24Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência
� Diagrama de blocos
� Outros tipos:
G(s)X+ -X(s)
E(s) Y(s)
H(s)
B(s)
Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) – B(s)]G(s) = [X(s) – Y(s)H(s)]G(s)
Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s)
Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)] (Função de Transferência do sistema)
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Função de Transferência
� Diagrama de blocos
� Outros tipos:
G1(s)X+ -X(s) Y(s)
H(s)
G2(s)X+ +
Perturbação
D(s)
B(s)
Se D(s) = 0:
Y(s)/X(s) = G1(s)G2(s)/[1 + G1(s)G2(s)H(s)] (Função de Transferência do sistema)
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Função de Transferência
� Exemplo 1: Ache a função de transferência do 
sistema representado por:
� dy(t)/dt +2y(t) = x(t)
� Solução: Tomando a transf. de Laplace:
� sY(s) + 2Y(s) = X(s)
� (s + 2)Y(s) = X(s)
� G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
27Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência
� Exemplo 2: Dada a função de transferência 
anterior, ache a resposta do sistema para um 
degrau unitário; considere nulas as condições 
iniciais:
� x(t) = u(t)
� G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)
� X(t) = u(t) ⇒ X(s) = 1/s
� Logo: Y(s) = G(s).X(s)
� Y(s) = 1/[s.(s + 2)]
� Y(s) = 0,5/s – 0,5/(s + 2)
� Expansão em Frações Parciais
� y(t) = 0,5 – 0,5e-2t
28Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.brFunção de Transferência
� Exemplo 2 (cont.):
� Solução total pelo MatLab
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Função de Transferência
� Exercício 1: Ache a função de transferência da 
equação diferencial:
� Solução: Tomando a transf. de Laplace:
� Y(s)(s3 + 3s2 + 7s + 5) = X(s)(s2 + 4s + 3)
� Logo:
� G(s) = Y(s)/X(s) = (s2 + 4s + 3)/(s3 + 3s2 + 7s + 5)
30Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência
� Exercício 2: Ache a equação diferencial 
correspondente à seguinte função de 
transferência:
� G(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)
� Solução:
� G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)
� Logo:
� Y(s)(s2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1)
� s2Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s)
� ⇒ d2y/dt2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x
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Função de Transferência
� Exercício 3: Ache a resposta a uma rampa para 
um sistema cuja função de transferência é:
� G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)]
� Solução:
Logo:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Modelagem matemática de circuitos elétricos
� Resistores, capacitores e indutores
� Componentes são combinados em circuitos e 
encontramos a função de transferência
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Rede RLC
� Problema: Encontrar a função de transferência que 
relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a 
voltagem de entrada (V(s))
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Rede RLC
� Somando as voltagens no laço e considerando nulas as 
condições iniciais, temos a seguinte equação diferencial 
para essa rede:
Considerando:
Temos:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Rede RLC
A voltagem de um capacitor é dada por: 
Temos assim:
Ou seja: 
Calculando a Transformada de Laplace:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Rede RLC
Ou: 
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Para simplificar, vamos considerar a transf. de 
Laplace das equações de voltagem da tabela 
anterior (assumindo nulas as condições iniciais):
� Capacitor:
� Resistor:
� Indutor:
� Definimos, assim, a seguinte função de transferência:
Impedância
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Rede RLC:
� Podemos entender Z(s) como a soma das impedâncias 
e V(s) como a soma das voltagens. Assim:
� [Soma das Impedâncias].I(s) = [Soma das Voltagens]
Circuito
transformado
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Rede RLC:
� Resolvendo o problema anterior usando impedâncias:
� Temos:
� Logo:
� Como:
� Assim: 
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Rede RLC:
� Ou:
Como encontrado anteriormente....
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Malha
� Substitua elementos passivos por funções de 
impedância
� Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de 
Laplace
� Assuma uma corrente transformada e uma direção de 
corrente em cada malha
� Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha
� Resolva as equações simultâneas para a saída
� Forme a função de transferência
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Malha
� Exemplo:
Malha 1 Malha 2
G(s) = I2(s)/V(s) = ?
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Malha
� Exemplo (cont.): Passo 1: Impedâncias
Malha 1 Malha 2
Malha 1:
Malha 2:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Malha
� Exemplo (cont.): Temos:
� De (2):
� Substituindo em (1):
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Malha
� Exemplo (cont.): Ou:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Malha
� Exemplo (cont.): Observe que as equações paras as 
malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padrão usado 
anteriormente. Ou seja:
Malha 1: I1(s) - I2(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
da Malha 1
Soma das 
Impedâncias 
comuns
Soma das 
Voltagens da 
Malha 1
Malha 2: − I1(s) + I2(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
comuns
Soma das 
Impedâncias 
da Malha 2
Soma das 
Voltagens da 
Malha 2
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Nós:
� Exemplo: Encontrar a função de transferência Vc(s)/V(s) 
para o circuito abaixo, usando análise de nós:
� Nesse caso, usamos a soma das correntes nos nós ao 
invés da soma das voltagens nas malhas
48Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Nós:
� Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das 
correntes nos nós VL(s) e VC(s) são, respectivamente:
� Expressando as resistências em termos de condutância
� G1 = 1/R1 e G2 = 1/R2
49Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Nós:
� Exemplo (cont.): Assim:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Nós:
� Substitua elementos passivos por funções de admitância
� Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s)
� Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de 
Laplace
� Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de 
corrente transformadas
� Aplique a lei de Kirchhoff para cada nó
� Resolva as equações simultâneas para a saída
� Forme a função de transferência
� Teorema de Norton
� Uma fonte de tensão V(s) em série com uma impedância 
ZS(s) pode ser substituída por uma fonte de corrente I(s) = V(s)/ZS(s), em paralelo com YS(s)
51Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Nós: Exemplo:
� Ache a função de transferência VC(s)/V(s) usando 
análise de nós e circuito transformado com fontes de 
corrente
Circuito Original: 
Circuito Transformado: 
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Nós: Exemplo (cont.):
� Todas as impedâncias são convertidas para admitâncias
� Todas as fontes de tensão são convertidas para fontes 
de corrente colocadas em paralelo com admitância de 
acordo com o teorema de Norton
53Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Nós: Exemplo (cont.):
� Como Y(s) = I(s)/V(s) ⇒ I(s) = Y(s)V(s)
� Somando as correntes no nó VL(s) temos:
� Somando as correntes no nó VC(s) temos:
� Combinando essas equações, encontramos, como 
antes:
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Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Análise de Nós: Exemplo (cont.):
� Como antes, também temos um padrão:
Nó 1: VL(s) - VC(s) = 
Soma das 
Admitâncias
conectadas 
no Nó 1
Soma das 
Admitâncias
comuns aos 
Nós
Soma das 
Correntes 
aplicadas no 
Nó 1
Nó 2: − VL(s) + VC(s) = 
Soma das 
Admitâncias
comuns aos 
Nós
Soma das 
Admitâncias
conectadas 
ao Nó 2
Soma das 
Correntes 
aplicadasno 
Nó 2
55Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Exemplo:
Malha 1 Malha 2
Malha 3
56Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Exemplo (cont.):
Malha 1:
Malha 2:
Malha 3:
Soma das 
Impedâncias 
na Malha 1
I1(s) - I2(s) - I3(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 1 e 2
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 1 e 3
Soma das 
voltagens 
aplicadas à 
Malha 1
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 1 e 2
- I1(s) + I2(s) - I3(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
na Malha 2
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 2 e 3
Soma das 
voltagens 
aplicadas à 
Malha 2
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 1 e 3
- I1(s) - I2(s) + I3(s) = 
Soma das 
Impedâncias 
comuns às 
Malhas 2 e 3
Soma das 
Impedâncias 
na Malha 3
Soma das 
voltagens 
aplicadas à 
Malha 3
57Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Exemplo (cont.):
� Malha 1: (2s + 2)I1(s) – (2s + 1)I2(s) – I3(s) = V(s)
� Malha 2: -(2s + 1)I1(s) + (9s + 1)I2(s) – 4sI3(s) = 0
� Malha 3: -I1(s) – 4sI2(s) + (4s + 1 + 1/s)I3(s) = 0
� As 3 equações devem ser resolvidas simultaneamente 
para encontrarmos as funções de transferência 
desejadas (como I3(s)/V(s), por exemplo)
58Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Exemplo (cont.):
(2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V (1)
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0 (2)
-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0 (3)
De (3):
I1 = -4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 (4)
Substituindo (4) em (2):
(2s + 1)[4sI2 - (4s + 1 + 1/s)I3] + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0
I2 = -I3(8s2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s2 + 13s + 1) (5)
Substituindo (5) em (4), achamos I1 em função apenas de I3. Assim, 
temos em (1), I1 e I2 em função de I3 e podemos isolar I3 e calcular a 
função de transferência I3/V.
59Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
� Exemplo (cont.): No MatLab
(2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V
-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0
-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0
MatLab Symbolic Toolbox
60Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Amplificador Operacional
� Os amplificadores operacionais são amplificadores de 
acoplamento direto, de alto ganho, que usam 
realimentação para controle de suas características
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
61Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Amplificador Operacional
Amplificador
operacional
Amplificador
operacional
inversor
Amplificador
operacional
como função
de transferência
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
62Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Amplificador Operacional
� Características:
� Entrada diferencial: v2(t) – v1(t)
� Alta impedância de entrada: Zi→ ∞ (ideal)
� Baixa impedância de saída: Zo→ 0 (ideal)
� Alta constante de ganho de amplificação: A→ ∞ (ideal)
� A saída é dada por: vo(t) = A(v2(t) – v1(t))
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
63Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Amplificador Operacional Inversor
� Se v2(t) está aterrado, o amplificador é chamado de 
inversor porque passamos a ter: vo(t) = -Av1(t)
� Na configuração da figura c anterior, a função de 
transferência do amplificador operacional inversor é:
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
64Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo: Ache a função de transferência 
Vo(s)/Vi(s) para o circuito abaixo:
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
65Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Como a admitância de componentes paralelos se 
somam, Z1(s) é o inverso da soma das admitâncias ou:
� Para Z2(s) as impedâncias se somam:
� Assim: 
Compensador PID
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
66Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Amplificador Operacional Não Inversor
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
67Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Amplificador Operacional Não Inversor: Exemplo:
� Ache Vo(s)/Vi(s)
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
68Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Amplificador Operacional
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
69Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Amplificador Operacional
Função de Transferência de Circuitos 
Elétricos
70Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exercícios Sugeridos (Nise)
� Cap. 2, Problemas:
� 1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a
� No MatLab:
� 5, 6, 14, 20b
71Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
A Seguir....
� Modelagem no Domínio do Tempo