Aula 03 - CONTROLE - PROFESSOR CARLOS ALEXANDRE

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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1
Resposta no Tempo
Carlos Alexandre Mello
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Resposta no Tempo - Introdução
� Como já discutimos, após a representação 
matemática de um subsistema, ele é analisado em 
suas respostas de transiente e de estado-
estacionário para verificar se o subsistema possui 
as características desejadas no projeto
� Após essa análise, o subsistema pode ser 
acoplado em um sistema de malha fechada
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Também como já vimos antes, a resposta de um 
sistema é a soma de duas respostas: a resposta 
forçada e a resposta natural
� Apesar da análise de um sistema por equações 
diferenciais ser eficiente, em geral, é um processo 
bastante custoso
� O uso de polos e zeros e sua relação com a 
resposta de um sistema é uma técnica rápida e 
eficiente
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Polos de uma função de transferência são:
� Os valores da variável s da transformada de Laplace 
que fazem a função de transferência tender para infinito
� As raízes do denominador da função de transferência 
que não são comuns a raízes do numerador
� Evitando cancelar um fator do numerador com um do 
denominador
� Zeros de uma função de transferência são:
� Os valores da variável s da transformada de Laplace 
que fazem a função de transferência igual a zero
� As raízes do numerador da função de transferência que 
não são comuns a raízes do denominador
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
� Considere a função de transferência abaixo:
� Um polo existe em s = -5 e um zero em s = -2
� Esses valores são plotados no plano s, usando um X 
para indicar um polo e um O para indicar um zero
R(s)
G(s)
C(s)
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
� Para mostrar as propriedades dos polos e zero, vamos 
analisar a resposta do sistema a um degrau unitário
� Ou seja, R(s) = 1/s
� Assim, temos:
Ou:
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
� Da Figura anterior podemos concluir:
1. Um polo na função de entrada gera a forma da 
resposta forçada (o polo na origem gerou a função 
degrau na saída)
2. Um polo na função de transferência gera a forma da 
resposta natural (o polo em -5 gerou e-5t)
3. Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial 
do tipo eαt, onde α é a localização do polo no eixo real 
(o polo em -5 gerou e-5t)
4. Os zeros e polos afetam as amplitudes para ambas as 
respostas forçada e natural (o cálculo dos coeficientes 
da expansão em frações parciais)
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo: Sistema de Primeira Ordem
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Vamos ver outro exemplo para analisar como 
podemos usar a técnica de polos e zeros para 
obter a forma da resposta do sistema
� Resposta por inspeção
� Como vimos, cada polo da função de transferência 
do sistema que está no eixo real gera uma 
resposta exponencial que é componente da 
resposta natural
� Os polos da entrada geram a resposta forçada
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo 1: Considere o sistema abaixo e escreva 
a saída c(t), em termos gerais.
� Por inspeção, cada polo gera uma componente 
exponencial como parte da resposta natural
� O polo da entrada gera a resposta forçada
� Assim:
Resposta
forçada Resposta natural
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Polos, Zeros e Resposta do Sistema
� Exemplo 2: Um sistema tem função de 
transferência
� por inspeção, sua saída c(t), em termos gerais, 
para uma entrada como degrau unitário é:
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Sistemas de Primeira Ordem
� Sistemas de Primeira Ordem sem zeros:
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Sistemas de Primeira Ordem
� Se G(s) = a/(s + a) e a entrada é um degrau 
unitário R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da 
resposta ao degrau é C(s), onde:
onde o polo na origem gera a resposta forçada cf(t) = 1 e o 
polo do sistema em –a gera a resposta natural cn(t) = -e-at
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Sistemas de Primeira Ordem
� O único parâmetro é a variável a que é necessária 
para descrever a resposta em transiente
� Quando t = 1/a:
� ou:
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Sistemas de Primeira Ordem
� Considerando que:
� Vamos definir três especificações de desempenho 
de resposta de transiente....
(1)
(2)
(3)
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Sistemas de Primeira Ordem
Constante de Tempo
� Dizemos que 1/a é uma constante de tempo da 
resposta, Tc
� Dada a relação (2) anterior, a constante de tempo 
pode ser descrita como o tempo para e-at decair 
para 37% do seu valor inicial
� Da mesma forma, a constante de tempo é o tempo 
que leva para a resposta ao degrau subir para 
63% do seu valor final (considerando a relação (3) 
anterior)
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Sistemas de Primeira Ordem
Constante de Tempo
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� O parâmetro a é chamado de frequência 
exponencial
� A constante de tempo pode ser considerada um 
parâmetro de especificação de transiente para um 
sistema de primeira ordem já que ela está 
relacionada com a velocidade de resposta do 
sistema a um degrau de entrada
� No gráfico de polos, o polo está localizado na 
posição oposta à constante de tempo
� Quanto mais longe o polo estiver do eixo imaginário 
(abscissa), mais rápida a resposta de transiente
Sistemas de Primeira Ordem
Constante de Tempo
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� O Tempo de Subida, Tr, é definido como o tempo 
que o sinal vai de 0,1 a 0,9 do seu valor final
� O tempo de subida é encontrado resolvendo (1) 
para a diferença de tempo de c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1
� Assim: Tr = 2,31/a – 0,11/a ⇒ Tr = 2,2/a
� c(t) = 1 – e-at
� 0,9 = 1 – e-at⇒ 0,1 = e-at⇒ -at = ln(0,1) = -2,31
� t = 2,31/a
� Para c(t) = 0,1, o mesmo cálculo leva a 0,11/a
Sistemas de Primeira Ordem
Tempo de Subida – Rise Time
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� O Tempo de Acomodação, Ts, é definido como o 
tempo que a resposta alcança e fica dentro de 
uma faixa de ±2% do seu valor final
� Fazendo c(t) = 0,98 em (1) e resolvendo para t, 
encontramos Ts = 4/a
Sistemas de Primeira Ordem
Tempo de Acomodação – Settling Time
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� Problema: Um sistema tem função de 
transferência:
� Encontre a constante de tempo, Tc, o tempo de 
acomodação, Ts, e o tempo de subida, Tr
� Solução:
� Tc = 1/a = 1/50 = 0,02 seg
� Ts = 4/a = 4/50 = 0,08 seg
� Tr = 2,2/a = 2,2/50 = 0,044 seg
Sistemas de Primeira Ordem
25Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Diferente de sistemas de primeira ordem, sistemas 
de segunda ordem têm uma grande variedade de 
respostas que precisam ser analisadas
� Enquanto apenas variar o parâmetro de um 
sistema de primeira ordem muda sua velocidade 
de resposta, mudanças nos parâmetros desistemas de segunda ordem podem mudar a forma 
da resposta
� Por exemplo, considere o sistema genérico:
Sistemas de Segunda Ordem
R(s)=1/s
G(s)
C(s)
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Sistemas de Segunda Ordem
Polos:
-7,854
-1,146
Sistema Sobreamortecido
(Overdamped)
Exemplo 1:
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Sistemas de Segunda Ordem
Polos:
-1 + j√8
-1 - j√8
Sistema Subamortecido
(Underdamped)
Exemplo 2:
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Sistemas de Segunda Ordem
Polos:
j3
-j3
Sistema Não-Amortecido
(Undamped)
Exemplo 3:
29Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Sistemas de Segunda Ordem
Polos:
-3 (polo duplo)
Sistema Criticamente
Amortecido
(Critically Damped)
Exemplo 4:
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Sistemas de Segunda Ordem
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� Um sistema sobreamortecido se aproxima 
rapidamente do valor final
� A resposta de um sistema subamortecido é 
sempre mais lenta, qualquer que seja o sinal de 
entrada
� O sistema criticamente amortecido é o que 
apresenta resposta mais rápida
� Vamos agora analisar cada tipo de resposta e 
mostrar como podemos usar os polos para 
determinar a natureza dessa resposta sem 
precisar usar expansão em frações parciais e 
transformada inversa de Laplace....
Sistemas de Segunda Ordem
32Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� No exemplo 1 anterior, temos:
� A função tem um polo na origem que vem do 
degrau de entrada e dois polos reais que vêm da 
função de transferência do sistema
� Assim, a saída pode ser escrita como:
� Gerando o gráfico do exemplo 1 que é chamado 
de sobreamortecido
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Sobreamortecida
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� No exemplo 2 anterior, temos:
� A função tem um polo na origem que vem do 
degrau de entrada e dois polos complexos que 
vêm da função de transferência do sistema
� Polos em s = -1 ± j√8
� Encontramos c(t):
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
Parte real = expoente da exponencial: controla 
o decaimento da amplitude da senóide
Parte complexa = frequência 
de oscilação da senóide
tg-1(Re/Img)
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� A resposta em transiente consiste de uma 
amplitude decaindo exponencialmente gerada pela 
parte real do polo do sistema vezes uma onda 
senoidal gerada pela parte imaginária do polo do 
sistema
� O valor da parte imaginária é a frequência real da 
senóide (chamada frequência de oscilação 
amortecida - ωd)
� A resposta do estado estacionário (degrau unitário) 
foi gerada pelo polo da entrada localizado na 
origem (chamada resposta subamortecida)
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
35Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
36Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
e-t
cos(√8*t)
e-t*cos(√8*t)
37Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo: Por inspeção, escreva a forma da 
resposta ao degrau do sistema abaixo:
� Solução:
� A forma da resposta forçada é um degrau
� Os polos do sistema são s = -5 ± j13,23
� A parte real, -5, é a frequência da exponencial
� A parte imaginária, 13,23, é a frequência em radianos para as 
oscilações da senóide
� ⇒
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
R(s)=1/s
G(s)
C(s)
38Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Solução:
� Assim, c(t) é uma constante mais um senóide 
exponencialmente amortecida
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Subamortecida
39Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� No exemplo 3 anterior, temos:
� A função tem um polo na origem que vem do 
degrau de entrada e dois polos imaginários que 
vêm da função de transferência do sistema
� Polos: s = ±j3
� Trata-se de uma classe do caso anterior onde a 
parte real tem valor igual a zero
� Assim, a exponencial será e-0t = 1
� A resposta é dita não amortecida
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Não Amortecida
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� No exemplo 4 anterior, temos:
� A função tem um polo na origem que vem do 
degrau de entrada e dois múltiplos polos reais que 
vêm da função de transferência do sistema
� Polos: s = -3
� Esses dois polos geram uma exponencial e uma 
exponencial multiplicada pelo tempo
� Assim, a saída pode ser estimada como:
Sistemas de Segunda Ordem
Resposta Criticamente Amortecida
41Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Em resumo:
� Respostas Sobreamortecidas
� Polos: dois polos reais em –a e –b
� Resposta natural: duas exponenciais com constantes de tempo 
iguais à localização dos polos: c(t) = K1e-at + K2e-bt
� Respostas Subamortecidas
� Polos: dois polos complexos em –a ±jω
� Resposta natural: Senóide amortecida com um envelope 
exponencial cuja constante de tempo é igual à parte real do 
polo. A frequência em radianos da senóide é igual à parte 
imaginária dos polos: c(t) = Ke-atcos(ωt - φ)
Sistemas de Segunda Ordem
42Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Em resumo:
� Respostas Não Amortecidas
� Polos: dois polos imaginários em ±jω
� Resposta natural: Senóide não amortecida com frequência em 
radianos igual à parte imaginária dos polos: c(t) = Kcos(ωt - φ)
� Mesmo caso anterior com a = 0
� Respostas Criticamente Amortecidas
� Polos: dois polos reais em –a
� Resposta natural: Um termo é uma exponencial com constante 
de tempo igual ao polo e o outro termo é uma mesma 
exponencial multiplicada pelo tempo: c(t) = K1e-at + K2te-at
Sistemas de Segunda Ordem
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Sistemas de Segunda Ordem
44Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Definição: Medidas necessárias para descrever as 
características da resposta de transiente de 
sistemas de segunda ordem
� Como a constante de tempo define para sistemas de 
primeira ordem
� 1) Frequência Natural
� 2) Coeficiente de Amortecimento
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
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� 1) Frequência Natural, ωn
� A frequência natural de um sistema de segunda ordem é 
a frequência de oscilação do sistema sem 
amortecimento
� 2) Coeficiente de Amortecimento, ζ (zeta)
� O coeficiente de amortecimento pode ser entendido 
como uma comparação entre a frequência de 
decaimento exponencial e a frequência natural
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
ζ = Frequência de decaimento exponencial
Frequência natural (rad/segundos)
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� Vamos usar esses conceitos na definição de 
sistemas de segunda ordem
� Considere o sistema geral:
� Sem amortecimento, os polos estariam no eixo 
imaginário e a resposta seria uma senóide não 
amortecida
� Para os polos serem puramente imaginários, 
teríamos a = 0:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
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� ωn é frequência de oscilações do sistema
� Como os polos estão em ±j√b: ωn = √b ⇒ b = ωn2
� Assim, o coeficiente b está associado à frequência 
natural; e o coeficiente a?
� Considerando um sistema subamortecido, os polos 
complexos têm uma parte real, σ, igual a –a/2
� A magnitude desse valor é o decaimento 
exponencial:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
ζ = Frequência de decaimento exponencial = |σ| = a/2
Frequência natural (rad/segundos) ωn ωn
⇒ a = 2ζωn
48Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Assim, a equação geral de um sistema de segunda 
ordem é:
� Exemplo:
� Se
� Quem são ζ e ωn? 
� ωn
2
= 36 ⇒ ωn = 6
� 2 ζωn = 4,2 ⇒ ζ = 0,35
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
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� Resolvendo a equação geral para sistemas de 
segunda ordem em busca de seus polos temos:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
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Sistemas de Segunda Ordem Gerais
51Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
52Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplos:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
a = 2ζωn e ωn = √b
⇒ ζ = a/(2√b)
⇒ ωn = √12 = 3,46
⇒ ζ = 8/(2√12) = 1,15 > 1 ⇒ Sobreamortecido
53Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplos:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
a = 2ζωn e ωn = √b
⇒ ζ = a/(2√b)
⇒ ωn = √16 = 4
⇒ ζ = 8/(2√16) = 1 ⇒ Criticamente amortecido
54Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplos:
Sistemas de Segunda Ordem Gerais
a = 2ζωn e ωn = √b
⇒ ζ = a/(2√b)
⇒ ωn = √20 = 4,47
⇒ ζ = 8/(2√20) = 0,89 < 1 ⇒ Subamortecido
55Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Vamos analisar a resposta ao degrau de um 
sistema subamortecido:
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
ζ < 1 (sistema subamortecido):
⇒
⇒
∴
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Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
57Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Outros parâmetros associados com a resposta 
subamortecida:
� Tempo de subida (Rise Time – Tr): O tempo necessário 
para a forma de onda ir de 0,1 a 0,9 do seu valor final
� Tempo de pico (Peak Time – Tp): O tempo necessário 
para atingir o primeiro pico
� Porcentagem sobressinal (Percent Overshoot - %OS): O 
máximo valor de pico da curva de resposta, expresso 
como uma porcentagem do estado estacionário
� Tempo de Acomodação (Settling Time - Ts): O tempo 
necessário para que a curva de resposta alcance (e 
permaneça dentro) cerca de ±2% do valor estacionário
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
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Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
59Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Cálculos:
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
Tr é calculado fazendo c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 e 
subtraindo os valores de tempo encontrados.
60Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� A tabela abaixo é usada para cálculo aproximado 
de Tr dependendo do valor de ζ :
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
Exemplo: ζ = 0,75 ⇒ Tr ≅ 2,3 seg
Tr = (1,768ζ3 - 0,417ζ2 + 1,039ζ + 1)/ωn
61Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Vamos relacionar essas variáveis à localização 
dos polos que geram as características do sistema
� Vemos abaixo um gráfico de polos para um 
sistema de segunda ordem geral subamortecido:
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
cosθ = ζ
ωd = parte imaginária do polo
σd = magnitude da parte real do polo
62Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Das equações anteriores de TP e TS, podemos 
concluir que:
� TP é inversamente proporcional à parte imaginária do 
polo
� Como linhas horizontais no plano-s são linhas de valor 
imaginário constante, elas também são linhas de tempo de pico
constante
� TS é inversamente proporcional à parte real do polo
� Como linhas verticais no plano-s são linhas de valor real
constante, elas também são linhas de tempo de acomodação 
constante
� Como ζ = cosθ, linhas radiais são linhas com ζ
constante (ou seja, %OS constante, já que só depende 
de ζ)
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
63Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
64Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
Se os polos se movem na vertical, a frequência aumenta, 
mas o envelope permanece o mesmo já que a parte real 
dos polos não muda.
65Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
Se os polos se movem na horizontal, a frequência 
permanece constante. Um movimento para a esquerda 
aumenta a velocidade do amortecimento. O tempo de 
pico é constante porque a parte imaginária também é 
constante.
66Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
Movendo os polos em uma linha radial constante a 
porcentagem de sobressinal permanece constante. 
Quanto mais distante da origem estiverem os polos, mais 
rápida a resposta.
67Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo 1: Ache ζ, ωn, TS, TP, Tr e %OS para o 
sistema com função de transferência:
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos
omegan = 19
zeta = 0.4211
Ts = 0.5000
Tp = 0.1823
pos = 23.2620
Tr = 0.0787
68Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Os parâmetros anteriores podem ser usados para 
cálculos apenas em sistemas com um ou dois 
polos, mas não para sistemas com mais polos ou 
com zeros
� Sob certas condições, um sistema com mais polos 
ou com zeros pode ser aproximado para um 
sistema de segunda ordem que tem apenas dois 
polos complexos dominantes
� Vamos analisar o efeito de um polo adicional em 
um sistema de segunda ordem
Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais
69Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Vamos analisar as condições que devem existir 
para aproximar o comportamento de um sistema 
de três polos para um de dois polos
� Considere um sistema de três polos com polos 
complexos e um polo real
� Considere os polos complexos em:
� - ζωn ± jωn√1 - ζ2
� e o real em -αr
� A saída é então:
� ou:
Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais
70Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� A exponencial com expoente αr é o termo novo 
derivado do fato do sistema ter três polos, 
portanto, é o elemento a ser analisado
� Consideraremos três casos:
� Caso I: αr = αr1 e não é muito maior que ζωn
� Caso II: αr = αr2 >> ζωn
� Caso III: αr → ∞
Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais
Termo 1 Termo 2 Termo 3
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� Caso II: αr = αr2 >> ζωn
� O termo 3 tende a decair bem mais rápido que o termo 2 que 
traz a resposta ao degrau subamostrada
� Assim, o sistema tende a um sistema de segunda ordem puro
� Caso III: αr → ∞
� Igual a antes, o termo 3 decai rapidamente e tendemos a ter um 
sistema de segunda ordem puro
� Caso I:
� O sistema não pode ser aproximado para um de segunda ordem
Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais
Termo 1 Termo 2 Termo 3
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Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais
73Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Vamos adicionar um zero a um sistema de 
segunda ordem
� Como vimos antes, os zeros afetam a amplitude 
da resposta
� Considere por exemplo o sistema:
� e analisar seu comportamento para a = 3, 5 e 10
� Polos: -1 ± j2,828
Resposta de Sistema com Zeros
74Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Resposta de Sistema com Zeros
deng = [1 2 9];
Ta = tf([1 3]*9/3, deng);
Tb = tf([1 5]*9/5, deng) ;
Tc = tf([1 10]*9/10, deng);
T= tf(9,deng);
step (T, Ta, Tb, Tc)
text (0.5, 0.6, 'no zero')
text (0.4, 0.7, 'zero at -10')
text (0.35, 0.8, 'zero at -5')
text (0.3, 0.9, 'zero at -3')
75Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� À medida que o zero se afasta dos polos 
dominantes (aumenta seu valor absoluto), a 
resposta se aproxima de um sistema de segunda 
ordem
� Quanto mais perto ele estiver, mais afeta a 
resposta transitória
� Considere um sistema com resposta C(s) sem 
zeros
� Adicionar um zero ao sistema é o mesmo que 
termos: (s + a)C(s) = sC(s) + aC(s)
� Ou seja, a derivada da resposta original e uma versão 
em escala da resposta original
Resposta de Sistema com Zeros
76Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Se a, o negativo do zero, é muito grande, a 
transformada de Laplace será aproximadamente 
aC(s),ou seja, apenas a versão em escala da 
resposta original
� Se a não for tão grande, a resposta tem um 
componente adicional que é a derivada da 
resposta original
� À medida que a diminui, o termo derivativo 
contribui mais e mais com a resposta e aumenta 
seu efeito como pode ser visto na figura anterior
Resposta de Sistema com Zeros
77Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Se a for negativo, o zero passa a estar no semi-
plano direito, o resultado para um sistema de 
segunda ordem pode ser visto a seguir, onde a 
resposta começa negativa até alcançar um valor 
de estado estacionário positivo
� Tal sistema é chamado de sistema de fase não-
mínima
� Se um carro é um sistema de fase não-mínima, ele 
vai primeiro virar um pouco para a esquerda 
quando receber o comando para virar à direita
Resposta de Sistema com Zeros
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Resposta de Sistema com Zeros
79Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exercícios Sugeridos (Nise)
� Cap. 4, Problemas:
� 2, 8, 10, 17, 18, 20, 28, 29, 33, 35, 36, 37, 45 (mas 
usando os conceitos da seção 4.10 e não 4.11)
� No MatLab:
� 3, 9, 11, 21, 46 (idem ao comentário da questão 45)
80Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
A Seguir....
� Redução de Múltiplos Subsistemas