Aula 06 - CONTROLE - PROFESSOR CARLOS ALEXANDRE

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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1
Erros de Estado Estacionário
Carlos Alexandre Mello
2Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
� Projeto e análise de sistemas de controle:
� Resposta de Transiente
� Estabilidade
� Erros de Estado Estacionário (ou Permanente)
� Diferença entre a entrada e a saída para uma entrada de teste
pré-determinada quando t →∞
� Entradas de teste comuns: degrau, rampa ou parábola
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Introdução
� Como estamos preocupados com a diferença entre 
a entrada e saída de um sistema de controle com 
re-alimentação depois de alcançar o estado 
estacionário, vamos nos limitar a estudar sistemas 
estáveis, onde a resposta natural tende a zero 
quando t →∞
� Considere os exemplos a seguir....
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Introdução
� Exemplo 1:
� Uma entrada degrau gera duas possíveis saídas: 
output1 tem erro de estado estacionário zero e output2
tem erro finito, e2 (no infinito)
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Introdução
� Exemplo 2:
� Aqui, para uma rampa de entrada, temos erro zero para 
a output1, erro finito para output2 e infinito para a 
output3
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Introdução
� Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Sistema de controle re-alimentado onde o ganho do laço 
de re-alimentação é 1
� Malha Fechada (Representação Geral) – T(s) é a função 
de transferência equivalente
Erro
C(s) = R(s)T(s)
E(s) = R(s) – C(s) = R(s) – R(s)T(s)
E(s) = R(s)[1 - T(s)]
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Introdução
� Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Malha Fechada (Re-Alimentação Unitária)
Erro
C(s) = E(s)G(s)
E(s) = R(s) – C(s) = R(s) – E(s)G(s)
E(s)[1 + G(s)] = R(s)
E(s) = R(s)/[1 + G(s)]
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Introdução
� Erro de estado estacionário finito para uma 
entrada degrau
E(s) = R(s)/(1 + K)
E(s) = 1/[s(1 + K)]
e(t) = [1/(1+K)]u(t) = 1/(1 + K)
K → ∞⇒ e(t) → 0
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Introdução
� Erro de estado estacionário zero para uma entrada 
degrau
E(s) = R(s)/(1 + K/s)
E(s) = 1/[s(1 + K/s)]
e(t) = 1/(s + K) = e-Ktu(t) = e-Kt
Ou seja, o erro decai até zero.
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� O erro de estado estacionário pode ser calculado a 
partir da função de transferência de um sistema de 
malha fechada (T(s)) ou aberta (G(s)) para 
sistemas com re-alimentação unitária
� Vamos começar analisando o erro em relação à 
função de transferência de malha fechada T(s) 
� Depois, analisaremos o sistema em malha aberta 
G(s), introduzindo a re-alimentação unitária
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Considere o erro E(s), a entrada R(s) e a saída 
C(s) para o sistema de malha fechada abaixo
� Lembrando que T(s) é a função de transferência 
equivalente
� Como calculamos antes, E(s) = R(s)[1 – T(s)]
� Estamos interessados em e(t), quando t → ∞
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� e(∞) = limt→∞e(t)
� A transformada de Laplace da derivada de uma 
função é, por definição (Teorema do valor final):
� Quando s → 0:
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Assim:
� e(∞) = limt→∞e(t) = lims→0sE(s)
� Com isso:
� e(∞) = lims→0s{R(s)[1 – T(s)]}
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Exemplo: Dado o sistema abaixo
� Seja: 
� Assim:
� Para R(s) = 1/s
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Exemplo (cont.):
� T(s) é estável, pois só tem polos no semi-plano 
esquerdo (-2 e -5)
� Assim, E(s) também não tem polos no semi-plano direito 
ou complexos (seu único novo polo é a origem)
� Com isso, podemos aplicar o Teorema do Valor Final
� e(∞) = limt→∞e(t) = lims→0sE(s)
� e(∞) = 1/2
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Sistema com malha fechada com re-alimentação 
unitária
� Solução 1: Achar a função equivalente T(s) e 
analisar como antes
� Solução 2: Definir o erro de estado estacionário 
em função de G(s)
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Sistema com malha fechada com re-alimentação 
unitária
� Com a re-alimentação unitária, E(s) é realmente o 
erro entre a entrada e a saída
� E(s) = R(s) – C(s)
� C(s) = E(s)G(s)
� ⇒ E(s) = R(s) – E(s)G(s) ⇒ E(s) = R(s)/[1 + G(s)]
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Aplicando o Teorema do Valor Final
� E(s) = R(s)/[1 + G(s)]
� e(∞) = lims→0 sR(s)/[1 + G(s)]
� Essa expressão calcula o erro de estado estacionário, 
e(∞), dada a entrada R(s) e o sistema G(s)
� Vamos analisar o erro para três tipos diferentes de 
entrada....
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Entrada Degrau: R(s) = 1/s
� edegrau(∞) = lims→0 s(1/s)/[1 + G(s)]
� edegrau(∞) = 1/[1 + lims→0 G(s)]
� O termo lims→0G(s) é o termo dc da função de 
transferência já que s, a variável de frequência, se 
aproxima de zero
� Para ter erro estacionário zero devemos ter 
lims→0G(s) → ∞
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Entrada Degrau:
� Para uma entrada degrau para um sistema de re-
alimentação unitária, o erro de estado estacionário 
será zero se existir pelo menos um integrador puro 
no caminho à frente
� Isso implica que G(s) terá, pelo menos, um ‘1/s’ (polo na 
origem) o que leva G(s)→∞, quando s→0
� Se não existir integração, então o erro será finito e 
diferente de zero
n ≥ 1
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Entrada Rampa: R(s) = 1/s2
� erampa(∞) = lims→0 s(1/s2)/[1 + G(s)] = lims→0 1/[s + sG(s)]
� erampa(∞) = 1/lims→0 sG(s)
� Para ter erro estacionário zero devemos ter 
lims→0sG(s) → ∞
� Fazendo a mesma análise anterior, é preciso 
existir pelo menos dois integradores no caminho à 
frente
n ≥ 2
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Entrada Rampa: R(s) = 1/s2
� Se houver apenas um integrador, o erro será finito
� Se não houver integrador, o erro será infinito
� Já que
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Entrada Parabólica: R(s) = 1/s3
� eparábola(∞) = lims→0 s(1/s3)/[1 + G(s)] = lims→0 1/[s2 + 
s2G(s)]
� eparábola(∞) = 1/lims→0 s2G(s)
� Para ter erro estacionário zero devemos ter 
lims→0s2G(s) → ∞
� Fazendo a mesma análise anterior, é preciso 
existir pelo menos três integradores no caminho à 
frente
n ≥ 3
24Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Entrada Parabólica: R(s) = 1/s3
� Se houver apenas dois integradores, o erro será 
finito
� Se não houver integrador, o erro será infinito
� Já que
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Exemplo 1: Erros de estadoestacionário para 
sistemas sem Integradores
� Entradas:
� 5u(t)
� 5tu(t)
� 5t2u(t)
Sistema estável: duas raízes 
reais no semi-plano esquerdo
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Exemplo 1 (cont.):
� Entrada 5u(t): 
� Entrada 5tu(t):
� Entrada 5t2u(t):
27Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Exemplo 2: Erros de estado estacionário para 
sistemas com um Integrador
� Entradas:
� 5u(t)
� 5tu(t)
� 5t2u(t)
Sistema estável: três raízes 
reais no semi-plano esquerdo
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Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Exemplo 2 (cont.):
� Entrada 5u(t): 
� Entrada 5tu(t):
� Entrada 5t2u(t):
29Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Erro de Estado Estacionário para 
Sistemas com Re-Alimentação Unitária
� Exemplo 3: Ache o erro de estado estacionário 
para as entradas 15ut, 15tu(t), 15t2u(t) para a 
seguinte função de transferência:
� Solução: O sistema é instável (há raiz com 
multiplicidade dupla), logo nenhum cálculo precisa 
ser feito
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Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Constantes de Erro Estático: especificações de 
desempenho de erro de estado estacionário
� Como definimos antes taxa de amortecimento, 
frequência natural, tempo de acomodação, etc.
Constante de Posição: Kp
Constante de Velocidade: Kv
Constante de Aceleração: Ka
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Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo:
Entrada degrau:
Entrada rampa:
Entrada parabólica:
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Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Tipo de Sistema
� Continuando com sistemas com re-alimentação unitária 
negativa
� As constantes de erro estático dependem da forma de 
G(s), principalmente, do número de integrações puras 
no caminho à frente
� O tipo do sistema depende do número n de integrações
33Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Tipo de Sistema
34Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 1: Um sistema com re-alimentação 
unitária tem a seguinte função de transferência à 
frente
� Defina o tipo do sistema, Kp, Kv e Ka
� Ache as respostas para entrada degrau, rampa e 
parabólica
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Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 1 (cont.):
� Kp = lims→0G(s) = 8000/63 = 127
� Kv = lims→0sG(s) = 0
� Ka = lims→0s2G(s) = 0
� Assim:
� edegrau(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/(1 + 127) = 0,0078
� erampa(∞) = 1/Kv = ∞
� eparábola(∞) = 1/Ka = ∞
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Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 1 (cont.):
37Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 2: Que informações as constantes de 
erro estático podem trazer:
� Suponha um sistema com Kv = 1000:
� O sistema é estável
� O sistema é do Tipo 1, já que Kv é constante
� Kv = 0 para Tipo 0 e Kv = ∞ para Tipo 2
� A entrada de teste foi uma rampa
� O erro de estado estacionário é 1/Kv
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Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 3: Que informações temos de um sistema 
com especificação Kp = 1000?
� O sistema é estável
� O sistema é do Tipo 0
� Kp = ∞ para sistemas Tipo 1 e 2
� A entrada de teste é um degrau
� edegrau(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/1001 ≈ 0,001
39Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 4: Dado o sistema de controle a seguir, 
encontre o valor de K tal que o erro de estado 
estacionário seja de 10%
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Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 4 (cont.):
� Primeiro: Definir tipo do sistema
� Kp = lims→0 G(s) = ∞
� Kv = lims→0 sG(s) = 5K/336
� Ka = lims→0 s2G(s) = 0
� Logo, o sistema é do Tipo 1
� Usando a especificação dada no problema:
� e(∞) = 1/Kv = 0,1 ⇒ Kv = 10
� Assim, K = 672
� Podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz para 
confirmar a estabilidade para esse valor de K
41Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 5: Dado o sistema de controle a seguir, 
encontre o valor de K tal que o erro de estado 
estacionário seja de 10%
42Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Constantes de Erro Estático e Tipo do 
Sistema
� Exemplo 5 (cont.):
� Primeiro: Definir tipo do sistema
� Kp = lims→0 G(s) = 12K/252
� Kv = lims→0 sG(s) = 0
� Ka = lims→0 s2G(s) = 0
� Logo, o sistema é do Tipo 0
� Usando a especificação dada no problema:
� e(∞) = 1/(1 + Kp) = 0,1 ⇒ 1 + Kp = 10 ⇒ Kp = 9
� Assim, K = 189
� Novamente, podemos aplicar o critério de Routh-Hurwitz 
para confirmar a estabilidade para esse valor de K
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Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
� Sistema genérico com re-alimentação
� Fazendo uma redução no diagrama, temos....
Transdutor
de Entrada
Controlador e Planta
Feedback
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Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
� Sistema genérico com re-alimentação
� Onde, G(s) = G1(s)G2(s) e H(s) = H1(s)/G1(s)
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Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
� Primeiro, vamos transformar o sistema de controle 
com re-alimentação não-unitária em um sistema 
com re-alimentação unitária adicionando e 
subtraindo caminhos de re-alimentação unitária
46Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
� Em seguida, combinamos H(s) com a re-
alimentação unitária negativa...
47Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
� Finalmente, combinamos G(s) com H(s) -1
� Passamos a ter uma re-alimentação unitária e E(s) 
em função de R(s) e C(s)
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Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
� Exemplo: Para o sistema abaixo, ache o tipo de 
sistema, a constante de erro apropriada ao 
sistema e o erro de estado estacionário para uma 
entrada degrau unitário 
49Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
� Exemplo (cont.):
� O primeiro passo é transformar o sistema em um 
sistema de re-alimentação unitária
� De acordo com o processo anterior, temos:
� Com:
50Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Erro de Estado Estacionário para Sistemas de 
Re-Alimentação Não-Unitária
� Exemplo (cont.):
� O sistema é do Tipo 0 já que não tem nenhuma 
integração pura
� Assim, Kp = lims→0Ge(s) = 500/(-400) = -1,25
� e(∞) = 1/(1 + Kp) = 1/(1 – 1,25) = -4
� O valor negativo do erro de estado estacionário 
implica que o degrau de saída é maior que o 
degrau de entrada
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Exercícios Sugeridos (Nise)
� Cap. 7, Problemas:
� 1, 3, 4, 5, 9, 11, 13,18, 21, 23, 38, 42
52Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
A Seguir....
� Lugar das Raízes