Mecânica dos Sólidos I Módulo 3 19 08 16

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Mecânica dos Sólidos I 
Módulo 3 
9. ANÁLISE DE TRELIÇAS PELO MÉTODO DAS SEÇÕES 
O método dos nós é mais eficaz quando as forças em todos os elementos de uma 
treliça devem ser determinadas. Se, todavia, o que se deseja é a força em apenas um 
elemento ou as forças em uns poucos elementos, outro método, o método das seções, é 
mais eficiente. 
Suponha, por exemplo, que queiramos determinar a força no elemento BD da 
treliça mostrada na Figura 9.1 (a). Para fazer isso, devemos determinar a força com a 
qual o elemento BD atua sobre os nós B ou D. Se fôssemos usar o método dos nós, 
iríamos escolher o nó B ou o nó D como um corpo livre. No entanto, podemos também 
escolher como um corpo livre uma parte maior da treliça, composta de vários nós e 
elementos, contanto que a força desejada seja uma das forças externas exercidas nessa 
parte. Se, além disso, a parte da treliça for escolhida de modo que haja um total de 
apenas três forças desconhecidas atuando sobre ela, pode-se obter a força desejada 
resolvendo-se as equações de equilíbrio para essa parte da treliça. Na prática, a parte da 
treliça a ser utilizada é obtida passando-se uma seção através de três elementos da 
treliça, um dos quais é o elemento desejado, ou seja, traçando-se uma linha que divide a 
treliça em duas partes completamente separadas, mas que não corte mais do que três 
elementos. Cada uma das duas partes da treliça obtidas depois que os elementos 
cortados tenham sido removidos pode ser usada como corpo livre. 
 
Figura 9.1 – Treliça segmentada 
Na Figura 9.1 (a), a seção nn passa através dos elementos BD, BE e CE, e a 
parte ABC da treliça foi escolhida como um corpo livre Figura 9.1 (b). As forças 
atuantes, no corpo livre são as cargas P1 e P2 nos pontos A e B, e as três forças 
desconhecidas FBD, FBE e FCE. Como não se sabe se os elementos removidos estão sob 
tração ou sob compressão, as três forças são traçadas arbitrariamente, direcionadas para 
fora do corpo livre, como se os elementos estivessem sob tração. 
O fato do corpo rígido ABC estar em equilíbrio pode ser expresso escrevendo-se 
três equações que podem ser resolvidas para as três forças desconhecidas. Se somente a 
força FBD for desejada, precisamos escrever uma equação, contanto que essa equação 
não contenha as outras forças desconhecidas. Portanto, a equação ΣME= 0 fornece o 
valor da intensidade FBD da força FBD Figura 9.1 (b). Um sinal positivo na resposta 
indica que nossa suposição original quanto ao sinal de FBD estava correta e que o 
elemento BD está sob tração; já um sinal negativo indica que nossa suposição estava 
incorreta, e que BD está sob compressão. 
Por outro lado, se apenas a força FCE for desejada, deve-se escrever uma 
equação que não envolva FBD ou FBE; a equação apropriada é ΣMB= 0. Novamente, um 
sinal positivo para a intensidade FCE da força desejada indica uma suposição correta, ou 
seja, uma tração; e um sinal negativo indica uma suposição incorreta, ou seja, uma 
compressão. 
Se apenas a força FBE for desejada, a equação apropriada é ΣFy= 0. Novamente, 
o sinal da resposta determina se o elemento está sob tração ou sob compressão. 
Quando a força em somente um elemento for determinada, nenhuma verificação 
independente para os cálculos estará disponível. No entanto, quando todas as forças 
desconhecidas exercidas sobre o corpo exercidas sobre o corpo entanto, quando todas as 
forças desconhecidas exercidas sobre o corpo livre forem determinadas, podem-se 
verificar os cálculos conferindo que ΣFx= 0. 
Exemplo 9.1: 
Determine a força nos elementos EF e GI da treliça mostrada na figura. 
 
Diagrama de corpo livre: treliça inteira. Traça-se um diagrama de corpo livre 
da treliça inteira; as forças externas atuantes nesse corpo livre consistem nas cargas 
aplicadas e nas reações em B e J. Temos as seguintes equações de equilíbrio: 
 
∑ MB = 0 
−(126 kN) ∙ (2,4 m) − (126 kN) ∙ (7,2 m) − (72 kN) ∙ (3,0 m) + J ∙ (9,6 m) = 0 
J = +148,5 kN 𝐉 = 148,5 kN ↑ 
∑ Fx = 0 
Bx + 72 kN = 0 
Bx = −72 kN ← 𝐁𝐱 = 72 kN ← 
∑ MJ = 0 
(126 kN) ∙ (7,2 m) + (126 kN) ∙ (2,4 m) − (72 kN) ∙ (3,0 m) − By ∙ (9,6 m) = 0 
By = +103,5 kN 𝐁𝐲 = 103,5 kN ↑ 
Força no elemento EF. A seção nn é definida passando pela treliça de modo 
que corta o elemento EF e apenas outros dois elementos. Depois que os elementos 
cortados foram removidos, a parte da treliça à esquerda é escolhida como corpo livre. 
Três incógnitas estão envolvidas. Para eliminar as duas forças horizontais, temos: 
 
Seção nn: 
 
∑ Fy = 0 
+103,5 𝑘𝑁 − 126 𝑘𝑁 − FEF = 0 
FEF = 22,5 kN 
Escolheu-se o sentido de FEF na suposição de que o elemento EF estava sob 
tração; o sinal negativo obtido indica que o elemento está sob compressão. 
FEF = 22,5 kN (C) ou (−) 
Força no elemento GI. Define-se a seção mm passando pela treliça de modo 
que corta o elemento GI e somente outros dois elementos. Depois que os elementos 
cortados foram removidos, a parte da treliça à direita é escolhida como corpo livre. 
Novamente, três incógnitas estão envolvidas; para eliminar as duas forças que passam 
pelo ponto H, temos: 
 
∑ MH = 0 
(148,5 kN) ∙ (2,4 m) − (72 kN) ∙ (3,0 m) + FGI ∙ (3,0 m) = 0 
FGI = −46,8 kN 𝐅𝐆𝐈 = 46,8 kN (C) 𝑜𝑢 (−) 
Exemplo 9.2: 
Determine a força nos elementos FH, GH e GI da treliça de telhado mostrado na 
figura. 
 
Diagrama de corpo livre: treliça inteira. A partir do diagrama de corpo livre 
de treliça inteira, encontramos as reações em A e L: 
 
∑ MA = 0 
−(1 kN) ∙ (5,0 m) − (1 kN) ∙ (10,0 m) − (1 kN) ∙ (15,0 m) − (1 kN) ∙ (20,0 m)
− (1 kN) ∙ (25,0 m) − (5 kN) ∙ (5,0 m) − (5 kN) ∙ (10,0 m)
− (5 kN) ∙ (15,0 m) + L ∙ (30,0 m) 
L = +7,5 kN 𝐋 = 7,5 kN ↑ 
∑ Fx = 0 
Ax = 0 
∑ Fy = 0 
−1kN − 1kN − 1kN − 1kN − 1kN − 5kN − 5kN − 5kN − 7,5kN − Ay = 0 
Ay = +12,5 kN 𝐀𝐲 = 12,5 kN ↑ 
Observamos que: 
tan α =
FG
GL
=
8,0 m
15,0 m
= 0,5333 α = 28,07° 
Força no elemento GI. A seção nn é definida passando-se pela treliça tal como 
mostra a figura. Usando-se a parte HLI da treliça como um corpo livre, obtém-se o valor 
de FGI da seguinte forma: 
 
∑ MH = 0 
(7,5 kN) ∙ (10,0 m) − (1 kN) ∙ (5,0 m) − FGI ∙ (5,33 m) = 0 
FGI = 13,13 kN 𝐅𝐆𝐈 = 13,13 kN (T) 𝑜𝑢 (+) 
Força no elemento FH. O valor de FFH é obtido a partir da equação ΣMG= 0. 
Movemos FFH ao longo de sua linha de ação até que esta atue no ponto F, no qual ela é 
decomposta em seus componentes x e y. O momento de FFH em relação ao ponto G é 
igual a (FH.cos α)(8,0 m). 
 
∑ MG = 0 
(7,5 kN) ∙ (15 m) − (1 kN) ∙ (10 m) − (1 kN) ∙ (5 m) + (FFH ∙ cos 𝛼) ∙ (8 m) = 0 
FFH = −13,81 kN 𝐅𝐅𝐇 = 13,81 kN (C) 𝑜𝑢 (−) 
Força no elemento GH. Primeiro observamos que: 
 
tan β =
GI
HI
=
5,0 m
2
3 ∙
(8,0 m)
= 0,9375 β = 43,15° 
O valor de FGH é, então, determinado decompondo-se a força FGH em 
componentes x e y no ponto G e resolvendo-se a equação ΣML= 0. 
∑ ML = 0 
(1,0 kN) ∙ (10 m) + (1 kN) ∙ (5 m) + (FGH ∙ cos 𝛽) ∙ (15 m) = 0 
FGH = −1,371 kN 𝐅𝐆𝐇 = 1,371 kN (C) 𝑜𝑢 (−)