Curvas de Nivel

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CURVAS DE NÍVEL 
O que são curvas de nível? (Conceito) 
 Curvas de nível são planos horizontais de diferentes alturas que formam diferentes figuras 
de acordo com a altura projetada no eixo z do plano carteziano. podem ser descritas por equações 
cartesianas f(x, y) = z, onde z ∈ ℝ. 
As curvas de nível são uma forma inteligente de transformar uma representação 
bidimensional em tridimensional. Matematicamente uma curva de nível pode ser definida como 
sendo a curva produzida pela intersecção de um plano horizontal com a superfície do terreno. 
 
 
f(x,y) = f(x,y) = 
 
 
Fig.1: Esbolso Gráfico e curvas de nível, respectivamente. 
 
 
 
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Deste ponto de vista uma curva é o conjunto de pontos C : {(x, y) ∈ D | f (x, y) = z} que 
satisfazem a equacão f (x, y) = z. Em outras palavras, são linhas que atravessam horizontalmente 
uma determinada superfície, ligando os pontos (x,y) com a mesma altitude z. 
Duas curvas de nível não podem se tocar ou se cruzarem. Caso isto aconteça, surge o 
paradoxo de termos um ponto com duas altitudes diferentes.. Uma curva de nível sempre tem um 
fim, seja fechando-se em si mesma ou nas margens do mapa. 
 
Para que Servem as Curvas de Nivel? (Aplicação Geral) 
 
As curvas de nível, de maneira geral, possuem aplicação em áreas como geologia, 
topografia, engenharias, entre outras, para representação gráfica de variações de altitude vistas de 
um plano superior z perpendicular ao eixo (x,y) (Fig.2). 
 
 
Fig.2 Montanha e a representação de curvas de nível 
Estas linhas são importantes para várias medidas, como por exemplo em plantações, 
medições de densdade de fluxo eletromagnetico e de intensidade de campo elétrico, delimitação e 
estudo de áreas para a produção de diversos tipos de energias, construção de hidroelétricas, 
parques eólicos e solares, dentre varias outras funcionalidades. 
 
 
 
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 As curvas de nível permitem a realização de análises e simulações 3D considerando o 
relevo de um terreno, incluindo estudos de linha de visibilidade e estudos e intervisibilidade, 
círculos de visibilidade para telecomunicações, estudos de perfil de rota para estradas e obras de 
engenharia civil e mineração, planos de contingências e simulação de inundações, analise de bacia 
hidrográfica e modelização de drenagem, cálculos de aterros e cortes em terraplanagem, sobrevoo 
3D para apresentações multimídia, criação de cenários 3D interativos mobiliados com objetos 
CAD (pontes, edifícios, skech-up,…) ou até mapas de aproximação para aeroportos ou mapas 
militares. 
 
Qual a sua utilidade nas Engenharias ? (Aplicação Específica) 
 
Como dito, as curvas de nível são usadas por vários tipos de profissionais como geólogos, 
cartógrafos, agrônomos etc e suas aplicações vão desde análise de erosões até manobras militares. 
Na Engenharia Elétrica o estudo das curvas de nível é fundamental ao desenvolvimento de estudos 
como os de potencias eólicos e de estimativas de geração de energia em determinadas regiões 
assim como tambem delimitação da bacias hidrográficas de reservatórios hidrelétricos e no estudo 
detalhado da intensidade de campos elétricos em determinados espaços (fig3). 
 
 
 
Fig.3 Intensidade de campo elétrico E em kV/m RMS – Curvas de nível 
 
 
 
 
 
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Como se calcula uma curva de nível? 
Consideremos a função f(x,y) = onde f(x,y) = z sendo z ∈ ℝ, teremos 
um numero k em z correspondente ao domínio f(x,y), assim teremos cortes em diferentes regiões 
vistos de cima, ou seja vistos paralelamente ao eixo z. 
Se atribuirmos valores a “z” teremos formas diferentes nos planos x e y que são o domínio 
da função , ou seja planos de duas dimensões que cortam o eixo z em diferentes posições. 
 
 
Fig.4 Curvas de níveis 
 
Assim, tomando z = k ( ) 
Quando k = 0, teremos f(x,y) = 0 
 
 
 Chegamos a equação da circunferência de r = 5. 
 
Quando k = 3, teremos f(x,y) = 3 
 
 Equação da circunferência de r = 4 
Quando k = 4, teremos f(x,y) = 4 
 
 
Equação da circunferência de r = 3 
 
 
 
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Portanto é possível identificar a variação de altura cada vez que atribuimos valores a k (fig.4). 
 
 
 
Referências: 
 
 Setti, A.A.; Lima, J.E.F.W.; Chaves, A.G.M.; Pereira, I.C. Introdução ao 
Gerenciamento de Recursos Hídricos. 3ed. Brasília: Agência nacional de Energia 
Elétrica; Agência Nacional de Águas. 2001. 328 p. 
 Alburguetti, L.M. Influência dos Campos Elétricos e Magnéticos no Projeto 
Eletromecânico de Subestações de Energia Elétrica. Programa de Pós-graduação em 
Engenharia Elétrica, Itajubá, Junho de 2013. p 40 
 Pacca, S.A. A integração das Pequenas Centrais Idrelétricas ao Meio Ambiente e os 
Aspectos Legais Relacionados. Discertação apresentada ao Instituto de Eletrotécnica e 
Energia da USP. São Paulo 1996.p4. 
 FERNANDES, J. A. Barahona - Manual de Hidrografia. Lisboa, Instituto Hidrográfico, 
1977 
 O MATEMÀTICO. Grings - Curvas de nível ou mapa de contorno. Disponível em:< 
https://www.youtube.com/watch?v=wDZngwCNYtA>. Acesso em: 9 Agosto. 2015. 
 RAFAEL AGUIAR. Esboço de curvas de nível e gráficos em 3D com Maple 13. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=l3jcDZzFIjA>. Acesso em: 9 Agosto. 
2015.