Aula 03 Carga Crítica

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS APLICADA
Aula 03: 
CARGA CRÍTICA DE 
COLUNAS
Bibliografia:
• HIBBELER, R. C. Resistência dos
Materiais. BEER, F. P., Resistência dos
Materiais São Paulo, Makron Books, 1996.
Introdução
Quando se projeta um elemento, é
necessário que ele satisfaça requisitos
específicos de tensão, deflexão e
estabilidade.
Introdução
Quando se projeta um elemento, é
necessário que ele satisfaça requisitos
específicos de tensão, deflexão e
estabilidade.
Alguns elementos podem estar submetidos
a uma carga de compressão e, caso
sejam comprimidos e esbeltos, tal carga
pode ser suficientemente grande para
provocar sua deflexão lateral.
Especificamente, elementos compridos e
esbeltos sujeitos a uma força axial de
compressão são chamados colunas e a
deflexão lateral que sofrem é chamada
flambagem.
Em geral, a flambagem da coluna leva a
uma falha súbita e dramática da
estrutura ou do mecanismo. Por conta
disso, as colunas devem ser projetadas
com atenção especial, para que possam
suportar com segurança as cargas
pretendidas sem que ocorra o fenômeno
da flambagem.
Carga crítica (𝑷𝒄𝒓): carga axial máxima que
uma coluna pode suportar quando está no
limite da flambagem.
Qualquer carga adicional
provocará flambagem na
coluna e, portanto, deflexão
lateral.
Coluna Ideal com Apoios de Pino
Coluna ideal:
• perfeitamente reta antes do
carregamento;
• feita de material homogêneo;
• a carga é aplicada através do
centróide da seção transversal;
• o material comporta-se de maneira
linear-elástica;
• a coluna flete-se em um único plano.
• Quando a carga crítica 𝑷𝒄𝒓 é
atingida, a coluna está no
limite de tornar-se instável;
• uma pequena força lateral 𝐹,
quando removida, vai fazê-la
permanecer na posição fletida;
• qualquer pequena redução de
𝑃 para menos de 𝑃𝑐𝑟 permite
que a coluna fique reta;
• qualquer aumento de 𝑃, além
de 𝑃𝑐𝑟 , provoca aumento
adicional da deflexão lateral.
• Para determinar a carga crítica e a forma de
flambagem da coluna, para pequenas
deformações, aplicaremos a Equação que
relaciona o momento interno na coluna com
sua forma defletida: 𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥
= 𝑀
Momento interno é:
𝑀 = −𝑃𝑣
Então:
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= −𝑃𝑣
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
+
𝑃
𝐸𝐼
𝑣 = 0
É uma equação diferencial homogênea de
segunda ordem com coeficientes
constantes. Sua solução geral será:
𝑣 = 𝐶1 sen
𝑃
𝐸𝐼
𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠
𝑃
𝐸𝐼
𝑥
𝑣 = 𝐶1 sen
𝑃
𝐸𝐼
𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠
𝑃
𝐸𝐼
𝑥
As duas constantes de integração são
determinadas pelas condições de
contorno nas extremidades da coluna.
Como 𝑣 = 0 em 𝑥 = 0, então 𝐶2 = 0. E
como 𝑣 = 0 em 𝑥 = 𝐿, então:
𝐶1 sen
𝑃
𝐸𝐼
𝐿 = 0
𝐶1 sen
𝑃
𝐸𝐼
𝐿 = 0
Essa equação é satisfeita se 𝐶1 = 0 ;
entretanto, então 𝑣 = 0 , uma solução
trivial cuja validade depende de a coluna
permanecer sempre reta, mesmo que a
carga a torne instável. A outra
possibilidade é para:
sen
𝑃
𝐸𝐼
𝐿 = 0
sen
𝑃
𝐸𝐼
𝐿 = 0
Que é satisfeita se:
𝑃
𝐸𝐼
𝐿 = 𝑛𝜋
𝑃 =
𝑛2𝜋2𝐸𝐼
𝐿²
; 𝑛 = 1, 2, 3, …
O menor valor de 𝑃 é obtido quando 𝑛 = 1, e a
carga crítica (carga de Euler) para a coluna
é, portanto: 𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿²
Substituindo 𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿²
na Equação:
𝑣 = 𝐶1 sen
𝑃
𝐸𝐼
𝑥 + 0. 𝑐𝑜𝑠
𝑃
𝐸𝐼
𝑥
A forma fletida correspondente é definida
pela equação:
𝑣 = 𝐶1 sen
𝜋𝑥
𝐿
Deve-se observar que a carga crítica
independe da resistência do material, em
vez disso, ela depende apenas das
dimensões da coluna (𝐼 e 𝐿) e da rigidez
ou do módulo de elasticidade 𝐸 do
material.
Deve-se observar que a carga crítica
independe da resistência do material, em
vez disso, ela depende apenas das
dimensões da coluna (𝐼 e 𝐿) e da rigidez
ou do módulo de elasticidade 𝐸 do
material.
A capacidade de carga da coluna aumenta à
medida que o momento de inércia da
seção transversal sobe.
A coluna sofrerá flambagem em torno do
eixo principal da seção transversal de
menor momento de inércia.
Resumindo, a equação de flambagem de uma
coluna esbelta comprida apoiada por pino
pode ser:
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿²
Onde:
𝑷𝒄𝒓: carga crítica na coluna imediatamente antes
de começar a flambagem;
𝑬: módulo de elasticidade do material;
𝑰: o menor momento de inércia da área da seção
transversal;
𝑳: comprimento da coluna sem apoio, cujas as
extremidades são presas por pinos.
Para fins de projeto, é mais conveniente se
expressar o momento de inércia por
𝐼 = 𝐴𝑟² , onde 𝐴 é a área da seção
transversal e 𝑟 é o raio de giração da área
da seção transversal. Assim:
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸 𝐴𝑟²
𝐿²
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐴
𝐿/𝑟 ²
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐴
𝐿/𝑟 ²
A relação geométrica 𝑳 / 𝒓 é denominada
índice de esbeltez 𝝀 .
Tal índice mede a flexibilidade das colunas e
serve para classificá-las como comprida,
intermediária ou curta.
Tensão Crítica:
𝜎𝑐𝑟 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
Onde:
𝝈𝒄𝒓 : tensão crítica, que é uma tensão média na
coluna imediatamente antes da flambagem. Essa é
uma tensão elástica e, portanto, 𝜎𝑐𝑟 ≤ 𝜎𝐸 (tensão de
escoamento).
𝑨: área da seção transversal.
𝑷𝒄𝒓: carga crítica.
• Para usar a fórmula de Euler, a condição
𝜎𝑐𝑟 < 𝜎𝐸 (tensão crítica menor que a
tensão de escoamento) tem que ser
satisfeita!
• Caso essa condição não ocorra, ou seja
𝜎𝑐𝑟 > 𝜎𝐸, a carga crítica será calculada por:
𝜎𝐸 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
Momento de Inércia:
• Retângulo:
𝐼𝑥 =
1
12
𝑏ℎ³
𝐼𝑦 =
1
12
ℎ𝑏³
• Círculo:
𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =
1
4
𝜋𝑟4
01) Um tubo de aço A-36
(𝐸 = 200 GPa e 𝜎𝐸 = 250 MPa)
com 7,5 m de comprimento e a
seção transversal mostrada na
figura deve ser usado como
coluna, a ser presa por um pino
na extremidade. Determinar a
carga axial máxima admissível
que a coluna suportará sem
sofrer flambagem.
Exemplos:
02) O elemento construído
com perfil W8 X 31 de aço
A-36 ( 𝐸 = 200 GPa e
𝜎𝐸 = 250 MPa), mostrado
na figura, deve ser usado
como coluna presa por
pino. Determinar a maior
carga axial que ele
suportará antes que a
flambagem se inicie ou o
aço escoe.
Coluna com Vários Tipos de apoio
Além da coluna presa por pino ou livre para
girar nas extremidades, as colunas podem
ser apoiadas de outras maneiras:
• Uma extremidade engastada e a outra
livre;
• Extremidades engastadas;
• Extremidades engastadas e presas por
pinos.
Considere o caso de uma
coluna fixa na base e livre
no topo.
Considere o caso de uma
coluna fixa na base e livre
no topo.
Para determinar a carga de
flambagem nessa coluna,
seguimos o mesmo
procedimento usado para a
coluna com pino.
Considere o caso de uma
coluna fixa na base e livre
no topo.
Para determinar a carga de
flambagem nessa coluna,
seguimos o mesmo
procedimento usado para a
coluna com pino.
Então, chega-se a carga
crítica: 𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
4𝐿²
Comprimento Efetivo: a fórmula de Euler foi
desenvolvida para colunas cujas
extremidades estejam presas por pinos ou
livres para girar. Em outras palavras, nessa
equação L representa a distância sem apoio
entre os pontos de momento nulo. Se a
coluna for apoiada de outras maneiras, a
fórmula de Euler poderá ser usada para
determinar a carga crítica desde que ‘L’
represente a distância entre pontos de
momento fletor nulo. Essa distância é
chamada comprimento efetivo da coluna,
𝐿𝑒.
Em vez de especificar o comprimento efetivo
da coluna, muitas normas de projeto
fornecem fórmulas que empregamum
coeficiente adimensional 𝐾 chamado fator
de comprimento efetivo. Então:
𝐿𝑒 = 𝐾𝐿
Podemos escrever a fórmula de Euler como:
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐾𝐿 ²
e 𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸
𝐾𝐿/𝑟 ²
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐾𝐿 ²
e 𝜎𝑐𝑟 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
Novamente:
• Para usar a fórmula de Euler, a condição
𝜎𝑐𝑟 < 𝜎𝐸 (tensão crítica menor que a
tensão de escoamento) tem que ser
satisfeita!
• Caso essa condição não ocorra, ou seja
𝜎𝑐𝑟 > 𝜎𝐸, a carga crítica será calculada por:
𝜎𝐸 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
03) A coluna de alumínio está 
engastada na parte inferior e 
presa no topo com cabos; assim, 
evita-se movimento ao longo do 
eixo x. Supondo que ela esteja 
engastada na base, determinar a 
maior carga admissível 𝑃 que 
pode ser aplicada. Usar um fator 
de segurança de flambagem
𝐹. 𝑆. = 3,0. Adotar 𝐸 = 70 GPa, 
𝜎𝐸 = 215 MPa, 𝐴 = 0,0075𝑚², 
𝐼𝑥 = 0,0000613m
4, 
𝐼𝑦 = 0,0000232m
4
.
Exemplos:
04) Uma coluna de aço tem comprimento de 9 m
e está engastada em ambas as extremidades.
Supondo que a área da seção transversal tenha
as dimensões mostradas, determinar a carga
crítica. 𝐸 = 200 GPa, 𝜎𝐸 = 250 Mpa.
05) A treliça é feita de barras de aço A-36, cada
uma com seção transversal circular. Supondo
que a força aplicada seja 𝑃 = 10 KN, determinar
o diâmetro do elemento AB que impedirá de
sofrer flambagem, em partes inteiras de mm.
Todos os elementos estão apoiados por pinos
nas extremidades. Dados: 𝐸 = 200 GPa, 𝜎𝐸 =
250 Mpa.
06) A barra de aço AC da estrutura está acoplada
por pino nas duas extremidades. Determinar o
fator de segurança em relação à flambagem em
torno do eixo y-y devido à carga aplicada 𝑃 = 15
KN. Dados: 𝐸𝑎ç𝑜 = 200 Gpa, 𝜎𝐸 = 360 Mpa.