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Aula 05 Tensão cilhante transversal

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS APLICADA
Aula 05:
Tensões de cisalhamento 
transversal
Bibliografia:
• HIBBELER, R. C. Resistência dos
Materiais. BEER, F. P., Resistência dos
Materiais São Paulo, Makron Books, 1996.
Introdução
Objetivo: desenvolver um método para
encontrar a tensão de cisalhamento em
vigas com seção transversal prismática,
feitas de material homogêneo que se
comporta de maneira linear-elástica.
Cisalhamento em elementos retos
Um elemento típico retirado do interior da
seção transversal está sujeito tanto a
tensões de cisalhamento transversais
como longitudinais.
Em (a) as tábuas são lisas e não foram
coladas, quando aplicada a carga P
haverá deslizamento de uma tábua em
relação a outra.
Em (b) as tábuas estão acopladas, as
tensões de cisalhamento longitudinal entre
elas impedirão o deslizamento e, assim, a
viga atuará como uma peça única.
Como resultado da tensão de cisalhamento,
desenvolvem-se deformações de
cisalhamento, e estas tendem a distorcer
a seção transversal de maneira bem
complexa.
Fórmula do Cisalhamento
Será determinado usando a relação: a
derivada do momento fletor interno em
relação ao eixo horizontal 𝑥 é o esforço
cortante interno:
𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
Considere o equilíbrio da força horizontal de
uma parte do elemento tirado da viga
mostrada abaixo. Em (c) têm-se a
distribuição da tensão normal.
Essa distribuição é provocada pelos
momentos fletores 𝑀 e 𝑀 + 𝑑𝑀 .
Excluímos do diagrama de corpo livre os
efeitos de 𝑉, 𝑉 + 𝑑𝑉 e 𝑤(𝑥), uma vez
que essas cargas são verticais e,
portanto, não serão incluídas no somatório
da força horizontal.
Considerando o segmento superior do
elemento, secionado a uma distância 𝑦’ do
eixo neutro EN.
∑𝐹𝑥 = 0 : será satisfeita somente se a
tensão de cisalhamento longitudinal 𝜏 atue
sobre a face inferior do segmento.
Supondo que essa tensão de cisalhamento é
constante em toda a largura t da face inferior do
segmento e atue sobre a área 𝑡 𝑑𝑥 :
+∑𝐹𝑥 = 0: 
𝐴′
𝜎′𝑑𝐴 − 
𝐴′
𝜎𝑑𝐴 − 𝜏 𝑡 𝑑𝑥 = 0
 
𝐴′
𝑀 + 𝑑𝑀
𝐼
𝑦𝑑𝐴 − 
𝐴′
𝑀
𝐼
𝑦𝑑𝐴 − 𝜏 𝑡 𝑑𝑥 = 0
𝑑𝑀
𝐼
 𝐴′ 𝑦𝑑𝐴 = 𝜏(𝑡 𝑑𝑥)
𝜏 =
1
𝐼𝑡
𝑑𝑀
𝑑𝑥
 
𝐴′
𝑦𝑑𝐴
𝜏 =
1
𝐼𝑡
𝑑𝑀
𝑑𝑥
 
𝐴′
𝑦𝑑𝐴
• Essa equação pode ser simplificada, já
que 𝑉 = 𝑑𝑀/𝑑𝑥.
• A localização do centroide da área 𝐴’ é
determinada por 𝑦′ =
 𝐴′ 𝑦𝑑𝐴
𝐴′
, pode-se
também escrever:
𝑄 = 
𝐴′
𝑦𝑑𝐴 = 𝑦′𝐴′
Assim, a fórmula de cisalhamento será:
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
Onde:
𝜏= tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à
distância 𝑦′ do eixo neutro;
V = força de cisalhamento interna;
I= momento de inércia da área da seção transversal inteira,
calculada em torno do eixo neutro;
𝑡= largura da área da seção transversal do elemento, medida no
ponto onde 𝜏 deve ser determinada;
𝑄 = 𝐴′ 𝑦𝑑𝐴 =
 𝑦′𝐴′, onde A ' é a porção superior (ou inferior) da
área da seção transversal do elemento, definido pela seção
onde 𝑡 é medida e 𝑦′ é a distância até o centroide de 𝐴′, medida
em relação ao eixo neutro.
Tensões de Cisalhamento em Vigas
Seção Transversal Retangular:
Distribuição da tensão de cisalhamento
transversal:
Vigas de abas largas: consiste de duas
‘abas’ e uma ‘alma’.
Distribuição da tensão de cisalhamento
transversal:
Exemplo 1: A viga mostrada na figura é feita
de madeira e está submetida a uma força
cortante interna 𝑉 = 3 KN.
A) Determinar a tensão de cisalhamento no
ponto P .
B) Calcular a tensão de cisalhamento máxima
na viga.
Exemplo 2: Uma viga de abas largas tem as
dimensões mostradas na Figura. Supondo
que ela seja submetida a uma força cortante
𝑉 = 80 KN. Traçar o gráfico da distribuição
da tensão de cisalhamento que atua sobre a
área de sua seção transversal.
Exemplo 3: A viga mostrada na Figura é feita
de duas tábuas. Determinar a tensão de
cisalhamento máxima na cola necessária
para manter as tábuas unidas ao longo da
junção. Os apoios em B e C exercem
somente reações verticais sobre a viga.

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