Análise e Modelagem de Estrutura

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Prof. Msc. Ricardo Lanes
E-mail: rmlanes@hotmail.com
Análise e Modelagem de Estruturas
Provas:
19/3
14/5
Adiada: 9/4
Problema Real
A análise estrutural tem como objetivo a determinação 
de respostas de uma estrutura quando esta é 
submetida às ações externas.
As ações mais usuais sobre as 
estruturas são provenientes de
cargas tais como:
Ações Externas:
- Peso próprio
- Sobrecarga
- Carga de vento
- Efeitos de temperatura
- Recalques
- Terremotos
- Outros
As respostas de interesse mais 
comuns na análise estrutural
são:
Objetivos:
- deslocamentos
- Deformações
- Tensões
- Esforços internos
- Reações de apoio.
Etapas de Modelagem e Análise Estrutural em 
Engenharia
Modelo de Análise
Não tem 
escrituração
Métodos para Análises
Métodos Analíticos (Isostático)
• Sistema Contínuo;
• Soluções matemáticas baseadas na teoria da Elasticidade 
— Equações.
Interpretação do resultado é o mais importante.
Métodos Numéricos (Hiper)
- Álgebra e matriz
• Metódo da Diferenças Finitas.
• Metódo dos Elementos Finitos.
• Metódo dos Elementos de Contorno.
- 1º Índice: Indica a Linha.
- 2º Índice: Indica a coluna.
Kij é o elemento localizado na " i " - ésima linha e " J " - 
ésima coluna.
K
K
K
1) Conceitos e Definições da Álgebra:
• Matricial: 
- Representação: em uma matriz cada elemento 
componente é representado por uma letra minúscula 
e dois índices numéricos.
Ex.:
K
K
K
K
[K] =
Análise Matricial das Estruturas
- Matriz Quadrada:
Quando uma matriz possui o número de linhas igual ao 
número de colunas.
- Matriz - Coluna:
Quando uma matriz possui apenas uma coluna.
- Matriz - Linha: Quando a matriz apresenta apenas 
uma linha.
Ex.:
Matriz Total
- Dizemos que uma matriz é simétrica se:
 Kij = Kji
Como temos K12 = K21 —— A Matriz [K] é simétrica.
[K] =
K K
 [K] = [Kij]
K K
Ex.
" K " identifica 
o elemento
 2 - 3
- 3 4
Podemos dizer
[K] =
[aij] x [bij] —— Obrigatório n = p
N° Colunas de [A]
N° Linhas de [B]
[A] x [B] = [B] x [A]
A multiplicação de matrizes é uma operação 
comutativa, ou seja:
Para esta operação 
é necessário:
2) Multiplicação de Matrizes
Não permite 
troca de termos
Procedimento:
• Para obter [C] = [A] x [B].
• Cada linha da matriz [A] é multiplicada somente uma 
vez ir cada coluna da matriz [B].
• O elemento Cij da matriz [C] é o produto da i-ésima 
linha da j-ésima coluna de [B], somando os produtos 
dos elementos correspondentes.
mxn pxq
2 3
1 4
[B] =
1 2
3 5
[C] x [A] x [B]
[A] =
Ex.: Encontre a matriz [C], resultante do produto 
matricial de [A] e [B].
3x3
Se [K] é de ordem n > = 1, podemos associar a matriz 
a um único número denominado determinante de [K], 
ou simplesmente por [K]. 
Para matrizes 2x2 e matrizes 3x3 o procedimento para 
a determinação de [K] é simples.
• DeT ( [K] ):
2x2
 3) Determinantes de Matrizes
• DeT ( [K] ):
Exemplo:
Sendo [K] de ordem n >= 2 elimina-se a linha " i " e sua 
coluna " J ", obtêm-se, cujo determinante multiplicado 
por (-1) é denominado o cofator de Kij.
Ex.: Encontre o determinante da matriz [K]:
|K| = 57
( 5x2x1 ) + (-9x1x0 ) + ( 4x4x1 ) ( 4x2x0 ) + ( 5x1x1 ) + ( -9x4x1 )
4) Cofator ou completo algébrico de um elemento Kij 
de uma matriz quadrada
i + J
5) Matriz Identidade
Definida para matrizes quadradas.
Matriz identidade
6) Matriz Transposta
Dada uma matriz [A], pode-se obter [B], transposta tal 
que [B] = [A]
7) Matriz Inversa
Uma matriz quadrada de ordem " n " é invertível se a 
matriz [A] for não singular, ou seja, |A| = 0.
Então:
Ex.: De horizontal para vertical e vice-versa
Elemento de divisão
Ex.: encontre a matriz inversa das matrizes abaixo:
Resposta Excel
RESPOSTAS 1º TRABALHO
Deltinha
Deslocamentos
Situações mais 
comuns:
Deslocamentos: 
• corpo rígido;
• Elástico
Para mola
Força (F) é proporcional à RIGIDEZ (K) e ao 
Deslocamento elástico (U).
F = K x U
Equações de Equilíbrio
Equilíbrio do Elemento "a"
Matriz de rigidez do elemento da mola [Ke].
- Será sempre uma matriz simétrica.
Sistema de Equações
- Nossa estrutura tem NÓS e ELEMENTOS.
- Sistema local: Elemento.
- Sistema Global: Estrutura.
Forma Matricial
Deslocamento
Elemento 2
Tem equilíbrio no Nó e no Deslocamento.
Grau de liberdade: direção do deslocamento.
• São definidos os SISTEMAS LOCAL (elemento) 
GLOBAL (estrutura).
• A matriz de rigidez de uma estrutura é obtida a partir 
da matriz de rigidez de cada uma de seus elementos.
Deslocamento
 Nó
Força
Elemento 1
Matriz Local do elemento : 2x2
Matriz Global da Estrutura: 3x3
Termos Práticos:
Indica a força no elemento
Indica o Nó
Estrutura
Indica qual o elemento (mola)
Considere:
É rígido, só desloca na horizontal
Exemplo 1) 
Determine os deslocamentos nos NÓS 2 ao 4 quando 
o conjunto de molas fica sujeito às condições 
mostardas abaixo.
• Formato PADRÃO de uma Matriz de Rigidez na Mola 
(local)
Montagem das Matrizes de Rigidez dos ELEMENTOS:
Montando a Matriz
Soma-se todos os valores que correspondem ao 
mesmo (I e J).
3
0
= -100 -150
= 100 +150 +400
-400
0
2
- 200
= 200+100+150+300
= -100 -150
-300
0
1
200
- 200
0
0
0
5
0
0
0
-500
500
1
2
3
4
5
[K] - DEVE ser SIMÉTRICA (Kij = Kji)
4
0
-300
-400
= 300 +400 +500
-500
Separando os valores existentes referentes aos "F"
Após separada a Matriz de rigidez Reduzida, deve-se 
tirar a MATRIZ INVERTIDA.
Multiplicação de Matriz
Matriz Invertida
Força nas Molas
F5 = - 815
F1 = - 384
F1= 0 + (-200). (1,92) + 0 = - 384 kgf
F2= 0 + (-500). (1,63) + 0 = - 815 kgf
02/04/2016
Para fazer no FTOOL apenas a questão 2
F1 K - K U1
F2 - K K U2
Mol
Elementos de Barras
Barra
Tensão normal
Módulo de elasticidade
Deformação específica
F = K.U
Rigidez da barra: K = E.A / L
F1 E.AL /L - E.AL /L U1
F2 - E.AL /L E.AL /L U2
F1 1 - 1 U1
F2 - 1 1 U2
E = área da seção transversal
L = comprimento da barra.
Treliças
Sistema Local: x y 
(longitudinal)
Sistema Global: X Y
Matriz de força no sistema 
local
Matriz de Transformação
Matriz de forças do 
sistema Global
Revisão
[K] = [T].[K].[T] = 6.300
Elemento 2
Elemento 1
[K] = [T].[K].[T] = 
2X 2Y 3X 3Y
0 0 0 0 — 2X
0 1 0 -1 — 2Y
0 0 0 0 — 3X
0 -1 0 1 — 3Y
1X 1Y 2X 2Y
1 0 -1 0 — 1X
0 0 0 0 — 2X
-1 0 1 0 — 1Y
0 0 0 0 — 2Y
Elemento 3
[K] = [T].[K].[T] = 
[K] = [T].[K].[T] = 6.300
3X 3Y 4X 4Y
1 0 -1 0 — 3X
0 0 0 0 — 3Y
-1 0 1 0 — 4X
0 0 0 0 — 4Y
Elemento 4
4X 4Y 1X 1Y
0 0 0 0 — 4X
0 1 0 -1 — 4Y
0 0 0 0 — 1X
0 -1 0 1 — 1Y
4X 4Y 2X 2Y
 0,36 -0,48 -0,360,48 — 4X
-0,48 0,64 0,48 -0,64 — 4Y
-0,36 0,48 0,36 -0,48 — 2X
 0,48 -0,64 -0,48 -0,64 — 2Y
[K] = [T].[K].[T] = 
6.300
1X 1Y 3X 3Y
0,36 0,48 -0,36 -0,48 — 1X
0,48 0,64 -0,48 -0,64 — 1Y
-0,36 -0,48 0,36 0,48 — 3X
-0,48 -0,64 0,48 0,64 — 3Y
Elemento 5
[K] = [T].[K].[T] = 
6.300
Elemento 6
Deve ser somado todos os 
nós referentes a linha e 
coluna informados. Dessa 
forma, pegaremos o 
elemento que corresponde 
a ambos fatores.
Matriz Rigidez da Estrutura
Equilíbrio
[F]=[K].[U]
• Terá valores apenas onde tivermos uma Força 
aplicada ou reação na estrutura.
• Para fazer a MATRIZ REDUZIDA:
Deslocamentos conhecidos (U) for igual a ZERO, 
irá desprezar a linha e coluna referente a estes 
deslocamentos
U1x
U1y
U2x
U2y
U3x
U3y
U4x
U4y
Faz uma linha e rebate ela para a coluna abaixo.
F1x
F1y
F2x
F2y
F3x
F3y
F4x
F4y
U3x = (2,5031 x 1000) + (-0,7326 x 500) + (2,0525 x 0) + (0,6007 x 0)
Calculadora:
Função: branco + MTRW: digita os números.
Aperta: 1/X + seta para baixo: vai aparecer a nova 
matriz.
Isso para a configuração no modo RPN. 
Para o modo ALGEBRICO, deve-se colocar o 1/X antes 
de digitar a matriz.
Solução do sistema Reduzido
Encontramos os deslocamentos que faltavam
Sistema Global
Multiplicar a matriz de rigidez da estrutura pelo 
resultado da Matriz de Deslocamento (U reduzida).
Resposta 
Diagrama
O Nó move todas as barras da estrutura que estão 
ligadas a ele.
Ele representa o mesmo deslocamento para a barra = 
deslocamento LOCAL
Forças Axiais nas Barras
Deslocamento Local
Ftool
Correção de Prova
A) Conceito 
- Barras com L >> B e L >> H
- Transmitem:
• Forças Axiais
• Momento Fletores
• Forças Cortantes
• Momentos Torsores
- Conexões:
• Compõem os Pórticos
• Não é uma conexão articulada.
Esforços 
Cortantes
Elementos de Viga
Maior rigidez na barra maior a 
flexão. O nó tem um 
compromisso de absorver os 
esforços.
Elementos de viga não rotula.
A treliça rotula.
Eixos principais de inércia então 
associados ao maior e menor momento.
A partir da equação da linha 
elástica que se define a 
Matriz de Rigidez de uma 
viga.
Vigas em 2 Dimensões
- Convenção:
• Eixo X Local: Eixo que passa pelos centroides das 
seções transversais ao longo da viga.
• Eixo Y e Z: Eixos que passam pelo centroide e 
coincidem com os eixos.
- Rigidez: 
• Axial
• À flexa em torno do eixo Y
• À flexao emtorno do eixo Z.
• À torção.
A VIGA: tem Grau 
de liberdade a 
flexão e a 
cortante
Vigas 
Simples
Formato da Matriz de Rigidez local do Elemento de Viga. 
Devido ao grau de liberdade em 2 direções teremos matriz 4x4.
Todos os elementos Kij da Matriz indicam a força 
resultante no grau de liberdade "i" devido ao 
deslocamento unitário do grau de liberdade "J".
Suposição da barra totalmente vinculada nos NÓS.
Logo:
Deslocamento 
unitário no G.L 3
K12: Esforço no Grau de Liberdade "1" em função do 
deslocamento unitário do NÓ de Grau de Liberdade 
"2".
Espelhado
Viga Indeformada:
Espelhado
Matriz de Rigidez do Elemento
Exemplo
Elemento 2
G.L 1
(U1y)
(U2z)
G. L 3
G.L 2
(U1z)
G. L 4
(U2y)
Elemento I
(U1y) 
(U1z) 
(U2y) 
(U2z) 
(U3y) 
(U3z)
Matriz de Rigidez da Estrutura
(U1y) (U1z) (U2y) (U2z) (U3y) (U3z)
Elimina as linhas e colunas onde U (deslocamento) for = 0 (nulo)
Sistema Reduzido
Determinante
Cofator
Matriz de Deslocamentos
Matriz de Forças
Fazer no FTOOL 
L = 2 m
E = 200 GPa
Seção: B x H = 100 mm x 100 mm
P = 10 KN
ELEMENTO DE VIGA
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UMA VIGA SOB 
ESFORÇOS DE FLEXÃO
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UMA VIGA SOB 
ESFORÇOS DE FLEXÃO E ESFORÇOS AXIAIS
APLICANDO-SE A MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO, 
TEM-SE:
A FORMULAÇÃO DE UM ELEMENTO DE VIGA 
SOB TORÇÃO
A FORMULAÇÃO DE UM ELEMENTO DE VIGA 
SOB TORÇÃO
A RIGIDEZ À TORÇÃO É ANÁLOGA A RIGIDEZ 
AXIAL
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UM PÓRTICO ESPACIAL
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UM PÓRTICO ESPACIAL
Prova 2