Rubens Vilhena Fonseca - Teoria dos Números (UEPA)

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Marília Brasil Xavier 
 REITORA 
 
 
 
Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca 
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
COLABORAÇÃO 
Maria da Glória Costa Lima 
Cleyton Isamu Muto 
 
 
EDITORAÇÃO ELETRONICA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 ARTE FINAL DA CAPA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 
 
REALIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM – PARÁ – BRASIL 
- 2011 -
SUMÁRIO 
 
Capítulo 1:...............................................................................................................................................9 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS ...................................................................................9 
1.1 – NÚMEROS INTEIROS ....................................................................................................................................... 10 
1.2 – PROPRIEDADES DOS INTEIROS ........................................................................................................................ 11 
1.3 – VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO ................................................................................................................ 12 
1.4 – REPRESENTAÇÃO DOS INTEIROS EM OUTRAS BASES ...................................................................................... 14 
1.5 – FATORIAL E PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM .................................................................................. 15 
1.6 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC ............................................................................................ 16 
1.7 – NÚMERO BINOMIAL ........................................................................................................................................ 17 
1.8 – NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES ...................................................................................................... 18 
1.9 – NÚMEROS BINOMIAIS CONSECUTIVOS ............................................................................................................ 18 
1. 10 – PISO, TETO E NINT DE UM NÚMERO REAL. ................................................................................................ 20 
1.11 – O PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS (PRINCÍPIO DAS GAVETAS DE DIRICHLET) .............................................. 24 
1.12 – CAOS FATORIAL: !N. ..................................................................................................................................... 25 
1.13 – LEFT FATORIAL: L!N ..................................................................................................................................... 26 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 27 
Capítulo 2:.............................................................................................................................................30 
INDUÇÃO MATEMÁTICA ........................................................................................................................30 
2.1 – ELEMENTO MÍNIMO DE UM CONJUNTO DE INTEIROS ...................................................................................... 30 
2.2 – PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO .................................................................................................................... 31 
2.3 – PRINCÍPIO DE INDUÇÃO FINITA. ...................................................................................................................... 32 
2.4 – INDUÇÃO MATEMÁTICA ................................................................................................................................ 33 
2.5. EXEMPLOS DE DEMONSTRAÇÃO POR INDUÇÃO MATEMÁTICA .......................................................................... 35 
2.6 . OUTRAS FORMAS DA INDUÇÃO MATEMÁTICA ................................................................................................ 37 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 42 
Capítulo 3:.............................................................................................................................................43 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS .............................................................................................................43 
3.1 . SOMATÓRIOS ................................................................................................................................................. 43 
3.2. PROPRIEDADES DOS SOMATÓRIOS ................................................................................................................... 44 
3.3. PRODUTÓRIOS ................................................................................................................................................. 45 
3.4. PROPRIEDADES DOS PRODUTÓRIOS ................................................................................................................. 46 
Capítulo 4 ..............................................................................................................................................48 
DIVISIBILIDADE .....................................................................................................................................48 
4.1. RELAÇÃO DE DIVISIBILIDADE EM Z ................................................................................................................. 48 
4.2. CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM INTEIRO ..................................................................................................... 50 
4.3. DIVISORES COMUNS DE DOIS INTEIROS ........................................................................................................... 50 
4.4. TEOREMA DA DIVISÃO ................................................................................................................................... 51 
4.5. PARIDADE DE UM INTEIRO .............................................................................................................................. 54 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 56 
Capítulo 5 ..............................................................................................................................................58 
MÁXIMO DIVISOR COMUM ...................................................................................................................58 
5.1. MÁXIMO DIVISOR COMUM DE DOIS INTEIROS .................................................................................................. 58 
5.2. EXISTÊNCIA E UNICIDADE DO MDC. ................................................................................................................ 59 
5.3. INTEIROS RELATIVAMENTE PRIMOS (COPRIMOS OU PRIMOS ENTRE SI) ............................................................ 61 
5.4. CARACTERIZAÇÃO DO MDC DE DOIS INTEIROS ................................................................................................ 64 
5.5. MDC DE VÁRIOS INTEIROS .............................................................................................................................. 64 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 65 
Capítulo 6 .............................................................................................................................................67 
ALGORITMO DE EUCLIDES – MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ................................................................. 67 
6.1. ALGORITMO DE EUCLIDES .............................................................................................................................. 67 
6.2 . MÚLTIPLOS COMUNS DE DOIS INTEIROS ......................................................................................................... 74 
6.3. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE DOIS INTEIROS ................................................................................................ 75 
6.5. MMC DE VÁRIOS INTEIROS .............................................................................................................................. 76 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................ 78 
Capítulo 7 ............................................................................................................................................. 79 
NÚMEROS PRIMOS ................................................................................................................................ 79 
7.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................. 79 
7.2. NÚMEROS PRIMOS (DO LAT. PRIMUS, PRINCIPAL. PRIME EM INGLÊS) .............................................................. 81 
7. 3. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA. ................................................................................................... 82 
7.4. A SEQÜÊNCIA DOS NÚMEROS PRIMOS .............................................................................................................. 84 
7.5. O CRIVO DE ERATÓSTENES. .............................................................................................................................. 86 
7.6. SEQÜÊNCIA DE INTEIROS CONSECUTIVOS COMPOSTOS .................................................................................... 94 
7.7 . CONJECTURAS ................................................................................................................................................ 96 
7.8. FÓRMULAS QUE GERAM ALGUNS NÚMEROS PRIMOS ........................................................................................ 98 
7.9. DECOMPOSIÇÃO DO FATORIAL EM FATORES PRIMOS ..................................................................................... 101 
7.10. MÉTODO DA FATORAÇÃO DE FERMAT .......................................................................................................... 105 
7. 11 – ALGORITMO DE FERMAT ............................................................................................................................ 105 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 107 
Capítulo 8: .......................................................................................................................................... 110 
EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES ................................................................................................. 110 
3.1. GENERALIDADES ........................................................................................................................................... 111 
3.2. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO ........................................................................................................ 112 
3.3. SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO AX + BY = C. ........................................................................................................... 113 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 115 
Capítulo 9 ........................................................................................................................................... 117 
CONGRUÊNCIAS .................................................................................................................................. 117 
9.1. CONGRUÊNCIAS ............................................................................................................................................ 117 
9.2. CARACTERIZAÇÃO DE INTEIROS CONGRUENTES ............................................................................................ 117 
9.3. PROPRIEDADES DAS CONGRUÊNCIAS ............................................................................................................. 118 
9.4. SISTEMAS COMPLETOS DE RESTOS ................................................................................................................ 121 
9.5 – ARITMÉTICA MÓDULO M .............................................................................................................................. 122 
9.6. ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO EM 
m
 .............................................................................................................. 124 
9.7. SUBTRAÇÃO EM 
m
...................................................................................................................................... 130 
9.8. DIVISÃO EM 
m
 ............................................................................................................................................ 131 
9.9. POTENCIAÇÃO EM 
m
 .................................................................................................................................. 135 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 139 
Capítulo 10 ......................................................................................................................................... 141 
TEOREMAS DE FERMAT, WILSON E EULER .......................................................................... 141 
10.1. PEQUENO TEOREMA DE FERMAT ....................................................................................................... 141 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 145 
10.2. TEOREMA DE WILSON .................................................................................................................................. 146 
EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................................................. 149 
10.3. TEOREMA DE EULER .................................................................................................................................... 150 
10.4. FUNÇÃO TOTIENT (N) ................................................................................................................................. 151 
10.5 – CÁLCULO DE (N) ...................................................................................................................................... 152 
10.6. RESOLUÇÃO DE CONGRUÊNCIAS LINEARES PELO TEOREMA DE EULER ......................................................... 155 
10. 7. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO (N). ................................................................................................................. 156 
10.8 – VALÊNCIA DA FUNÇÃO TOTIENTE: 
( )N m
. ............................................................................................ 159 
EXERCÍCIOS .......................................................................................................................................................... 160 
10.9. TEOREMA CHINÊS DO RESTO (TCR) ..............................................................................................................161 
10.10. POTENCIAÇÃO: UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA DE EULER ......................................................................... 165 
10.11 – POTENCIAÇÃO: UMA APLICAÇÃO DO TEOREMA CHINÊS DO RESTO (TCR) .................................................. 165 
Capítulo 11 ..........................................................................................................................................171 
CIFRA DE CÉSAR ..................................................................................................................................171 
11.1. FUNÇÕES POLINOMIAIS DE CODIFICAÇÃO .................................................................................................... 174 
 
Capítulo 12 ..........................................................................................................................................179 
CIFRA DE VIGENÈRE ...........................................................................................................................179 
Capítulo 13 ..........................................................................................................................................182 
CIFRA DE HILL.....................................................................................................................................182 
Capítulo 14 ..........................................................................................................................................190 
RSA .......................................................................................................................................................190 
14. 1. PRÉ-CODIFICAÇÃO ...................................................................................................................................... 190 
14.2 – CODIFICANDO E DECODIFICANDO ............................................................................................................... 191 
14. 3. ASSINATURA DIGITAL UTILIZANDO A CRIPTOGRAFIA RSA .......................................................................... 195 
Capítulo 15 ..........................................................................................................................................201 
PARTILHA DE SENHAS .........................................................................................................................201 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 9 
Capítulo 1: 
 
 
 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES 
FUNDAMENTAIS 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 Teoria dos Números nasceu cerca de 600 anos antes de Cristo quando Pitágoras e 
os seus discípulos começaram a estudar as propriedades dos números inteiros. Os 
pitagóricos rendiam verdadeiro culto místico ao conceito de número, 
considerando-o como essência das coisas. Acreditavam que tudo no universo estava 
relacionado com números inteiros ou razões de números inteiros (em linguagem atual, 
números racionais). Aliás, na antiguidade a designação número aplicava-se só aos inteiros 
maiores do que um. 
http://nonio.fc.ul.pt/analise1/cap1/hnum.htm 
O conceito de número tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e 
formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, 
e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as 
exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de 
número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número 
Natural. 
Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de 
número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente 
do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da 
Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses 
estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números 
positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a idéia de um número 
negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os 
números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações 
quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Bramaghupta, pois a aritmética 
sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras 
sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtração, como por 
exemplo (a - b)(c - d) = ac + bd - ad - bc, mas os hindus converteram-nas 
em regras numéricas sobre números negativos e positivos. 
Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam 
constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no 
entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como 
por exemplo: 
4x + 20 = 4 ou 3x – 18 = 5x2 
 
Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e 
XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses 
 A 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 10 
números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo 
deste fato seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como 
raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números 
negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) 
quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como 
sendo segmentos de direções opostas. 
http://www.somatematica.com.br/historia.php 
 
 
 
1.1 – Números Inteiros 
 
Os números inteiros ou apenas os inteiros são: 
 
 
 
cujo conjunto representa-se pela letra Z, isto é: 
 
 
 
Neste conjunto Z destacam-se os seguintes subconjuntos: 
1) Conjunto Z* dos inteiros não nulos (
0
): 
 
 
 
2) Conjunto 
Z
 dos inteiros não negativos (
0
): 
 
 
 
3) Conjunto 
Z
 dos inteiros não positivos (
0
): 
 
 
 
4) Conjunto 
*Z
 dos inteiros positivos (> 0): 
 
 
 
5) Conjunto 
*Z
 dos inteiros negativos (< 0): 
 
 
 
Os inteiros positivos são também denominados inteiros naturais e por isso o conjunto 
dos inteiros positivos é habitualmente designado pela letra N (N = 
*Z
). 
*Z {x Z| x 0}
 = {-1, -2, -3,...} 
 
 
 
 
*Z {x Z| x 0}
 = {1, 2, 3,...} 
 
 
 
Z {x Z| x 0}
 = {0, -1, -2, -3,...} 
 
 
 
Z {x Z| x 0}
 = {0, 1, 2, 3,...} 
 
 
Z* = 
{x Z| x 0} { 1, 2, 3,...}
 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
 
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 11 
1.2 – Propriedades dos Inteiros 
 
 
O conjunto Z dos inteiros munido das operações de adição (+) e multiplicação ( . ) 
possui as propriedades fundamentais que a seguir enumeramos, onde a, b e c são inteiros 
quaisquer, isto é, elementos de Z: 
 
1) a + b = b + a e ab = ba; 
2) (a + b) + c = a + (b + c) e (ab) c = a (bc); 
3) 0 + a = a e 1.a = a; 
4) –a = (-1) a e a – a = a + (-a) = 0; 
5) a (b + c) = ab + ac; 
6) 0.a = 0, e se ab = 0, então a = 0 ou b = 0. 
 
Também existe uma “relação de ordem” entre os inteiros, representada pelo sinal “< 
(menor que)”, que possui as seguintes propriedades: 
 
7) Se 
a 0
, então a > 0 ou a < 0; 
8) Se a < b e b < c, então a < c; 
9) Se a < b, então a + c < b + c; 
10) Se a < b e 0 < c, então ac < bc; 
11) Se a < b e c < 0, então bc < ac. 
 
 Destas propriedadespodem ser deduzidas muitas outras propriedades dos inteiros. 
 
Exemplo 1.1: Demonstrar: -(a + b) = (-a) + (-b). 
 
 Com efeito, temos sucessivamente: 
 
-(a + b) = (-1) (a + b) = (Propriedade 4) 
 = (-1) a + (-1) b = (Propriedade 5) 
 = (-a) + (-b) (Propriedade 4) 
 
Exemplo 1.2: Demonstrar que , se 
0x
, então 
20 x
 . 
 
Com efeito: 
 
1) Se
0x
, então 
0x
 ou 
0 x
 (Propriedade 7) 
2) Se 
0x
, então 
0. .x x x
 (Propriedade 11) 
 
20 x
 (Propriedade 6) 
3) Se 
0 x
 , então 
0. .x x x
 (Propriedade 10) 
 
20 x
 (Propriedade 6) 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 12 
 
Nota: 
Com o mesmo significado de a < b, escreve-se b > a. Indica-se, de modo 
abreviado, que a < b ou a = b por 
a b
. Por exemplo, temos 
2 3
, porque 2 
< 3, e 
2 2
, porque 2 - 2. 
Com o mesmo significado de 
a b
, escreve-se 
b a
. Em lugar de 
a b
 e 
b c
 também se escreve 
a b c
. 
 
 
 
1.3 – Valor absoluto de um Inteiro 
 
 
Definição 1.1: Chama-se valor absoluto de um inteiro a, o inteiro que se indica por 
| a |
, e tal 
que: 
 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
 
Consoante a definição de 
| a |
, para todo inteiro a, temos: 
 
 
 
O valor absoluto 
| a |
 de um inteiro a também pode ser definido pelas igualdades: 
 
 
 
onde 
a²
denota a raiz quadrada não negativa de a² e máx [-a, a] indica o maior dos dois 
inteiros –a e a. 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
Teorema 1.1: Se a e b são dois inteiros, então: 
 
 
 
| ab | | a | . | b |
 
 
 
 
 
 
| 4 | ( 4)² 16 4
 
| 6 |
 = máx [-6, 6] = 6 
 
 
 
 
 
| a | a²
, 
| a |
 = máx [-a, a] 
 
 
 
 
| a | 0
, 
| a | ² a²
, 
| a | | a |
, 
a | a |
 
 
 
| 3| 3
 e 
| 5| ( 5) 5
 
 
a, se a 0
| a |
a, se a < 0
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 13 
Demonstração: 
 
Com efeito: 
 
 
 
Teorema 1.2: Se a e b são dois inteiros, então: 
 
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, pela definição de 
| a |
, temos: 
 
 
 
 
Somando ordenadamente estas desigualdades, obtemos: 
 
 
 
o que implica: 
 
 
* Usou –se o fato de que 
x a a x a
. 
 
Corolário 1.1: Se a e b são dois inteiros, então: 
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito: 
 
 
 
 
 
 
| a b | | a ( b) | | a | | b | | a | | b |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
| a b | | a | | b |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
| a b | | a | | b |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(| a | | b |) a b | a | | b |
 * 
 
 
 
 
 
 
 
 
| a | a | a |
, 
| b | b | b |
 
 
 
 
 
 
 
 
| a b | | a | | b |
 
 
 
 
 
 
 
| ab | (ab)² a²b² a². b² | a | . | b |
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 14 
1.4 – Representação dos Inteiros em outras Bases 
 
 
Teorema 1.3: Dado um inteiro qualquer b 2, todo inteiro positivo n admite uma única 
representação da forma: 
 
 
 
onde os ai são tais que 0 ai < b , i = 0, 1, ... , m 
 
 
Demonstração: 
 
Assim, dado um inteiro qualquer 
2b
, todo inteiro positivo n pode ser representado por um 
polinômio inteiro em b do grau m (porque 
0ma
), ordenado segundo as potencias 
decrescentes de b, e cujos coeficientes 
ia
 são inteiros que satisfaçam as condições: 
 
 
Este polinômio representa-se, de modo abreviado, pela notação: 
 
 
 
em que os coeficientes 
ia
 são indicados pela ordem respectiva, figurando o inteiro b como um 
índice. 
 
O inteiro b chama-se base e é costume dizer que n está escrito no sistema de base b. 
 
Exemplos: 
 
a) Escrever 105 no sistema binário 
 
105 = 1.2
6
 + 1.2
5
 + 0.2
4
 + 1.2
3
 + 0.2
2
 + 0.2 + 1 = (1101001)2 
 
Por outro lado, (100111)2 = 1.2
5
 + 0.2
4
 + 0.2
3
 + 1.2
2
 + 1.2 + 1 = 39 
 
b) Escrever 31415 no sistema de base 8 
Temos, sucessivamente: 
 31415 = 8.3926 + 7 
 3926 = 8.490 + 6 
 490 = 8.61 + 2 
 61 = 8.7 + 5 
 7 = 8.0 + 7 
Portanto 31415 = 7.8
4
 + 5.8
3
 + 2.8
2
 + 6.8 + 7 = (75267)8 
 
1 2 1 0( )m m bn a a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 ( 0,1,2, , )ia b i m
, sendo 
0ma
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 2 1 0
m m
m mn a b a b a b a b a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 15 
c) Escrever (3531)6 no sistema de base 10 
Temos, (3531)6 = 3.6
3
 + 5.6
2
 + 3.6 + 1 = 847 
 
d) Escrever (6165)7 no sistema de base 12 
Temos, (6165)7 = 6.7
3
 + 1.7
2
 + 6.7 + 5 = 2154 
Vamos escrever 2154 (base 10) na base 12: 
 2154 = 12.179 + 6 
 179 = 12.14 + 11 
 14 = 12.1 + 2 
 1 = 12.0 + 1 
 
No sistema de base 12 é hábito designar 10 e 11 por a e b, respectivamente, de modo que os 
algarismos deste sistema são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b. Portanto, 
2154 = 1.12
3
 + 2.12
2
 + b.12 + 6 = (12b6)12 
 
Assim, no sistema de numeração decimal, dado um inteiro n, temos que, 
 
 
 
é a representação no sistema decimal do inteiro positivo n. 
Podemos também dizer que todo inteiro positivo n pode ser expresso sob a forma: 
 
 
 
 Onde a0 é o algarismo das unidades de n 
 
 
 
1.5 – Fatorial e Princípio Fundamental da Contagem 
 
 
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de 
azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda 
os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático 
italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os 
franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma 
indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob 
certas condições. 
 
Definição 1.2: Chama-se fatorial de um inteiro não negativo n (
n 0
), o inteiro que se indica 
por n!, e tal que: 
 
 
Assim, por exemplo: 
1, se n = 0 ou n = 1
n!
n(n 1)(n 2)...3.2.1 se n 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = 10k + a0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = am. 10
m
 + am-1. 10
m-1
 + ... + a1. 10 + a0, 0 ≤ ak ≤ 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 16 
 
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 
 
Observe-se que n! = n.(n-1)!. 
 
 
Exemplo 1.4: Escrever, usando o símbolo de fatorial, o produto dos n primeiros inteiros 
positivos pares e o produto dos n primeiros inteiros positivos ímpares. 
 
Os n primeiros inteiros positivos pares são: 
 
2,4,6, ..., 2n – 2, 2n 
Isto é: 
2.1,2.2,2.3, ..., 2 . (n – 1), 2n 
Portanto: 
2,4,6, ..., 2n – 2, 2n = 2n (1.2.3... (n -1).n) = 2n . n! 
 
Os n primeiros inteiros positivos ímpares são: 
 
 
1,3,5, ..., 2n – 3, 2n - 1 
 
Portanto: 
 
 
Exemplo 1.5: Calcular a soma: 
 
1.1! + 2.2 ! + 3.3! + ... + n.n! 
 
Tomemos a igualdade: 
 
k.k! = (k + 1)! – k! 
 
e nela façamos sucessivamente k = 1, 2, 3,..., n, o que dá: 
 
 
 
Somando ordenadamente todas essas n igualdades esimplificando, obtemos: 
 
 
 
1.6 – Princípio fundamental da contagem - PFC 
1.1! + 2.2! + 3.3! +...+ n.n! = (n + 1)! – 1 
 
1.1! = 2! – 1 
2.2! = 3! – 2! 
3.3! = 4! – 3! 
 
n.n! = (n + 1)! – n! 
 
1.2.3.4...(2 2).(2 1).2 (2 )!
1.3.5...(2 3).(2 1)
2.4.6...(2 2).2 2 . !n
n n n n
n n
n n n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 17 
 
 
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode 
ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim 
sucessivamente , então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por: 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
 
 
 
1.7 – Número Binomial 
 
 
Definição 1.3: Sejam n > 0 e k dois inteiros tais que 
0 k n
. Chama-se número binomial 
de numerador n e classe k, o inteiro que se indica por n
k
, e tal que: 
 
 
 
Obviamente, também podemos escrever: 
 
 
 
Em particular, para k = 0 ou k = n, temos: 
 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
 
 
8 8! 8.7.6.5.4.3.2.1 8.7.6
56
3 3!5! 3.2.1.5.4.3.2.1 3.2.1
 
7 7.6.5 7.6.5
35
4 (7 4)! 3.2.1
 
n n
1
0 n
 
n n(n 1)...(k 1) n(n 1)...(n k 1)
k (n k)! k!
 
n n!
k k!(n k)!
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 18 
1.8 – Números Binomiais Complementares 
 
 
Definição 1.4: Chamam-se números binomiais complementares dois números binomiais que 
têm o mesmo numerador e cuja soma das suas classes respectivas é igual ao numerador 
comum. 
Assim, por exemplo, 20
7
 e 20
13
 são números binomiais complementares, pois, têm o 
mesmo numerador 20 e 7 + 13 = 20. 
 
Teorema 1.4: Dois números binomiais complementares são iguais. 
 
 
Demonstração: 
 
Sejam n
k
 e n
h
 dois números binomiais complementares. Então, k + h = n e k = n – h. 
Portanto: 
 
 
 
 
1.9 – Números Binomiais Consecutivos 
 
 
Definição 1.5: Chamam-se números binomiais consecutivos dois números binomiais que têm 
o mesmo numerador e cujas classes respectivas são inteiros consecutivos. 
Assim, por exemplo, 18
9
 e 18
10
 são números binomiais consecutivos, pois, têm o mesmo 
numerador 18 e as suas classes respectivas são os inteiros consecutivos 9 e 10. 
 
Teorema 1.5: Entre dois números binomiais consecutivos n
k 1
 e n
k
, com 
1 k n
, 
subsiste a relação de Stifel: 
 
 
 
 
 
 
n n n 1
k 1 k k
 
n n nn! n!
k n h h(n h)!(n (n h))! (n h)!h!
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 19 
Demonstração: Com efeito: 
 
 
 
Assim, por exemplo: 
 
 
Corolário 1.2: n n 1 n 2 k k 1
...
k k 1 k 1 k 1 k 1
 
 
 
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, mudando na relação de Stifel n sucessivamente por n – 1, n – 2, n – 3,..., k, 
obtemos: 
 
 
n n 1 n 1
k k 1 k
 
n 1 n 2 n 2
k k 1 k
 
n 2 n 3 n 3
k k 1 k
 
........................................... 
n 1 k k
k k 1 k
 
 
 
18 18 19
9 10 10
 
13 12 12
8 8 7
 
 
n n n! n!
k 1 k (k 1)!(n k 1)! k!(n k)!
 
n! n!
(k 1)!(n k 1)(n k)! k(k 1)!(n k)!
 
n! 1 1
(k 1)!(n k)! n k 1 k
 
n! n 1
(k 1)!(n k)! k(n k 1)
 
n 1(n 1)!
kk!(n 1 k)!
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 20 
Além disso, é evidente: k k 1
k k 1
. 
Somando ordenadamente todas essas igualdades e suprimindo os termos comuns aos dois 
membros acha-se a relação desejada. 
Substituindo, nesta relação, cada número binomial pelo seu complementar, obtemos: 
 
 
Corolário 1.3: n n 1 n 2 n k n k 1
...
k k k 1 1 0
 
 
Demonstração: Consoante a relação de Stifel, temos: 
 
 
Além disso, temos: 
 
 
Somando ordenadamente todas essas igualdades e suprimindo os termos comuns aos dois 
membros acha-se a relação desejada. 
 
 
 
1. 10 – Piso, Teto e Nint de um número real. 
 
 
É fácil perceber que qualquer número real está entre dois números inteiros, um inteiro menor 
que o dado número real e um inteiro maior que esse número real. Por exemplo, o número real 
5
, está entre os inteiros 2 e 3 (
2 5 3
); o número real 
3
2
, está entre os inteiros -5 e -
4 (
3
5 4
2
), etc.. Veremos a seguir que o inteiro à esquerda será chamado de Piso 
(floor) e o inteiro à direita será chamado de Teto(ceiling). 
 
n k n k 1
0 0
 
n n 1 n 1
k k 1 k
n 1 n 2 n 2
k 1 k 2 k 1
n 2 n 3 n 3
k 2 k 3 k 2
...........................................
n k 1 n k n k
1 0 1
 
 
 
n n 1 n 2 k k 1
...
n k n k n k 1 1 0
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 21 
 
Definição 1.6: Chamam-se partes inteiras de um número real r, os inteiros n e n+1 que 
verificam às condições: 
 
 
 
A todo número real r podemos associar dois números inteiros chamados piso e teto. Keneth 
Iverson introduziu esses nomes, assim como a notação que será usada, no início da década de 
1960. 
 
Definição 1.7: Chama-se piso de um número real r, ao maior número inteiro menor ou igual a r. 
 
Definição 1.8: Chama-se teto de um número real r, ao menor número inteiro maior ou igual a r. 
 
Definição 1.9: Chama-se nint de um número real r, o valor inteiro mais próximo de r. Para 
evitar ambigüidades, no caso de valores de r iguais à metade de um inteiro, convenciona-se 
arredondar o valor de nint sempre para o inteiro par. 
 
Notação: Usaremos as seguintes notações: 
 
 
 
Assim, o piso e o teto de um número real r são os inteiros definidos pelas desigualdades: 
 
 
 
Em linguagem da Teoria dos Conjuntos: 
 
 
 
Observe que 
r r r
 se, e somente se, r é um número inteiro, e que todo número real r 
pode ser escrito sob a forma: 
 
 r r k
, onde 
0 1k r r
 
 
e 
 
 
1r r k
, onde 
0 1 1k r r
 
 
O número real k chama-se parte não-inteira de r. 
 
 
 
max{ | } e min{ | }r n n r r n n r  
 
1 1r r r r r
 
r
 = piso de r 
 
r
 = teto de r 
 
r
 = nint de r 
 
1n r n
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 22 
Exemplos: piso e teto de r. 
 
a) 
2 1 e 2 2
 d) 
1 1
0 e 1
3 3
 
 
 
 
b) 
3 e 4
 e) 
1 1
1 e 0
2 2
 
 
 
 
c) 
3 3
2 e 1
2 2
 f) 
7 7 e 7 7
 
 
 
 
 
Exemplos: nint de r. 
 
 
a) [2,3] = 2 e [2,7] = 3 d) [3,5] = 4 e [4,5] = 4 
 
 
 
 
 
b) 
1 23
0 e 4
3 6
 e) 
1
0 e 1,5 2
2
 
 
 
 
 
c) [ ] = 3 e [e] = 3 f) [-3, 4] = -3 e [-3, 7] = -4 
 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 23 
Abaixo, estão ilustrados os gráficos das funções piso, teto e nint, respectivamente. 
 
 
( )f x x
 
 
 
 
 
( )f x x
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 24 
 
( )f x x
 
 
 
 
1.11 – O Princípio da Casa dos Pombos (Princípio das Gavetas de Dirichlet) 
 
 
O princípio da Casa dos Pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m 
casas, sendo n > m então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. 
É também conhecido como Princípio das Gavetas de Dirichlet, acredita-se que o primeiro 
relato deste principio foi feito pôr Dirichlet em 1834, com o nome de Schubfachprinzip 
("Princípio das Gavetas"). 
O princípio da casa do pombo é um exemplo de um argumento de calcular quepode ser 
aplicado em muitos problemas formais, incluíndo aqueles que envolvem um conjunto infinito. 
Exemplo: Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas 
delas façam aniversário no mesmo mês? 
Resposta: 13 pessoas. Pelo princípio da casa dos pombos se houver mais pessoas (13) do que 
meses (12) é certo que pelos menos duas pessoas terão nascido no mesmo mês. 
Embora o princípio da casa dos pombos seja uma observação trivial, pode ser usado para 
demonstrar resultados possivelmente inesperados . Por exemplo, em toda grande cidade, 
digamos com mais de 1 milhão de habitantes existem pessoas com o mesmo número de fios de 
cabelo. Demonstração: Tipicamente uma pessoa tem cerca de 150 mil fios de cabelo. É 
razoavel supor que ninguém tem mais de 1.000.000 de fios de cabelo em sua cabeça. Se há 
mais habitantes do que o número máximo de fios de cabelo, necessariamente pelo menos duas 
pessoas terão exatamente o mesmo número de fios de cabelo. 
 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 25 
1.12 – Caos Fatorial: !n. 
 
 
Suponha que queremos calcular todos os anagramas da palavra ESCOLA, de modo que 
nenhuma letra ocupe o seu lugar original, ou primitivo. Um deles seria SEOCAL, uma vez 
que nenhuma letra ocupa seu lugar inicial. Esse tipo de permutação é chamada de caótica ou 
desordenada e o caos fatorial n ( também chamado de subfatorial ou derangements em 
Inglês), simbolizado por 
!n
, é usado para calcular o número dessas permutações caóticas. 
Lembre-se que o fatorial calcula o total de permutações de um conjunto. 
 
 
Definição 1.11.: Chama-se caos fatorial de um inteiro não negativo n (
n 0
), o inteiro que 
se indica por !n, e tal que: 
 
n nn
k 0
1 1 1 1 ( 1) ( 1)
!n n! ... n!
0! 1! 2! 3! n! k!
 
Para 
1n
, temos: 
n nn
k 2
1 1 ( 1) ( 1)
!n n! ... n!
2! 3! n! k!
 
Pode-se provar que 
n!
!n
e
. 
 
 M. Hassani deu outras formas para o caos fatorial: 
 
n! 1
!n , n 1
e
 
e 
 
1!n e e n! en! ,n 1 
 
Os 10 primeiros valores !n, são: 
n n! 
0 1 
1 0 
2 1 
3 2 
4 9 
5 44 
6 265 
7 1854 
8 14833 
9 133496 
10 1334961 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 26 
Voltando ao problema comentando no início, podemos afirmar que o número de permutações 
caóticas da palavra ESCOLA é !6 = 265. 
 
Exemplos: 
 
a) 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
!6 6! 6!
2! 3! 4! 5! 6! 2 6 24 5! 6!
 
 
9 1 1 9 1 1
!6 6! 6!
24 5! 6! 4! 5! 6!
 
 
6.5.4!.9 6.5! 6!
!6 270 6 1
4! 5! 6!
 
 
!6 265
 
 
b) 6! 720
!6 264,87... 265
e 2,718...
 
 
c) 6! 1 721
!6 265,241... 265
e 2,718...
 
 
d) 1
!6 2,718... .720 2,718... .720 3,086... .720 2,718... .720
2,718...
 
 
!6 2221,92 1956,96 2221 1956 265
 
 
 
 
1.13 – Left Fatorial: L!n 
 
 
 
Dura Kurepa , em 1971 publicou a o conceito de L!n, o left factorial, definido como 
 
 
 
Um famoso problema em aberto na Teoria dos Números, é uma conjectura feita por Kurepa 
de que o MDC (n!, L!n) = 2 para todo n maior que 1. 
Abaixo colocamos os 10 primeiros valores do left fatorial. Por definição, L!0 = 0. 
 
n L!n 
0 0 
1 1 
2 2 
1
0
! 0! 1! 2! ... ( 1)! !
n
k
L n n k
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 27 
3 4 
4 10 
5 34 
6 154 
7 874 
8 5914 
9 46234 
10 409114 
 
O left fatorial é sempre par para qualquer inteiro maior que 1. Se dividirmos o left fatorial por 
2, obtemos alguns valores primos. Veja 
n
 
!
2
L n
 
3 2 
4 5 
5 17 
8 2957 
9 23117 
10 204557 
Uma questão em aberto é saber se existem infinitos primos da forma 
!
2
L n
. 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Sem usar P.A., calcule a soma dos “n” 
primeiros inteiros positivos. 
 
2) Calcular o inteiro positivo n, sabendo que 
3
n+2 
. 2
n+3 
= 2592. 
 
3) Calcule o inteiro positivo n, sabendo-se que: 
3
n
 + 3
n+1 
+ 3
n+2 
+ 3
n+3 
= 1080. 
 
4) Com uma calculadora, achar os valores de n < 
10 para os quais n! + 1 é um quadrado perfeito. 
 
5) Sendo m e n inteiros positivos, dizer se é 
verdadeiro ou falso: 
 
a) (mn)! = m!. n! 
b) (m + n)! = m! + n! 
 
6) Demonstrar: (n – 1)! [(n + 1)! – n!] = (n!)2 
 
7) Sendo n > 2, demonstrar: (n2)! > (n!)2. 
 
8) Decompor o inteiro 565 numa soma de cinco 
inteiros ímpares consecutivos. 
9) Achar todas as soluções inteiras e positivas da 
equação (x + 1)(y + 2) = 2xy. 
 
10) Determinar todos os inteiros positivos de dois 
algarismos que sejam igual ao quádruplo da 
soma dos seus algarismos. 
 
11) Achar o menor e o maior inteiro positivo de n 
algarismos. 
 
12) Resolva a equação: (x + 2)! = 72.x! 
 
13) Resolver a equação: 
2
 7 7
2 2xx x
 
 
14) Demonstrar : 
n 1
k 1
nn k
kk
 
 
 
CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 28 
15) Achar todas as soluções inteiras e positivas da 
equação: x
2
 – y2 = 88.; 
 
16) Verificar se o quadrado de um inteiro pode 
terminar em 2, 3, 7 ou 8. 
17) Hilbert escreveu os inteiros de 1 até 1000 
(inclusive), em ordem decrescente. Sem usar 
P.A, determine qual foi o 
0333
 inteiro 
escrito? 
 
18) Calcular o número de algarismos necessários 
para ser escrever os números positivos de 1, 2. 
3, 4, ......, n algarismos. 
 
19) O produto de um inteiro positivo de três 
algarismos por 7 termina à direita por 638. 
Achar esse inteiro. 
 
20) Determinar quantos algarismos se emprega 
para numerar todas as páginas de um livro de 
2748 páginas. 
 
21) Dois homens estavam conversando num bar 
quando um virou para o outro e disse: 
 
- Tenho três filhas a soma de suas idades é 
igual ao número da casa em frente e o 
produto é 36. 
- Posso determinar as idades de suas filhas 
apenas com esses dados? 
- Não. Dar-lhe-ei um dado fundamental: 
minha filha mais velha toca piano. 
 
Determine as idades das filhas e o número da 
casa em frente. 
 
22) Calcular a soma dos três maiores números 
inteiros de, respectivamente, três, quatro e 
cinco algarismos. 
 
23) Determinar a diferença entre o maior número 
inteiro com seis algarismos diferentes e o 
maior inteiro com cinco algarismos também 
diferentes.s 
 
24) Um livro tem 1235 páginas. Determinar o 
número de vezes que o algarismo 1 aparece na 
numeração da páginas deste livro. 
 
25) Os números abaixo estão dispostos em linhas e 
colunas. 
1 2 
8 9 
15 16 
22 23 
29 30 

 

 
 
Determine a posição (linha e coluna) ocupada 
pelo número 107. 
 
26) Mostrar que o produto de quatro algarismos 
consecutivos, aumentado de 1, é um quadrado 
perfeito. 
 
27) A soma dos quadrados de dois inteiros é 3332 e 
um deles é o quádruplo do outro. Achar os dois 
inteiros. 
 
28) Escrever os inteiros de 1 a 1993, inclusive, 
quantas vezes o algarismo 1 é escrito? 
 
29) Determinar o inteiro n > 1 de modo que a soma 
1! + 2! + 3! + ... + n! seja um quadrado 
perfeito. 
 
30) A média aritmética de dois inteiros positivos é 
5 e a média geométrica é 4. Encontre esses 
números. 
 
31) Achar cinco inteiros positivos consecutivos 
cuja soma dos quadrados é igual a 2010. 
 
32) O resto por falta da raiz quadrada de um inteiro 
positivo é 135 e o resto por excesso é 38. 
Achar esse inteiro. 
 
33) Resolver a equação 
! 3( 2)! 31
! 3( 2)! 29x x
x x
 
 
34) Achar o inteiro que deve ser somado a cada um 
dos inteiros 2, 6 e 14 para que, nesta ordem, 
formem uma proporção contínua. 
 
35) Coloque em ordem crescente: 602 ; 403 ; 207
. 
 
36) Achar o valor mínimo de uma soma de 10 
inteiros positivos distintos, cada um dos quais 
se escreve com três algarismos. 
 
37) O menor número natural n, diferente de zero, 
que torna o produto de 3888 por n um cubo 
perfeito é: 
 
38) Um estudante ao efetuar a multiplicação de 
7432 por um certo inteiro achou o produto 
1731656, tendo trocado, por engano, o 
algarismo das dezenas do multiplicador, 
tomando 3 em vez de 8. Achar o verdadeiro 
produto. 
 
39) Achar o menor inteiro cujo produto por 21 é 
um inteiro formado apenas por 4 algarismo. 
 
 CAPÍTULO 1 
NÚMEROS INTEIROS – NOÇÕES FUNDAMENTAIS 
 29 
40) Escreve-se a seqüência natural dos inteiros 
positivos, sem separar os algarismos: 
 
123456789101112131415... 
Determinar: 
a) o 435º algarismo 
b) o 1756º algarismo. 
c) o 12387º algarismo. 
 
41) Escreve-se a seqüência natural dos inteiros 
positivos pares, sem separar os algarismos: 
 
24681012141618... 
 
Determinar o 2574º algarismo que se escreve. 
 
42) As representações decimais dos números 19992 
e 
19995
 são escritos lado a lado. O número de 
dígitos escritos é igual a: 
 
43) Mostrar que o produto de dois fatores entre 10 
e 20 é o décuplo da soma do primeiro com as 
unidades do segundo mais o produto das 
unidades dos dois. 
 
44) Achar o menor inteiro positivo que 
multiplicado por 33 dá um produto cujos 
algarismos são todos 7. 
 
45) Os inteiros a e b são tais que 4 < a < 7 e 3 < b 
< 4. Mostrar que 0 < a – b < 4. 
 
46) Os inteiros a e b são tais que –1 < a < 3 e –2 < 
b < 0. Mostrar que –1 < a – b < 5. 
 
47) Os inteiros a e b são tais que -2 < a < 2 e - 
2 < b < 2. Mostrar que –4 < a – b < 4. 
 
48) Em um quartel existem 100 soldados e, todas 
as noites, três deles são escolhidos para 
trabalhar de sentinela. É possível que após 
certo tempo um dos soldados tenha trabalhado 
com cada um dos outros exatamente uma vez? 
 
49) Um jogo consiste de 9 botões luminosos (de 
cor verde ou vermelha) dispostos da seguinte 
forma: 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
 
Apertando um botão do bordo do retângulo, 
trocam de cor ele e seus vizinhos (do lado ou 
em diagonal). Apertando o botão do centro, 
trocam de cor todos os seus 8 vizinhos porém 
ele não. 
 
Exemplos: 
 
Apertando 1, trocam de cor 1, 2, 4 e 5. 
Apertando 2, trocam de cor 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Apertando 5, trocam de cor 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 e 9. 
 
Inicialmente todos os botões estão verdes. É 
possível, apertando sucessivamente alguns 
botões, torná-los todos vermelhos? 
 
50) Escrevemos abaixo os números naturais de 1 a 
10. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 
 
Antes de cada um deles, coloque sinais “+” ou 
“–” de forma que a soma de todos seja zero. 
 
51) Escrevemos abaixo os números naturais de 1 a 
11. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 
Antes de cada um deles, coloque sinais “+” ou 
“–” de forma que a soma de todos seja zero. 
 
52) Para numerar as páginas de um livro foram 
utilizados 663 algarismos. Quantas páginas 
tinha o livro? 
 
53) Seja Q = 1! + 2! + 3! + ... + n!. Para quantos 
valores de n tem-se Q quadrado perfeito? 
 
54) Quantos são os números naturais de 4 dígitos 
que possuem pelo menos dois dígitos iguais? 
 
55) Quantos são os números de 5 algarismos, na 
base 10: 
 
a) Nos quais o algarismo 2 figura? 
b) Nos quais o algarismo 2 não figura? 
 
56) Permutam-se de todos os modos possíveis os 
algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e escrevem-se os 
números assim formados em ordem crescente. 
 
a) Que lugar ocupa o número 62417? 
b) Qual o número que ocupa o 66º lugar? 
c) Qual o 200º algarismo escrito? 
d) Qual a soma dos números assim 
formados? 
 
 
 
 
 30 
Capítulo 2: 
 
 
 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
s ciências naturais utilizam o método chamado indução empírica para formular leis 
que devem reger determinados fenômenos a partir de um grande número de 
observações particulares, selecionadas adequadamente. Esse tipo de procedimento, 
embora não seja uma demonstração de que um dado fato é logicamente verdadeiro, é 
frequentemente satisfatório. Por exemplo: ninguém duvidaria de que quando um corpo é 
liberado ao seu próprio peso, no vácuo, na superfície da terra, ele cai segundo a vertical do 
local. 
A validade de um teorema matemático se estabelece de forma totalmente diferente. Verificar 
que uma certa afirmação é verdadeira num grande número de casos particulares não nos 
permitirá concluir que ela é válida. 
Para demonstrar a verdade de uma sequência infinita de proposições, uma para cada inteiro 
positivo, introduziremos o chamado método de recorrência ou indução matemática. 
 
 
 
2.1 – Elemento mínimo de um conjunto de inteiros 
 
 
Definição 2.1: Seja A um conjunto de inteiros. Chama-se elemento mínimo de A um elemento 
a A
 tal que 
a x
 para todo 
x A
. 
 
Representa-se pela notação “minA”, que se lê: “mínimo de A”. Portanto, simbolicamente: 
 
 
 
Teorema 2.1: Se a é elemento mínimo de A, então esse elemento é único. 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, se existisse um outro elemento mínimo b de A, teríamos: 
 
i) 
a b
, porque a = minA. 
 
ii) 
b a
, porque b = minA.. 
A 
minA = a (
a A
 e (
x A
) (
a x
)) 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 31 
Logo, pela propriedade anti-simétrica da relação de ordem natural “ ” em Z, temos a = b. 
O elemento mínimo de A, se existe, denomina-se também primeiro elemento de A ou menor 
elemento de A 
 
Exemplo 2.1: O conjunto N = {1, 2, 3,...} dos inteiros positivos tem o elemento mínimo, que 
é 1 (minN = 1), porque 
1 N
 e 
1 n
 para todo 
n N
. 
 
Exemplo 2.2: O conjunto 
A x |x 12
 tem o elemento mínimo, que é 13 (minA = 
13), porque 
13 A
 e 
13 x
 para todo 
x A
. 
 
Exemplo 2.3: O conjunto 
0, 1, 2, 3,...
 dos inteiros não positivos não tem o elemento 
mínimo, porque não existe 
-Za
 tal que 
a x
 para todo 
-Zx
. 
 
Exemplo 2.4: O conjunto 
2A x |3divide x
tem o elemento mínimo 3 (min A = 3), 
porque 3 A (3 divide 9) e 3 x para todo x A (1 A e 2 A). 
 
 
 
 2.2 – Princípio da boa ordenação 
 
 
Todo conjunto não vazio A de inteiros não negativos possui o elemento mínimo. 
Em outros termos, todo subconjunto não vazio A do conjunto 
 
 
 
dos inteiros não negativos (
+A Z
) possui o elemento mínimo, isto é, simbolicamente: 
 
 
 
 
Exemplo 2.5: O conjunto A = {1, 3, 5, 7,...} dos inteiros positivos ímpares é um subconjunto 
não vazio de 
 
 
Logo, pelo “Princípio da boa ordenação”, A possui o elemento mínimo (minA = 1). 
 
Exemplo 2.6: O conjunto P = {2,3,5,7,11, ...} dos inteiros primos é um subconjunto não vazio 
de Z+ ( P Z+). Logo, pelo “Principio da boa ordenação”, P possui o elemento mínimo 
(minP = 2). 
 
Teorema 2.2 (de Archimedes): Se a e b são dois inteiros positivos quaisquer, então existe um 
inteiro positivo n tal que 
na b
. 
 
Demonstração: 
+Z
 (
+A Z
). 
 
(
,A Z A
) 
min A
 
+Z ={0 ,1, 2, 3, ...}
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 32 
Suponhamos que a e b são dois inteiros positivos para os quais 
na b
 para todo inteiro 
positivo n. Então, todos os elementos doconjunto: 
 
 
 
são inteiros positivos e, pelo “Princípio da boa ordenação”, S possui o elemento mínimo, 
digamos minS = b – ka. 
 
E como b – (k + 1)a pertence a S, porque S contém todos os inteiros positivos desta forma, 
temos: 
 
 
 
isto é, b – ka não é o elemento mínimo de S, o que é uma contradição. Logo, a propriedade 
archimediana é verdadeira. 
 
Assim, por exemplo: 
 
i) se a = 2 e b = 11, então n = 6, porque 6.2 > 11; 
 
ii) se a = 9 e b = 5, então n =1, porque 1.9 > 5. 
 
 
 
2.3 – Princípio de Indução Finita. 
 
 
Quando uma proposição é enunciada em termos de números naturais, o Princípio de indução 
finita constitui um eficiente instrumento para demonstrar a proposição no caso geral. 
 
Na prática, o método pode ser entendido por um artifício muito simples. Vamos supor que 
temos uma série de dominós idênticos colocados em fila, que começa por um deles e 
prossegue indefinidamente. Nosso objetivo é - empurrando apenas um dominó - garantir que 
todos caiam. Como derrubar todos os dominós? Para isso, basta nos assegurarmos de que: 
 
1) O primeiro dominó cai; 
 
2) Os dominós estão dispostos de tal modo que qualquer um deles - toda vez que cai -, 
automaticamente, empurra o dominó seguinte e o faz cair também. 
 
Assim, mesmo que a fila se estenda indefinidamente, podemos afirmar que todos os 
dominós cairão. 
 
 
 
 
 
b – (k + 1) a = (b – ka) – a < b – ka 
 
 
S = {b – na | 
n N
} 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 33 
 Vamos estabelecer matematicamente esses procedimentos. 
 
Teorema 2.3 Seja S um subconjunto do conjunto N dos inteiros positivos (
S N
) que 
satisfaz as duas seguintes condições: 
 
i) 1 pertence a S (
1 S
); 
 
ii) para todo inteiro positivo k, se 
k S
, então 
( 1)k S
. 
 
Nestas condições, S é o conjunto N dos inteiros positivo: S = N. 
 
Demonstração: 
 
Suponhamos, por absurdo, que S não é o conjunto N dos inteiros positivos (
S N
) e seja X o 
conjunto de todos os inteiros positivos que não pertencem a S, isto é: 
 
 
 
Então, X é um subconjunto não vazio de N (
X N
) e, pelo “Princípio da boa 
ordenação”, existe o elemento mínimo 
0x
 de X (minX = 
0x
). 
Pela primeira condição, 
1 S
, de modo que 
0x
 > 1 e, portanto, 
0x
 - 1 é um inteiro positivo que 
não pertence a X. Logo, (x0 - 1) S e, pela segunda condição, segue-se que (
0x
 - 1) + 1 = 
0x
 
S
, o que é uma contradição, pois, 
0x X N S
, isto é, 
0x S
. Assim sendo, 
X
 e S 
= N. 
Consoante este “Princípio de indução finita”, o único subconjunto de N que satisfaz às duas 
condições é o próprio N. 
 
 
 
2.4 – Indução Matemática 
 
 
Em matemática, conclusões como as que se obtêm a seguir são inadmissíveis. Por quê? Em 
que pecam os raciocínios utilizados? Vamos examiná-los... 
 
1) Suponha que desejemos obter uma fórmula que dá o valor da soma Sn = 1 + 3 + 5 + 7 + ... 
+ (2n - 1), para qualquer inteiro positivo de n. 
 
É fácil ver que: 
 n = 1 S1 = 1 = 1
2
; 
 n = 2 S2 = 1 + 3 = 4 = 2
2
; 
 n = 3 S3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 3
2
 
 n = 4 S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4
2 
X = {x | 
x N
 e 
x S
} = N – S 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 34 
Por meio de um raciocínio indutivo, os resultados obtidos nos levam a afirmar que para 
todo inteiro positivo n tem-se Sn = n
2
. 
2) Consideremos o trinômio P(n) = n2 + n + 41. Considerando n = 0, obtemos P(0) = 41, que 
é um número primo. Substituindo n por 1, chegamos a outro número primo, o 43. 
Substituindo sucessivamente n por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, conseguimos como resultados 
outros números primos (47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131 e 151, respectivamente). Então, os 
resultados obtidos nos induzem a afirmar que, para todo n natural, o trinômio P(n) = n
2
 + n 
+ 41, sempre produz como resultado um número primo. 
Nos dois exemplos, propôs-se um resultado geral, supostamente válido para todo n, com 
base no fato de que ele é correto para alguns valores particulares de n: tal procedimento, 
entretanto, pode conduzir a conclusões falsas. 
Assim, ainda que em no primeiro caso a proposição geral enunciada resulte correta - por 
mero acaso! -, a proposição geral do segundo exemplo é falsa. De fato, P(n) gera números 
primos para n= 0, 1, 2, 3, ..., 39, mas para n = 40, ele vale 41
2
, que não é um número 
primo. Portanto, no exemplo 2), encontramos uma proposição que - apesar de válida em 
40 casos particulares - não é válida em geral. 
Note bem: Uma proposição pode ser válida em uma série de casos particulares, mas, 
mesmo assim, não o ser de maneira geral. 
Coloca-se, então, o seguinte problema: temos uma proposição que se mostrou correta em 
muitos casos particulares. No entanto, é impossível verificar todos os casos particulares. 
Assim sendo, como podemos saber se a proposição é correta de modo geral? O Teorema 
abaixo, esclarece essa questão. 
 
Teorema 2.4: Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às 
duas seguintes condições: 
 
i) P(1) é verdadeira; 
 
ii) para todo inteiro positivo k, se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. 
 
 Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n para os quais a proposição P(n) é 
verdadeira, isto é: 
 
 
Pela primeira condição, P(1) é verdadeira e, portanto, 
1 S
. Pela segunda condição, para todo 
inteiro positivo k, se 
k S
, então 
( 1)k S
. Logo, o conjunto S satisfaz às duas condições 
do “Princípio de indução finita” e, portanto, S = N, isto é, a proposição P(n) é verdadeira para 
todo inteiro positivo n. 
S = {
n N
 | P(n) é verdadeira} 
 
 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 35 
 
Nota: O teorema 2.4 é geralmente denominado “Teorema da indução matemática” ou 
“Princípio de indução matemática”, e a demonstração de uma proposição usando-se este 
teorema chama-se “demonstração por indução matemática” ou “demonstração por indução 
sobre n”. 
 
Na “demonstração por indução matemática” de uma dada proposição P(n) é obrigatório 
verificar que as condições i e ii são ambas satisfeitas. A verificação da condição i é 
geralmente muito fácil, mas a verificação da condição ii implica em demonstrar o teorema 
auxiliar cuja hipótese é: 
 
 
 
denominada “hipótese de indução”, e cuja tese ou conclusão é: 
 
 
 
 
 
2.5. Exemplos de demonstração por Indução Matemática 
 
 
Exemplo 2.7: Demonstrar a proposição: 
 
 
 
Demonstração: 
 
i) P(1) é verdadeira, visto que 1 = 1². 
 
ii) A hipótese de indução é que a proposição: 
 
 
 
é verdadeira. 
 
Adicionando (2k + 1) a ambos os membros desta igualdade, obtemos: 
 
 
 
e isto significa que a proposição P(k + 1) é verdadeira. 
 
Logo, pelo “Teorema da indução matemática”, a proposição P(n) é verdadeira para todo 
inteiro positivo n. 
 
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1) = (k + 1)² 
 
 
P(k): 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k², 
k N
 
 
 
P(n): 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n², 
n N
 
 
 
 
 
 
 
T: proposição P(k + 1) é verdadeira. 
 
 
 
 
 
H: proposição P(k) é verdadeira, 
k N
. 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 36 
Exemplo 2.8: Demonstrar a proposição: 
 
 
 
Demonstração: 
1) P(1) é verdadeira, visto que 
1 1
1.2 1 1
 
2) A hipótese de indução é que a proposição: 
 
 
 
é verdadeira.Adicionando 
1
k 1 k 2
 a ambos os membros desta igualdade, obtemos: 
 
 
 
e isto significa que a proposição 
1P k
 é verdadeira. Logo, pelo “Teorema da indução 
matemática”, a proposição 
P n
 é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
Exemplo 2.9: Demonstrar a proposição: 
 
 
 
Demonstração: 
 
1) P (1) é verdadeira, visto que 
23| 2 1
. 
2) A hipótese de indução é que a proposição: 
2kP k :3 | 2 1 ,k N
 é verdadeira. 
Portanto: 
 
2
2k
 – 1 = 3q, com q Z 
 
 
2( ) :3 | 2 1 ,nP n n N
 
 
2
1 1 1 1 1
...
1.2 2.3 3.4 k(k 1) k 1 k 2
k 1 k 2k 1 k 1
k 1 k 1 k 2 (k 1) k 2 k 2
 
 
1 1 1 1 k
P(k) : ... , k N
1.2 2.3 3.4 k(k 1) k 1
 
 
 
1 1 1 1 n
P(n) : ... , n N
1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1
 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 37 
o que implica: 
 
2 2 2k 2k
2k 2k
2 k 1 1 2 .2 1 4.2 1
4.2 4 4 1 4 2 1 3
4.3q 3 3(4q 1)
 
 
isto é, a proposição 
1P k
 é verdadeira. Logo, pelo “teorema da indução matemática”, a 
proposição 
P n
 é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
Exemplo 2.10: Demonstrar a proposição: 
 
( ) : 2 ,nP n n n N
 
 
Demonstração: 
 
1) P(1) é verdadeira, visto que 2¹ = 2 > 1. 
 
2) A hipótese de indução é que a proposição: 
 
P(k): 
2k k
, 
k N
 
 
 
é verdadeira. Portanto: 
 
2.2
k
 > 2k ou 2
k+1
 > k + k k + 1 
 
o que implica: 
12 1k k
, isto é, a proposição P(k+1) é verdadeira. Logo, pelo “Teorema da 
indução matemática”, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
 
 
2.6 . Outras formas da indução matemática 
 
 
Teorema 2.5 Seja r um inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposição associada a cada 
inteiro n r e que satisfaz às duas seguintes condições: 
 
i) P(r) é verdadeira; 
ii) para todo inteiro k r, se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira. 
 
 Nestas condições, P(n) é verdadeira para todo inteiro n r.. 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 38 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n para os quais a proposição P(r + n – 1) é 
verdadeira, isto é: 
 
S = {n N | P(r + n – 1) é verdadeira} 
 
Pela primeira condição, P(r) = P(r + 1 – 1) é verdadeira, isto é, 1 S. E, pela segunda 
condição, se P(r + k – 1) é verdadeira, então: 
 
P((r + k – 1) + 1) = P(r + (k + 1) – 1) 
 
também é verdadeira, isto é, se k S, então (k + 1) S. Logo, pelo “Princípio da indução 
finita”, S é o conjunto dos inteiros positivos: S = N, isto é, a proposição P(r + n – 1) é 
verdadeira para todo 
n N
, ou seja, o que é a mesma coisa, a proposição P(n) é verdadeira 
para todo inteiro 
n r
. 
 
Exemplo 2.11: Demonstrar a proposição: 
 
P(n): 
2 !n n
, 
4n
 
 
Demonstração: 
 
1) P(4) é verdadeira, visto que 
42 16 4! 24
. 
2) Suponhamos, agora, que é verdadeira a proposição: 
 
 
 
Então, por ser 
 
 
 
multiplicando termo a termo ( I ) e ( II ): 
 
 
 
isto é, a proposição P(k + 1) é verdadeira. Logo, pelo teorema 2.5, a proposição P(n) é 
verdadeira para todo inteiro 
4n
. 
 
 
Observe-se que a proposição P(n) é falsa para n = 1, 2, 3, pois, temos: 
 
 
Exemplo 2.12: Demonstrar a proposição: 
 
2¹ > 1! , 2² > 2! , 2³ > 3! 
 
 
 
12 !.( 1)k k k
 ou 
12 ( 1)!k k
 
 
 
 
2 < k + 1 para 
4k
 ( II ), 
 
 
 
P(k): 
2 !k k
, 
4k
 ( I ) 
 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 39 
P(n) : n
2
 > 2n + 1, n 3 
 
Demonstração: 
 
1) P (3) é verdadeira, visto que 32 = 9 > 2. 3 + 1= 7. 
2) Suponhamos, agora, que é verdadeira a proposição: 
 
P(k) : k
2
 > 2k + 1, k 3 
 
Então, temos: 
 
k
2
 + (2k+ 1) > (2k+1) + (2k+1) 
ou 
 
(k +1)
2
 > 2 (k + 1) + 2k > 2 (k + 1) + 2 > 2 (k +1) + 1, k 3 
 
e, portanto: 
 
(k +1)
2
 > 2 (k +1) + 1, k 3. 
 
Isto é, a proposição 
1P k
 é verdadeira. Logo, pelo teorema 2.5, a proposição 
P n
 é 
verdadeira para todo inteiro 
3n
. 
 
Observa-se que a proposição 
P n
 é falsa para n = 1 e n = 2, pois, temos: 
 
1
2
 < 2.1+1 e 2
2
 < 2.2 + 1 
 
Teorema 2.6 Seja P(n) uma proposição associada a cada inteiro positivo n e que satisfaz às 
duas seguintes condições: 
 
i) P(1) é verdadeira; 
 
ii) para todo inteiro positivo k, se 
 
 
 
são todas verdadeiras, então P(k + 1) também é verdadeira. 
Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro positivo n. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P(1), P(2),..., P(k) 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 40 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n para os quais a proposição P(n) é 
verdadeira, isto é: 
 
 
Suponhamos por absurdo, que 
S N
 e seja X o conjunto de todos os inteiros positivos que 
na pertencem a S, isto é: 
 
 
Então, X é um subconjunto não vazio de N e, pelo “Princípio da boa ordenação”, existe o 
elemento mínimo j de X (minX = j). 
 
Pela primeira condição, 
1 S
, de modo que j > 1, e como j é o menor inteiro positivo que não 
pertence a S, segue-se que as proposições P(1), P(2),..., P(j – 1) são todas verdadeiras. Então, 
pela segunda condição, a proposição P(j) é verdadeira e 
j S
, o que é uma contradição, pois 
j X
, isto é, 
j S
. Assim sendo, S = N e a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro 
positivo n. 
 
Teorema 2.7 Seja r um inteiro positivo fixo e seja P(n) uma proposição associada a cada 
inteiro 
n r
 e que satisfaz às duas seguintes condições: 
 
1) P(r) é verdadeira; 
 
2) para todo inteiro k > r, se P(m) é verdadeira para todo inteiro m tal que 
r m k
, então 
P(k) é verdadeira. 
 
 Nestas condições, a proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro 
n r
. 
 
 
Demonstração: 
 
Seja S o conjunto de todos os inteiros 
n r
 para os quais a proposição P(n) é falsa, isto é: 
 
 
 
Suponhamos, por absurdo, que S não é vazio (
S
). Então, pelo “Princípio da boa 
ordenação”, existe o elemento mínimo j de S (minS = j). 
 
Pela primeira condição, 
r S
, de modo que j > r, e, por conseguinte P(m) é verdadeira para 
todo inteiro m tal que 
r m j
. Assim sendo, pela segunda condição, P(j) é verdadeira e 
j S
, o que é uma contradição, pois, 
j S
. Logo, o conjunto S é vazio (
S
), e a 
proposição P(n) é verdadeira para todo inteiro 
n r
. 
 
 
 
S = {
n N
 | 
n r
 e P(n) é falsa} 
 
 
 
X = {x | 
x N
 e 
x S
} = N – S 
 
 
S = {
n N
 | P(n) é verdadeira} 
 
 
 CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 41 
Nota Histórica 
 
 
Era ideia assente na comunidade matemática do século XIX, que a indução era obra do 
matemático francês Blaise Pascal , tendo em conta diversas demonstrações que apresenta no 
seu Traité du Triangle Arithmétique. 
Essa situação seria integralmente modificada, vinte anos após a formulação moderna de 
indução matemática fixada por Giuseppe Peano , quando Giovanni Vacca , em 1909, num 
artigo de três páginas publicado no Bulletin of American Mathematical Society, vem defender 
que o italiano Francesco Maurolico , pelos trabalhos que desenvolveu no primeiro livro de 
aritmética incluído na sua Opuscula Mathematica, escrita em 1557 e publicado em Veneza no 
ano de 1575, como "the first discoverer of the principle of mathematical induction". 
O artigo de Vacca encontrou eco, ainda que eventualmente sem verificação posterior, em 
autoresimportantes como Moritz Cantor ou Siegmund Günther . M. Cantor, por exemplo, 
que atribuiu inicialmente a Pascal a principal origem do método de indução completa (em 
Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, vol. 2, p. 749), viria a transferir esse atributo 
para Maurolico (em Zeichrift fur Mathematischen und Naturwissenschaftlichen Unterricht, 
vol 33, 1902, p. 536), segundo conta devido a uma informação oral que lhe foi prestada pelo 
próprio Vacca. 
Passar-se-iam mais de quarenta anos sem que o artigo de Vacca fosse alvo de qualquer crítica. 
Até que Hans Freudenthal (em Zur Geschichte der vollständigen Induktion, Archive 
Internationale d'Histoire des Sciences 6 (1953) 17-37) depois de um exame detalhado dos 
trabalhos de Maurolico, vem sustentar que em apenas três pontos conseguiu reconhecer uma 
certa forma de indução matemática: uma forma arcaica, contudo, ao contrário do que 
observou em Pascal, onde a indução é formulada pela primeira vez de uma maneira abstrata. 
 
CAPÍTULO 2 
INDUÇÃO MATEMÁTICA 
 
 42 
 EXERCÍCIOS 
 
1) Demonstrar por "indução matemática": 
a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 
6
)1n2)(1n(n
 
n N 
 
b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 
4
)1n(n 22
 n 
 N 
 
c) 12 + 32 + 52 + ... + (2n – 1)2 = 
3
)1n4(n 2
 n N 
 
d) 13 + 33 + 53 + ... + (2n –1)3 = n2(2n2 – 1) 
 
e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = 
3
)2n)(1n(n
 
f) 
1 1 1
1 1 1 1 ... 1 1
2 3
n
n
, n N 
 
g) a + aq + aq2 + ...+aqn =
1q
)1q(a 1n , q 1 
 
2) Demonstrar por "indução matemática" 
 
a) 2n < 2n+1 n N 
b) 2n > n2 n 5 
c) 4n > n4 n 5 
d) 2n > n3 n 10 
e) n ! > n2 n 4 
f) n! > n3 n 6 
g) 
2n
1
...
9
1
4
1
1
 2 – 
n
1
, n N 
 
3) Demonstrar por "indução matemática" 
 
a) 2 | (3n – 1) n N 
b) 6 | (n3 – n) n N 
c) 5 | (8n – 3n) n N 
d) 24 | (52n – 1) n 
e) 7 | (23n – 1) n N 
f) 8 | 32n + 7, n N. 
 
4) Demonstrar que 10n + 1 – 9n – 10 é um múltiplo 
de 81 para todo inteiro positivo n 
 
5) Demonstrar que 
15
n7
5
n
3
n 53
 é um inteiro 
positivo para todo n N 
 
 
6) Prove que, para todo inteiro 
1n
 , o número 
4 1
3
n
na
 é inteiro e ímpar. 
 
7) Para 
1n
, mostre que 
1
!
n
n
k
S k
 é um 
inteiro ímpar. 
 
 
8) Para 
0n
, mostre que 
2 2 111 12n nna
 
é um inteiro divisível por 133. 
 
 
9) Para 
3n
, mostre que 
a) 
n n 1n 1 n
 
b) 
2 nn! n .
. 
 
 
10) Mostre que é sempre possível pagar, sem 
receber troco, qualquer quantia inteira de $, 
maior que $7, com notas de $3 e $5. 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
Capítulo 3: 
 
 
 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 
 
 
3.1 . Somatórios 
 
 
Sejam os n > 1 inteiros 
1 2 na ,a ,...,a
. Para indicar, de modo abreviado, a soma 
1 2 na a ... a
 
desses n inteiros usa-se a notação: 
 
 
 
que se lê: “somatório de 
ia
 de 1 a n”. 
 
Em particular, para n = 2, 3,..., temos: 
 
 
 
A letra i chama-se o índice do somatório e pode ser substituída por qualquer outra diferente de 
a e de n – é um índice mudo. E os inteiros 1 e n que figuram abaixo e acima da letra grega 
maiúscula (sigma) chamam-se respectivamente limite inferior e limite superior do índice i. 
O número de parcelas de um somatório é sempre igual à diferença entre os limites superior e 
inferior do seu índice mais uma unidade. 
Se m e n são dois inteiros, com 
m n
, então, por definição: 
 
 
 
Exemplo 3.1: Temos: 
 
7
1
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
 5 10 15 20 25 30 35 140
i
i 
n
i m m 1 m 2 n
i m
a a a a ...a
 
2
i 1 2
i 1
a a a
, 
3
i 1 2 3
i 1
a a a a
, ... 
n
i
i 1
a
 
 
CAPÍTULO 3 
 SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 
 44 
4
1
8 3 8.1 3 8.2 3 8.3 3 8.4 3
 5 13 21 29 68
j
j 
8
3 4 5 6 7 8
3
.2 3.2 4.4 5.2 6.2 7.2 8.2
 24 64 160 384 896 2048 3576
k
k
k 
 
Exemplo 3.2: Temos: 
6
i
i 1
2 4 8 16 32 64 2
 
15
1
1 3 5 ... 29 2 1
j
j
 
 
 
 
3.2. Propriedades dos somatórios 
 
 
Teorema 3.1: 
n n n
i i i i
i 1 i 1 i 1
(a b ) a b
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, desenvolvendo-se o primeiro membro, temos: 
 
 
 
Teorema 3.2 
n
i 1
a na
 
 
Demonstração: 
 
Seja 
ia a
 para i = 1, 2,..., n. Então, temos: 
 
 
 
Teorema 3.3 
n n
i i
i 1 i 1
(a a) a na
 
Demonstração: 
n n
i 1 2 n
i 1 i 1
a a a a ... a a a ... a na
 
n
i i 1 1 2 2 n n
i 1
(a b ) (a b ) (a b ) ... (a b )
 
n n
1 2 n 1 2 n i i
i 1 i 1
(a a ... a ) (b b ... b ) a b
 
 CAPÍTULO 3 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 45 
Consoante os dois teoremas anteriores, temos: 
 
 
 
Teorema 3.4 
n n
i i
i 1 i 1
ka k a
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, desenvolvendo o primeiro membro, temos: 
 
 
 
Exemplo 3.3: Calcular 
20
i 1
(5i 2)
 
Consoante os teoremas anteriores temos, sucessivamente: 
 
 
 
 
 
3.3. Produtórios 
 
Sejam os n > 1 inteiros 
1 2 na ,a ,...,a
. Para indicar, de modo abreviado, o produto 
1 2 na a ...a
 
desses n inteiros usa-se a notação: 
 
 
 
que se lê: “produtório de 
ia
 de 1 a n”. 
Em particular, para n = 2, 3,..., temos: 
 
 
2
i 1 2
i 1
a a a
, 
3
i 1 2 3
i 1
a a a a
, ... 
 
 
n
i
i 1
a
 
 
20 20 20 20
i 1 i 1 i 1 i 1
(5i 2) 5i 2 5 i 20.2 5(1 2 ... 20) 40
 
1
5. (1 20)20 40 5.210 40 1090
2
 
n n
i 1 2 n 1 2 n i
i 1 i 1
ka ka ka ... ka k(a a ... a ) k a
 
n n n n
i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
(a a) a a a na
 
 
CAPÍTULO 3 
 SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 
 46 
A letra i chama-se o índice do produtório e pode ser substituída por qualquer outra diferente 
de a e de n – é um índice mudo. E os inteiros 1 e n que figuram abaixo e acima da letra grega 
maiúscula (pi) chamam-se respectivamente limite inferior e limite superior do índice i. 
O número de fatores de um produtório é sempre igual à diferença entre os limites superior e 
inferior do seu índice mais uma unidade. 
Se m e n são dois inteiros, 
m n
, então, por definição: 
 
 
 
Exemplo 3.4: Temos: 
 
 
 
Exemplo 3.5: Temos: 
 
 
 
 
3.4. Propriedades dos Produtórios 
 
Teorema 3.5 
n n n
i i i i
i 1 i 1 i 1
a b a . b
 
Demonstração: 
 
Com efeito, desenvolvendo o primeiro membro, temos: 
 
 
 
n n n
i i 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n i i
i 1 i 1 i 1
a b (a b )(a b )...(a b ) (a a ...a )(b b ...b ) a . b
 
 
 
6
i
i 1
3.9.27.81.243.729 3
 
16
1
1.3.5.7....31 2 1
j
j
 
n
i=1
1.2.3... 1 !=n n n i
 
6
1
4
1
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
 =3.6.9.12.15.18=524880
5 3 5.1 3 5.2 3 5.3 3 5.4 3
 =2.7.12.17 2856
i
j
i
j
 
n
i m m 1 m 2 n
i m
a a .a .a ...a
 
 
 CAPÍTULO 3 
SOMATÓRIOS E PRODUTÓRIOS 
 47 
Teorema 3.6 
n
n
i 1
a a
 
 
Demonstração: 
 
Seja 
ia a
 para i = 1, 2,..., n. Então, temos: 
 
 
 
Teorema 3.7 
n n
n
i i
i 1 i 1
ka k a
 
 
Demonstração: 
 
Com efeito, desenvolvendo o primeiro membro, temos: 
 
 
 
Exemplo 3.6: Calcular 
4
i 1
(2i 1)²
 
 
Consoante o teorema 3.7, temos: 
 
 
 
Exemplo 3.7: Demonstrar n n n
ij ij
i, j 1 i 1 j 1
a a
 
Com efeito, desenvolvendo