Cinemática

Prévia do material em texto

Universidade do Vale do Itajaí
Campus Itajaí
Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar
Cinemática
Profª. Keila Christina Kleinjohann.
keila.fsc@gmail.com
Posição
A posição x de uma partícula num eixo é a sua localização em relação à origem.
A posição é positiva ou negativa, dependendo de que lado em relação á origem a partícula se encontra, ou é 
zero se estiver na origem.
Sentido positivo em um eixo é o do crescimento dos números positivos; o oposto é o sentido negativo.
2
Deslocamento
O deslocamento Δx de uma partícula é a variação da sua posição:
Deslocamento é uma grandeza vetorial. Se a partícula se move no sentido positivo do eixo x, o deslocamento é positivo; se for no sentido oposto, é negativo.
O símbolo Δ, que representa a variação de uma grandeza, significa que o valor inicial da grandeza deve ser subtraído do seu valor final.
Não confundir deslocamento, que é uma grandeza vetorial e representa a diferença entre posição final e inicial,
com distância percorrida, que é uma grandeza escalar, e representa o percurso total entre o inínio e o fim do movimento,
sem levar em conta a direção ou o sentido!
3
Velocidade Média
Quando uma partícula se move da posição x1 para x2, em um intervalo de tempo Δt = t2 – t1, sua velocidade média é dada por:
O sinal algébrico de indica o sentido do movimento. ( é uma grandeza vetorial). 
A velocidade média depende da distância entre o ponto inicial e o final do movimento, e não da distância total percorrida. 
4
Velocidade Média
Em um gráfico de x versus t, a , em um intervalo Δt, é a inclinação da reta que une os pontos correspondentes ao início e ao fim do intervalo considerado.
5
Velocidade Média
Vejamos os exemplo:
Ex.1: Um motorista dirige um veículo numa rodovia retilínea a 70 km/h. Após rodar 8,0 km, o veículo pára por falta de gasolina. O motorista caminha 2,0 km adiante, até o posto de abastecimento mais próximo, em 27 min. Qual é a velocidade média do motorista desde o instante da partida do veículo até chegar ao posto? Obtenha a resposta numérica e graficamente.
6
Velocidade Escalar Média
Velocidade escalar média depende da distância total percorrida (p. e.: número de metros percorridos)
num intervalo de tempo Δt. 
A velocidade escalar média difere da velocidade média porque não considera o sentido do deslocamento, e, por conseguinte, não possui sinal algébrico.
7
Velocidade Escalar Média
Vejamos os exemplo:
Ex.2: No exemplo 1, qual é a velocidade escalar média do motorista, supondo que ele demore 35 min para retornar ao veículo?
8
Velocidade Instantânea 
Se Δt tende a zero na equação da velocidade média, então Δx também tenderá a zero; entretanto, sua razão, que é , tenderá a um valor limite v, que é a velocidade instantânea (ou simplesmente)
A velocidade instantânea (num determindo instante)pode ser representada pela inclinação (naquele ponto) da curva x versus t.
9
Velocidade Instantânea 
A velocidade pode ser calculada derivando-se a função x(t) conforme exemplo abaixo.
O módulo da velocidade instantânea é a velocidade escalar.
Ex.3:A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por
Qual é a velocidade em t = 3,5 s? A velocidade é constante ou está continuamente variando?
10
Aceleração Média
A aceleração média a é a razão entre a variação da velocidade Δv e o intervalo de tempo Δt:
O sinal algébrico indica o sentido de 
pois a aceleração é uma grandeza vetorial
Ex.4: Quando Kitty O’Neil estabeleceu o recorde para a maior velocidade e o menor tempo, ela alcançou a marca de 631,7 km/h em 3,72 s. Qual foi sua aceleração média?
11
Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) é a taxa de variação da velocidade
A aceleração a(t) é a inclinação da curva no gráfico v versus t
Ex.5: A posição de uma partícula é dada por
Calcule v(t), a(t) e o instante em que v = 0.
12
Aceleração Constante
A figura abaixo mostra x(t), v(t) e a(t) para cada caso particular em que a é constante. As cinco equações que descrevem o movimento, nessa circunstância:
13
Aceleração Constante
Essas equações não são válidas quando a aceleração é variável.
Ex.6: Avistando um carro da polícia, você freia o seu carro, reduzindo a velocidade de 75 km/h para 45 km/h, num espaço de 88m.
Qual é a aceleração, considerando-a constante?
Qual é o intervalo de tempo?
Se continuar diminuindo a velocidade do carro, com a aceleração calculada em (a), em quanto tempo ele parará, a parir dos 75 km/h?
Qual seria a distância percorrida no item (c)?
14
Aceleração de Queda Livre
Um exemplo importante de movimento retilíneo com aceleração constante é o de um objeto subindo ou caindo livremente próximo à superfície da Terra. 
As equações para aceleração constante descrevem esse movimento, com duas pequenas alterações na notação:
O eixo vertical y é a referência para esse movimento, com sentido positivo orientado para cima;
A aceleração a é substituída por –g, onde g é o módulo da aceleração de queda livre
Passa tabela!
15
Aceleração de Queda livre
Ex.7: Um trabalhador deixa cair a chave inglesa do alto de um edifício.
Onde estava a chave inglesa 1,5 s após a queda?
Com que velocidade a chave inglesa está caindo em t = 1,5 s?
16
Vetor Posição
A localização de uma partícula, em relação à origem de um sistema de coordenadas, é dada pelo vetor posição r, que na notação de vetores unitários, se escreve,
Onde xi, yj e zk são as componentes vetoriais e x, y e z são as componentes escalares do vetor posição. Um vetor posição também pode ser determinado pelo seu módulo e um ou mais ângulos para orientação
17
Deslocamento
Se o movimento de uma partícula é representado pela variação do seu vetor posição de r1 para r2, então seu deslocamento Δr é:
Ex.8: Inicialmente, o vetor posição de uma partícula é 
E logo depois é
Qual é o deslocamento de r1 para r2?
18
Deslocamento
Ex.8: Inicialmente, o vetor posição de uma partícula é 
E logo depois é
Qual é o deslocamento de r1 para r2?
19
Velocidade Média
Se uma partícula se desloca durante um intervalo de tempo Δt, sua média é:
20
Velocidade
Quando Δt tende a 0 na equação da velocidade média, o limite de é chamado de velocidade instantânea:
Que pode ser representada na notação de vetores unitários como:
21
Velocidade
Onde vx = dx/dt, vy = dy/dt e vz = dz/dt.
Ex.9: Calcule o módulo e a direção do vetor velocidade dado t = 15 s.
22
Aceleração Média
Se a velocidade de uma partícula varia de v1 para v2, no intervalo de tempo Δt, sua aceleração média, neste intervalo de tempo, é
23
Aceleração
Quando Δt tende a 0 na equação da aceleração média, o limite de amedio é chamado de aceleracão instantânea:
Que pode ser representada na notação de vetores unitários como
24
Aceleração
Onde ax = dvx/dt, ay = dvy/dt e az= dvz/dt.
Quando a é constante, as componentes de a, v e r, na direção de qualquer eixo, podem ser tratadas como no movimento unidimensional, mostrado anteriormente,
Ex.10: Calcule o módulo e a direção do vetor aceleração dado t = 15 s.
25
Movimento de Projéteis
O movimento de projéteis é o movimento de um partícula lançada com velocidade v0, sob a influência apenas da aceleração da gravidade g.
Se v0 é definido por um módulo (a velocidade v0) e uma orientação (ângulo θ), as equações do movimento nos eixos x e y, horizontal e vertical, são, respectivamente:
26
Movimento de Projéteis
Agora vamos considerar uma partícula – ou seja um projétil – que executa um movimento bidimensional comaceleração g de queda livre para baixo.
O projétil é lançado com uma velocidade inicial que é dada por:
27
Movimento de Projéteis
Movimento horizontal:
Como não existe aceleração na direção horizontal, a componente da velocidade horizontal v0x permanece constante durante o movimento. Da equação:
com
28
Movimento de Projéteis
Movimento vertical:
A análise é mesma para uma partícula em queda livre.
Fazendo as devidas substituições:
29
Movimento de Projéteis
No movimento de projéteis, a trajetória da partícula é dada por
Onde a origem é escolhida de maneira que x0 e y0 sejam 0. O alcance R, é a distância horizontal do ponto de lançamento, até o ponto em que a partícula retorna à mesma altura da qual foi lançada, ou seja,
30