Lista Algebra Atividade 11

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Parana´
A´lgebra Linear - Atividade 11 - Professor Mozart
Obs.: Se V e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o n, enta˜o o mesmo tem uma base S com n vetores
na base. Para falarmos de Coordenadas de um vetor em determinada base, a ordem dos vetores
que compo˜e a base passa a ter importaˆncia. Logo trataremos S =
{→
v1,
→
v2, ...,
→
vn
}
como uma base
ordenada para o espac¸o vetorial V .
Seja
→
v= c1
→
v1 +c2
→
v2 +... + cn
→
vn
O vetor de coordenadas de
→
v ou ainda, as coordenadas do vetor
→
v em relac¸a˜o a base S, nada
mais e´ que o vetor dos coeficientes da CL dos vetores da base. Utiliza-se a seguinte notac¸a˜o:
[v]S =

c1
c2
.
.
.
cn

1. Dados o vetor v e o conjunto S que e´ uma base para R4. Determine o vetor de coordenadas
de v em relac¸a˜o a` base ordenada S
S =
{→
v1,
→
v2,
→
v3,
→
v4
}
= {(1, 1, 0, 0) , (2, 0, 1, 0) , (0, 1, 2,−1) , (0, 1,−1, 0)}
v = (−1, 2− 6, 5)
2. Seja V o espac¸o vetorial de P1 de todos os polinoˆmios de grau menor ou ≤ 1 e sejam
S =
{→
v1,
→
v2
}
e T =
{→
w1,
→
w2
}
bases para P1, onde
v1 = t v2 = 1 w1 = t + 1 w2 = t− 1
Seja
v = p (t) = 5t− 2
Determine [v]S e [v]T
Obs.: Como podemos ter mais de uma base para um espac¸o vetorial V , um mesmo vetor
pode ter mais de um vetor de coordenadas, cada um relacionado com a base considerada. E´
poss´ıvel obter o vetor de coordenadas em relac¸a˜o a outra base utilizando o que denominamos
matriz de mudanc¸a de base. A matriz de mudanc¸a de base de uma base T para uma base S
tem a seguinte notac¸a˜o:
2
PS←T
O processo de obtenc¸a˜o da matriz de mudanc¸a de base da base T para a base S e´:[
S
... T
]
Escalonando [
I
... PS←T
]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Seja V = R3 com bases S =
{→
v1,
→
v2,
→
v3
}
e T =
{→
w1,
→
w2,
→
w3
}
→
v1=
 20
1
 , →v2=
 12
0
 , →v3=
 11
1

→
w1=
 63
3
 , →w2=
 4−1
3
 , →w3=
 55
2

Sabendo que as coordenadas do vetor (4,−9, 5) em relac¸a˜o a base T e´:
[v]T =
 12
−2

Utilize a matriz de mudanc¸a de base da base T para a base S para determinar [v]S