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Cálculo 2 - ago 16/08 Funções de Várias Variáveis Se f é uma função de duas variáveis independentes, normalmente chamamos essas variáveis x e y, e representamos o Domínio de f como uma região no plano xy. Se f é uma função de 3 variáveis independentes, denominamos as variáveis x, y e z, e representamos o Domínio de f como uma região no espaço Ex.: Calcule o valor de f no ponto (3,0,4) f(x,y,z)= √x² ² ²+ y + z = = = 5√3² ² ²+ 0 + 4 √9 6+ 1 √25 *modulo do vetor é 5 Exemplo de funções de 2 e 3 variáveis e seus domínios e imagens Função Domínio (limites, intervalo) Imagem (resultado) f= √y ²− x y ² ≥ x [0, ) ∞ f= 1xy xy = / 0 (- ) (0, ), ∞ 0 ⋃ ∞ f= sen xy todo plano [1,1] f= √x² ² ²+ y + z todo espaço [0, ) ∞ f= 1x²+y²+z² (x,y,z) = 0, , ) / ( 0 0 (0, ) ∞ f=y ln z z > 0 [ , ) ∞ ∞ Limites A função f(x,y) se approxima do limite L a medida que o ponto (x,y) se aproxima de (x0, y0) e escrevemos em f(x,y)= L (x,y) (x0, y0) → Se para todo número , existe um correspondente tal que, para todo (x,y) no ε > 0 δ > 0 domínio de f: |f(x,y)-L| < sempre que 0< < ε √(x 0)² y 0)²− x + ( − y δ Ex 1) lim = = = -3x−xy+3x²y+5xy−y³ 0−01+30².1+5.0.1−1³ 3−1 (x,y) (0,1) → 2) lim = = =5 √x² ²+ y √3² − )²+ ( 4 √25 (x,y) (3,-4) → 3) lim = lim . = =x( )=0x²−xy−√x √y x²−xy−√x √y −√x √y+√x √y (x−y) x(x−y)( )√x+√y √x + √y (x,y) (0,0) → 1º Teste - Entrega 30/08 Material didático Thomas 10º ED Pág 133: 2,6,10,14 e 16 Pág 143: 1,2,3 e 8 Cálculo 2 - ago 23/08 e 27/08 Regra da Cadeia para Funções de Duas Variáveis Independentes Se w= f(x,y) possuir derivadas parciais continuas fx e fy e se x= x(t) e y= y(t) forem funções diferenciais de t, então a função composta w= f ( x(t), y(t) ) será uma função diferenciável de t e: Exemplos: 1) Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w=xy em relação a t ao longo do caminho x= cos t, y= sen t. Qual é o valor da derivada em t ?/2 π solução: dw = [xy] . d[cos t] + [xy] . d[sen t] ∂ ∂ dt x dt y dt ∂ ∂ dw = y.(sen t) + x.cos t dt dw = sen t.(sen t) + cos t.cos t dt dw = sen² t + cos² t = cos 2t dt para t = /2 dw= cos 2.( /2) = cos = 1π ⇒ π π dt 2) Encontre dw/dt se w= xy+z, x= cos t, y= sen t e z= t. Qual o valor da derivada em t=0? solução: dw = [xy+z] . d[cos t] + [xy+z] . d[sen t] + [xy+z] . d[t] ∂ ∂ ∂ dt x dt y dt z dt ∂ ∂ ∂ dw = y.(sen t) + x.cos t + 1 dt dw = sen t.(sen t) + cos t.cos t + 1 sen² t + cos² t + 1 = cos 2t + 1 ⇒ dt para t= 0 = cos 0 + 1 = 1+1= 2 ⇒ dtdw 3) Expresse w e w em termos de r e s se w= x²+y², x= rs e y= r+s∂ ∂ r s∂ ∂ solução: __ w = [x²+y²] . [x] + [x²+y²] [y]∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r x r y r∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2x . [rs] + 2y [r+s] ∂ ∂ r r∂ ∂ =2x. 1 + 2y .1 2x+2y ⇒ =2(rs)+2(r+s) 2r2s+2r+2s = 4r ⇒ __ w = [x²+y²] . [x] + [x²+y²] [y]∂ ∂ ∂ ∂ ∂ s x s y s∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 2x . [rs] + 2y [r+s] ∂ ∂ s s∂ ∂ =2x.( 1) + 2y .1 2x+2y ⇒ =2(rs)+2(r+s) 2r+2s+2r+2s = 4s ⇒ Diferenciação Implícita Suponha que F(x,y) seja diferenciável e que a equação F(x,y)=0, defina y como uma função diferenciável de x. Então, em qualquer ponto onde fy 0=/ Exemplo: Encontre dy/dx se y² x² sen xy= 0 solução(tradicional): 2ydy/dx 2x(cos xy)(y+dy/dx)=0 2ydy/dx2xy.cos xy x.cosxy.dy/dx=0 2ydy/dx x.cos xy.dy/dx= 2x + y.cos xy dy/dx(2yx cos sy)= 2x + y.cos xy dy = 2x+ y cos xy dx 2y x cos xy solução (nova): dy = _ fx y²x²sen xy dx fy dy = _ 2x (cos xy) y = 2x+y(cos xy) dx 2y (cos xy) x 2yx(cos xy) Execícios: 14.3 - pág 317 (11° ED): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 23, 25, 41, 43 e 49 14.4 - pág 326 (11° ED): 1, 3, 5, 9, 25, 27 e 29 Derivadas Direcionais no Plano Sabendo que se f(x,y) é diferenciável então se x=g(t) e y=h(t): Em qualquer ponto P0(x0,y0) = P( g(t0), h(t0) ) essa solução fornece a taxa de variação de f em relação a t e, portanto depende, entre outras coisas, do sentido do movimento ao longo da curva. A derivada de f em P0(x0,y0) na direção do versor u= u1i + u2j é o número: desde que o limite exista. OBS: Outra notação para derivada direcional (Duf) P0 Derivada de f em P0 na direção de u *27/08/2013 Encontre a derivada de f(x,y) x²+xy em P0 (1,2) na direção do vetor unitário u= i + j1√2 1 √2 solução: Logo a taxa de variação de f na direção de u é o coeficiente angular da tangente à curva em P0. Quando u=1, a derivada direcional em P0 é calcula em (x0,y0), quando u=j, a derivadaf /∂x∂ direcional em P0 é calcula em (x0,y0) entãof /∂y∂ Para o exemplo anterior Vetor Gradiente A derivada direcional é um produto escalar do gradiente de f em P0 e u Exemplo Encostre a derivada de f(x,y)= xey+ cos xy no ponto (2,0) na direção de v+3i 4j solução: versor u = Propriedades da Derivada Diferencial 1) A função f aumenta mais rapidamente quando cos =1 ou quando u é a direção deθ 2) A função f decresce mais rapidamente na direção de pois cos ( )= 1π 3) Qualquer direção u ortogonal ao gradiente 0 é uma direção de variação zero em=/ f porque é igual aθ Exercícios: Encontre as direções nas quais f(x,y)= +2 x² 2 y² a) Cresce mais rapidamente no ponto (1,1) solução: b) Decresce mais rapidamente em (1,1) solução: c) Quais são as direções de variação zero de f em (1,1)? solução: Direções ortogonais Cálculo 2 - ago 30/08 Plano Tangente e Reta Normal O Plano Tangente no ponto P0(x0,y0,z0) na superficie de nível f(x, y, z)=c é o plano que passa por P0 e é normal a ▽f|Po. A reta normal à superfície em P0 é a reta que passa por P0 e é paralela a ▽f|Po Exemplo: Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície f(x, y, z)= x²+y²+z9=0 no ponto P0 (1,2,4) Solução: O plano tangente a uma superfície z+ f(x,y) em P0(x0,y0 f(x0,y0)) é: = fx|(xo,yo) (x xo) + fy|(xo,yo) (y yo) (z zo) = 0π Exemplo: Encontre o plano tangente à superfície z = x cos y y ex em (0,0,0) solução: fy|(0,0,0) = (cos y y ex )(0,0,0) = cos 0 0e0 = 1 fy|(0,0,0) = (x( sen y) ex )(0,0,0) = 0( sen 0) e0 = 1 =1 (x 0) 1(y 0) (z0) = 0 π = x y z = 0 π Execícios: Pág 303 (11° ED): 1 ao 22, 27 ao 38 Pág 347 (11° ED): 1, 3, 5 e 7 Cálculo 2 - set 03/09 e 06/09 Teorema de Fubini 1° Forma Se f(x,y) continua na região retangular R:. a x b, c y d.≤ ≤ ≤ ≤ Exemplos: 1) Calcular o volume sob o plano z= 4 x y sobre a região retangular R:. 0 x 2, 0 y≤ ≤ ≤ 1 no plano xy≤ Solução: 2) Calcule f(x,y) dxdy para f (x,y) = 1 6x²y e R:. 0 x 2, 1 y 1∫ ∫ R ≤ ≤ ≤ ≤ Solução: 2° Forma Seja f(x,y) contínua em uma região R 1) Se R for definida por a x b, g1(x) y g2(x), com g1 e g2 contínuas em [a,b],≤ ≤ ≤ ≤ então: 2) Se R for definida por c y d, h1(y) x h2(y), com h1 e h2 contínuas em [c,d],≤ ≤ ≤ ≤ então: Exemplo: Encontre o volume do prisma cuja base é o triangulo no plano xy limitado pelo eixo x e pelas retas y=x e x=1 e cujo topo está no plano: z = f (x,y) + 3 x y Cálculo 2 - set 16/09 Esboçando a região de integração f(x,y) dydx∫ 1 0 ∫ x 0 f(x,y) dxdy∫ 1 0 ∫ 1 y Procedimentos para Encontrar Limites de Integração Páginado livro: 363 Esboce a região de integração para integral (4x +2)dydx. Ache a integral interada desta e∫ 2 0 ∫ 2x x² resolva as duas Resolvendo: Resolvendo a Interada: OBS: Quando não há uma função a ser interada a integral dupla calculará a área da região R.
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