Análise Combinatória

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
1.	PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que:
• p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa
• p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa
 	
• pK é o número de possibilidades da k-ésima 
etapa 
Então: p1.p2...pk é o número total de possibilidades de o acontecimento ocorrer.
2. FATORIAL
O fatorial de um número natural n, representado pelo símbolo n!( lê-se: ene fatorial ou fatorial de ene), é um número definido por recorrência, ou seja, cada fatorial é calculado com a utilização do fatorial anterior.
Indicamos por 5! (leia: cinco fatorial) o produto dos cinco primeiros naturais positivos: 
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120.
Não existe fatorial de número negativo, dessa forma, dado um número natural qualquer n, sendo n > 1, definimos: n! = n ∙ (n –1) ∙ (n –2) ∙ (n –3) ∙ ...
Nos casos particulares 
n = 1
e 
n = 0, definimos:
1! = 1
e 
0! = 1
Essas igualdades serão convenientes para as fórmulas que estudaremos adiante. Ao desenvolver um fatorial, colocando os fatores em ordem decrescente, podemos parar onde for conveniente, indicando os últimos fatores também na notação de fatorial. Ou seja:
8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
ou 
8! = 8 ∙ 7!
ou 
8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!, etc...
3. ARRANJOS SIMPLES
Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).
Denomina-se arranjo simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer agrupamento de p elementos, distintos, escolhidos entre os elementos de B (p N e p n).
Indica-se: ou 
►	Observação: ARRANJO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.
Fórmula do número de arranjos
ou
4. COMBINAÇÕES SIMPLES
Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).
Denomina-se combinação simples dos n elementos de B, tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos do conjunto B.
Indica-se: ou 
►	Observação: COMBINAÇÃO é o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
Fórmula das combinações simples
5. PERMUTAÇÕES SIMPLES 
Seja B = {b1, b2, ... , bn} um conjunto com n elementos (n N).
Denomina-se permutação simples dos n elementos de B todo arranjo dos n elementos de B, tomados n a n.
Indica-se: 
►	Observação: Permutação é o tipo de agrupamento ordenado no qual, em cada grupo, entram todos os elementos.
Fórmula das permutações simples
5. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS
O número de permutações possíveis com n elementos, dentre os quais um certo elemento se repete a vezes, é igual ao fatorial de n dividido pelo fatorial de 
Se tivermos n elementos, dos quais: 
 são iguais a A
 são iguais a B
 são iguais a C
O número de permutações distintas dos n elementos será:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R1. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
Trata-se de construir uma seqüência ordenada de três algarismos (a, b, c), respeitadas as condições: , e , com a, b, c {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Há três etapas a serem analisadas:
• para a escolha do algarismo da centena (a) há sete opções
• para escolha do algarismo da dezena (b) há seis opções, uma vez que o algarismo escolhido para a centena não pode se repetir.
• para a escolha do algarismo da unidade (c) há cinco opões, pois devemos excluir os algarismos já escolhidos para a e b.
Assim, pelo PFC, a quantidade de números 
R2. A seleção brasileira de futebol irá disputar um torneio internacional com outras cinco seleções no sistema “todos jogam todos uma única vez”. Quais as possíveis sequências de resultados – vitória (V), empate (E) e derrota (D) – da equipe brasileira nesse torneio?
A seqüência de resultados dos jogos pode ser representada (j1, j2, j3, j4, j5) e, em cada jogo pode ocorrer V, D ou E.
Pelo PFC, o número de seqüências possíveis é:
R3. Nos jogos Olímpicos de 2004, em Atenas, as quatro seleções semifinalistas do voleibol feminino foram: Brasil, China, Cuba e Rússia. De quantas maneiras distintas poderia ter sido definido o pódio (ouro, prata e bronze)?
Cada maneira possível de se formar um pódio é uma seqüência ordenada de três seleções escolhidas entre as quatro semifinalistas.
Observe que: 
A quantidade de arranjos possíveis é:
Usando o PFC, chegamos ao mesmo resultado:
R4. Em um curso de espanhol estudam 20 alunos, sendo 12 rapazes e 8 moças, o professor quer formar uma equipe de quatro alunos para intercâmbio em outro país. Quantas equipes de dois rapazes e duas moças poder ser formadas?
O número de maneiras de escolher os rapazes é:
Para cada uma dessas 66 maneiras, o número de opções existentes para a escolha das moças é 
Assim, pelo PFC, o resultado procurado é 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (FGV-SP) Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o número de cumprimentos será igual a:
a)35
b) 300
c) 595 
d) 1190
e) 1200
02. (FGV-SP) Quantos números de 4 algarismos diferentes têm o algarismo da unidade de milhar igual a 3?
a)1512
b)3! 504
c)504
d) 3024
e) 4! 504
03. Em virtude de uma crise financeira, uma fábrica dispõe de apenas quatro vigilantes para ocuparem sete postos de vigilância. Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um vigilante e que o posto da entrada principal não pode ficar desguarnecido, indique a opção correspondente ao número de maneiras distintas de que o chefe de segurança pode dispor para distribuir os vigilantes.
a) 35	
b) 80
c) 480
d) 840
04. A figura a seguir representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinalados as casas de João(A), de Maria(B), a escola(C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?
a)100
b)120
c)150
d)180
e)200
05. (FGV-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetir algarismos num mesmo número, podemos formar com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8:
a)210
b) 7!
c) 200
d)840
e) 1.680
06. Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:
a)120
b) 320
c) 500
d)600
e) 720
07. (PUC-SP) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume:
a)6 posições diferentes
b) 30 posições diferentes
c)90 posições diferentes
d) 180 posições diferentes
e) 720 posições diferentes
08. Numa estante existem 3 livros de história, 3 de Matemática e 1 de Geografia. Se se deseja sempre um livro de História em cada extremidade, então o número de maneiras de se arrumar esses 7 livros é:
a)720
b) 36
c) 81
d) 126
09. Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:
a)1.680
b) 8!
c) 8 . 4!
d)
e) 32
10. As diretorias de 4 membros que podemos formar com os 10 sócios de uma empresa são:
a) 5.040
b) 40
c) 2
d) 210
11. Um engenheiro de obra do "Sistema Fácil", para determinados serviços de acabamento tem a sua disposição três azulejistas e oito serventes. Queremos formar equipes de acabamento constituídas de um azulejista e três serventes, o número de equipes diferentes possíveis, é:
a) 3
b) 56
c) 112
d)168
e) 12
12. (PUC-SP) Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Logo, o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir era:
a)17 
b)19
c)21
d) 22
e) 25
13. (FCC) Uma sala tem 6 lâmpadas, com interruptores independentes. De quantos modos pode-se iluminá-la, se pelo menos uma das lâmpadas deve ficar acesa?
a)6
b) 32
c)63
d) 120
e) 720
14. Um aluno deverá ser examinado em Português e Geografia com uma única prova de cinco questões. Sabendo-se que Português tem 10 tópicos. Geografia 8 e que qualquer tópico só poderá aparecer no máximo em uma questão, assinale o número de possíveis escolhas entre esses tópicos que o examinador terá para elaborar a prova com três questões de Português e duas de Geografia.
a)3.806 
b) 480
c)3.360
d) 92
e) 148
15. (Santa Casa-SP) Num determinado setor de um hospital, trabalham 5 médicos e 10 enfermeiros. Quantas equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e 4 enfermeiros, podem ser formadas nesse setor?
a)210
b) 1.050
c) 5.040
d) 10.080
e) 25.200
16. (PUC-SP) Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes, de acordo com o esquema seguinte:
1)	Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo as equipes jogam todas entre si. Obtém-se assim um campeão em cada grupo.
2)	Os 4 campeões de grupo jogam todos entre si, surgindo daí o campeão.
O número total de jogos disputados é:
a)20
b) 24
c) 40
d)46
e)190
17. Tem-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de Matemática, 4 de Física e 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los sobre uma prateleira, devendo os livros de cada assunto permanecer juntos?
a)103.680
b) 17.280
c) 150
d) 12
e) 6
18. (F.C.C) Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. Quantos deles têm as vogais juntas?
a)36
b)72
c)120
d)144
e)180
19. Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 718.844?
a)90
b)720
c)15
d)30
e)180
20. Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas iguais e 4 brancas iguais. Quantas são as maneiras diferentes de se extrair, uma a uma, as 10 bolas da urna?
a)420
b)210
c)120
d)150
e)180
21. (Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?
a) 69
b) 2024
c) 9562
d) 12144
e) 13824
22. (Fgv) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a senha é
a) 1 680
b) 1 344
c) 720
d) 224
e) 136
23. (Mackenzie) Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colocações, são em número de:
a) 426
b) 444
c) 468
d) 480
e) 504
24. (Cesgranrio2002) Um brinquedo comum em parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu responsável. De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco bancos?
a) 14 400
b) 3 840
c) 1 680
d) 240
e) 120
25. (Fuvest) A escrita Braille para cegos é um sistema de símbolos onde cada caractere é formado por uma matriz de 6 pontos dos quais pelo menos um se destaca em relação aos outros. Assim por exemplo:
Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados neste sistema de escrita?
a) 63
b) 89
c) 26
d) 720
e) 36
26. (Uel) Uma aposta na MEGA SENA (modalidade de apostas da Caixa Econômica Federal) consiste na escolha de 6 dentre os 60 números de 01 a 60. O número máximo possível de apostas diferentes, cada uma delas incluindo os números 12, 22 e 23, é igual a:
a) 32460
b) 30580
c) 29860
d) 29260
e) 28420
27. (Ufscar) A câmara municipal de um determinado município tem exatamente 20 vereadores, sendo que 12 deles apoiam o prefeito e os outros são contra. O número de maneiras diferentes de se formar uma comissão contendo exatamente 4 vereadores situacionistas e 3 oposicionistas é.
a) 27720.
b) 13860.
c) 551.
d) 495.
e) 56.
28. (Fuvest) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas serão necessários aproximadamente:
a) 100 dias.
b) 10 anos.
c) 1 século.
d) 10 séculos.
e) 100 séculos.
29. (Fatec) Seis pessoas, entre elas João e Pedro, vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. O número de maneiras distintas como as seis podem sentar-se sem que João e Pedro fiquem juntos é
a) 720
b) 600
c) 480
d) 240
e) 120
30. (Unitau) O número de anagramas da palavra BIOCIÊNCIAS que terminam com as letras AS, nesta ordem é:
a) 28200
b) 30240
c) 32240
d) 36600
e) 37440
GABARITO
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	B
	C
	C
	C
	D
	D
	B
	A
	A
	D
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	D
	C
	C 
	C
	B
	D
	A
	D
	E
	B
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	D
	B
	B
	B
	A
	D
	A
	E
	C
	
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
~(p q) = p ~q
01. Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de um país distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o número de cumprimentos será igual a 35.
02. O número de telefone de uma cidade é constituído de 6 dígitos. Sabendo-se que o 1º dígito nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser de 7 dígitos, então o aumento possível na quantidade de telefones será igual a 81 . 105
03. A quantidade de números inteiros compreendidos entre 30.000 e 65.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é 72.
04. A quantidade de números ímpares de 4 algarismos, sem repetir algarismos num mesmo número, podemos formar com os dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 é inferior a 1000.
05. Um sério problema enfrentado pelas autoridades de saúde é diagnosticar a chamada pneumonia asiática. Atualmente são conhecidos 7 sintomas dessa doença. Se em um paciente forem detectados 5 ou mais desses possíveis sintomas, a doença é diagnosticada. Diante disso, pode-se afirmar que o número total de combinações distintas dos sintomas possíveis para que o diagnóstico da pneumonia asiática seja efetivado é igual a
06. Para se cadastrar em um site de compras, cada cliente digitava uma senha com quatro algarismos. Com o objetivo de aumentar a segurança, todos os clientes foram solicitados a adotar novas senhas com cinco algarismos. Se definirmos o nível de segurança como a quantidade possível de senhas, então a segurança nesse site aumentou em?
07. No cartão da mega-sena existe a opção de aposta em que o apostador marca oito números inteiros de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais vantajoso marcar um determinado número de cartões, usando apenas os oito números, de modo que, se os seis números sorteados estiverem entre os oito números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta seja feita usando apenas seis números, a quantidade de cartõesque o apostador deve apostar é? Caso seja premiado, quantas quinas e quantas quadras ele fez?
08. Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a?
09. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos, de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é superior a 60.
10. Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a 420.
11. Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?
12. Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, 1152 e 1152.
13. Se os números das matrículas dos empregados de uma fábrica têm 4 dígitos e o primeiro dígito não é zero e se todos os números de matrícula são números ímpares, então há, no máximo, 450 números de matrícula diferentes.
14. Considerando que as matrículas funcionais dos servidores de um tribunal sejam formadas por 5 algarismos e que o primeiro algarismo de todas a matrículas seja o 1 ou o 2, então a quantidade máxima de matrículas funcionais que poderão ser formadas é igual a 2 × 105.
Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem.
15. Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6.
16. Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares distintos de letras.
17. A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60.
18. Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 × 103.
19. As 4 palavras da frase “Dançam conforme a música” podem ser rearranjadas de modo a formar novas frases de 4 palavras, com ou sem significado. Nesse caso, o número máximo dessas frases que podem ser formadas, incluindo a frase original, é igual a 16.
20. Considerando todas as 26 letras do alfabeto, a quantidade de palavras de 3 letras que podem ser formadas, todas começando por U ou V, é superior a 2 × 103.
Cada um dos itens a seguir apresenta uma informação seguida de uma assertiva a ser julgada a respeito de contagem.
21. No Brasil, as placas dos automóveis possuem três letras do alfabeto, seguidas de quatro algarismos. Então, com as letras A, B e C e com os algarismos 1, 2, 3 e 4 é possível formar mais de 140 placas distintas de automóveis.
22. Determinada cidade possui quatro praças, cinco escolas e seis centros de saúde que deverão ser vigiados pela polícia militar. Diariamente, um soldado deverá escolher uma praça, uma escola e um centro de saúde para fazer a sua ronda. Nesse caso, o soldado disporá de mais de 150 formas diferentes de escolha dos locais para sua ronda.
23. Em determinada delegacia, há 10 celas iguais e 8 presidiários. Nesse caso, há mais de 1.800.000 maneiras diferentes de se colocar um presidiário em cada cela.
24. Um anagrama da palavra FORTALEZA é uma permutação das letras dessa palavra, tendo ou não significado na linguagem comum. A quantidade de anagramas que é possível formar com essa palavra é inferior a 180.000.
25. Para mostrar aos seus clientes alguns dos produtos que vende, um comerciante reservou um espaço em uma vitrine, para colocar exatamente 3 latas de refrigerante, lado a lado. Se ele vende 6 tipos diferentes de refrigerante, de quantas maneiras distintas pode expô-los na vitrine? 
26. O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é?
27. Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? 
28. Uma prova de matemática consta 8 questões das quais o aluno deve escolher 6. De quantas formas ele poderá escolher as 6 questões?
29. O número de anagramas da palavra CONJUNTO que começam por C e terminam por T é
	GABARITO
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	E
	C
	E
	C
	
	
	
	
	E
	C
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	
	C
	E
	E
	E
	E
	C
	E
	E
	E
	21
	22
	23
	24
	
	C
	E
	C
	E