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Resumo da 2ª unidade AVLC CIn UFPE

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Prévia do material em texto

• Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial 
da forma: A.x = b 
 
onde: 
A – matriz de coeficientes de ordem 
x – vetor de incógnitas de ordem 
b – vetor dos termos independentes 
 
• Uma solução do sistema é uma ênupla de Números 
reais. (X1,X2, . . . Xn), que quando substituirmos a 
ênupla nas equações, resulta em equações verdadeiras 
 
• Método da eliminação Gaussiana: usar operações 
elementares a Matriz ampliada do Sistema(é a matriz 
dos coeficientes com a dos termos independentes) 
 
• Depois que fizermos as operações obtemos uma matriz 
triangular superior. 
 
 
• SOLUÇÕES DE UM SISTEMA: 
 
Vazio: quando você resolver e chegar em algum absurdo. 
Tipo: quando a solução X + Y = 1, for impossível 
 X + Y = 2 
 
• Unitário: quando você resolver, e chegar em uma solução 
só. Tipo: x + 0 = 1 
 0+ y = 2 
 
 Infinitas Soluções: como o nome ta dizendo, quando tem 
INFINITOS resultados possíveis. 
 
• SISTEMA HOMOGENIO ASSOCIADO: o vetor dos termos independentes é nulo: 
A .X = 0 
 
 
 
Um Sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. 
eu disse pelo menos, eu não disse SOMENTE UMA NÃO. Admite pelo menos a solução trivial(vetor 
nulo). 
 
OLHA: se o sistema homogêneo admite solução trivial, as soluções não triviais e seus respectivos 
múltiplos também serão soluções do Sistema. Daí a gente tira que: 
Se o sistema admite solução trivial: 
1) ou só tem o vetor nulo como solução, 
2) ou tem infinitas soluções! 
 
 
GENERALIZANDO: SE O SISTEMA ADMITE MAIS DE UMA SOLUÇAO, ENTÃO SÃO INFINITAS! 
• Forma escada: 
• - É única 
• - Você vai escalonar até chegar na forma mais simples 
possível.... Exemplo de forma escada numa matriz 4X4: 
 Outro exemplo de matriz na 
forma escada: 
ANOTA AI Ó: 
 
DEFINIMOS: 
POSTO OU CARACTERISTICA DE A: o numero de linhas 
não nulas de M 
NULIDADE OU GRAU DE LIBERDADE DE A: n – posto(A) 
 
SÓ LEMBRANDO: 
Essa matriz M é a forma escada da matriz AMPLIADA! 
Esse n ai, nada mais é do que o numero de incógnitas, ou 
seja, o numero de colunas de A. 
Seja A uma matriz mXn. Seja M a forma escada da “A” 
 
ATENÇÃO: 
POSTO = n  Possível e determinado 
CLARO: se tu tem tantas linhas quantas forem as 
incógnitas, tu pode muito bem determinar as soluções. 
 
ATENÇÃO: 
POSTO < n  Possível e indeterminado 
Se tu tem menos linhas do que incógnitas, como tu vai 
dizer quem são as soluções? Não da né? Mas quer dizer 
que não tem solução? NÃO. 
Só quer dizer que você não sabe quais são elas, por que 
tem infinitas possibilidades certo? 
 
 
PRESTA ATENÇÃO: Se o sistema é POSSIVEL , NÃO 
quer dizer que ele tem solução única não. Quer dizer que tu 
pode determinar se ele tem solução única ou se tem 
infinitas! 
 
SISTEMA SEM SOLUÇÃO ou IMPOSSÍVEL: 
Posto(A) ≠ ou < Posto(A|b) 
Mais ou menos isso: 
 Note que a minha linha que 
contem o Z esta zerada. É 
como se tivesse: 0.z = 10! 
Isso é possível? NAO 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
Impossível 
 
Possível 
 
Não tem 
solução 
 
Solução 
Única 
 
Infinitas 
Soluções 
 
Atribuindo parâmetros as variáveis livres... 
 
1 2 0
0 0 1
0 0 0
 
5
4
0
 
 
PRIMEIRO: você vai ver quem é pivô. 
X e Z tem pivô. 
 
SEGUNDO: você vaio ver quem é variável livre: 
Nesse caso, Y é livre. Ai você vai atribuir um parâmetro a Y. 
Y = t 
 
 X = 5 - 2 t 
Y = t 
 Z = 4 
 
 
(x,y,z) = (5,0,4) + t(-1,1,0) 
• QUESTÃO DE MINI-PROVA 
• Exemplo 1: 
SISTEMAS EQUIVALENTES: 
Dois Sistemas são equivalentes, se possuem a mesma solução geral 
Resposta :.Exemplo 1 
Resposta :.Exemplo 1 
MATRIZES ELEMENTARES: 
A partir da matriz identidade com EXATAMENTE uma 
operação elementar. 
 
MATRIZ INVERSA: 
Pra encontrar a inversa da matriz B por exemplo: 
B = 
1 2 3
6 5 4
7 5 2
 
Repete ela e escalona JUNTO com a matriz identidade: 
1 2 3
6 5 4
7 5 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
Trás ela pra forma escada 
 novamente e a inversa é a 
Matriz que você encontrar 
Do lado direito 
• 1) ela só pode ser invertível se for quadrada e também se 
o determinante for diferente de ZERO. 
• ps:. O determinante da inversa da matriz A = 
1/determiante de A 
 
 
Equações lineares degeneradas... 
- São equações que possuem todos os coeficientes nulos 
 
- Claro que por consequência, para essas equações terem solução, o 
termo independente tem que ser zero. 
 
- Por sinal , vão existir infinitas soluções! 
 
• No primeiro slide, vimos que : 
• A.x = b 
A– matriz de coeficientes 
x– vetor de incógnitas 
b– vetor dos termos independentes 
 
Passando A para o outro lado... 
x = b/A 
x = b.𝑨−𝟏 
𝑨−𝟏 : matriz inversa de A(matriz dos coeficientes) 
 
 
3) Um sistema de solução única pode ser resolvido de forma independente dos 
termos independentes 
- calcula-se a inversa da matriz dos coeficientes, e depois é só multiplicar pelos 
termos independentes, ou seja, trocar os termos independentes, não implica em 
reescalonar o sistema. 
• QUESTÃO DE MINI-PROVA 
• Exemplo 2: 
• QUESTÃO DE PROVA 2009.2 (questão 7) 
• Resp... 
• Resp... 
• QUESTÃO DE PROVA 2009.2 (questão 3) 
• Resp... 
• Resp... 
• QUESTÃO DE PROVA 2009.2 (questão 4) 
• Resp... 
• Resp... 
• Resp... 
 
3) Calcular a inversa de: 
1) determine a forma 
canônica reduzida, ou 
seja, a forma escada da 
matriz: 
2) classifique o 
sistema abaixo é 
possível, se for, diga as 
suas soluções. 
Tentem fazer antes de olhar o 
gabarito no próximo Slide 
• 1) 
 
 
 
• 2) 
 possível e determinado! 
 
 
• 3)

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