Resumo I Unidade - Sistemas

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Resumo de Álgera Linear I unidade 
 
1 Thiago Carreiro 
 
I. Sistemas Lineares: 
A ideia nessa unidade é aprender a resolver sistemas de equações lineares de um jeito 
diferente daquele aprendido no ensino médio. Esse novo método, chamado de Escalonamento, 
geralmente é mais rápido além de possibilitar estudar as possíveis soluções. 
Nesse método, fazemos uso de duas matrizes que montamos a partir do sistema dado, a 
chamada matriz dos coeficientes e a matriz ampliada. 
 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑟1
𝑏1𝑥1 + 𝑏2𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑥𝑛 = 𝑟2
⋮
𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑟𝑛
 ≡ Essa é a forma usual de se representar um sistema. 
 
𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛
𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑚1 𝑚2 ⋯ 𝑚𝑛
 . 
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
 = 
𝑟1
𝑟2
⋮
𝑟𝑛
 ≡ Essa é a forma matricial de se representar um sistema, onde 
a primeira matriz corresponde aos coeficientes das equações (daí o nome Matriz dos 
Coeficientes), a segunda é a matriz das incógnitas e a última é a matriz dos resultados. A 
Matriz Ampliada é a Matriz dos Coeficientes adicionada da coluna dos resultados no fim. 
 
𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛
𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑚1 𝑚2 ⋯ 𝑚𝑛
 ≡ Matriz dos Coeficientes; 
 
𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 𝑟1
𝑏1 𝑏2 ⋯ 𝑏𝑛 𝑟2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑚1 𝑚2 ⋯ 𝑚𝑛 𝑟𝑛
 ≡ Matriz Ampliada. 
Ex.: Dado o sistema abaixo, monte a Matriz dos Coeficientes e a Matriz Ampliada: 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
 
Mas: 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
  
1. 𝑥 + 1. 𝑦 + 1. 𝑧 = 9 
1. 𝑥 + 1. 𝑦 + (−1). 𝑧 = 1
1. 𝑥 + (−1). 𝑦 + 1. 𝑧 = 3
 
A Matriz dos Coeficientes fica: 
 
1 1 1
1 1 −1
1 −1 1
 
Enquanto a Matriz Ampliada fica: 
 
1 1 1 9
1 1 −1 1
1 −1 1 3
 
Resumo de Álgera Linear I unidade 
 
2 Thiago Carreiro 
 
I.a. Escalonamento: 
 O método do escalonamento consiste em fazer operações elementares entre as linhas 
(que correspondem a uma equação cada) de modo a tentar reduzir a matriz à Forma Escada. 
As três operações elementares são: 
a) Multiplicar uma linha por um escalar; 
b) Somar (subtrair) uma linha pela outra; 
c) Substituir (trocar de lugar) duas linhas. 
 
Para a matriz ser considerada na forma escada ela deve obedecer 4 condições: 
 
1) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula deve ser 1; 
2) A coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma linha, tem os demais iguais a 
zero; 
3) Toda linha nula ocorre abaixo das linhas não nulas; 
4) Todo elemento não nulo está em uma coluna maior em relação ao elemento não nulo da 
anterior. 
Ex.: 
 
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 4
 , 
1 2 0 8
0 0 1 4
0 0 0 0
 , 
1 0 2 10
0 1 0 3
0 0 0 0
 Estão reduzidas à forma escada. 
 
1 0 2 10
0 1 0 3
0 0 1 4
 , 
1 1 0 5
0 0 0 0
0 0 1 4
 , 
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 2 8
 , 
1 0 0 2
0 0 1 4
0 1 0 3
 Não estão reduzidas à forma 
escada pois desrespeitam as condições 2, 3, 1 e 4 respectivamente. 
 
Ex.: Reduzir a Matriz Ampliada do exemplo anterior à forma escada: 
 
1 1 1 9
1 1 −1 1
1 −1 1 3
 
𝑎𝑑𝑖 çã𝑜/𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎 çã𝑜
 
𝐿2
 
 𝐿2 − 𝐿1
𝐿3 
 
 𝐿3 − 𝐿1
 
1 1 1 9
0 0 −2 −8
0 −2 0 −6
 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟
 
𝐿2
 
 −
1
2
 . 𝐿2
𝐿3 
 
 −
1
2
 . 𝐿3
 
1 1 1 9
0 0 1 4
0 1 0 3
 
𝑎𝑑𝑖 çã𝑜/𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎 çã𝑜
 
𝐿1
 
 𝐿1 − 𝐿2 − 𝐿3
 
1 0 0 2
0 0 1 4
0 1 0 3
 
𝑇𝑟𝑜𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖 çã𝑜
 
𝐿3 ↔ 𝐿2
 
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 4
 
 
Obs.: Dizemos que uma matriz é linha equivalente a outra quando é obtida a partir da segunda 
através de um número finito de operações elementares. 
 
Ex.: A matriz 
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 4
 é linha equivalente da matriz 
1 1 1 9
1 1 −1 1
1 −1 1 3
 . 
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I.b. Matriz: 
POSTO: O posto de uma matriz é, por definição, o número de linhas não nulas que a matriz 
linha equivalente reduzida à forma escada possui. 
Nominando, temos: 
𝑃𝐶 ≡ Posto da Matriz dos Coeficientes; 
𝑃𝐴 ≡ Posto da Matriz Ampliada; 
𝐶 ≡ Número de Colunas da matriz; 
𝑛 ≡ Número de incógnitas do sistema (número de colunas da Matriz dos Coeficientes). 
NULIDADE: A nulidade de uma matriz X (N) é a diferença entre o número de colunas e o posto 
dessa matriz. 
𝑁(𝑋) = 𝐶(𝑋) − 𝑃(𝑋). 
I.c. Tipos de soluções de um sistema: 
 O sistema pode ser classificado de 3 formas: 
I. Sistema Incompatível: Quando 𝑃𝐶 < 𝑃𝐴. Nesse caso não há solução para o sistema; 
II. Sistema Compatível Determinado: Quando 𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 = 𝑛. Nesse caso, o sistema possui 
uma única solução, onde podemos determinar através do escalonamento; 
III. Sistema Compatível Indeterminado: Quando 𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 < 𝑛. Nesse caso, o sistema possui 
infinitas soluções, onde podemos dar o conjunto solução parametrizando alguma(s) das 
incógnitas. Obs.: Nesse caso falamos de Grau de liberdade do Sistema que é a diferença do 
número de incógnitas pelo posto das matrizes (corresponde ao número de incógnitas que 
temos que parametrizar): 𝑮𝒓 𝑿 = 𝒏 − 𝑷𝒄 . 
 
Ex.: Dê o conjunto solução (quando possível) dos sistemas abaixo: (Feito com passo-a-passo) 
I. 
𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 + 𝑦 = 5
 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
1 1 3
1 1 5
 
 
 
b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
1 1 3
1 1 5
 
 
 
𝐿2
 
 𝐿2 − 𝐿1
 
1 1 3
0 0 2
 
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4 Thiago Carreiro 
 
c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
𝑃𝐶 = 1; 
𝑃𝐴 = 2; 
𝑛 = 2. 
𝑃𝐶 < 𝑃𝐴  Sistema Incompatível. 
 
II. 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 14
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 5 
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −5
 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
1 2 1 14
1 −1 1 5
2 −1 −1 −5
 
b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
1 2 1 14
1 −1 1 5
2 −1 −1 −5
 
 
 
𝐿1 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3
 
4 0 1 14
1 −1 1 5
2 −1 −1 −5
 
 
 
𝐿3 𝐿3 − 𝐿2
 
4 0 1 14
1 −1 1 5
1 0 −2 −10
 
 
 
𝐿1 2. 𝐿1 + 𝐿2
 
9 0 0 18
1 −1 1 5
1 0 −2 −10
 
 
 
𝐿1 
1
9
. 𝐿1
𝐿3 −𝐿3 + 𝐿1
𝐿2 −𝐿2
 
1 0 0 2
−1 1 −1 −5
0 0 2 12
 
 
 
𝐿2 𝐿2 + 𝐿1 +
1
2
. 𝐿3
𝐿3 
1
2
. 𝐿3
 
 
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 6
 
c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
𝑃𝐶 = 3; 
𝑃𝐴 = 3; 
𝑛 = 3. 
𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 = 𝑛  Sistema Compatível Determinado. Solução 
𝑥 = 2
𝑦 = 3
𝑧 = 6
 . 
III. 
2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 12
𝑥 + 3𝑧 = 9 
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 
 
a) Primeira coisa a fazer é montar a Matriz Ampliada: 
 
2 −1 4 12
1 0 3 9
1 −1 1 3
 
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5 Thiago Carreiro 
 
b) Segunda coisa é achar a matriz linha equivalente reduzida à forma escada: 
 
2 −1 4 12
1 0 3 9
1 −1 1 3
 
 
 
𝐿1 𝐿1 − 𝐿3
𝐿2 𝐿2 − 𝐿3
 
1 0 3 9
0 1 2 6
1 −1 1 3
 
 
 
𝐿3 𝐿3 − 𝐿1 + 𝐿2
 
1 0 3 9
0 1 2 6
0 0 0 0
 
c) Analisar os postos das matrizes e o número de incógnitas do sistema: 
𝑃𝐶 = 2; 
𝑃𝐴 = 2; 
𝑛 = 3. 
𝑃𝐶 = 𝑃𝐴 < 𝑛  Sistema Compatível Indeterminado. 
d) Parametrizara(s) incógnita(s) em comum nas linhas: 
A incógnita z aparece nas duas linhas, então fazemos: 
𝑧 = 𝜆; 
1. 𝑥 + 3. 𝑧 = 9 𝑥 = 9 − 3. 𝑧 𝑥 = 9 − 3. 𝜆; 
1. 𝑦 + 2. 𝑧 = 6 𝑦 = 6 − 2. 𝑧 𝑦 = 6 − 2. 𝜆. 
 
𝑥 = 9 − 3. 𝜆
𝑦 = 6 − 2. 𝜆
𝑧 = 𝜆 
 
O Grau de Liberdade é 𝐺𝑟 = 𝑛 − 𝑃𝐴 = 3 − 2 = 1 (número de parâmetros).