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Resumo de Álgera Linear II unidade 1 Thiago Carreiro I. Matriz de uma Transformação Linear: Outro modo de representar uma transformação linear é através do uso de uma matriz específica e em função das coordenadas dos vetores para duas bases dadas (uma do conjunto de chegada e outra do conjunto de partida). Sejam ‘V’ e ‘W’ espaços vetoriais e 𝛼 e 𝛽 bases dos respectivos espaços, podemos representar a transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑊 como: 𝑇(𝑣) 𝛽 = 𝑇 𝛽 𝛼 . 𝑣 𝛼 Onde 𝑇 𝛽 𝛼 representa a matriz de transformação linear em relação às bases 𝛼 e 𝛽. A matriz da transformação ‘pega’ as coordenadas do vetor do conjunto de partida, 𝑣, na base 𝛼 e retorna as coordenadas de um vetor do conjunto de chegada, 𝑇(𝑣), na base 𝛽. A matriz da transformação é obtida fazendo as colunas com as coordenadas dos transformados dos vetores da base do conjunto de partida com relação à base do conjunto de chegada. Ou seja, sejam 𝛼 = {𝑣1, 𝑣2 , … , 𝑣𝑛} e 𝛽 = {𝑤1,𝑤2, … , 𝑤𝑛}: 𝑇 𝛽 𝛼 = 𝑇 𝑣1 𝛽 𝑇 𝑣2 𝛽 ⋯ 𝑇 𝑣𝑛 𝛽 Obs.: Se a transformação em questão for um Operador Linear, é comum representar a matriz como 𝐼 𝛽 𝛼 . Se 𝛼 = 𝛽, 𝑇 𝛼 ou ainda, se 𝛼 for a base canônica, 𝑇 . Ex.: Seja 𝑇: 2 → 3 tal que 𝑇 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 𝑦, −𝑥, −2𝑦) e dadas as bases 𝛼 = 1,1 , 2, −1 e 𝛽 = 1,1,1 , 1, −1,0 , (0,1, −1) : a) Ache a matriz da transformação linear 𝑇 𝛽 𝛼 : Vamos achar os transformados dos vetores da base 𝛼: i) 𝑇 1,1 = (2, −1, −2) Agora vamos achar as coordenadas desse vetor em 𝛽: 𝑇 1,1 = 2, −1, −2 = 𝐴. 1,1,1 + 𝐵. 1, −1,0 + 𝐶. (0,1, −1) 𝐴 + 𝐵 = 2 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = −1 𝐴 − 𝐶 = −2 Resolvendo o sistema, temos: 𝐴 = − 1 3 𝐵 = 7 3 𝐶 = 5 3 E temos: 𝑇 1,1 𝛽 = − 1 3 7 3 5 3 Resumo de Álgera Linear II unidade 2 Thiago Carreiro ii) 𝑇 2, −1 = (1, −2,2) Agora vamos achar as coordenadas desse vetor em 𝛽: 𝑇 2, −1 = 1, −2,2 = 𝐷. 1,1,1 + 𝐸. 1, −1,0 + 𝐹. 0,1, −1 𝐷 + 𝐸 = 1 𝐷 − 𝐸 + 𝐹 = −2 𝐷 − 𝐹 = 2 Resolvendo o sistema, temos: 𝐷 = 1 3 𝐸 = 2 3 𝐹 = − 5 3 E temos: 𝑇 2, −1 𝛽 = 1 3 2 3 − 5 3 Então a matriz da transformação fica: 𝑇 𝛽 𝛼 = − 1 3 1 3 7 3 2 3 5 3 − 5 3 b) Sendo 𝑣 = (1, −1), calcule as coordenadas desse vetor na base 𝛼, depois as coordenadas do transformado na base 𝛽. 𝑣 = 1, −1 = 𝐴. 1,1 + 𝐵. (2, −1) 𝐴 + 2𝐵 = 1 𝐴 − 𝐵 = −1 Resolvendo o sistema, temos: 𝐴 = −1 3 𝐵 = 2 3 E temos: 𝑣 𝛼 = − 1 3 2 3 Aplicando a relação 𝑇(𝑣) 𝛽 = 𝑇 𝛽 𝛼 . 𝑣 𝛼 , temos: 𝑇(𝑣) 𝛽 = − 1 3 1 3 7 3 2 3 5 3 − 5 3 . − 1 3 2 3 𝑇(𝑣) 𝛽 = 1 9 + 2 9 − 7 9 + 4 9 − 5 9 − 10 9 = 1 3 − 1 3 − 5 3 Resumo de Álgera Linear II unidade 3 Thiago Carreiro II. Autovalores, autovetores e autoespaços: Alguns operadores lineares pegam um vetor e transformam em um outro vetor paralelo (ou LD) ao primeiro. Portanto a transformação 𝑇: 𝑉 → 𝑉 pode ser representada por: 𝑇 𝑣 = 𝜆. 𝑣 Onde 𝜆 ∈ e 𝑣 ∈ 𝑉. Quando lidamos com esse caso, dizemos que 𝑣 é um autovetor associado ao autovalor 𝜆. Autoespaços são espaços vetoriais que possuem uma base de autovetores (ou seja, achado um autovalor, acha-se os autovetores associados a ele e estes formam um autoespaço). III. Polinômio característico: Seja I a matriz identidade e A a matriz da transformação, é correto escrever 𝐴. 𝑣 = 𝜆. 𝑣 = 𝜆. 𝐼. 𝑣 sem alterar nada (faça no papel). Então estamos procurando uma matriz diagonal, 𝜆. 𝐼, que faça a mesma transformação da matriz A. Podemos escrever 𝐴. 𝑣 = 𝜆. 𝐼. 𝑣 como 𝐴. 𝑣 − 𝜆. 𝐼. 𝑣 = 𝐴 − 𝜆. 𝐼 . 𝑣 = 0. Nomeamos a função 𝑃 𝜆 = det(𝐴 − 𝜆. 𝐼) de polinômio característico da matriz A. E os autovalores da transformação são as raízes desse polinômio. Para achar os autovalores da transformação, segue: Passo-a-passo: 1) Subtrair 𝜆 da diagonal da matriz de transformação; 2) Tirar a determinante da matriz obtida (será o polinômio característico); 3) Achar as raízes do polinômio (que serão os autovalores). Ex.: Sendo 𝑇: 2 → 2 onde 𝑇 𝑣 = 𝐴. 𝑣 sendo: 𝐴 = 4 3 3 −4 Queremos achar a matriz 𝜆. 𝐼: 𝜆. 𝐼 = 𝜆. 1 0 0 1 = 𝜆 0 0 𝜆 Então ficamos com: 𝐴 − 𝜆. 𝐼 = 4 3 3 −4 − 𝜆 0 0 𝜆 = 4 − 𝜆 3 3 −4 − 𝜆 (subtrair 𝝀 da diagonal) Resumo de Álgera Linear II unidade 4 Thiago Carreiro E o polinômio característico é: 𝑃 𝜆 = det(𝐴 − 𝜆. 𝐼) = 4 − 𝜆 . −4 − 𝜆 − 9 = 𝜆² − 25 (tirar determinante da matriz) As raízes: 𝑃 𝜆 = 𝜆² − 25 = 0 𝜆1 = 5 𝑒 𝜆2 = −5 São os autovalores da transformação. (raízes do polinômio) Para achar o autoespaço de cada autovalor da transformação, segue: Passo-a-passo: Fazer para cada 𝜆: 1) Substituir em 𝐴 − 𝜆. 𝐼 e igualar à matriz-coluna nula; 2) Resolver o sistema; 3) Achar os vetores de cada autoespaço na forma mais geral; 4) Ache uma base para o autoespaço. Ex.: Sendo os mesmos dados do exemplo anterior, calcule os autoespaços de cada autovalor da transformação: Para 𝜆1 = 5: i) Substituir 𝜆 em 𝐴 − 𝜆. 𝐼 para cada autovalor: 4 − 5 3 3 −4 − 5 . 𝑥 𝑦 = 0 0 −1 3 3 −9 . 𝑥 𝑦 = 0 0 −𝑥 + 3𝑦 = 0 3𝑥 − 9𝑦 = 0 ii) Resolvendo o sistema: −𝑥 + 3𝑦 = 0 3𝑥 − 9𝑦 = 0 → 𝑥 = 3𝑦 𝑦 = 𝑦 iii) Na forma mais geral, temos: 𝑣 = 𝑥, 𝑦 = 3𝑦, 𝑦 Então definimos que: 𝑉𝜆1 = {(3𝑡, 𝑡) ∈ 2 / 𝑡 ∈ } (Parametrizei o y, note que não faz diferença). iv) Então uma base para 𝑉𝜆1 é (colocando t em evidência): 3𝑡, 𝑡 = 𝑡. (3,1) 𝛼1 = 3,1 é uma base (de autovetores) de 𝑉𝜆1 . Resumo de Álgera Linear II unidade 5 Thiago Carreiro Para 𝜆2 = −5: i) Substituir 𝜆 em 𝐴 − 𝜆. 𝐼 para cada autovalor: 4 + 5 3 3 −4 + 5 . 𝑥 𝑦 = 0 0 9 3 3 1 . 𝑥 𝑦 = 0 0 9𝑥 + 3𝑦 = 0 3𝑥 + 𝑦 = 0 ii) Resolvendo o sistema: 9𝑥 + 3𝑦 = 0 3𝑥 + 𝑦 = 0 → 𝑥 = 𝑥 𝑦 = −3𝑥 iii) Na forma mais geral, temos: 𝑣 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥, −3𝑥 Então definimos que: 𝑉𝜆2 = {(𝑠, −3𝑠) ∈ 2 / 𝑠 ∈ } (Parametrizei o x, note que não faz diferença). iv) Então uma base para 𝑉𝜆2 é (colocando s em evidência): 𝑠, −3𝑠 = 𝑠. (1, −3) 𝛼2 = 1, −3 é uma base (de autovetores) de 𝑉𝜆2 . Após achar os autoespaços, automaticamente achamos os autovetores. Estes serão os vetores (na forma mais geral) das bases dos autoespaços. Para o exemplo anterior, os autovetores da transformação são: 3𝑡, 𝑡 𝑒 𝑠, −3𝑠 IV. Diagonalização de operadores: Dizemos que a transformação é diagonalizável quando podemos substituir a matriz de transformação por uma matriz diagonal (os cálculos ficam bem mais fáceis). Na prática, isso é possível se nós tivermos uma base para o espaço vetorial formada exclusivamente por autovetores. Os autoespaços são, na realidade, subespaços do espaço maior (o que está envolvido na transformação, no caso anterior 𝑇: 2 → 2 , então o espaço maior é 2 ), logo, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser menor que ou igual à dimensão do espaço maior. A transformação será diagonalizávelunicamente se a soma das dimensões dos autoespaços for IGUAL à dimensão do espaço maior. A matriz diagonal será dada tendo os autovalores como as entradas da diagonal, ou seja, tendo a transformação os autovalores 𝜆1,𝜆2, …𝜆𝑛 , a matriz diagonal será: 𝐷 = 𝜆1 0 ⋯ 0 0 𝜆2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆𝑛 Resumo de Álgera Linear II unidade 6 Thiago Carreiro No exemplo anterior: dim 𝑉𝜆1 = 1 dim 𝑉𝜆2 = 1 dim 2 = 2 Então: dim 2 = dim 𝑉𝜆1 + 𝑉𝜆2 Logo, a transformação é diagonalizável e a matriz diagonal será: 𝜆1 0 0 𝜆2 = 5 0 0 −5
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