Matemática Discreta - Exercícios 3

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Matemática Discreta 
Lista de Exercícios 1 1) Construa a tabela-verdade para as seguintes proposições compostas: a) (p∨q’)’ d) (a∨a’) → (b∧b’) b) (p∧q’) ∨(q∧p’) e) [(a∧b’) → c’]’ c) (p∧q) ↔ (q∨r’) f) (a→b) ↔ (b’→a’) 2) Considere as sentenças abaixo: 
 i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam. 
 
 Considere também que p, q, r e t representem as sentenças listadas na tabela a seguir: 
 p Fumar deve ser proibido. q Fumar deve ser encorajado. r Fumar não faz bem à saúde. t Muitos europeus fumam. 
 
 Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os seguintes itens: 
 I. A sentença i pode ser corretamente representada por p∧t’. II. A sentença ii pode ser corretamente representada por p’∧r’. III. A sentença iii pode ser corretamente representada por r → p. IV. A sentença iv pode ser corretamente representada por (r∧t’) → p. V. A sentença v pode ser corretamente representada por t → (r’∧p’). Obs: A validade dos exercícios 3 a 7 depende das resoluções apresentadas; isto é, respostas aleatórias são proibidas. 3) Considere a seguinte proposição: “na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: a) uma tautologia. b) uma equivalência. c) uma contingência. d) uma contradição. e) n.d.a. 4) Julgue os itens abaixo: i. p → q ⇔ (p → q’) → p’ ii. p’ → (q∧p)’ é uma contingência. iii. (p∧q)∨q’ ↔ r’ é uma contradição. 5) Qual proposição representa A’ se A é a proposição “Júlia gosta de manteiga mas detesta creme”? 6) Dizer que não é verdade que Pedro é Pobre ou Alberto é alto é equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 
 7) Se Marcos não estuda, João passeia. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 8) Considere o seguinte pseudo-código: Repita i=1 Leia o valor de x Se (x < 5,0 e 2x < 10,7) ou (√5x > 5,1) então Escreva o valor de x Fim (se) Aumente i de 1 Até i > 5 Os valores de entrada são 1,0; 5,1; 2,4; 7,2 e 5,3. Quais são os valores de saída? 9) Reescreva o pseudo-código a seguir com uma expressão condicional mais simples, onde a função “impar(n)” tem valor lógico verdadeiro se n for ímpar. Se não (valor1<valor2 ou impar(numero)) ou (não(valor1<valor2) e impar(numero)) então Proposição1 Caso contrário Proposição2 Fim(se) 10) Sendo o conjunto universo igual ao conjunto dos inteiros, determine o valor lógico de cada fbf a seguir: a) (∀x) (∃y) (x+y=x) b) (∀x) (∃y) (x+y=0) c) (∀x) (∀y) (x<y∨y<x) d) (∃x) (∃y) (x2=y) e) (∀x) (∃y) (x-y=2x) 11) Descreva cada conjunto abaixo, listando seus elementos. a) { x | x é um inteiro e 3 < x ≤ 7} b) { x | x é um mês com exatamente 30 dias} c) { x | x é a capital do Brasil} 12) Descreva cada conjunto abaixo através de uma propriedade que caracterize seus elementos. a) {1, 4, 9, 16} b) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} 13) Sejam os conjuntos A = { x | x∈ℕ e x≥5}, B = {10, 12, 16, 20} e C = { x | (∃y) (y∈ℕ e x=2y)}. Quais das proposições a seguir são verdadeiras? Explique seu raciocínio. a) B⊆C g) B⊂A b) A⊆C h) 26∈C c) {11, 12, 13}⊆A i) {11, 12, 13}⊂C d) {12}∈B j) {12}⊆B e) { x | x∈ℕ e x<20}⊈B k) 5⊆A f) {∅}⊆B l) ∅∉A 14) Descreva cada um dos conjuntos a seguir. Desenvolva e mostre o raciocínio realizado antes de cada resposta. a) { x | x∈ℕ e x2<25} b) { x | x∈ℕ e x é par e 2<x<11} c) { x | x∈ℝ e x2=-1} 
d) { x | x∈ℕ e x2-5x+6=0} e) { x | x∈ℕ e x2-2x-8=0} f) { x | x∈ℕ e (∃q)(q∈{2,3} e x=2q)} g) { x | x∈ℕ e (∃y) (∃z)(y∈{0,1} e z∈{3,4} e y<x<z)} 15) Sejam A={ x | x∈ℝ e x2-4x+3<0} e B={ x | x∈ℝ e 0<x<6}. Prove que A⊂B. 16) Encontre ℘(S) para S = {1,2,3,4}. Confirme o Corolário 5.1. 17) Determine A, sabendo que ℘(A) = {∅, {x}, {y}, {x,y}} 18) Sejam A={2, 4, 5, 6, 8}, B={1, 4, 5, 9} e C={ x | x∈ℤ e 2≤x<5}. Encontre, para U={1, 2, ..., 10}, os seguintes conjuntos: a) A⋃B d) B⋃C g) A⋂A’ j) (C⋂B)⋃A’ b) A⋂B e) A – B h) (A⋂B)’ k) (B - A)’⋂(A - B) c) A⋂C f) A’ i) C – B l) (C’⋃B)’ m) BxC 19) Considere os seguintes subconjuntos de ℤ: A = { x | (∃y) (y∈ ℤ e y≥4 e x=3y)} B = { x | (∃y) (y∈ ℤ e x=2y)} C = { x | x∈ℤ e |x|≤10} Utilizando as operações definidas nos conjuntos (união, interseção, complemento, diferença), descreva cada um dos conjuntos a seguir em termos de A, B e C. a) {-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}. b) O conjuntos de todos os inteiros ímpares. c) { x | (∃y) (y∈ ℤ e y≥5 e x=2y+1)} ⋃ { x | (∃y) (y∈ ℤ e y≤-5 e x=2y-1)} d) {-9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9} e) { x | (∃y) (y∈ ℤ e y≥2 e x=6y)} 
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