Cálculo II - Exercícios 1

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Lista de Exercícios 1 – Cálculo II 
Profª Bruna Kitamura 
1) Determine uma equação da reta tangente à função abaixo, nos pontos dados. Esboce a função e as equações de reta tangente. (Observação: não é necessário utilizar limites já que o enunciado não especifica). a) f(x) = x² + 2x - 8, nos pontos x = -1 e x = 4 
b) Hipérbole y = ଷ௫ , nos pontos x = 3 e x = -2 2) Se f(x) = 3x² - 5x, encontre f’(2) e use-o para calcular uma equação da reta tangente à parábola y = 3x² - 5x no ponto (2, 2). 3) Determine a derivada da função dada usando a definição. Estabeleça os domínios da função derivada. a) f(x) = 5x + 3 b) f(x) = x³ - x² + 2x 
c) g(x) = √1 + 2ݔ 
d) G(x) = ସିଷ௫ଶା௫ 4) Encontre a derivada das funções abaixo utilizando (i) derivada por definição e (ii) derivada através de Regras Práticas: a) f(x) = -4x² + 2x – 3 b) f(x) = 2x³ - 7x + 1 
c) f(x) = √ݔ 
d) f(x) = ଵିଶ௫௫ 5) Diferencie: a) f(x) = 5x – 1 b) h(x) = -4x10 c) f(x) = 5x8 – 2x5 – 3x³ + 2x + 6 
d) y = ݔିమఱ e) y = 5݁௫ + 3 
f) V(r) = ସଷ π r 
g) R(x) = √ଵ଴ ௛௫ళ h) F(x) = (16x)³ 
i) f(t) = t - ଵ√௧ 
j) y = ଶ௫రି௫ାଷ√௫ 
k) y = √௫ିଶ௫√௫ళ 
l) y = ݔరయ – 2ݔమఱ m) y = ax² + bx + c 
n) y = A + ஻௫ + ஻௫మ 
o) y = x + √ݔଶఱ 
p) u = √ݐଶయ + 2√ݐଷ 
q) v = x√ݔ + ଵ௫మ√ೣ 6) Ache os pontos sobre a curva y = x³ - x² - x + 1 onde a tangente é horizontal. Utilize algum recurso gráfico que confirme sua resposta. 7) Quais são os valores de x que fazem com que o gráfico f(x) = 2x³ - 3x² - 6x + 87 tenha tangentes horizontais? 8) Mostre que a curva y = 6x³ + 5x – 3 não tem reta tangente com inclinação 4. 9) Considere a seguinte definição do Cálculo: “Uma função é diferenciável em a se f’(a) existir. É diferenciável em um intervalo aberto (a,b) [ou (a,∞) ou (-∞,b) ou (-∞,∞)] se for diferenciável em cada número do intervalo“. Lembrando que diferenciável pode ser entendido como “derivável”, então uma função pode ser derivada num ponto a quando sua derivada f’(a) existir. Mas como uma derivada é, na verdade, um tipo de limite, então vale os critérios de existência de limite para existência da derivada. Assim: 
a) Seja a função f(x) = ቄ2 − ݔ ݏ݁ ݔ ≤ 1ݔ² − 2ݔ + 2 ݏ݁ ݔ > 1 . Responda: f é diferenciável em 1? b) Em quais números a seguinte função g é diferenciável? 
g(x) = ൝ −1 − 2ݔ ݏ݁ ݔ < 1ݔ² ݏ݁ − 1 ≤ ݔ ≤ 1ݔ ݏ݁ ݔ > 1 
10) Encontre a derivada de y = (x²+1)(x³+1) de duas maneiras: usando a Regra do Produto e fazendo primeiro a multiplicação. As respostas são iguais? 11) Encontre a derivada da função: 
f(x) = ௫ିଷ௫√௫√௫ 
de duas maneiras: usando a Regra do Quociente e simplificando primeiro. Mostre que suas respostas são equivalentes. Qual método você prefere? 
12) Diferencie: a) f(x) = x²݁௫ 
b) g(x) = ௘ೣଵା√௫ 
c) f(u) = ଵି௨²ଵା௨² d) G(s) = (s² + s + 1)(s² + 2) 
e) g(x) = (1 + √ݔ)(x - x³) f) h(t) = ݁௧(lnt – 3t²) 
g) y = √௧ିଵ√௧ାଵ h) y = (r² - 2r)logx 
i) f(x) = ଵ௫రା௫మାଵ 
j) y = ௘ೣ௫ା௘ೣ k) f(x) = ௫௫ା೎ೣ 
l) y = senx + cosx 
m) y = xsenx + ௧௚௫௫ 
n) y = ௘ೣ௦௘௡௫ଵା௖௢௦ o) f(x) = x senx cosx p) y = cossecx cotgx q) y = t³ sect 13) Encontre uma equação da reta tangente à curva em um ponto dado. 
a) y = √௫௫ାଵ, (4, 0,4) b) y = 2x݁௫, (0,0) c) y = x cosx, (π, -π) 14) Escreva a fundação dada na forma de função composta f(g(x)). [Identifique a função de dentro u = g(x) e a de fora y = f(u).] Então encontre a derivada dy/dx. a) y = (x² + 4x + 6)5 b) y = tg3x c) y = cos(tgx) 
d) y = √1 + ݔଷయ 
e) y = ݁√௫ + sen(ex) f) F(x) = (x³ + 4x - 1)7 
g) g(x) = ඥݔ² − 7ݔ 
h) f(t) = ଵ(௧మିଶ௧ିହ)ర 
i) h(t) = ቀݐ − ଵ௧ቁଷ/ଶ j) f(t) = tgඥ1 + ݐ݃ݐయ 
k) y = cos(a³ + x³) l) y = a³ + cos³x m) y = e-mx + 4sec5x n) G(x) = (3x - 1)10(5x² - x + 2)12 o) Y = (2x - 5)4(8x² - 5)-3 p) y = xe-x² 
q) F(y) = ቀ௬ି଺௬ା଻ቁଷ 
r) f(z) = ௭√ଶ௭ିଵఱ s) y = tg(cosx) 
t) y = 5ିభೣ 
u) y = ௦௘௡²௫௖௢௦௫ v) y = (1 + cos²x)6 
w) y = xsenଵ௫ 
x) y = 2x² - 2x + 1 
y) y = ௘ೣ೎೚ೞೣଵା ௘యೣ 
z) y = ඥݔ + √ݔ 
 a’) y = 4ଷೣ² 
 b’) y = log ቀ ௫௫ିଵቁ 
 c’) G(x) = √݈݊ݔయ 
 d’) y = log3(x² - 4) 
 e’) y = ln(cosߠ) – 3x² + 1 
 f’) y = ln (x + ඥݔ² − 1) 
 g’) h(y) = ln(y³seny) 
 h’) y = (lnx tgx)2 
 15) Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. 
a) y = ଼√ସାଷ௫, (4,2) b) y = senx + cos2x, (π/6, 1) c) y = sen(senx), (π, 0) d) y = 10x, (1, 10) e) y = ln lnx, (e, 0) 16) O deslocamento de uma particular sobre uma corda vibrante é dado pela equação 
s(t) = 10 + ଵସ sen(10πt) 
onde s é medido em centímetros e t em segundos. Encontre a velocidade da partícula após t segundos. 
17) Se a equação de movimento de uma partícula for dada por s = A cos(߱t + ߜ), dizemos que a partícula está em um movimento harmônico simples. a) Encontre a velocidade da partícula no instante t. b) Quando a velocidade é zero? 18) O Cefeu é uma constelação cujo brilho é variável. A estrela mais visível dessa constelação é a Delta Cefeu, para o qual o intervalo de tempo entre brilhos máximos é de 5,4 dias. O brilho médio dessa estrela é 4,0, com uma variação de ±0,35. Em vista destes dados, o brilho de Delta Cefeu no instante t, onde t é medido em dias, foi modelado pela função: B(t) = 4,0 + 0,35sen(2πt/5,4) a) Encontre a taxa de variação do brilho após t dias. b) Encontre, correta até duas casas decimais, a taxa de crescimento após 1 dia. 
19) O modelo de duração da luz do dia (em horas) na cidade de Filadélfia no t-ésimo dia do ano é dado pela expressão: 
L(t) = 12 + 2,8senቂ ଶగଷ଺ହ (ݐ − 80)ቃ 
Use esse modelo para comparar como o número de horas da duração da luz do dia está crescendo na Filadélfia, comparando os dias 21 de março e 21 de maio. 
20) O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento (tal como amortecedor de um carro) é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimento de um ponto sobre essa mola é: s(t) = 2e-1,5t sen2πt onde s é medida em centímetros e t em segundos. Encontre a velocidade após t segundos e utilize algum recurso gráfico das funções posição e velocidade para 0 ≤ t ≤2. 21) Encontre as derivadas primeira e segunda da função. a) f(x) = x5 + 6x² - x – 7 [neste caso, encontre até derivada sétima da função f(x)] 
b) G(r) = √ݎ + √ݎయ c) F(s) = (3s + 5)8 d) y = (1 – x²)3/4 e) g(s) = s² cos s 22) Encontre y’’’. 
a) y = √2ݔ + 3 
b) y = ଵି௫ଵା௫ 
 
 
Exercícios Extras 
 Calcule y’. 1) y = (x+2)8(x+3)6 
2) y = √ݔయ + ଵ√௫య 3) y = ௫√ଽିସ௫ 
4) y = ௘ೣඥଵା௫² 5) y = sen(cosx) 6) y = sen(ex - 1) 
7) y = x݁ିଵ/௫ 8) y = xresx 
9) y = tg√1 − ݔ 
10) y = ଵ௦௘௡(௫ି௦௘௡௫) 
11) y = ௫଼ିଷ௫ 
12) y = ቀݔ + ଵ௫²ቁ√଻ 13) y = sec2ߠ 
14) y = -2/ඥݐ³ర 15) y = (1-x-1)-1 16) y = ln(cossec5x) 17) y = ecx(csenx - cosx) 18) y = ln(x²ex) 
19) y = ݁௘ೣ 
20) y = 5௫௧௚௫ 
21) y = 1/ඥݔ + √ݔయ 
22) y = ඥݏ݁݊√ݔ 23) y = log(x² - x) 24) y = ecosx + cos(ex) 
25) y = sen(tgඥ1 + ݔ³ )