mir moscú geometría Yákovliev

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MATEMA'UUiA ¡lJfJ[ TEXHU1,YMOB 
rEOMETPIDI 
¡faftATEJIbCTBO .HAVl\A. 
MOClmA 
Geometría 
Dirigido por G. N. Yákovliev 
EDITORIAL MIR MPsgO 
Traduc.ido del ru!o por 
A. MijnUln 
Impt'050 en la URSS 
© Ha.'tIlTOnbGTDO eHa.YK;lt. 1982 
<ID Tradueellill 111 e~pafioJ. Editorial Mir. tH85 
IN DICE 
Prelacio .......... ... . . 
Cap'1uJo l . VeeWl'flII f'n el (lhlno y 1'11 1'1 I'Splldo 
§ l . Variables v,'(';turfllea y ncalarell .. 
! 2. Vecto~! ......... . 1:1. Sumll. elu vceLOru. . . . .. § .l. Vcctorell opuesto!. SUMuooióll de lo ~ w!ctort!5 
f 5. Multi plicación de l "¡)tItor por un ní"ncw .. 
f 6. Voewres eolinc.lu .. . . 
§ 1. Anaulo l' I1t l\" dos \'e<: ltln.J5 ........... . 
f 8 . O&SII rrolltl del vector en el plll rlo l>n do~ \'t...: IOfClI JIU 
I ,. 
I l O. 
i ti . 
eolinca lclI . . . . . . . . .. . . ... 
vQCtol'95 eopIMIUII~' .••....••..... • 
I)cs:mvllo del vec to r 1m Ir(>S ve-etortS 11' . euplanare.s 
Opera<: IOIl('1I con los \-eClOf'Il.! definidos por ~s coordcna~ 
dns . . • •. .. 
f 12. Sistemn cnrtl:'lIinno (h~ coonlcmHlos . . . . .. . 
f 13. T ransformlld6n de UD sistema. nrtuiuno ",ct llngubr 
de (,Qo rd \lllorl.1I & otl'(> • • . . . . . . . . . . . . 
Sl llle,nn polor rlo coordenadn . . . . . § 14, 
f 15. 
I t6. 
, 11. 
! IS. 19. 
, 20. 
I 21. 
t 22, 
Longitud del ,·~~tor .. ....... . 
Proyección del vector !!Obro 1'1 ~jc. Propit dadell del vec-
tor . . . . . . .. ... ...... .", 
Pl'()ducto eXll ln dI' do" Vl'ctorcs .. , .. , , 
P ropledadell de l producto ~K ... b r dI' 1011 V~'(: t.ol'!'lI 
Producto ClIClllar de \'ec l torc" d~doll por $1111 eoord\'nadall 
Clikulo del nngulo entro do~ vt'C lvru , , ..... . 
r t<ld" eto ~, f)r i/ll do do~ VC<'tOl'!'lI y 51111 rr0 l"iedlld c~ 
I' r",I " ( lo vl"<.' lorltl l ele dos "ccIO" '" "djnjdo.~ 1'''' su~ 
cor,,..ltmad,, s .. , .. ...... , ...... . 
i 23- . ProdUfto mi~u, ,I.~ t ros Vettf>rc~ y SI' ~ rrIJl'i"duelü 9 
, 24· . Vroouct u mitlO de t res VllCtuJ'Q~ d<:finlt.lu~ por sus CUnt· 
dellllru.s , , • ' , . . . . , , 
5 
8 
11 
11 
" 
" IS 
" 21 23 
V. 
21 
2!1 
" 
" 
" 
'" 
.. 
§ 2.5. Solucl6u d~ 106 prublcmus pUf d m~todo \'ec lornll liS 
ProJ.¡llllnf'S para el (.apitulo 1 76 
Caplt\\lo [ \. R(>l·ta, en el plano 
§ 26. Eculleiono~ con dos vurillbcs y su gráfico ..... . 
§ :.1.1 . Ecueionc9 canúnicall y param61ricas de la tt"cw .• . 
§ 28. Ecuación de una rl'Ct!l qua pasa por dos " unt.os da<l()~ 
§ 2.~1. Ecundón do olla rocw que pasa. por (>1 punto dado pCl'-
pcndiculannonta al vector dado .... . ... . 
§ 3\1. ¡;:cuaeión geno ... l do una recta . . .... .. . . 
§ al. Bcuuci6n de unn reets ~Qn un coolic ienle angular ••• 
§ 32. Clllr.ulo de l áUl!u lo I/lIhe la!! J'C<": las, d,) [inida~ por ocua-
cloucs g{'norak~. Condielon~!! do pornlelismo y de pero 
prmdlcularidad de dos roetliS . . . . 
§ :~~ . Cü[~\l lo rld úngulo c n tre I(IB f'(lcWl ~ definidas por lll~ 
,:cuadon'l ~ ,:on eooUc!onlcs angulares . .. . . 
§ 3/ · . Cálculo del 8n~lo entre lns recta!! dufinidu~ pnr [n ~ 
ceuacione! canónicas . .. . ... . ...... . 
§ :~5 · . ECllación nOnIllll izHdu de un,1 I'<',:lu 
§ :i(i- . Dl stau.; ia ue uu punto ti. UDa reCh 
Prot.t .. m~9 p!lt<l 1'1 Cl.pílulo 11 . . . 
CIopita!" IIJ. Cu . va! de segundo orde n 
§ 37. CircunrONuda . 
§ 38. Blipsu .. . .. . 
t :\\l. ¡nvo>!ltigad6u ¡fe la oHp!;() por motll" U<1 SIl ecuadóu 
CIIIlóniCII •.. . ..••..••• 
§ liO. Uipt\ rblJla. . . . . 
§ 41. I nv{'~ti gaci6n do In hiporbola por IRlJdlo do su ecuación 
ran<Jnicn . ... . 
§ ,.2. Pnr6b<llu . .. . ...... . 
§ 43 . Ecuac ión de la el ipse, do la hipérbola y do la parlibnla 
011 otros lIis\(>m¡¡~ do c{)()rdenada8 (no ca noni<:ns) •. . 
4/. P.cunriÓn gtlllcrnl do IlCgund,. urden con ,10M vari"blcs 
I' mblomas pur.! d capítulo 111 ... 
§ 4!i. Axlomos prin<'l[l.~ll.'~ de,- la "~lorMm,,trí:t .. 
§ Ion. P()~kión r"cíp l'n"~'\ de la!! !"('Cw\~ un 1'1 f>sl'Hc iQ . 
§ '" . Cri(.()rio de par¡, l e l ¡~mo de u,,~ J1.'e l-.~ )' un plnn" 
§ liS. Pl:o.nos p,u'¡\[e!o!! . . . .. ... . 
§ 4n. ¡\n~\l lu entro las reclas en e l c ~paci <J .. 
§ 511. Pcrpoll,[it'ularidad de lu recta y,lüll,lano 
8
'
, 
" 80 
'" 
" 97 l ul 
t,. 
107 
In~J 
tlt 
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111; 
124 
"4 
127 
131 
137 
1411 
"'9 
153 
16n 
t o> 
17i:1 
t73 
t74 
177 
171\ 
", t8t 
,
§ SI. Teol'<lma de las tres perpomliculal'tl5 184 
52. AnguLo5 diedros . . . . . . . . . 189 
§ 53. Planos ~BrpendirlJlarl.lS... t91 
§ 5<1. Proyección orto¡;onal de las ¡¡guTas . 192 
§ 55. Area de la ll roye<;ción da uo poligooo 100 
§ SU. Allgulo:l triedros y polledl'()~ . 198 
§ 57. Pri&UQ . . . .• .••.. 202 
¡ 58. Plramldc y plr5.mlde uUllGode 206 
§ SQ-, Potledros . 2It 
§ no", Polílldros rcguLare~ . 212 
Problema$ para el capitulo IV 215 
Capitulo V. Etu. ... "'lon'·s de I :~ T~bt~ y de tos p lanos en d ~¡»Il'io 220 
, 6 .. F.eunelollns dn In rel':l& , 62. EW3el6n dol plano que paSll por tJl!5 punto~ dados no 
silll'ldos <': 11 una mlam3 TOCla . .•••• . . • •. 
§ fl3. Eeuación ,Iel plano que pass Jor un punto dado y es 
~rpendlC\llar a uo vector da o .......... , 
". ~cuaeión general del plano ............ , G::'. Cálculo del /ingulo entl'9 los planos. Condidono8 do 
pllrllJl)(i~mo X porpendieulorldnd """'" , r~. CondiclonOll o eoincldoDcia e lntcr9C<:clón do los planos 
§ 1';7, ECllnción normal dcll'lnllo 
, IlIl. nisune!1I de un punto .ti uD pla.na , . , , , , , , . 
§ ~9. ('~~il:ulo de un ángula entrc ret.:IU , •. , .• , •• 
§ 70. Cond iciones de paralelismo y perpendiculaddad de dos 
rectas , 71. necIas cnnndns. Condi,,¡ón do perwnencin de dOll ['(lc\as 
~ un mismo lllano .. ..., ..... , 72. Clllculo del 8.1lr.::ln eul·ro uno meta y un plOllO. Condl-
e i nne~ de parn dl!l11lo y pcrpcndlcubrld3d do 110a rcctn 
y un plano " ..... . .. ., .. 
P roblcmfts PPt'll. Cll ctlphl, lo V •••• , , •• .•• , • 
Capítulo VI. SUpt'rfides 
revolución 
curvllincas .. 11'>n"Dtules y cuerpo!! de 
§ 73. La estora y 01 cuerpo Clsférlco . . . . 
J 74. Posición recíproca del plnno y la ostera 
§ 75"' . Superrlcles do revolución 
§ 76"'. SupClrficic5 c¡1ind rk:J~ . 
§ 77". Supcrf¡olc9 CÓn h:DH 
§ 78·, Cono y cono truncado 
§ 79·. El cili ndro. .., . 
Problemas pftfa l'1 capítulo VI 
7 
220 
'24 
'26 
228 
'" 233 
'37 
'''' 24' 
'" 
'" 
'49 ,,, 
262 
'" 2(;7 273 
219 
'81 
'83 
,8< 
'CapUulo VII, Volúlllenes de los euel'[IOs )' árcns dl' lUK SUlk' r ieiC'S 
§ SO . Volumon del parall'lepíp!'do 
§ 81 , Volumen del prismll recto 
§ 82. VolUlllen del c ilind ro lloclu 
§ 83. Cálculo del volumen de un eunpo so>g úll las' árolIs d~ 
SUB secdo"()~ paralel,,:; . 
§ 84, 'Vo lumen do un cuo:rpu de revoluci6n 
§ 85, Volumen del C'"W cbcular .1!cto 
¡ 8(l ~ Volulllell de la esl .. ~,,: y de 8118 J'~r~s , 
§ 87 . Volumen de un c.hndro ~rbltr¡\rL(O , , . , , , , , 
§ 88, Volumen de la pirámidu S de la pirámide ~r\ln,:ad a 
§ 80- , Volumen de uu eono IlTbilrario ... , , ... . , 
§ OO. AJWI de la ~uperliele del ci lindro, del cono y d.,\ cono 
truncado , ... " .. , .. 
§ ni. Arca de una ruporfidu du j1,\,,¡ ludÓn 
f !l2. Area de la e~ r,'r~ )' do SIlS r,1rle~ , . 
ProblemllS para ~ 1 cnpilul (o VI , . " 
l\ c~puesta~ , . . , , , . , , 
Alf(un.1s r6rmul~s 'l. ecuaciones 
l)"wc esbozo h.stóJJCO , . • , 
287 
287 
'00 
'92 
'94 
'97 
'" 301 
.,. 
.. 
311 
31~ 
,,15 
318 
321) 
l!3í) 
'" 346 
PREFACIO 
Bsto libro os 11 11 manual dlll eur!!oQ de . Gomnelría. para 
los centros de en~ñl\nzll. secundariA ospccild . Los fl ntoros 
1ro 1(lron d~ dar a conocor a los e.~l u dilllntc s lAS nociones mate-
m,Hicas mas importantes y los mólod08 que t ienen gran 
aplicación, así como dI! mantener UII A dob idn l'u\;lls ión on 
e l C()nl enido , terminologín y ~¡mbolil'm(l con el cnrso de 
mAtem ática do In escuda ~cunda ri8. El materinl leorico 
so expono con juntamente COII el anális is de IfllI! problcm :'ls, 
y Al finnl de Cflda c~ p(tlllo so ofrew u prnhlemtl.s paro (j I 
estudio ind iyidU lI1 do los ORtlldinntos. 
La segund~ odición del manua l es t lÍ represont.nd ll por un 
solo lihro y ~e olodificó sllS1llncialmante, lomando en cuonla 
Ins observaciones do profesn re.~ y motodistllll formuladas a l 
discutir 01 mamm l. MI como la experiencia aCUlOulada du-
ranle 01 trabajo con e l mismo . Se modif ic.ó y complement6 
01 sis loma de ejercicios para coda Cltp ltulo. 
Se6Rl em~ las dift>rendns má.c:. 1! 1I s t ancia l e~ de la so¡:unda 
od ición del manual. 
En In nuova erlició ,. los vectores en el plnno y en el tl5pa-
cio so illterprel!ln no CO IDO lC:lsladoll pnrnlolo.c:., sino como 
segmentos dirigidos con las rcSpcctivM! opernciones de adi-
ción de los "eclore~ y de multipli cación dol \'actor por un 
número. Lns problemas gcomHricos y ¡¡sicos q ue se rosuel VO I1 
por el m~todo voctorlal (Clip. 1) es tán siste matizados y rllU-
nido!! all U II mismo párraro. BI númoro .Ie tn los ptOblema~ 
fuo considerablemente aumontado. 
El malerial dto l capitulo I r tRocl a! ell el pl ano. y del 
ca pitulo 111 ICm vas do segundo orden . OI' lá considerAble-
men te modifiCArlo y OXpllcst.o t'.Oll 10 1I)' U1 precis ión. 'l';lmbitÍn 
Ml cfcc\.lmron nlgllllll .'l ro.ll1ccio/le.'l. 1'01" eje mplo. dul cn pi-
t il lo 11 ~e excluyó el IIIÍI·rnfo . Ecllacióll dtl 11 11 :\ ro('L II 011 
coordena(l~ polaresl, y del ca.pítulo IJI , lo!:! párrafos dedi-
• 
c¡.dos n la construcci6n de puntos de la elipse, hi pérbola 
y parábola con flyuoa del com pás y la regiR. 
La pri mera parte del capitulo IV eRectas y plan os en 
01 especio. Poliedro$t est6 escrita de nuo\'o y contiene los 
principales conocimientos de la estoroometria. Aqui están 
expue~tR~ tales cuestiones CO IOO la axiomática de la estorno· 
mOlrin, situación reciproca de las rectal! y plenos en el 
espacio, el teorema de las tres perpondiculal'6ll. etc. La segun· 
da parte del capl"tulo IV est5 dedicada a los poliedros y es 
una modificación del materi81 corrospondiente del cap\"· 
lulo JI parto JI de la primera edición. 
El capítulo V . Ecuaciones de las reClas y de los pl onos 
en el espncLo, está reduc ido considerablemente, ya que el 
mll terial relativo a la eslereometrl.a estli expuesto. prillci· 
palmont!!, en 01 capítulo anterior , sin ~ervirse de los métodos 
do lo goomotria ana ll Lica. 
En el capitulo VJ( . VolUmones de 10"- cuerpos y áreas 
de las superficiOSf están sim plifi cadas F- ust ancialmente 
las definiciones y terminología. La deduccion Ile much8S 
fórmulas está s implificada, y algunas fórmulas secundnrias 
está n suprimidas. 
I~ n la segund a edición del libro est6 incluülo \in .Brev~ 
esbozo histórico~. 
El material que excede el marco del ¡lrngrnmn e~tá mor· 
cudo Con un Ilsteri8CO. 
En la preparación de lo segunda edición se prestó especial 
alención n) mejoramiento del estilo. Los aulores cOllsiderlln 
que lograron .~impllf i Cllr muchas demostraciones. baciéndo· 
In,<¡ así más accesibles para los estudiantes. 
Los ptoblemns o.!l t6.n I'l istemll tizndos para torios los ca pí. 
tul os. gran parte do ollas está sust it uida por nuovos. LfH. 
rormulaciones de muchos problemas vielos está n precisad8~. 
Han sido el iminadas todas las inexacli tudos y erratas per-
cib id as en las respue.!!tas. 
Los autores cousideran como un deber agradable expte-
sar su grnti tud al critico oficial, profesor de la escuela téc-
nica de la ciudad de Kutnelsk, V. 1. Ragan, al metodisto 
superior del Gabineto CientWco y J\lotodológico del Minis-
terio de Enseii oll7.A. Superior de la URSS. 1. 1. AgápoVD 
y A. 1M profesores de Ins oSCIlOln! técnicas de Moscú 
A. A. At1:-tmovir,h , T. V. Bnriwvn. Z. T. Dobrina, E . V. Zar-
krl\'ll r¡1l0 ox.am in l\ro ll atentamente el origin ol del tnllllllal 
e hicieron una serie de vnlioslls obser \'A.Ciones crítiCfls. 
ÚJs Quwres 
Capitulo 1 
VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 
§ t. VarIables vectoriales y escalares 
En la mee/i nicu. on l o. H"ica y on muehns cio neins téclli ~ 
cas se estudia n mngnitudes de dis t in to gtlnoro. U'H\!! maglli~ 
~\ldes (Ioogitud. área. volumon. mn98, densidad, temporn~ 
l urn. otc.) se defi nell completamente ¡KIr IIn 9010 valor nllmé~ 
rico. una vet e:wogida la unidad tlo medido. Tnlos rongni-
tudel:l I!e denominan varlnbles escalarer; (n unuSriens). 
Otras magnitudo9 (f tleru. volocid ad. aUllerll.ción . ote.) 
.:so do finen no fló lo por el valor numérico. sino tnml!ión por 
OL __ -.-__ 
F, 
Fil!. 
" 
., 
;/ 
o " 
... ~ 
l'Ig. , 
la orientación ell e l e! paGio. '1'310s magnitudes so dt! lIom intUl 
vari llbles vecwriale', 
La var iable vectori al se expresa goométri c.'1Ulcnlc por 
modio de un segmonto de determinndu longitud y direcciól1. 
Al mi smo t iempo, la longitud del segmento, seg(ut In llllillad 
de Cl.!lcn ln ('s('.ogida. os igua l 111 vn lnr lI"múric~) de lu varia1)lo 
vcCloril:l l , y l o. üirDcción ¡III I sogmento ('.o illcido con In rUff1!!-
ciÓIl de esta varioble. Supongamos, por eje mplo, que al 
punto O ostan aplicadas dos fuorzas FI y 1-\ (Hg. 1). LAS 
" 
m¡lg:ui tlldc~ de e.':lta!! ruerzas son iguates, pero tienen dis-
Untns direcciones y, por lo tanto. está n representadas en 
- -la figura por dos !>egmento5 dirigidos dist intos DAI y DAz 
oe igual longitud. 
Si la magn itud de la fu erza F'¡ es supertor a la magnitud 
. -de la fuerz ll F~, In longltllo del segmento DA I , que expresa 
• A, 
c~A 
F, A, 
Fig. 3 
la ruerza F I , debe ser respectivarnento mayor que I~ longi-
tud del ~gmel-.to 6A~. que presenta la fuerza F t (fig. 2) . 
Oc la mecánica se sabe, que las fuerzas aplicadas a un 
mismo p unto se suman según la regla- del paralelogramo . P or 
ejemplo , la aC(".ión de las ruon.as FI y F i , aplicadas nI pun-
to D. es equi valente a l a acción de la fuerza F , que se axpresn 
-en la fig~lra median le In diagonal dirigida DA del parale lo-
gramo DA ¡A A z (Hg. 3), construido sobro los segmentos 
-. -dirigidos DA, y GAt. En este caso se escribe F = F¡ + Fz. 
En general, para 05Ludiar las variables vectori ales es 
cómodo utilizar los segmentos dirigidos , para los cuales, 
segú n las reglas respectivas, están introducidas la noción 
do iguald ad y defin id as las oporactones de ad ición y mu lti-
pJit'-ltción por uo número. Tales segmento~ diri gid o.'l se 
denominan voctores. 
§ 2, Vectores 
Cualquier segme nto de unn recln Lieue dos pu ntos OJi"t.ro-
mos. S i uno de ellos se t om a com o origen del segmento y el 
otro , como pnnto fi lln l. el segmento en cues tión se denota 
dirlRido . Los !:'()gmenlo5 rlirigirlo" habitualmente !le tlcnotnn 
- ,.. .......... -.. 
c.on do" lotras con flech lls, por e jemplo , AB, BA. DA , OB. 
ete., dond e 111 ¡)rimara Jctra denota' 01 origen del st:grntllllo 
y In secunda, 01 cxtnJID? .. dol segmento .. . 
12 
DO!l segmen tos dlrigido~ se consideran igu.ales si tienen 
longil.udes igualall. son pnnl e los y ost lín oriontndos Ol! UI\ 
mil'lmo ~nti (l(). Por oje mplo. el! la figuru 11 dtmdll A BCO 
es UlI paralelogramo, 10$ sogmentos Jirl l,l" id os X¡¡ y ÓC SOI1 
¡¡lIalos, YI:I tlue I ALJ I = I DC 1, 
-(AB) 11 (DC) y los segmentos AH 
-Y DC están orientados en el mis--
D'~ _ ___ -,C 
I 
mo sentido. 
Los segmentos di rigidos AD y L ______ +-', 
Añ DO son iguales. ya qua no A B 
son paralelos. Los segmen tos di-
rigidos AB y CD tampoco SOn 
igunles, ya que tienen el sentido opues to , aunque 5011 plt-
ralelos y do la mismo. longitud. 
Los segulenlos dirigidos con la noción d e igualdad intro-
ducida se denominan IMCtQres. ED los párrafos que siguen 
seráD introducid" para ellos las ope raciones de adi ción ,sustracci6n y mu!Up') icacióll por un número. 
Conforme a l a definición todos los segmen tos di rigidos 
igual es entre sí representan un mismo vector. Por ejemplo , 
si un vector representado Oll la figura 4 como un segmento 
dirigido AB. se donota a , entonces a - AS ... OC. 
La longUud tkl vedor a "'" AH denotada la I o I AH ~ 
es la longitud del 56Bmento AB. La dlrecct6n cUllJ«tor a -
-=> AB, es la dirección definida por el rayo AB. 
Un vector, cuya longitud es igual a cero, so danomino 
vector nulo y se designa O. Es evid ente, que el origen del 
- -vector nulo coincide con su extremo: O .... AA __ BB. 
Así pues, cada !Mctor a + O :re ckfim completamente por 
la longitud y la direcctÓn. El vector nu.w no tlem dlrecctóll. 
§ l, Suma de vectores 
Seall dados dos vectores a ... OA y b _ Oh (Hg. 5) . 
Tracemos del punto A tal segmento AC, q u@ AC = b. 
-Entonc@s el vector e - OC se denom ina suma de 1111. uectorC$ 
a y b Y se designa a + b . 
13 
- - -Así pues,: DA + A.C "-OC. Esta Igunl dad se denomina 
, regla del tr irilllJulQ do j!!!i,I«Qn:-g.9. (to~ .YQct Qrcs. E:'.I ov idonte. 
que esta rog la O~ v6l idn en el cnso, CU8J1UQ "¡os puutos 0, A lz:JC ~4 
o • A 
Fill' . 5 
y B se encuentrnn 011 una mi sma rocta (figs. 6, 7). En parti-
cular. a + O .,. a. 
La adición de los vectores tiene las siguientes propie-
dades: 
• h '8 • 
Plg. l> 
" 8 Ó 
Plg. 1 
(1. P.r.op1edad do_conlblJt'lItl ilidad: 
para - cualesquiera vectores a y b 
a+0-6+a. 
2. Propiedad de asoolativldad; '''' 
para cualesquiera vectores a, b y e 
• 
(a + b) + c = a + (6 + e). 
- -
ti ) 
(1) 
(2) 
O 1.. S upongamos que a = DA, b = 08. Consideremo!l 
al caso cuando los puntos O. A y B no están situados en la 
misma recla. Construyamos on los segmontos DA y 08 01 
110 
parnlelogramo OACB (fig. 8). Entonces 1 DA 1 = I BC l. 
(O A) 11 (BC) y 10B 1 = I A C 1, (08) 11 (AC), co mo Irlllu.~ 
, .' 
¡;;;JO 
~o 
o • . A 
Fig. 8 
opue.~\os del paralelogramo. P or lo \ao\o , a "'" OA = fié, 
- -b ::::o 0/1 = AC y. por consiglliento 
a+ b_ ÓA + AC =OC. b+a=oB +BC _ ÓC, 
10 que demuestra la igualdad (1). 
Para el caso, cuando los puntos 0 , A. B esta n si t uados 
en una mism a recta, demuest.ren hu igua ldndes independ ien-
turnonte (1) . .... 
-2. Tracemos 
del punto A, el 
desde cierto punto O el vector OA _ a. 
vector Xñ - b y, por úl t imo, t ra tenlOS el 
, 
• 
A 
• 
• 
.' • • 
O ( . .. b ) .. c e O 111'" (b . c l. ° 
Fig. 9 Flg. 10 
vector BC = e desde el punto B (figs . 9, fOl. Unamos con 
el segmento OC los punto9 O y C. Entonces, por un lado, 
(véase la lIg. 9), 
(a + b)+c QO (OA + i1i) +Bé=~oc, 
óSrBE 
y, por otro lado, (véase la Hg. iD) , 
- - ----a+ (b +c):.- OA + (AB , BC)=O.4 + AC= OC, 
tu 4 11 C dllmllc~tro 1" igualdad (2 ) . • 
De \ 0. figuro. ti:so \'e, quo La suma do los. V(lclores a = OA 
y b = 08 es iguaL a lil_4!!lgQnai dir-igid'a OC del paralelo' 
gra mo OACB, construido sobre loa segmentos OA y 08, 
es decir 
Esta igualdad se denomina' re.C.la dd'parak~Qgran{b do I'ldicilm 
de dos vectoros. 
Pues to quo la a dición de los vectores os asociativa, In 
suma de t res y muyor cantid ad do vectore:! 50 ese.ribo s in 
o 
e 
Fig. t t 
o, 
I , 
At'<--ccf ____ -"BO,( O _ ____ _ _ 
A B 
fil!. 12 
parlÍntesis. Por ejemplo, en vez de (a + b) + e o a + (b -t- e) 
se escribe a + b + c. 
Si se [oquicre hall ar la SUJIla p.e, tra!! o mayor cantidad 
de vect.ores~ se utili-z;a ln ll amada regla del polígono. Esta 
consiste en lo s iguiente. 
Supongamos que se dan los vectores a, b, e, d y 56 
requiere hall ar su suma. 
Eseojamos cierto punto O (Hg, i 1) Y construyamos tal 
~ 
5Cgll1ento OA q ua OA =- a, luego. con~tru yamos tal seg' 
-mento A.B que AB = b, et c. Sigamos construyendo hasta que 
ndí sean agotado.!! todos los vectores sumandos. El segmento 
16 
-+ __ o _ _ o _ _ _ _ • - . - - . 
dirigido OD (\utl(r. iorro In q\lobrMI:¡ ()¡'\.clli,l~ s(\r;, igual u lrl 
~ llllUl do los v(ictoros d litl("j!:t. - - .. - -
l'roblemu 1. Se da e l porldclopípodo AnCDrI¡B¡C1D1· 
-+ - - -Há llese la ~lIma de los vectores AB. n lCI • CCl> IJ ,A¡, 
~ 
8,11 (fig. 12). 
D 
D, 
" 
, 
A"r' __ ~'c-____ -=y-
A B 
I";¡¡. 1$ 
A 
e 
Fis. U 
~ De 11\8 propiedades do 
~ 
del paralelepípedo las or is tas 
~ 
- - -= CID , . 8,H = D ID. se dcd\ICO, quo RIC, fJ l A, 
r'or 1<) tan\.o 
--------AB+ Ble] +ec, + B,A¡ + B,8-= AB+ nc +cc, + 
- -+C,D1+ D,D _ a 
Uti liznnrlo 1/\ reg la del polígono , obtonrlremos (rig . pr-
-- ->- - - --+ All + lJC+CC, +CID, +D,D=AD . ... 
Problem a 2. Hallese la suma Kb + ilfC + D1.:" + CK. 
b Utili1,ando la p ropiedad de conmut ativic!nd de lo. 
lIdkión d e voctores obtenemos 
- - - - - - -+ -+ KD + MC+ DM -t- CK= KD+DM +MC + CK . 
A llorl!. segú.n 1./1 regla de! pa Ugono hallamos 
-+ - -- -KD ...!... DlI1 + MC+ CK = KK = O . ... 
17 
Prob lema 3. So da la pirámide tr!Qngulllr ABCD (Hg. 14). 
Hti lluso lu sum a iB + Cb + ,·1"c + llc + DA. 
ó ULi!i:tando las propicd/ldcs Je cOllmu tntividuri y de 
nsodatividad de In aúiclón do voctore.-;, oblendremoll 
;-t: - - - -Al1 + CD +AC+BC+DA _ 
--------= AB + BC +CD + DA + AC = AC . ... 
§ 4. Vectores opuestos. 
Sustracci6n de los vectores 
Cui.l~sq .t!!e r!l díi""!os do"" \feét ore'!l, cuya S1Imlt es igual al 
vector nulo, (MI- aenomiilliñ iJpu.estQ$; El vector opuesto al 
vector", se designa - el . Po"r lo tan to, segü':t la definición 
a + (---a) _ O. F- ' 
- '-De la rlefinici6n se doduce que. s i a -= AY, -a "'" BA, 
es docir, los voclores opuest os tie nen longit lldM ig-uales 
j" 7 
A'--------Jo e 
e 
o A 
Fig. l ~ f'g. u; 
y direccionas op uestas. Por ejemplo, si ABCD es un pnra-
. lologramo, los vectore'!! xñ y CO so n OpU Mlos (fig. t 5). 
Los vectores AV y CH laOlb itio son opuestos. 
~ P arll cualosqu iera do 105 dos voctores (J y b , 01 vector 
e = a + (-b) se donomina di,fert:ru:Úl dt: JOI Vt:t; klr u a y b 
Y se designa a-b. Asi pues, según la def inición 
a -b ;;; a -+ (_ bl:'\ 
-'-- .--_. 
- - -Si a = DA Y b "" 011 (fig. 1G1. enlonces n - b - DA 
~ - - - -. ---. 
- OlJ 0=0 DA + 80 = BO + OA _ B A . Por lo tanto, 
.-... -'~ - - ' ¡ OA-OJ1 ":,,.I.!.:V (1) 
<8 
-EII la rigura se ve q ue HA es una ¡Ii::lgonn! diri gifla dol 
parale logramo OA Gil. cons l r uido sobre los segmelltos OA 
y OH. La otra diagonal Dé e¡¡pros3 la S IlJ,1l0 de los voctores 
DA y 08. 
No es di(ícil notar que la fórm ula (1) puede utili:¡;arse sin 
recurrir 01 dibujo: con este propósito es suficiente obser var 
}o' ig. i7 
otenta.mente el ordon do dispos ic ión de l ila lotr;,\5 en 111. ins-
cripción de Jos datos y vectores buscados. Asi , por ejemplo, 
- - -PQ-PN=NQ . (2) 1 1_11 
-Problema. So da tal cuadril á tero ABCD, que AD = 
=' AC - AB. Demuó!'trose que A BCD es un paralelogramo. 
Según la fó rmula (2) M Liano 
- - -AC - AB = BC. 
- -Por consiguionle, Be",. AD y, por 
1 AV I y (Be) 11 (A D). De aquí 50 
o.q un paralelogramo (fig . 17) . ... 
-lo tanto, I Be I .... 
deduce que AI1CD 
§ 5. Muttiplicación del vec.tor por un número 
Se denomina producto <kl vector no nulo a por un. número 
x.p O el vector. CUY" longitud 05 igual a 1 x 1·1 a 1, y la 
dir~cci61l coincide con la dirección a, s i x > O, y opuesta 
ti. 6sttl. , s i x < O. So donomina vector nulo el producto del 
veclor nulo por cualquier número x y el produ.cto de cualquier 
lJeCwr por el /l/lmero cero. 
,. 
'9 
El produc lo del vector a por el número x so d O!l ignn z· a 
(0:1 ftlcLor numérico se escribe a l it ir. l)lIiordn). DI) uCllcrdo 
con lu tlorinicióu 1 ;t;·a 1 = 1 x 1· 1 a I parn c UóJ lquicr VtlC-
t or (l Y para cua lq uier Ilúmcro x. 
A • • 
e 
• 
o 
, 
.'ig. 18 
En In figuro 18está re prosen tRdo e l producto del véctor a 
-por e l n(imoro x =- 2 (véctor CD) y por el núme ro x - _2 
(vector lp). 
La multiplicacl6n del vector por UII número liena In!! 
s iguientes propiedades: 
1 . Propiedad de D.80ciati vidad : 
x.(y·a) = (x·y)·a. 
2. Propiedud de dis lributivid nd fespucto al {actor vec· 
toria l: 
;r; · t' + y·a = (x + y). a. 
3. Propiedad de distribu t ivitlad rupceto a l fa ctor nu-
mérico: 
z· a + z · b = z·(a + b) . 
el Si a = O 6 :xV -= O, In igunluad % (ya ) = (xy) a 6S 
eviden te, ya que a la h,quietda y a la de recha 5a sitúa n los 
veelores nulos. 
-Séft a -;6 O. X1l ~ O y a = OA. Entonces 105 vectores 
x (V·DA) y (xy) OA se s itú an en la recta OA , tienen una loo-
-gitud de 1 x l· I y 1· 1 OA J y es tán dirigidos en 01 mismo 
-sentido: en direcci 6n a l ve ctor a _ OA . s i :r.y > O, y en 
direccl6n Oplll!Stu, 81 XII < O. Así pues, la propiedad t está 
demost.rada. 
20 
No vamos 1\ domos trar las propiedades 2 y ~. Sllñalemo3 
sólo que las propiedades 1 y 2 son las proJliedHdes de los 
veclores en la recta . Ellas ya fuero n demostrarlas en el corso 
de geomotría oe la escuela secunda ria de ocho grados. La 
L><;'C 
A D 
Fig. t !l 
propiodad 3 es unll propied ad de lo~ veeloros cn el pI uno, 
tamb ién fuo demostrada . • 
Problema. En el paralelogramo ABCO el punto M es un 
plluto de intersocción de los d ingonaJes. Háll ese e l factor k 
en cada uno de los siguientes casos: 
.-.. ......... - -\- ...... - .... 
'1 ) MC = k·CA; 2) no = k·BM; 3) AC = k·CM; 
..... - - -4) BB .., k·RO; 5) AA = k·CC. 
L::. Conforme a l a definición de llIu ltiplicoción dol vector 
por un nÚO'Iero tenemos (Ug. t 9). 
t ) MCt~ CA, 1 CA 1 = 2·1 MG ¡, de donde l~ - -:¿j 
2) BM tt RD. I BO 1 = 2-1 11M 1, de donde k = 2: 
3) Cf.f H AG, I CM I = +. lAG l. de donde k "'" -2; 
4) BE - 0, jj'iJ *" 0, de donde k "'" O: 
- > -5) AA = 0, ce = 0 , de donde k es cualquier número ..... 
§ 6 . Vectores colineales 
I)o~ vectnre~ 110 nulos, cuyos direcciones coinciden o son 
opuestos, se denominon colineaks. 
Así, por cjemplo. [Jn la figura 20 los vectoro!'! Be y Añ 
son col inNl.lcs , y los ve('.torcs iñ y ic, no lo SO ll. 
S i los vecl ores a y b son eoHnoa lcs, se dice lambién que 
21 
el vector u es colinenl al vllctor b. y el vector b es colintla l 
al voclor a. 
El vector nulo se GOnsidera colinenl a cualquier vBctor. 
Teoremll (cl'iterio do colineillidad). Para que el vector a 
sea col/neal al vector b no nulo, es fleCesario y ~uflclente que 
f ig. 20 
vector por !In número y la 
colíneales. 
exisia un núm erv k, qrte 
satisfaga la condici6n 
a = kb. (1 ) 
o S uficiencia. Si para 
un doterminado k la igual-
dl:ld (1) f'e cumple , los VIlC -
tores b ya son colineales 
do ncuerdo con la defini-
c ión de multipli c.nción del 
definición de los vectores 
Necesidad. Supongamos que el vector u es colineal al 
voctor b no nulo. Son posibles los s iguienles tres casos: u tt b, 
a tt b, a = O. 
,., . Si a tt b , a = ITi' , es dllcir, la igualdad (1) os válidu 
CO Il k = ti1. 
Si a H b. es tiecir, In igua ldad (1) os 
válida para ,, = - \:\. 
Si a -= 0 , a = O· h, es decir, la igua ldad (1) es válida 
para k = O . • 
Problema. Demostrar que los vectores AB + CB + 28A , ~ 
y "3 AC son colinea les. 
6 Utilizando las propiedadBs de las opllraciolles apli-
cadas a los voctores, obtend remos 
- ---- --AH + CB + 2BA = (AB + HA) + (Gil + DA) = 
~ ~ -~ O + CA = GA = -AC. 
( , -') Así pues, AB + GI) + 2/JA = -3 ;rAe. Do ncnerdo 
\Jon el criLcr'¡u llo col inealidacl do los \'cctore~, los vectores 
dados on lai:! condiciones del problelllll son colincnles ..... 
22 
§ 7. Angulo entre dos vedores 
Exam iJlemos la 11O<.lj{,n de ángulo entro dos direcdo le!! 
en 01 espncio. E n el Cl"SO de geome~ría pan el 6-to, 7-mo 
y 8-vo grados fue comid~rRdR la noción do d irecció n en e l 
pleno . 
Al igual que ell el plnno, en el espacio se denomina direc-
ción 01 con jun to de todo~ los rayos. c9.(la uno de los cuales 
, 
F;g. 21 
está codirigido CIJ O e l dado. Así pues. cualquier rayo dol 
conjunto dado de los rayos codirigidos determ ina completa-
mente e"LA dirección (10 mismo que cualqu ier segmento 
dirigido determina por completo el vector que él representa). 
Por lo tIlnto, la dirección en el espacio se da comúnmente 
por medio de \10 solo rayo. 
Se donomina ángulo ~ntre dos dlreccion~s la magnitud dol 
Angul o menor entre clla lesquiera rayos de estos d irecciol\08, 
quo tienen un ori¡cn común. 
/'-
El á ngulo entre 10$ rayos l. y " se denota (J,; J,). 
Según la definicióll , 01 án~lllo entre dos direcciones está 
com prendido en e l in tervalo roo; 1.80"1. 
Se denomilla ángulo entre MS uectore$ no nulos, el ángulo 
entre las difeccionel! do estos vectores. El nngl. lo- entro 
/'. 
los vectores a y b (f ig. 2t) se denota (a; b). 
Si el ángulo entro los vectores a y b es igual a 90°, estos 
vectores se denominan p~rpendiculan$ (u ortogonaus) y se 
escribe: a..L b. 
/'- /'. Señ fllcmo~ que si a tI b, (a; b) "'" O" y s i a ti' h, (a: b) _ 
1!W. 
EXaminemos cier to recta l, en la ella! eslá eligido"una 
unid ad de medid a de longitud. Supol.gamos que A 'y B 
23 
son ciertos puntos ell 1(1 recia l, tales que 1 All 1 = 1. E lI!.on-
- -ces, los vectores AH y ¡lA so denominan veN!oros de In rec-
ta l (fig. 22). 
Lo:'! versores de la recta dan en ésta dos d irecc.¡ones. Una 
do ell as se denomin ll pOtitIL'a, y la ol,ra, negatfva. 
A,. , 8 
~'ig . 22 
o ' . 
FiR. 23 
So doJlomill $ eje lit rocta en la cual ei'l oligido el pun Lo O 
( Mi~oll do In cuent¡l) y son dndas la direcc i611 positi\'8 y la 
unidllcJ de medida de la longilud . So denomina versor del eje 
o • , 
Pig. 2/0 
(fig. 23) el vect.or e (1 el"'" 1) que determina la dirección 
dol eje. 
So dcnomilll\ tíngulc entre el vector y el eje , 111 mAgnHud 
del IÍngulo entro la dirección del eje y h d irección del \'ec lor 
(fig. 24). 
§ 8. Desarrollo del vector e n e l plano 
e n dos veclores no colinealcs 
Supongamos que los vectores a y b son 11 0 coli ncnles. 
gnlonccs, si lns lIúmeros x y y snLis(Dcen In condi ción 
z·a + !J. b = 0, 
~-O 
(1 ) 
z = Oyy=o. 
o li:flJc~ivam(lntll, si, por ejomplo, :c =t= O, do (1) so 
deduce que 
f'= -L·b. 
% 
Esto contradice n que los vectores a y b son /lO colineal os. 
De este modo, x = O. 
Do nwnera análoga so muestro. que !J = O . • 
Se dice que el vector a es una combinudón lineal do los 
vectores aH ":. a 3, ... , a", si puedo sor oxpreSfldo el! l a 
forma 
donde XI> x~, . .. , x" son c iertos nÚmerns. 
As!, e l vector a - 3a, - Sal + -} a 3 es una comb inuci6n 
lineal do 105 vectores a J , al ya.,. 
Tcorema, Cualqu.ier vector ,,~ en el plano puede $er defi-
nido, además, de ll" modo único, en forma de comblflacldn 
Uneal de cU!l-lesqutera dO$ 
vectores 110 coUrteales a y b; 
m. .... x·a + y·b. (2) 
o Si el vector m es coli· 
nea l a uno de los vectores a 
y b (por ejemplo , nI vector a), 
y<-__ ---=-"M 
entonces para ciorto nÍImero 111 
m teno mos m. "'" x· a __ x·(I. + o'''''::'''---~"Ff-".,...".-­
+O·b. Do esle nlOdo, 01 vec-
tor rn está re presentado en la 
forma (2). 
Fig. 25 
Si el veel.or m. no es colineal al vector a ni al vec tor b 
(fig. 25). ontonces, al t razar a través del plinto 1I! 1118 ree· 
tas, paralelas a (08) y lOA), tonamos m"" DE + i5F. 
Pero, según el crilerio ¡le coli nealid¡¡cI de lo~ vectores existen 
tales número!; x y y, quo DE = xa, OF = yb, de donde se 
desproudo la igllaldl"ld (2) . 
Demostremos la unicidad de tal repre~entllciÓr1. Sea que 
m = x,a + y.b Y m = Xla + 1J2b. 
Entonc.cs (x . - Xi) a + (y , - y,) b = O. Pero pue:ilo que 
los vectores l~ y b son no colineales, la igualdad os pos ible 
25 
sólo cuando X, = XI Y y, = Y~. La lHl icidnd {lst~í demes~rn· 
da . • 
S i un veclor está repro5Clltndo como una combinación 
I inoal do ciertos vectores so dice. que el "'eetor está desarrollndo 
segú.n estos veciores. 
Se denom ina base en el plano cualesquiera dos vectores 
no colillesles de este plano , tomados en un orden determi.-
nado. 
Soa que e . y tlt es cierla base y a. un vector arbitrario, 
en toncos segú n el teorem a demostrado existen dos números 
X y Y Lalo>! que 
a = xe. + ye l • 
Los números x o U ~ denom inan coorde,wdas del vector a 
en la base dlJda. En oste coso se escribe a = (x: y). 
~c 
, B 
Fill". 26 
J' rublema 1. Los puntos K y L 50/1 tos puntos medios de 
los lad08 BC y CD del paralelogramo ABcn . DosurróJlesa 
....... ->----01 vector Be en los vectores a = AK y b = AL. 
ó ])0 t:: AKB (Iig. 26) tenemos que 
~ 
~ ne 
AB+T= a . (1) 
I)e LlA DLobtcnemosAD + DL = b. Puesto qlla AD = 
~ 
- --- 04 8 BC, DL = T' enlenoos 
-- Xñ BC+T= b. 
De la igualdad (1) se deduce q ue 
~ ~ 
. A/J a BC 
O 2-' '2--,-. 
26 
(2) 
(3) 
Slls~ituyeJldo AtlJ de (3) en (2), obtendremos 
--..- a lJC IJC + 7 - - .-=b, ó 
3 -.. a T BC = b- 7 
y, por lo tant.o, 
- 4 t 2 t, BC =:;; 6 - -3 a = -3 a+"J 6 . .... 
Prublem a 2. Se da e l L:;ABC. D E [BC!. I no t = I oc l. 
IBjln es uJla mediana tle l triángulo ABe. Hállense las coor· 
I' ig:_ 27 
ueuadas del vector B"'M, SL los segmen tos dIrIgidos HA y nD 
definen los vedore!! básicos. 
L:::. Transform emos el L;,.ABC en el pora lelogramo ABeN 
(rig. 2í). Entoneos nÑ "'" 21iM => HA + iR:. Designa ndo 
BA = el' ilfj = Ct . obtendl'ilffiOS 20X¡ ... t· e¡ + 2·e~. do 
- \ donde BM ="2 'C1 + 1..e •. 
Asi pues. en l a base dada BM ... (+; 1.) ..... 
§ 9. VedoTes c:oplanares 
Del curso do goomelria para secund aria bási ca 1m sabe 
tIlle la recta es paralela a l plano. si 110 t iene punl!1S com UllUS 
eon este plano o está si tuada en 65te. 
El vector AB lo denominaremos paralelo al plarw, s i la 
tccla AH efl paralela a este plano. E l vector finto se consi dora 
paralclo a c llalqu¡ er plano. 
Los ,"oclores al ' a~, ... (In SO denominan cQplrmares 
s i cudu U tl O do ellos os paruielo a un luism o plano. 
27 
CUlllesqu illr n do! v('C'lores son s iempre coplnllares. 
Es ovidente , que si t res vectores !Ion eopltlflares, cnlonCe! 
I)Ueden ser represcntado! por medio de S4lgmontos di rigidos, 
situados tln un millmo pltmo. 
EXOOlinemo5 la ndición do tros vectorell no CoplallMes 
según la ll amada uegla del paralelopípodo • . 
Sea que los voctores (1 , b y e son no coplnnarCs (fig. 28). 
T rocemos de UJI punto arbi t rario O 105 vect ores OA = a , 
Oñ - ti y OC =' e y construymnos el para lelepipedo para 
b 
, 
, 
• 
e 
Fig. 28 Fig. 29 
e l cllnl [OAI , 1001 l' IOCJ s ir ven de aris tas. Se:1 que IOMI 
es una diagonal do este paralelopipcdo. P uoslo que i5B -
=,W yOC = WI 
0A+6ñ t-6é =OA +AD+ DM =OM , 
~ 
oS dad r , a+b+c -OM . 
As! pUM, la suma de trell uectore¡; nI) coplarwrI!s e¡; igual 
al vector reprelumtatW por medio de una d iagonal dirigida del 
paraleuplpedo. c:onstruido sobre estos vectorn. 
Problema. Dar eJemplos de las ori!ltas de la pirámido 
tr iangular ABCD que represent an: a) dos vectores col inen-
les; b) t res vectores eoplann res; e ) tres vectnres no coplana-
'M. 
e. Exnmi n emo~ J I\ lmllgon de unn pirlÍ.mide (fi g. 20). Uli-
lizando las deHllic.iones de l o~ \'ecloro~ colinenlos y c.opl ¡lIIn-
ros obtendremos: 
3) ningún par de Il ristas disthltn8 de la pir¡im ide puerlo 
roprC80ntar los voetoro .• cel inoales<. ya q uo ontro oll as 110 hllY 
aris ta.s reciprOG~ Il )O l lto pn rnLela!:l: 
b) Ins ,I,i slas AC, CIJ, BA (o las nrislllS AD, D C yAC) 
representan tres vectores coplannres (IJOr ojemplo, los vec-
- - -\ores AC. AB y Be); 
e) las aristas DA, DC y DB reprc5Cn tn n tres \-ecloros ne 
coplanaros (por ejemplo, los vectores DA, CV, á7i) .... 
§ 10_ DcsiIIlTollo del vedor en tres Vl!ctoles 
no coplanarl!s 
Teorema. Cualq!litr tJet:tor m pueck ser representacW, ade--
más, tU !ln modo úni<:o , 1m formo. de una. cOlfluitwd6n lincal de 
cualegqu¡era tres vectores no coplanares a , b y e: 
m."" :ta+ yb+ zc. (1) 
O Ante todo señ.alemos. que ningú n par de vectoros do 
los vectores a, b, o es colinoa); de lo cOlltrario, los vectores 
D~,,-_ ____ --,,,C, 
0, b, e seríal) copla l'la tes. Por lo tanto. s i el vector ".. os 
copla lla f con cuo.h¡u iora do los dos vectores (por ejemplo, 
con a y b), enlonCéS m 0= %a + y b (§ 8) y. por consiguie nte, 
m =- %a + yb + O·c, 
es docir, CII este cnso el teofl;lID3 está demost.rado. 
2. 
Son que 01 vector lit no e.' cophlllar con ningún par de 
vceLores ,lo lo~ H'Clores a. b. ¡;: (Hg. 30). Hod llzco.mos todos 
los vec tores al origoll com .ul O y Lrarcmol! 1\ través del pun-
t o M (01 ox troll'O dol sogmento dirigido quo oxpresn el vec-
-tor O/l! = m) una recto paralela al vector c . Dicha rec t.a 
corta rá el pla no OAB en cierto punto N. Claro está, que 
OM = OÑ + ÑJ.,1. 
-Según In propiedad de los vectores coli lleales NM = zc. 
Según el teorema del desarrollo del voctor en dos vectoros no 
coli nco les exiJ!.~,m tnles n¡imoros x , y, quo ON _ xa + yb. 
Así pues , 
~ - -OM=ON +N,4f= xa+yb +:c. 
Lo uni cidad del desarrollo del vector m en los vectores 
a, b y c se demuestra de uoo manera análoga lI. como fuo 
hecho ell 01 teoroma del desarroll o del voctor en dos vectores 
no colineales (§ 8) . • 
Se denomina base del e,~pacto cualesquiera t res vectores 
no coplanares, tomados en un orden determinado. 
S upongamos quo e l> es Y e~ 5011 cierta baso y a , un vector 
arbitrario. Entonces, segú n 01 teorema que aca. ba.mos de 
dem ostra r , existen tres números x , y, z tales que 
a = xe, + ye . + ze~. 
Los mi meros x , y y z se denominan coordenada:; del vec-
tor a en la base dada . En esle caso se escribe a = (x; y; z). 
Problema l . Se da el cu bo ABCDA ¡B,C,D¡. Desarrollar 
-el vectOr AK, donde K es el centro de la cara BCC.B .. en 
- - -los vectores a = AB, b = AC, e = AA ¡ (Hg. 3 t ). 
6 Del t ri ángulo AKL tenemos Xi< = Al + LK, pero 
A:-t" _ .w+AC _ a + b y LK = AA, = ~ I L - 2 - 2 ' 2;¿ • 
Por consiguiente, 
...... a+ b 1:: t I 1 AK=-2-+ T = ~a+7 b+ 7 c . .& 
- - -Problem a 2. Sea que los vectores DA, D8, DC repre-
sontados por las respectivas ar istas di rigidas de In pirám ide 
30 
triAngu lor ABCD. form nn uno b nse . Hóllellso las coorde-
Huda~ J c l ,,"ac to,· Xi) 011 m!tn baso. 
~ 
6 H ngn mos uso do ItI. figura 29. Dtls ignnndo DA =- e,. 
-.. - - - -D8 = e" DC = e" obtendremos AB = DH - DA = 
- -e, + e, ó AL? =- - 1 ' 6, + 1.e. + O.ea. do donde Xfl-
_ (- 1; 1; O) . .. 
§ f t . Operaciones con los vectores d efinidos 
pOI' sus coorde na das 
S i los vectores es tán definidos por sus coorde lludas on la 
base e" et • e3 • l as oper9.ciOIl~ (;011 ell os so cumplen según 
las s iguie nws reglas: 
1. En coso de a d icionar dos (o m ayor número) vectores 
sus respectivas coordenadas se suman: 
(%,; v,; J,) + (x,. Y,; =1) = (x, + X •• VI + V,; ZI + J.). 
O Efec ti vaulIlnte, para dos vectores (%, : VI ; J ,) y 
(z,. v~ ; s , ) tencmo! 
(%,; yú SI) + (z •• 11., =,) = (z,e, + v ,e. + J ,e,,) + 
+ (:,e, + lI,e. + z~e3) -= (x, + %,) e, + 
+ (V, + V.) et. + (ZI + Za) 83 -
= (XI + z,; ;VI + Yt.; J , + %,). 
Para )0 s uma de tres o)noyor numero de VQcto~ la demos-
tración se realiza de manera Aoáloga .• 
2 . En caso de sustroer l~ vectores 8U8 coorden8th .. s res-
pectivas se sus traen : 
(Xl; Vl: :1) - (X,; y~ ; =,) ""' (Xl - X,: VI - V. : z, - :J,). 
H'gase lo. demos traci6n de una manera independiente. 
3. En caso de multiplicar el vect.or por u n núme ro todill'l 
sus coordenndas se multiplican por esle número. 
O D e becho, po.ra e l vector (%1; VJ; z,) yel núm()ro A 
lenemo! 
A. (%1; y,; %I) "'" A (x,e, + v,e", + z,e, ) -
= (4,) el + (AVI) 8. + ().s,) e3 = ()..:¡:I: AYl; "-=,) . g 
Problcmn. Hállon~ las coordenad os de los vectores 
a + b ; a - b; 5a; 3b - ~ por las coordollad as do l o~ voc-
tores a -= (-4; 6; O), b -= (1 : _1., 7). 
3 1 
¡), Utilizau(lo Ills reglas 1, 2 y 3 obtenemos! 
f~ + b """ (- 3; S; 7); a - b = (-5; 7; - 7); 5(1 _ 
= (-20; 30; O); ab -1'- "'" (5; -6; 21) . .. 
§ 11. Sistema cartesiano de coordenadas 
Sea que on e l espacio se dan do.~ puntos arbitrari os di~­
tintos O y 1\" Y supongllnlos que uno do ell 0i3, por ojemplo, e l 
pllllto O, está elegido como punto de origeo. Entonces el 
/ 
o 
Fil\'. 3:t 
~ 
vector Oll! se denomina radio vector del punto M res pedo 
al punto O (lig. 32). 
S03 que en el espncio se fIn (1 ] punto O y ciertn bnw el> 
ez, e~. E l conjunto ,It) esta base y e l punlo O so denomina 
, 
, 
" 
-~If:--,---- , o <, " 
<, o <, 
, 
I"ig. 33 Fig. 34 
sistema cartesiano de las cO()rdenadfls O, el_ e~, 6 W El punto O 
se denomina origen de coordenadas. 
Si a través úel punlo O 9(l trazan las roclafl en direcciones 
definid as por 11'15 "\Ioc tores b:isicos el> e~ Y e~, entonces las 
rectns oblonidas se denominnn ejes ele coorclennflns (filt. 33); 
32 
la reeta Ox, eje de abscisas, la recta Oy, eje de ordenadas 
y la recta Oz, eje de z--coordenadas. 
Las coordenadas del radio vect or de l punto /lf se deno-
millan coordonlldas de es to punto on 01 sistema de coorde-
nadas darlo (x es 10 abscisa, y, la ordenada , Z', la z-coorde-
nada). 
Análogamente se determinA el sistemA cn rUlsiano de coor-
denadas O, e" e. en el plano (este e~ un punto arbi trario 
fijado O y ciert a ba~o el' 
e~ en el plano) (Hg. :H). 
LlIscoordcnadasdel pun-
Lo l1f se escriban por lo co-
mún al lado de le letu 
que lo ~denotan: Ji.{ (x; y) 
en el pl ano y M (x; y; z) 
en el espacio. 
Es evidente, que un 
sistema Cllrtesiano ¡je coor-
donadas en e l e:;pacio per-
miw estabJocor una co-
rrespondencia bi unívoca 
, O 
, 6 ___ _ 
8 (-1: - 2) 
)t A(2;J) 
-------]' 
Fig. 3.'", 
, 
, 
, 
, 
, 
cntre los pUrlto~ del espacio ~y '11115 Lernas de números 
ordenadas, y en 01 plano, una " ('.orrespondenci/\ biunfvoca 
entre los puntos del phlno y 1m; pares de nílmcros ordenados. 
, 
F ig. 36 
Por ejemplo, nl punto A (fig 35) 10 corresponde el par 
ordena rl o do 105 números (2; 3); al punto Al (fig. 36), 111. 
terna ordenada de los n(lmeros (2; -2; 1-). Al pa~ ordonado 
de los números (-1; -2) le correspondo 01 {¡n ico punto B 
del plano (Hg. :~5) y 11 In tornl1 ordenada do los nÍlmeros 
(1; 1; 1), el ú nico punto Bl dol espacio (fig. 36). 
3_0 1S3U 33 
Sea que en 01 sistema do coordenadas O. el> el' e, está 
- -definido un ciort.o vedor AB (fig. 37). Entonces. A 11 "'" 
- 08 - DA . Supongamos ique las coordllfladns de los puu-
tos A y B son I"Ospectivomente iguales 11 (.:z:ú v,; z,) y (Zt; 
AI. "",z, l 
, 
• 
I'lg. 37 
VI; s,). Entonc6S, scu-ún la propiedad de sustracción tle JOIt 
vectores, dofinidos por sus coordenadAS, obtenemos 
-AB - (.:z:. - z,; VI - VI; ::. - ZI) · 
De cs ~o. formD, pllr8 bnllar las cooruenorlns de cierto voc--
lur , es suficienle sustraer de las coordenarins tle S il e.-:lrAmo 
los coordenadtlS hOJllónimrus do su origen . 
l'rob lema l . Hállen5CI lss coortlennrlll.8 del vector in, si 
A (5; _ 7; 0,5) y H (2; -ti 2,5). 
-D. SeaqueAB """ (.:z:; y: :). entonces, J: - 2 - ;) 0= - il; 
11 - - 1 - (-7) - 6; :: = 2,5 - 0,5 -= 2. 
-A~í pues, A/J _ (-3; S; 2) . .... 
Si los VllctOro.s el' «', y e~ que form on lu bnse, son vectores 
unitarios perpendicllJaros de dos en dos, el s istema de coorde-
ntldas O, "1' es , ("~ se denomina Ifjdema carte.iallo. rectangular 
de :coordeliadm en el ClfpIJCW. 
De forma nnliloga , si los vectores unitarios básico!' e, 
y el sen recíprocamente perpendiculares, el siste ma ¡l(> coor-
donadas o, el ' e~ se donom¡nll sislema carU:SÚlIIo. rcclungul(lr 
de coo.rdellada.~ en el plano. 
34 
Los voctore.~ \mita r ios bá5icos J e l s is tem a cflrles ill no 
roctonglll ar de coord ollndns fe rlenntml ('.omIUII IlOFl10 con I :I;! 
leLfll !! ¿, i y k . 
E l dllSUt'l'oll o tlol voctor a = OM (Hg. 38 ) dol \l~ pucio 
en los vec toros i , j Y k se escribe en la rorma 
a ... ~i + yj + :,1,'. 
En fl >< le enso se ,li e" q UI' 1'1 ,,~c t.f)r a csl.á dosnrrol lndo en 
• 
• 
M(x;~ ) 
• , 
I O "'~ J, ,/' 
' ~_ 1,--x _______________ "" o 
~·li . 38 ~-i l:" . :·m 
"octores un i tario~ (vorflOres) en una b8!>6 C/l.rtes ia rHl rectan -
¡:fulllr dol es pacio. 
El des ll rroll o elel vector a (fig . 39) e n lo~ vecLor('s i y i 
en una hAse c llrl,osinnll rect angnl llr Ilel pl nllo 8I~ N;cri hl:' en la 
forma 
a - xi + yj . 
En los párrafos iD y 8 [l1e demostrado q ue LIII deslITroll o 
del vector es siempre pos ihle y único . 
~ 
Problema 2, H.'il lese el desarrollo de los "octoro.'< 0 11'1 , 
-Y ill¡lV en la bllf;e cartes iana rec,tllllg ll lar ilm¡t ra da en la 
figlU'a 40 (el pli n to ./¡,'1 e~ l a proyección de l punto ,H sobre 
('1 p .... no xOy) . 
t:. P uesto que el pun to " ', e!! la proyecciú n del 111l1llo i11 
.~ n"ro el pl ano xOIl, MI (3 : 4: O) . Por lo tanto 
()M I = 3i +- !¡ j +- 0· 1" 
:l' 35 
~ 
Hollemos por ohoro 1M c.oorocll:ldn!!l dol "O .... lor ,1f¡N 
~ 
l1B In bu:,'\! dndll : !HIN - (-4 - 3; -3,5 - 'i; 2 - O). 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, L ____ __ ___ _ 
, 
o 
, 
I 
, 
-, 
Fig. 1\0 
- -cS llccir, M¡N = (-7; -7, ;.; 2). Por cOlll<iglli en tc. /l'f ¡N 
= - 7i - 7.5 j + 'l k . ... 
§ n . lransformac ión de un siste ma cartoslano 
rectangular de coordenadas en otro 
1.,11 correspondencia biunh'ocfI entro los punLos del ll:spn-
cio y los pares ordenlldos de numero:;; reales se t!stllblecc 
motlianto In elecci6n del s istema cllrte.~io.no rectnllgulor ole 
coordenadas. Esto quiere decir. qlle a coda punto dol pl(lno 
le corres pond e un único pa r de nllJllerOS y u co(la por ordo-
l1alio ele números reales le corresponfle un íwico JHln to. 
1..11. elección de tal o cua l sistemn tle coo rdenadas no está 
Iimitndll por nndo y se determina en cado Cll50 concrolo 
sólo por moti\'09 de comod idad . Frecuentemente 1111 m ismo 
conjunto I'é extlmina en distilll.os sislemalS de coordenadas. 
Es c'Y idento, qml IIn mismo punto tiouo distintas coordella-
das el! los di'Y()rso~ sistemas. Vo conjunto Úll plintos (e Ll 
particular. In circ,unfenlOcill , la parábola . la rocta) se define 
por di.o:lintn!' cCl1ncionos 811 diferentes s islom u de toordo+ 
nndn~. 
3. 
Aclllreruos , cómo I>tl t rul1l!forman las CQortlouauos uo los 
p\Jll los del plano en ea~o del transformación do un sistema ~Ie 
coordODadas en otro. 
Ses que en 01 plano se dan dos sistomas rocta ngu lares de 
coordenad as: O, i , j Y O', j ', j' (Hg. 4t) . Convengamos en 
denominar viejo el primer 
sistema, q ue tiene como 
origen el plln10 O y como 
\'ectores básicos los vectores 
i y j, y nuevo, el segundo 
sistelnll , que tione come 
erigtll el punto O' y como 
voctOtOS básicos 105 vec-
tores i' y j'. 
Cunsideremos co mo co-
nocitl a la posici6n del nue-
, 
" 
vo sistema respecto al vie- j 
jo: ~a que 01 pllllto O' on -co{,l''2-------- - •• 
el aistemn viejo tiene las 
coordenadas (a; b), y el 
voctor i ' forma un áJlgulo (X 
con el vector i. El /in~1l1 o so cuenlll en ~ntid o untihorilr io. 
Exam inemos un punto arbitrario ]y!. Designemos como 
(.z:; y) sus cvvrdenadas on 01 sistema vie jO y como (z'; y'), 
en el si5tema nuovo. Nues tra tarc<I cons isto en estahluct'r uno 
dependencia entre las coord enadas v iojos y nUtlVM tlol pun· 
Lo M . 
Unamos de do~ en dos los puntos O y O', O' y .\1, O Y Al. 
Segú n la. regla del tr i fi ngulo oblellemus 
~ ~ ~ 
OA/ _OO' + O'M. ( 1) 
~ 
Dc~arrol1cmos en vect ores básicos i y j , Jos vec.tonlS 01'tf 
- ~ y 00', y en vectores ¡: y j' , el vllctor O' M : 
~ ~ -~. OM=:z;i+yi , OO'cc oi -t-bj , O'M=z' i'+y' j' . 
Ahoro se puede oscrlbir Jn ig uaLdad (1) IIsl: 
z i + yj = (ai + bj ) + (:z;' i ' + y'i') , (2) 
37 
Los Ycc t On!1'! básicos 11 110\'0>; ¿' Y j' 110 du.'1l1rrol han un vec-
lores h!isiC(l! viejos ¿ y j del modo .!!¡guion\{) : 
i' __ c.-.s a.i -)- ~II aj. 
¡' _ CO!! ( ~ + Ct)i + ISC[l(~ + et)j __ sena.j T co~a.j . 
Sus tituye lldo In ... 6Xpl'cs ioncs halladas por" i ' y j' ~n In fór-
muln (2). ohlclllh'()llIos lo Igualdad "oc toria l 
:r i + yj = al + bj + Z· (005 al + 5('0 a j ) + 
+ y' (-sen a i + cos ,,-j ) , 
t¡tle os uc¡uiva lcnte a las Iflualdlldes nllm éricns: 
( 
x _ a + .:t' cos a._y' St' UC1.., 
y .. b + ,z' sen a + y' cosa.. (a) 
Lus fórmulas (3) ofrecon las oxplosione.!! buscodas pora 
¡us coordenadas viojas x e y del pun lo a travÓ! de sus nuo-
YOS coordonadas. A fin de hall a r las oxprosio/les para tal:! 
nuevas coordenadas a través de las v iejas. os s llfi c iente 
rosol ver el sistema de et:uaciones (3) respocto ti las illcógl1i-
tos.a:'yy', 
Así PUeg, cuando 50 trMlada el Ol'i gllfl dc coordelllldl'ls ni 
punto (a: b) y se gi ran los ejes en el ángulo cr., las coorde-
nad as ..le los puntos se transforman sc¡:ún la fórmula \3). 
S i enrubia sola mente el origen de coordenadas. y as 
direcciones de los ojes quedan invnri nbles. supolJiolldo 
cr. :::> O 0 1\ las fórmulas (3) . obtenemos 
(
%= 4+Z' (0 
y=b "t'" y'.' 
Estns fórmlll as se denominan brevemente fórmulas a, 
traslado. 
Si el origen do coordenada::! queda intncto ':1 los ejel! gi re n 
011 01 ángulo a supon iondo en las rórmulas (3) a = b = O. 
obtenllmos 
( 
z ... z ' coscr.-y'scn cr., 
y _ z' sena + y' cosa. (5) 
Llls fÓrmula s (~) se denominan f6rl// ul/J$ de giro. 
l)roblema t . Sea que las coordonadas del nuevo origen 
1I0n (2; 3) en 01 sistema viejo, y 111 90 coordenadas Jel pun-
38 
lo A son (4; -1) ell 01 sistc ma viejo . Hli llct\SCl In..<¡ coorde-
nad ns del punLo A ell el sistema v iejo, si 1M dirccciollcs do 
los ejes q uedan in variables. 
;. De acuerdo con In fórmulas (/1) l e llOln !.Os 
Por cOllsigu ie ll ~e. 
( 
4 = 2+x', 
- t .",3 + y'. 
R>':$!tltado. A (2: -4) . .. 
Problem a 2. Sea q uo las coordenadas del p unto P son (- 2 ; 
1) en el sistema v iejo y (5; 3) en el n uevo s istema, en el 
cual la! direcciollos de los ej~ son las mismas. 
!. Según la fó rmula (4) abtonemos 
( 
- 2=a + !'i , 
1 = b-i 3, 
de d(J lldc a = -7, b -= -2. 
Resultaoo. (-7; -2) . ... 
Problema 3. Las coorde nadas del pUll l o A 3 011 (4; 2) 0 11 
el lluevo sistema. Há llense las coordenados do esl.e punto DO 
el s is lema vie jo, s i el or igen do coordenados quedó in\'orioblo. 
y los ejes ele coordenadns del sistema v ie jo es tán girAdas 
en el rl.ngulo ex =- 45° . 
.) Segúo Ins fórmulas (5) hall amos 
¡ :t=4COil45° - 2sen45°=4· ~i -2· V - V '2. 11"2 V~ V" I/ = 4scn45° +2cos45°_4.-,-+ 2.~ =3 f.. 
R esl,Uado . A (lf2; 3 V2) . ... 
Prob lema 4. Los coor den adas del pil oto A son (2 V i.f; 
- V a) en el viejo sistomn. Hállense las coordonados de esto 
punto e n el nuevo sis Lema, si el origon do coorrlenados del 
v iejO sistema se trasladó ni p unto (- 1; - 2), y los eje .. 
están girados en un liogul o ex = 30°. 
39 
6 
6 
tJ. Segú n las f6rmu las (3) tenemos 
{ 2V'3- - 1 +z'cos300-y'seJl 30", 
- Y3 - -2+x' sen 30°+ y' c0830°, 
, ,-
1 2V:1_-1+x'. l/_y"Y ' 
! -V!i=o-2+Z··i- + Y'·f . 
{ 
V3x'-y'~4V¡¡+2, 
z'+V3y' _4-2Vii. 
Resolviendo esto sistema de ecuaciones respecto a ~' 
y y'. hallamos: x ' c:::J 4, y' = _2. 
Rerultad(). A (4; - 2) . .. 
Problema 5. Se da la ecuación de la recWl. y = 2x - 6. 
Hálleso la eClUlcion do la misma recta en 01 nuevo !!islemn 
de coordenadas, obtenid o del viejo sistomll mediallte 01 
giro de los e jos on un fingu lo de a -= 45°. 
A E n esto caSlJ las fórm ulns de giro tienen la forma 
es decir 
(
X _ x' cos 45° - JI' sen 45°, 
JI "'" z' seD 45° + y' oos45°, 
l' ",;, V2, V'(' ') x="2% - - , - y --,- % - y , V', Vi, 11; (' ') Y=--y-x +---:r- y =-r x +Y . 
Sustituyendo en la ecuación de la roetA y = 2% - (j Ia!i 
va riables viejas % y Y por las nuevas, oblelld rcmos la ecuu· 
ción 
Vi ( '+ ') 2 vi (' 'J " 
- ,- x y = .-;r- .:t - y - v, 
que trns l as sim plificaciones toma In fo rm a 
y' _~ - 2l'2 . .. 
40 
§ '4. Sistema polar de coordenadas 
Fumiliaricélllonos co n un método más de dewrl1linllció n 
de la posición del punto en el plano pnr modio de l o~ núme-
ros. es decir, con el s istema polar de coordenadas. 
Examjnemo~ en el plano 01 ejo 1 con un vector l1Idtllrio e 
y con un punto do referencia O (Hg. 42). 
Sea que JI! es un punto arbitrario del plano, que nó cóin-
-cide con el punto O. Entonces O/lf es el nuBo \'ecLor del 
" L o • 
o • 
rig. <\2 ng.43 
punto JI rospecto al punto O. Sea que r es una longitud del 
- -vector OM, e~ decir, 10M 1= r y ti' es 01 ángulo (lIItre 01 
eje t y el radio vector OM. Calculemos el ángul o ip = 
/'-
--= (e; OM) desde el I;l je l en sontido posi tivo, es decir, en 
sentido anti horario . 
Lo!'; númerQ8 r y o:p se denominan coordenadas polares del 
punto M: r es un radio polar, ep, un ángulo polar. 
El eje 1 se denomina eje polar y el pu nto O, polo. 
El radio polar del pu nto O se cousidera igual a cero. 01 
ángulo polllr del pun to O no Sil define. 
Si el punto 11:1 tiene las: coordenadas polares r y 'p, enLon-
ces so escribe M (r; ep). Por ojemplo, 01 pun to K (fig. 43) 
tieno las coordenadas r ... 2. 'JI = 45°, os deci r , K (2; 45°). 
Es evidonte, que la posici6n del punto en el pl;¡no se 
dofine por completo por modio de sus coordenadas polares. 
41 
Si r> O y Ir IlS un lIUlncro arbitrllrio, ex il' te un solo 
punto Af ~l que 
~ -10Ml = r y (e ;OM) = ¡p . 
S i r ",. O el punto coincide con el polo. 
Es do seliaJor, que el á ngulo polar 41el pun to quo no coin~ 
cide con el polo se den nI! no unívocamente. Por ejemplo, 
I 
es ángulo polar para el punto 
K (ver lig. 1i3) no sólo el ángu-
lo f9 = 450 • sino tambilin ,el 
állgulo IJ' _ /.05° y, ell gonerl\l, 
cualqu ier ángulo q¡ = 45° + 
360" k, donde k E Z. 
El ángulo polo r de un punto 
se define con una precisi6n hasta 
un sumando, múltiple a 360". 
Si r > 0, los pares de números 
(r; cp) y (r; 'P + 3600 k), donde 
k E Z. definen un mismo punto 
del plano. Para que l a corrt!~-
POndCIlCi¡1 tmtre los plintos del plano (A excepción del pOlo) 
y sus coordenadas polares soa biunfvoca, al ángu lo polar 
se pone un Iím ile () ~ rp < 360". 
E~tnblele:l.il'los una relación entre las coordenad3~ carl.e~ 
slanas polares y rectangulares de nn mismo punto "1 del 
plano. 
Sen que en el plano está definido 1111 sistema carlesiano 
rectangular de coordenadas O, i, j (lig. 44). Tomemos como 
or igen do coordenadas, o .;ea, tomo polo el punto O y como 
ejo polar l, el eje de 3bMisas . Entonces 01 rayo rOy) del 
ejo tle ordenadilS está orienh.do bajo un ángulo de 90 res-
pecto 11.1 eje l. 
Es evidente que lns coorrleolldos carLesiaoils del punto !ti 
se ex presan a través de sus coordonadas polares delo manera 
s i¡ll iente: 
~-rtoscr, y-=rsel1!{l. (1 ) 
Las fórm ul aS ( t) permitall llaUar las coordonadas carle-
s itlnos rtlctllngulares del punto por SIlS coordenadas polare!!' . 
Do la fórmula ('1) obtonemos 
r + y2 ... rt cosl CJI + 71 5e03 fJI =71 (COS1q> + St!n1 1J') =r', 
42 
y lJur con;;iguillllto, 
(2) 
Si r:p O (/11 no coincide con el punt o O), tl t! (t ) y (2) 
se deduoo que 
(3) 
Los lórmullls (2), (3) permi len pasar de los coortlonadu:t 
cor leg.hlnas rectangulBnls del punto 1\ sus coordenadas 
pohl res. 
l'rolJlcrna 1. Hállense las coordenadasdol punto 
M (-L Ya) 
,:. Por la fórmu la el) h Allamos r = l/ ( 1)1 + (Y 3? 2· 
Segú lI laB fórm ulas (3) tene mos 
- 1 1 ,: fj 
C05ql = -;r- = -2 ' 501111> --,- , 
do rlunJo 'l' '"" 120". Al! í pues, M (2, 1200) . .. 
['rublem a 2. Hállense las coordOllad tlS roclllllgu l :l r L'~ cur· 
w sillnlls dol ¡Junto M (4; 135"). 
t. Segím la :!' fórm,ll as (1) tenemos 
, .~",o ,! V~) 2·V-
.l:='. ·co!' 1 ..... - '\ - -r =< - 2, 
y=', . .!!en 135° ..= 4. V=- 2V2. 
De esta formn . M (-2 V~; 2 'V2) . .. 
§ ts . Longitud del vector 
OcJ cur:so do ge~mtltrb para J asoc~l.!Jfn.'· i" . b¡j s i cllllC !lot!e 
que la distancill entro loa.pu nlos A. y..B . ...s¡tmufos .clI .luluJ"ecta , 
(ej\l) O ~o()[a'enndal se calculn según In lórmulll 
d onde :tri. Y .l:1I sou Ins coordenOfl as de los puntos A y B. 
.SUT!OJJ&,.tmfo;-C:3í.ifO _i.lo!l:-..:Bmitos.:""A-:(i .; ":y-;r. y- lZ::(z:s; l.)· ) 
(fig. 45) so :aifrf.cp yñ plpM,""1m el cunl se uligo un sistema 
, 
c~ '" 
8, ---0--------- ,dj_. ; r~) , , 
" , " . , 
A , __ ~-------- J c 
,A! .. ,;r ,) " 
, , 
o I A , a, K 
fig. 45 
roetungulur Je coordenados 0, i , j . So r~luiero hallar la 
lo ugitud del segmonto IAHl. 
Se¡ü n el tooromo. do Pitigora8 del tri ángulo AlJe. 
I.nllnmos I A IJ l· -= I A e. II + J e.l] 11 , pero puasto quü 
IA t:. .. I- j A.B. I = l:e! - ~. ' 
y r e l e I "" I A .8 2 I "'" I Yi - Y¡ J, 
y, por consiguienl.e, 
- - - ..... L~_BJ ..... "V (x! .,z.)I + .(Y:.. y' .p. (1) 
Si 01 sogmonto AO os parn.l\110 ul eje do IIll!I abscisas. 
ont onces YI = Y2 (fig. 46) y la longitud dol sogollmto AB 
, 
A ( .. ,;r,) ,....- --I----- ?,B( ... ;Y~) 
J 
A ,( " ,;0/ 0 1 
~' j g. <Ir, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
: 
8,1 _,:0) 
es iguto l a la longi tud dol sogmonto AIB.: 
IAHI = j A.lJ. I-I ,za-x. !, 
44 
Si el ~Cl!:'mlIlL) AlJ es pnllllelo (jI eje de ordenadas 011 
(rig. 'ii) , úII(,onCl'S 
1 AH 1 = 1 II~ -!I¡ l· 
La~ última~ dos fórmu las 5011 (,II .~O~ par~icularcs do In fór-
mula (1). 
Así pues , la longitud dl'l segmento en el plano e.~ Igual a la 
raí: cuadrado. de la slUna de los cuadrooQS de !.tu di/erendas de 
las coordellt'ulas hom611lmfl$ de sus extremo.~. 
, 
A,(o:r, ) 
o 
----- ~ -lA( .. ,;yll 
------- ,8("2;Y2) 
FiR. 47 
, 
, 
, 
x 
, 
¡ . .1 
o , 
, 
, 
, 
• 
, 
-- - ----- --Ah,;r,l 
Filó. 1,8 
'Si,fri7f fié lospn Il~(os, - poi ·.eToill plo.: I1.:_-cofllcioe cOll·""o1 
o--¡:igcn c[,c_coordonndllS;(fig. 48). la fórmulll (1) so simpli ficll 
y toma la for ma 
_ .. - ----, 
. l.~q.l ...., l(xi +y:·.: 
Sea que los puntos A y f1 SOl oncuentran e n (JI espacio: 
A (XI; yJ; z,) Y B (x,: 111: z,). 
Construyamos un paralele pípedo rectangular AC8 1 
DAlel BDI ' en 01 cua l los puntos A y B servirán de 
oxtremos de Sil diagonal (fig. 49). Enton ces. según 01 Leoromn 
de Pit{¡gon.sde D ADO , y t::.AB ,B ~ (!osprMde , quo IAIJI = 
z= -V 1 AD I~ + 1 DBI 12 + 1 BIB 12 • Exprl'sl\n do 1 AD l. 
1 D/J\ 1 y 1 B,B 1 en coordenadas. obtendremos 
I AB ) = V (xz Xj)l+ (y¡ y ,)1 + (1: ::1)1. (2) 
Estó claro , (lIJe :s i z, '= Zll = O la f6nnulH (2) se reduce 
a Jo rórmulR (1); en este caso el seg lJlento AIJ pcrtcncr.e al 
plnno :rDy. 
Recorde mos que la longitud del vt'ctor a -= Xñ ().~ igUAl 
a In longilud ¡¡!JI sogmento A l!. 
Por Lo tanto, utilizando lall fórrnulas (1) y (2), se puede 
-oxprosar la longitud del \'cc~or a = A 13 en l'¡ plano y on 01 
espacio por medio do las (lOOl'dOIlHllul'! de los extremos de la 
ma nO"a siGuionte: 
I AH 1- IABI = V(x 2 XI)'-1-(112 YI)', (3) 
1 Xii 1 =, AB r = V(:t"2 .T, )" (Y2 y,P+(Z2 Z, )II . (1,) 
Sen que el vector a = (x; y: z) esta definido en un sisto-
ma c.artes inua rectangu Lnr de coorrleHadn!l. Enlon(',es, las 
, 
A, C, 
/ 0,/ / 
- 1/ s :, -e 
-
A t~- '1, C 1/ V 1\ 1/ 
o s, 
I • 
!)o I 
'1.-~, , 
17 .' 1/ 1/ 
co.ofll"onados (1"01 vect,Qllt-~ A"1i, so expresan por medio de las 
coorllennc\MI de los pun tos A (;T ,; y,: lI,) y H (x~: y~: 1l2) 
,I f) 1n manera s iguien te (§ 12): 
De la fórmu la (t.í) ohtendrel1lo¡; la expresión de In longitud 
,Iel ved ol' a ....., rx; y; Il) por medio rlo SIlS coonlonnclnll: 
Mi 
Es evidente, que pa ra el pl ano la fórmula (5) tomll r{¡ la 
fo rmn 
! n l= VW'+y'. 
l)rob lem a f . H állese In longitud del veclor AB si A (4; tI . 
n (7; 5). 
1:1 Segú n la fórmu la (3) hall nmo.'\ 
lill l -IAB I_V(7 4)1 , (S 1 )~ = 5 . ... 
Prob lema 2, Hállese la longitud del vector iii s i 
A (3; 5; i ), B (5; 6; 3). 
ó Util izando In fórmul ll. (4) hallamos 
¡ ABI _ IAB I _ V(S 3)' + (ti · 5)1 + (3 1)' =3 . • 
Problem a 3. Háll tlso la longi tud del ve<: lora, - (2: 3; - 6). 
ó Según la fórmula (5) obtenemos 
IClI -V21+¡j1 ( 6)1 _ 7 . ... 
• • 
';";"t • .....,. +- (-,) 
§ t6. Proyección del vector sobre e l eje. 
Propiedades del vector 
Sea que en el plano o en el espacio se dan el eje 1 con el 
vector uni tario e y el vecLor Ilrbitrario l' . 
So olenomi n8 prO!Jecci.6n ortogoflo.l (o sim plemente proyoc-
clón) tlel vector a sobre el ejo 1, el número igual al producto 
do la longitud del vector a por el coseno dol ¡ín gula (llllNl 
los vectores e y a. 
La proyecciófL del vector a sobro el eje l so designA r.on 
el eimbolo pr¡ u o pr.a. 
Asi pues, segú n la defin ición 
" prjll = l a 1 cos (e; a). 
T racemos el vector (1 desde el pun to O ¡Jol ej ll l. 
Si el ángulo enl.re los vect ores e y a e-s RQ'udo (fig. 50, a), 
lo proyección del "ector (1, sobre el ojo l es igual n la longi tud 
del segmento DA •• rlonde A r es la prOyeC<' illll ele l pu n l~ A 
lIobre In rectn l. 
Efectivamente, 
/' /'-pr, lJ _ 14 1 cu~(e ; u) = I OA I cf,~ AOA , = lOA, l· 
47 
Si {J I ángulo e n tre los vectores e ya es oblli$O (li g. 50. b), 
111 p royección riel vec tor (t !Joure el eje l tl!! igual R 1.1 longitl1d 
dol segmenlo OA , tomada con signo menos. 
EH efecto, 
.. " /"'--.. 
r~ll), = 1e, I cos(e; a) = IDA I cosBOA= 
.'" 
= -lOA 1 c(lsA ,OA = -lOA, l· 
/'--
Si el vector a es p:orpenrliculRr al ejo t, (e; a) =- 00" 
y pr l t! = la I cos fJO Q = O. 
A 
• 
B B 
. ¡ 
A, A , o " 
. ¡ 
o • 
S Fig. 50 
Examinemos dos propiedades importan UlS de la proyec-
c ión elel vocl.or sohro 01 cje. 
-Propiedad t. PMn cualesqui era vectoNlS o y b es válida 
la ignaldad 
pr¡ (o + b) = pr , a + pr¡ b , 
rlonde l es UIl e je ilrbitrario. 
Es ta propiedad permil.e sustituir In proyección de In 
Sllmll d o los vector9S por la RUlUo. de sus proyecciones y vice~ 
versa. 
Propiedad 2. Pora cualquier voctor a y cualquier n ú~ 
mero k es vlililLa 10 iguuldad 
pr¡ ka = k pr¡ Ct . 
donde l I' ~ IU\ eje nrbitrllrio. 
Es ta propiedad permite sacar 11 intrQrluc,ir eL fac lor 
numprir.() rIe l sign o de proyección. 
48 
Estfls propi odades son vó lill ns debido n las reglns de 
operaciones con los vectoros expresados por s us coord enadas . 
O En efecto, sea q ue l es un eje arb it rario q ue tiene un 
punto do referencia O y un vector unitario e. Introduzcamos 
un sistema rectangular do coordenadas de la manera s iguiente 
(lig. 51). Admitamos como origen de e.oordanadas e l pun-
• 
¡ 
" 
" 
" 
" , ' , ' 
, ' 
, ' 
:90" 
- - --Q,."-~,"_~.:------i.-L,¿:A¡-¡, I~.C'C.'""-T 
• ,o/ , 
Fig. :; t 
lo O, y el vector e , como el primer vector básico ( i: -= e). 
En calidad de otros vectores básicos j y k , tomemos Cllal es-
quIera dos vectoros unitarios perpendiculares entro si, 
situados en un plano perpendicular al eje l. 
-Sea que el vector a = DA tiene las coordenadas %, y, t. 
EntOnces, sogún la definición de proyección 
/'-. 
" pr¡ a = I a I cos (i; al · 
Pero la I C{)s (ii al = x, es decir, l a proyocción de cual-
quier vector sobre el eje los igual a la abscisa do este vector 
en una base alegida por nosotros.Puesto q lle la abscisa de la suma de vectores es igual a la 
suma do los abscisas do los vectores suman dos (§ 11), la 
proyección do la suma de los vectores sobre el eje l es igual 
a la suma da las proyecciones de estos vecto res sobre el eje lo 
4-1330 49 
I!:uclamen\.e asl , In proyección I\el prod ucto del veelnt 
por un número os iguAl ni producto rlo este Ilúmero por lo 
proyección t.l t11 voctor, yo que al mulliplicur el vector por 
un número su abscisa se mllltiplica por es tQ número. • 
§ 17. Producto esular da dos vecto res 
En tísica, cllando hay un lno\'imionto rectilineo do 110 
punto rnalerinl do la p03ición IJ o In pos ición e (fig. 52), 
el trabajo A do la tuen.o constante P so cnlcula según In 
fórmula 
_ /O.. 
A -= j "' I ·IBC ¡cos(F; l/C) . 
Estn fórmula asigno al vector de (uerza P y al vee~or de 
-desplazamiento Be 
• 8 ~C 
A.IF~I~I ·COS (F ;st ) 
Fjl:'. 52 
una variuble esco lor , el t rabajo. La 
magni tud A I!(! donomina producto 
oscalar do los vectores F y iR:. El 
producto escal a r puede sor dofinido 
para dos vectore!! c llnlesquiera . So 
utilizo ampliomenll;l en fis ica y 
rnnlemÓt.ico.. 
Se denominn producto e.~caltlr lIo 
dos vectores no nulos lln número 
igual al producto de 1311 longitudes do estos vectores 
por el coseno del ángulo cutre ellos. Si por lo menO! de dos 
vectores uno es nulo. el prod ucto escalar de estos vectores 
se toma igual a cero. 
El producto escolar de los vectorell a y b se Je~ignn 
a·b. Así plle ~, según In definición 
/, 
a . b = la 1_1 b jcos(a; b) . (l ) 
S i a = b, entonce8 el producto escalar loma la rorma 
a ·a y se denomina cuadrado escalar del vector a: so des igna 
con el Bímbolo ato Es evidente q uo a l _ a·a = la 11. 
Como !le ~ a be (ver § t6), la proyección del ,'actor b sobre 
1111 eje, cuyo dirección coi ncido con la dirMciÓll del vector t, 
se eX!lreSII por la fórmula. 
h 
pr. b = I b I cos (a; b). 
50 
(2) 
UUiit.llndo las fórm ulas (1) y (2) se pucdc oaerihlr 
l, · h - la I pr .. b . (2) 
De este modo , e l producto oscnlar de dos vectores es igual 
a l producto de la IODgitud de uho de ellos y de la proyección 
dol sogumlo por la dirección del primero. 
Análoga mente se obtiene la fórmu la a· b ",. l b I pr. a . 
I /'-
P roblema 1. So sabe que 1 a 1 = 2, lb 1 = 3 ' (a : b) -
_ 150°. H allar a·h. 
e:. Segú n la fórmula (1) hall am os 
• /...... t o 2 Y3 
o · b = I a 1·1 b I C09.(a; b) _ 2.:¡-.cos 150 _ --,- . ... 
Prob lema 2. Hftllar todos los productos escalares posibles 
de los vectores básicos. y j de un s istemn carl'esiano de coor-
denadas en el pl111l0. 
II Sogún la defi nición del producto escalar 
i..j - lil · 11 I c0590" =- 1 ·1 ·0 = O, 
,'" =- i ·j. """ li 1·\ i J ces 0° - 1 ·1 ·1 - 1. 
Anñlogomer\te i · i "'" O. j I ... :l. ... 
I~rob lema 3. ¿QulÍ signo tiene 01 product o osenlar de los 
voctores a y b, si UO" < ra.:t,) ~ 18O"? 
/'-
c.. Puasto qlle en. In f6rloula "·b "'" l a 1· 1 h I cos (a; b ) 
los nú moros la I y lb I son no nogntivos, el signo de a · b 
depando del s igno del coseno. En el in tervalo 19if; 1SOOJ X 
/'-
X cos (a; b) < O, por lo t all to, a · b < O . ... 
Problema 4. ¿E n qUIÍ Intervolo se OIl Cnont.ra la magnitud 
deL angulo ontro Jos voctoro9 a y b, s i a ·b > 01 
/'-
6 Puestoquea . b >O.lal'=PO.lb I+Oycos(a ; b» 
. /'-
> O. De nqU1 que (a ; b) E ID"; 9001. • 
§ ta. Propied ad es d el producto escalar 
d e los vectores 
1. La mulLiplieación escalM do los 'vOl:ltores posce pro-
piodad conmutativa: 
a ·b-= b·a. (1.) 
." 
5t 
/'-.. /"-
o PueSl.oque (n; b) = (b¡ al y la I ·l b I = I lJ l'la l. 
/'-.. /'-.. 
entonces (J·b ~ la 1·1 b I cos (ai b) = l b ] ,1 a l C03 (b¡a)= 
=b·a. 
Si a - O o b .... O, entonces según la definición del pro-
ducto escalar (J·b = O Y b·a = 0, es decir, (J·b = (¡·a .• 
2. La multiplicación oscalar de los vectores posee pro-
piedad asociativa raspecto a la multiplicación del vector 
por un número; 
(ka). (¡ = k (a.b). 
/"- /'-.. 
O Designemos (a; b) = q¡ y (!,o; b) = <p\_ 
/'.. /'-.. 
(2) 
Si k > 0, (a; b) = (ka; bJ, es decir, <JI = '91. Y enlonces 
(ka) ·b = l ka j·1 b J cos<p¡ = k la j·l b I cos<p = k (a .h). 
S i k < O, ka H a y <PI = 180° - <p y entonces, (ka)·b = 
= I ka 1'1 b I cos '9\ = I k J'I a 1'1 b I cos (1800 - ¡p) = 
= _k·\ a 1·1 b I (-cos (JI) .,.. k la 1,[ b I cas <p = k (a .h). 
Si k = O O a = O O b = 0, entonces (ka)· b = O Y 
k (a.b) = O, y por lo t an to , (ka )· b = k (a.b) .• 
3. La multiplicación escalar de vectores posee propiedad 
distributiva respecto a la ad ición de vectores 
a.(6 + e) = a·b + a·c. (3) 
o Si a = O, Iu propiedad (3) es ev idonte. 
Sea quea:;: O, entonces, a . (b + e) "'" ja j.pr" (b + e) = 
= j a I (pr", b+ pr .. e)= la j.pre< b+ la j· pr" e =a ·6 + a ·c. 
En el curso de la demostración fueron utilizadas las 'co-
nocidas propiodades de la proyección del vector sobre el 
eje (§tG) . • 
OLservoffios que de (1) y (3) so deduce la fór mula 
(a + bl·c = a -c + b·c. (4) 
La semejanza do l as propiedades del p rod\lcto escalar de 
los vec~ores con l as propiedades del producto de los números 
roales permite realizar fácilmente los cá lculos y transform a-
ciones con los productos escalares. 
Prob lema. Demostrar la identidad 
(n + b)1 "'" aS + 2a·b + bl . 
D Utilizando las propiodados (1)-(4) del prod ucto esca-
lar obtenemos 
52 
~+W-~ + ~·~+~-~+~·.+~+~b ­
-a·a+b·a+a.b+b· b =~+a. b + a .b+~=~+ 
+ 2n·b + b' . ... 
Teorema. Pam. gll/l dos vedares no nulos seoll perpendicu-
lares e5 necesario y suficiente que S!, producto escalar sea Igual 
a cero: 
(a ,,¡.. O, b + 0 , a·h - O) ~ a ...L b. (5) 
o Necesidad . Sea que a...L b. Enloncos, 
/'-. 
ql ... (a; b) <:o 000 y a·b -= la 1·1 b l·cos 90" = O. 
Sullclencia Sea que a · b ... O. a '* 0, b =F O. P uesto que 
a=FO, 6 *0, enlonces 1al =FO, l b 1.,.0, y ya qUB 
lal ·j b l·eos'P"'O, cos!p=O y, por consiguiontc, o;p = 
"'" 00". es decir, a..L b . • 
§ i9. Producto escalar de vectores dados 
por sus coordenadas 
Sea que en el plano se tiene cierto sJ!'I temll. cartesiano 
rectangular de coordona d a~ y se dan Jos voclores a "'" (x,: YI) 
Y b = (%~: Y2)' Puesto quo 
a = l:, i + y¡} . b = .%,i + I/J, 
entonces, lltillzando Ins rospectivas propiedAdos de la mul-
tiplicación escalar do "cdore! obtenemos 
a .b = (XI ' + y,/Hx,i + yJ) -
= (x1%,) i' + (%IY') L.j + (y¡%,) j .i + (¡/¡Yt) j1. 
Es evidente que i l _ j' eo 1 y j.j = j . i == 0, por lo tallto. 
(\ ) 
Sea qua ~horll en el espacio se tiene cierto !! istcmfl Cllrt&-
SiMIO reetllngldnr de coordonadas y S(I dnn Jos voelores 
a = (:r:I; y,; . 1)' b -- (z ,; VI: JI)' 
An álogamente Il lo expuesto obtonemos 
a·[) - X,%, + y,y, + %,:,. (') 
Asi pues, el producto escalar de do.t vectorelf es igual a la 
sum.a de los produt:ws Ik las coordenadas hom.6"lmos de estol 
vteloru. 
53 
Prob lonlllJ. CalcÍlleooa· b,sia = 2i + 3j, b - -5i + i . 
b a · b = (2, + 3i H-Si + j).,. 2.(-5) + 3·1 -
= -7 . ... 
Problema 2. Calcúlese a·b, si a .", (2; --3i 4), b c: 
_ (5; 7; - 1). 
6 a·b -== 2·5 + (-3).7 + 4 ·(-1) = -15. A 
Problema 3. Hállese la longitud del vector a """ (:t; y: s). 
,ó Ulilillll.Jldo la fórmu la (2) obtendremos 
a·a == %:t + yy + zz =:t
' 
+ !I~ + :'. 
Por consiguionte, 
§ 10. C61culo del áogulo e ntre dos vectores 
SeglÍn la defin ición del Ilroduct o escalar tonl!DlO~ quo 
/, 
a · b _ I(,I·' b Icos(u; b). 
Por lo tanto, si a .p O y b =t= O 
/" (J·b 
cos(a ¡ b) = ral. l bl (1 ) 
es dBCir , ~l coserIIJ d~l ángulo entre 108 uectores fU) /lulos a y b 
~s i~(J(l1 al producto escalar de estos vectores, divIdido por el 
producto de su., longitudes. 
Supongamos que on el espacio hny un sistema cartesiano 
rectangular de coordenadas y se dan los vectores a = 
= (.%1; V,: ::J Y b 0:= (z:i Y1: :J . Entonces, como 83 sab ido 
(ver § 19) 
a· b - Z,%, + U1Y~ + : ,21, 
I a 1 = V z: + ~ + ':' I b I = V"",,,.,+",v:J:'+"',:i:. 
y, por lo tan lo, uti lizando l a igualdad (1) obtendremos In 
fórmul a 
Est n fórmu la fK"rmite calcular el coseno del ángulo entro Jos 
vectores a y b, según Ins coordenadas de esto~ vectores. 
Si los voctores a - (z¡; y ,) y b - (%,; Y,) 56 dan en un 
sistema cartesiano recta ngular de coordenadas en el pl ano , 
enLonces el coseno del ó'ngulo entre ellos so calcula según 
la fórmu l a 
" + cos (a; b}..... .,.! "V, (3) lIzf+vl' Y4+ y~' 
Prob leUl II t. Se don dos vectores: a = (3; 4) y b = (4; 3). 
Hollar el ánglllo entre ellos. 
D S\J!ltit llyenrl o 1M coof(Ionad as do los vectore.'\ 011 lo 
fórmula (~) , oblonomolj 
cos (tb) .... il·~ +4·3 _ :.!4 
• y 3"+' " Y 4~ +3" E" ' 
. /'-de dOllrle (scg:un la tubla) (a ; b) :::::; 16", ... 
Problema 2. ¡Hilles(! el coseno del lingulo onlre l o~ 'lec' 
toros 
a - 2i + 2; - ,~ , b "'" i - 2; + 2k. 
t::. Ulili~antlo la fórmula (2) obtendremos 
'"' I (~;b) ... :'H+2.·( 21+( t) ·2 '" 
,l zt+2'+{ t) •. 1'11+( 2'"+2' = - TI ' .. 
§ lt . Producto vectOria l de dos vectore s 
y sus propiedades 
E n fi s ica el momento de fuerza F respecto al punLo O 
-so ropresentll por el vector O¡l'! , perpendicular ni phl.no en 
'" 
o 
"\..:>'---A 
Pig:. 53 
F 
el cll AI está !JILlllldo el punto O y el voctor F (f ig. 53). LIl 
-loogitlld del vector OM Sé define como el producto do la. 
longitud del vector F por el brllzo h (h es la distancia del 
pun to O a la recta e n la cual eslá representado el vector de 
-Juon.a F), es decir , lOA! I = 1 F I·h o 
- ' '-1 OA! 1 "'" 1 F 1·1 r l. sen (Pi r) , 
tl ondo r "", 6A es el radio vector del punto de aplicación de 
la fuena F. 
-El vector OM so dllll omina producto vectorial del vector 
r por el vedor F. Ant.cs elo ciar ID óefinición del producto 
, 
, 
• b 
¡rig, 54 
vectori al do el os voctores arbitrarioo a. y 6 , introd u:r.camos el 
concep to de ternas de voctOl't's derecha e izq uierda, 
Tres vedores no coplaJl ares " , 6 Y e tomados on el orden 
in dicado. forman h. terna derech4, si después de ser reduci-
drm al origen comun 01 vector e está situado por el otro Indo 
del plano, que contiene los voctores a y b, de donde el giro 
más breve de a a 6 paroce ser realizndo en sen t ido nntih.ora-
r io, En caso contrario, la terna do vectores se denomina 
lzq¡,terda. Los vedores a, 6, e , representados on la figura 54 . 
formnn la terna dorocha, miontrn!! quo los vcc~orcs d , e, / , 
la izquierda. 
-Los vectores r , P, OM' on la figllra 53 form an In wrnn 
derecha, 
Producto IJ«lorÚll dol vector (t por el \'cctor b no coli neal 
a ti l so denomillfl tal tercoro "cctor e q ua satisfflce In .!! tres 
cond icionus siguienles: 
/'-
t ) la longitud rlol vector' e I = 1 ti 1'1 b I·sen (a; b ); 
56 
2) e l vllctor e es perpc ndi(\u lnr a los \'edores haCl (1fCS 
a y- b;c-L o yc-L b; 
3) los tres vcctores ti , b , e forman 011 01 (1rden indi cado 
unn terna t'l OroC}¡II . 
E l prod ucto vector inl de los vectores (\olinealos se con· 
s irlerll. igunl nI vector nll lo. 
El prod ucto v~torl{\ 1 (Iel vocl.or a por e l vector b se 
oes iglHl con 01 simholo la ; bl. LAS condicinnos i ) y 2) dufi-
nen e l vector e = la; bl con p~-
cisión do has tll. do! d iroccionas 
rcc iprf)(:nlllcnte opuosta!!. La con-
dición 3) de term inn unn de es tas 
dos d irecciones. Ln condicion t ) pIIO- c . {a.;bl 
de ser onunclada purnmonte en 
for mo geométrica: la longitud del 
veclor e contione tflnl1l8 lIn idadclI 
d o longitud , cllnnlns unidades cna-
oradas homónimas comprond e el 
Ama do un pa ralol ogramo conll trui-
do sobro los vectores ftr,c lOrel! 
(Hg. 55). 
De la condición i ) se desprondo 
qlJ6 la; 61 + O, si a y b son no ¿~;~;~b~=-:;> colincal6!>. P (1r otro lado, el pro- a 
rl uclo vectorllll de Ifll! vect ores 
colinCflles segun la tlef inici6n os e - :al'lal sen!a; ) 
igual al veclor nul o. A'II pUOlI, In 
igualdad I'ig. 55 
[a ; bl = O 
el! la condición necoso rl 8 y sufic iente de coHllealidad do los 
\'ec torel! ti y b. Ex aminemos aliU na!! propiedades dol pro-
ducto vectorial. 
L Al ca mbiar e l orden do los factores el producto voc· 
t.orial conser va S il longitud, pero cnrubia su dirección por la 
opuesta: 
la; h1 = - lb; al. 
o Bn docto, de ncuordo con 1;1 dofi nición dol producto 
vectoria l se t iene 
" Ila ; bll e; I a 1· 1 b I·sen (n ; h) , 
" I [b ;a l [ _ 1 b 1· la l ·~n (b ; o) , 
57 
"" "-puesto que (aj b) = (b: a) , entonces I [a : b) I ... [ lb; al [. 
Los vectores la; bl y lb; al son perpend iculares al plano 
dofinido por los vectores factores a y b. Pero , como los "cc--
tores a, b y fa ; bl (lo mismo 
que los vectores 6, a y lb; al ) 
c · {a,b I forman ternas derechas. los 
vectores la; b] y lb; al' debe-
rán sor «lnlrnria mento (liri· 
- c - [b;aJ 
fi g. S6 
gidos (Hg. 56) . • 
2. Propiodad do asociali -
viliad ¡Jel producto voclorin l 
rosp<lclo al fo ct or escll.hJr: 
[ma; bJ - la; mbl = In lo; lIl . 
3. L¡I propicdlul tle d bt.Ii-
buUv hla tl del procluctu Yecto-
rial se oxpreso. por medio do 
la iguald ad 
la + b; el - la; el + lb; eL 
Acoptemos Ins propiedades 2 y 3 del prod ucto vectorial sin 
fl: currir ti la de mO.!l trllción. 
Problema 1. H Allelio la longitud (Iel ,'octor 13a - b ¡ 
a - 2bl ,sia J... b , [41 - 3, Ibl =- 2. 
D. Dobido a In :!! propiedades 2 y 3 dol producto voctorial 
tonemos 
[la, - b; a - 2bl - 3 fa ; a l -lb; al - 6 [a; bl + 
+ 2lbj bl. 
Poro la; a] "" O Y lb; bl "" O. ya que cualqu,ier vector es 
colinoa! a el mismo, y 01 producto vectorial do los VllctoroS 
colinoales es igual al voctor nulo . En adelante , de acuerdo 
con la propiedad 1 tenemos 
lb; al = -la; b/, 
y, por 10 l:lII lo, 
[Sa - b; tl - 2bl = -5 [a : bl . 
Por consiguien te, 
¡ 13a - [¡; a - 2b11 - [-5 la; bll = 
= 5 1 a ,, 1 b '·sen 90" = 5·3 ·2 = 30 . .. 
:;s 
Problema 2. 1",,1101150 Y represén tense 1011 vedores la ¡ 61 
y Ib¡ al, si a - 3i , b "" 2¡ + 2k (i , j , k son vectores uni-
tnrios perpen(licular05 ontre 9í que forman 111 te rna derecha). 
, , 
t 'Ie. 57 
6 Puosto quc ti; l\ - O c (j; kl = - j , ont.onces 
la; bl = [3i ; 2i + 2kl = 6 1i ; il + 61 j; k l "'" -Sj . 
El vector la ; bl "'" -Sj so representa e n ID figura 57 
por 01 segmenlo dirigido ch , el vec~or [b ; al - --6j , por el 
segmonlo dirigido 6F . ... 
§ 11. Producto vectorial de dos vectores 
definidos por sus coordenadu 
Hallemos la oxpresión pura el producto voctorial do dos 
vectores por medio de la8 coordenadas cart.esianll,s recta ngll-
Inres de estos ,'eetores. 
Seo q ue los \'ectoros a "'" (XI; Vi i %1 ) Y b =- (x,; 11, ; l.) 
estó n d ados por sus coordenados on un slstoma carte~ i 9. no 
rectangul ar de coordenadas 0, i , j , k Y la terna do los vec-
toril! i , j , k e!! derecha (esto se supondrá siempre on adelanto 
para mayor precisión). 
Desal'l'ollemos a y b según los vectores básicos: 
a - %t i + /Id + =tk. b ~ :r.i + IIJ + :2k . 
Utilizando las propiodades del producto vectorial , obte-
!lemos 
la; bl = Ixl i + vlj + ::Ik ; x3 i + yJ + 1I1kl -
- XIZ, [i; il + x1U , ( i ; j I + X I1I1 li ; kl + YIX2 [j ; il + 
+ V¡Jh Ij; j I + u¡=, Ij ; kl + " , X l lA'; iJ + ",U, Jk ; il -1-
+ "1': 11:; k l. (1) 
,9 
Según In defi nición del producto vectorial hallamos 
Ji; ¿I = 0, 
Ij ; tI """ -k, 
Ik; ti - j , 
[i; j ] = k , 
Ij; ji = O, 
Ik; jI ... _i, 
(i; kl = - j, 
(j ; k l _ 1, 
Ik; kl = O. 
Ten iendo en cucnta estas igualdades se puede escribi r la 
fOrmul o (f) Ilsi: 
o 
la ; bl => XJl/l k - x l "Zz j - Ylx:k + y ,¡~i + 
+ z.x,j - ~'Y1 ¡ 
[a ; bl -= (y,1I1 - Z' YI) i + (z.%, - zsr. ) j + 
+ (xIY, - Y lz~) k . 
La fórmu la (2) da la oxpresión p;:u:a