Aula 6 Analise de sensibilidade Pesquisa Operacional

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Análise de Sensibilidade 
Fabiana Gomes dos Passos 
Referências 
 
 
 
 
• LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa 
operacional na tomada de decisões. 2. ed. 
rev. e atual. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004. 
384 p. 
 
 
Roteiro da aula 
 
• Conceito e objetivos da Análise de sensibilidade 
• Tipos básicos de análise de sensibilidade 
 
 
 
 
O que é Análise de Sensibilidade? 
 
• Oda et al. (2001) em seu estudo relata que na prática, a análise de 
sensibilidade deve ser feita para as variáveis que apresentam maior 
impacto nos custos, prazos ou outros resultados do projeto, ou seja, 
aquelas às quais o projeto é mais sensível. 
 
• De acordo com Salles (2004), a Análise de Sensibilidade é o 
procedimento que verifica qual o impacto sofrido no cronograma de um 
projeto, por exemplo, quando varia um determinado parâmetro 
relevante do projeto ou, o tempo de execução de determinada atividade. 
 
• Pode ser entendida como sendo o estudo da relação entre as variações 
no resultado de um modelo matemático e as diferentes fontes de 
variação dos dados de entrada do modelo. (SALALTELLI et al., 2008). 
17 de outubro de 2012 
O que é Análise de Sensibilidade? 
 
O que é Análise de Sensibilidade 
 
ou 
 
Análise de Pós-Otimização? 
17 de outubro de 2012 
O teste ou análise de sensibilidade é uma técnica que 
avalia a mudança de uma variável dentro do projeto, 
analisando o resultado desta variação sobre o seu 
planejamento inicial. 
O que é Análise de Sensibilidade? 
 
 
Em essência, a análise de sensibilidade responde a pergunta 
"O que faz a diferença nesta decisão?" 
 
 
Analisa o impacto que cada um dos parâmetros de um modelo 
pode causar em uma determinada métrica. 
17 de outubro de 2012 
O que é Análise de Sensibilidade? 
 
• Análise Univariada 
o Para avaliar a sensibilidade de um modelo e/ou projeto a uma determinada 
grandeza faz-se variar esta mantendo as demais constantes 
 
• Análise Multivariada 
o Consiste em variar mais do que uma grandeza em simultâneo 
17 de outubro de 2012 
Assim verifica-se até que ponto o projeto é 
sensível a determinadas variáveis 
Importância da Análise de 
Sensibilidade 
 
• Etapa muito importante na metodologia de Análise de Decisão. 
 
• É utilizada para: 
o Tomar melhores decisões; 
 
o Decidir quais dados estimados devem ser refinados antes de tomar 
uma decisão; 
 
o Concentrar-se nos elementos críticos durante a implementação. 
17 de outubro de 2012 
Importância da Análise de 
Sensibilidade 
 
• Permite avaliar impactos associados: 
 
o As alterações dos valores das variáveis de entrada e dos parâmetros 
do sistema. 
 
o Das mudanças estruturais em um modelo 
 
• Permite identificar os parâmetros que causam maior perturbação na 
performance do modelo. Deste modo, a análise de sensibilidade é 
realizada com o objetivo de definir a influência de alguns parâmetros 
(input) nos resultados (output) do modelo. 
17 de outubro de 2012 
Objetivos 
 
• Determinar os parâmetros que têm maior impacto nas saídas geradas 
pelo modelo; 
 
• Identificar gargalos do sistema (otimização); 
 
• Planejamento de experimentos; 
 
• Identificar possíveis erros de modelagem; 
 
• Identificar parâmetros insignificantes, que podem ser eliminados do 
modelo. 
17 de outubro de 2012 
Análise de sensibilidade na prática 
 
• A análise de sensibilidade tem sido aplicada principalmente nas 
seguintes áreas: 
 
o Física 
o Química 
o Estudos climáticos e ambientais 
o Economia 
o Análise de Risco 
o Processamento 
17 de outubro de 2012 
 
o Redes neurais 
o Avaliação de desempenho 
o Fabricação de novos 
produtos 
o Avaliar o emprego de novas 
tecnologias ou processo de 
fabricação 
 
Análise de sensibilidade 
• A análise de sensibilidade envolve, basicamente, investigar o 
efeito na solução ótima ao se realizar mudanças nos 
parâmetros do modelo de programação Linear 
 
Maximizar: Z = 
 
 
Sujeito a: 
 
 
 
 x1, x2, ..., xn ≥ 0 
 


n
j
jjxc
1



n
j
ijij mibxa
1
),...,2,1(
Análise de sensibilidade 
• Qual é o efeito de uma mudança no coeficiente da função-
objetivo? 
• Qual é o efeito de uma mudança numa constante de uma 
restrição ? 
• Qual é o efeito de uma mudança num coeficiente de uma 
restrição ? 
 
 Logo essa análise serve para medir a robustez 
do modelo! 
Análise de sensibilidade 
• Para pequenos problemas, seria simples verificar o efeito de uma série de 
mudanças nos valores de parâmetros, bastando replicar o método simplex 
a cada vez para ver se a solução ótima muda ou não; 
 
• No entanto, para problemas maiores, do tamanho típico encontrado na 
prática, essa análise exigiria um trabalho braçal bem significativo, ou uma 
carga de processamento tremendo, caso estivesse utilizando softwares 
como o solver do Excel, por exemplo ; 
 
• Através dessa necessidade foi elaborada quatro propriedades importantes 
do primal-dual, que revela imediatamente como quaisquer mudanças no 
modelo original modificariam os números no quadro final do simplex; 
Análise de sensibilidade 
• Dessa forma, após alguns cálculos simples para revisar esse quadro, pode-
se verificar facilmente se a solução ótima original ainda permanece ótima 
ou, então, inviável ; 
 
• Em caso afirmativo essa solução seria usada como solução básica inicial 
para reiniciar o método simplex (ou o método simplex dual), para 
encontrar uma nova solução ótima, se desejado; 
 
• Se as alterações do modelo não forem grandes, serão necessárias apenas 
algumas poucas iterações para se chegar à nova solução a partir dessa 
solução básica inicial “adiantada”. 
Dois tipos básicos de Análise de Sensibilidade 
• Estabelece limites inferiores e superiores para todos os 
coeficientes da função objetivo e para as constantes das 
restrições: 
o Esse estudo é efetuado automaticamente pelo Excel e Lindo; 
o Considerando a hipótese de uma alteração a cada momento; 
 
• Verifica se mais de uma mudança simultânea em um 
problema altera a sua solução ótima: 
o Mais complexo e não é realizado automaticamente pelo Excel; 
o Pode ser feito através da alteração do problema e sua nova resolução. 
Dois tipos básicos de Análise de Sensibilidade 
 
• A maneira mais simples de se verificar o que se constitui esse 
estudo, é realizá-lo graficamente e posteriormente generalizar 
o resultado para um número maior de variáveis. 
 
• Vale ressaltar que este estudo está intimamente ligado ao 
problema Dual associado ao problema Primal. 
Alteração em um dos Coeficientes da 
Função Objetivo 
• Exemplo de análise dos limites dos coeficientes da função objetiva 
• As três retas pertencem a uma 
mesma família de retas, pois 
têm o ponto (25;20) em comum. 
• A única diferença entre elas 
está no coeficiente angular. 
• Podemos dizer que a 
mudança de um coeficiente 
da função objetivo 
Causará a alteração no 
coeficiente angular da 
função objetivo. 
Alteração em um dos Coeficientes da 
Função Objetivo 
 
Portanto enquanto o coeficiente 
angular da função objetiva estiver 
entre os das retas limites a solução 
ótima não se alterará. 
 
Matematicamente: 
 
Alteração em um dos Coeficientes da 
Função Objetivo 
A forma geral da função 
objetivo é dada por: 
Que na Forma 
declividade-Interseção é 
dada por: 
Será feito uma variação por 
vez, portanto manteremos 
constante primeiramente 
c2=30. Logo pode-se dizer 
que: 
Para estudarmosas 
variações possíveis de c2 
manteremos c1 =40. Logo 
tem-se: 
Poderíamos 
então criar uma 
tabela 
resumindo os 
limites dos 
coeficientes das 
variáveis na 
função objetivo: 
Mantendo 
estes limites, 
podemos 
garantir que 
a solução 
ótima será a 
mesma! 
Exercício de Fixação 
• Faça a análise dos limites dos coeficientes da 
seguinte função objetiva: 
 
21 25 xxZMax 








0,
92
104
21
21
21
xx
xx
xx
 
Exercício de Fixação 
CADEIRA 
MESA 
(0,12) 
Solução ótima 
(15,0) (0,0) 
(12,6) 
MCT = 8x1 + 6x2 
(0,0) MCT = 0 
(0,12) MCT = 72 
(15,0) MCT = 120 
(12,6) MCT = 132 
0,
4842
6024:.
68
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZMax
Faça a análise dos limites dos coeficientes da seguinte 
função objetiva: 
 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 
• Uma mudança em qualquer das constantes das restrições pode 
também alterar a solução ótima de um problema. Geralmente 
acarreta uma alteração no conjunto de soluções viáveis, 
aumentando ou diminuindo o mesmo. 
 
 
17 de outubro de 2012 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 
 
• A análise de sensibilidade através de limites é uma alteração 
resultante no valor da função objetivo devido ao incremento de 
uma unidade na constante de uma restrição é denominada preço-
sombra (shadow price). A interpretação do preço-sombra é feita às 
vezes de custos ou receitas marginais, dependendo das variáveis 
envolvidas. 
17 de outubro de 2012 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 • Considere o problema abaixo, onde alteramos o nosso problema 
inicial modificando o valor da constante da segunda restrição de 9 
para 15. 
 
17 de outubro de 2012 
Max Z = 15x1 + 2x2 
 Sujeito a: 
 4x1 + x2 ≤ 10(A) 
 x1 + 2x2 ≤ 9(B) 
 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 
Max Z = 15x1 + 2x2 
 Sujeito a: 
 4x1 + x2 ≤ 10(A) 
 x1 + 2x2 ≤ 15 (B’) 
 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 
Solução ótima 
Z = 37,5 
x1 = 5/2 
X2 = 0 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 
• A Figura mostra esta modificação graficamente, bem como a diferença no 
conjunto de soluções viáveis. Vale notar que esta mudança não alterou 
a solução ótima. A razão está no fato desta restrição não limitar a 
solução ótima. Neste caso as duas restrições que limitam a solução 
ótima são: 
 
 4x1 + x2 ≤ 10 e x1 ≥ 0. 
17 de outubro de 2012 
Max Z = 15x1 + 2x2 
 Sujeito a: 
 4x1 + x2 ≤ 10(A) 
 x1 + 2x2 ≤ 15 (B’) 
 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 
• Considere agora o problema a seguir, em que alteramos a constante da 
primeira restrição de 10 para 15. Como esta restrição limita a solução 
ótima, seu valor será alterado. 
 
17 de outubro de 2012 
Max Z = 15x1 + 2x2 
 Sujeito a: 
 4x1 + x2 ≤ 15(A’) 
 x1 + 2x2 ≤ 9 (B) 
 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 
A figura mostra a 
alteração do 
conjunto de 
soluções viáveis e 
da solução ótima. 
 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 
• A alteração de cinco unidades da constante da primeira restrição (10 para 
15) provocou uma alteração no valor máximo da função objetivo de 37,5 
para 56,25. Logo, o preço-sombra deste recurso pode ser obtido como: 
 
Preço-sombra = (56,25-37,5)/5 = 3,75 
 
• Agora se alterarmos em 26 unidades ao invés de 5 unidades a constante 
da primeira restrição (10 para 36) provoca uma alteração no valor máximo 
da função objetivo de 37,5 para 135. Logo, o preço-sombra deste recurso 
pode ser obtido como: 
 
Preço-sombra = (135 – 37,5)/26 = 3,75 
17 de outubro de 2012 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 
• Note que o valor do preço sombra é o mesmo. Isto acontece dentro de um 
intervalo de valores apenas. A solução gráfica desta segunda alteração do 
problema original está representada a seguir. 
 
17 de outubro de 2012 
Max Z = 15x1 + 2x2 
 Sujeito a: 
 4x1 + x2 ≤ 36 (A) 
 x1 + 2x2 ≤ 9 (B) 
 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 • Fazendo agora a terceira modificação no problema aumentando o valor da 
constante para 37 (qualquer número maior que 36), o modelo e sua 
solução gráfica seria o apresentado a seguir: 
17 de outubro de 2012 
Max Z = 15x1 + 2x2 
 Sujeito a: 
 4x1 + x2 ≤ 37 
 x1 + 2x2 ≤ 9 
 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 
• Repare que nessa alteração o valor da função objetivo continuou o mesmo 
(135); portanto, 
 
Preço-sombra = (135-135)/1 = 0,00 
 
Alterando o valor da Constante da 
Restrição - Recursos 
 • Vale notar que a primeira restrição deixou de ser limitante da solução 
ótima. As restrições limitante são agora x1 + 2x2 ≤ 9 e x1 ≥ 0. 
17 de outubro de 2012 
Max Z = 15x1 + 2x2 
 Sujeito a: 
 4x1 + x2 ≤ 37 
 x1 + 2x2 ≤ 9 
 x1≥ 0 e x2 ≥ 0 
• Pode-se concluir que, enquanto a restrição continuar como limitante 
da solução ótima, o preço-sombra permanece a mesmo, tornando-se 
zero quando deixar de ser limitante da solução ótima. 
 
Exercício de Fixação 
CADEIRA 
MESA 
(0,12) 
Solução ótima 
(15,0) (0,0) 
(12,6) 
0,
4842
6024:.
68
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZMax
• Qual o preço sombra, quando se altera o valor da 
constante da restrição das seguintes restrições do seguinte 
problema? 
 
0,
4842
6524:.
68
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZMax
0,
5542
6024:.
68
21
21
21
21




xx
xx
xxas
xxZMax
• Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a 
manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que: 
o a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg 
de carne e 2 kg de cereais; 
o o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30; 
o o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; 
o estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais. 
 
• Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar 
o lucro. Nosso modelo deseja maximizar o lucro (Z) a partir da quantidade de 
ração Tobi (x1) e de ração Rex (x2). Logo depois, faça a análise dos limites dos 
coeficientes. 
Exercício de Fixação 
 
17 de outubro de 2012 
Referências 
 
 
 
 
• LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa 
operacional na tomada de decisões. 2. ed. 
rev. e atual. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004. 
384 p.