PROTEÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO INFLUÊNCIA DAS MÚTUAS DE SEQÜÊNCIA ZERO NOS RELES DE DISTÂNCIA

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DISTÂNCIA - MUTUAS DE SEQUÊNCIA ZERO.doc 
Ademir Carnevalli Guimarães Página 1 1/12/2009 1
INFLUÊNCIA DAS MÚTUAS DE SEQÜÊNCIA ZERO NOS RELES DE 
DISTÂNCIA 
a) Diagrama unifilar do sistema 
 
 
 
 
 
201 III == 
x 
IC A 
IA 
ZOM 
B r 
ZSB ZSA 
s 
F 
a) Diagrama de seqüência positiva 
IC1 
A1 B1 
I A1
ZSA1 ZSB1 
xZL1 (1-x)ZL1 
ZL1 
 
IC2 
IA2 
A2 B2 
ZSA2 ZSB2 
xZL2 (1-x)ZL2 
ZL2 
I1
b) Diagrama de seqüência negativa 
IC0 
IA0 
A0 B0 
ZSA0 
(1-x)(ZL0- Z0M) 
I2
c) Diagrama de seqüência zero 
ZSB0 (1-x)Z0M xZ0M 
x(ZL0- Z0M) 
(ZL0- Z0M) 
I0
N1 
N2 
N0 
IB1 
IB2 
IB0 
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DISTÂNCIA - MUTUAS DE SEQUÊNCIA ZERO.doc 
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222
22
1
SBLSA
SBSA
ZZZ
ZZZ ++
•= 
222
22
2
SBLSA
LSA
ZZZ
ZZZ ++
•= 
222
22
3
SBLSA
LSB
ZZZ
ZZZ ++
•= 
 
 
 
 
222
22
2'
SBLSA
LSA
L ZZZ
ZZZxZ ++
•+•= 
222
22
2)1(''
SALSB
LSB
L ZZZ
ZZZxZ ++
•+•−= 
 
'''
'''
ZZ
ZZZeq +
•= 
Z2 
Z1 
I2 
Z’’ Z’ 
Z3 
N’ 
I1 
A2 B2 
xZL2 (1-x)ZL2 
IA2 IB2 
ZSA2 ZSB2 
Z1 
Z2 Z3 N’ 
ZL2 
xZL2 (1-x)ZL2 
I1 
A2 B2 
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⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
•=
'''
'''
2 ZZ
ZZIV 
 
2
2
2 '''
''
'''
'''
''
I
ZZ
Z
ZZ
ZZ
Z
I
Z
VI A •⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
••== 
2
2 2
' '' '
" " ' '' ' ''B
V I Z Z ZI I
Z Z Z Z Z Z
•⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = • = •⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
( )
222
22
2
222
22
2 1'''
SBLSA
LSB
L
SBLSA
LSA
L ZZZ
ZZZx
ZZZ
ZZZxZZ ++
•+−+++
•+=+ 
logo, 
( )
222
222
2'''
SBLSA
SBSAL
L ZZZ
ZZZZZZ ++
++=+ 
 
( )
( ) ( )( ) 222222
2222
2
222
222
2
222
22
2
2
1
1
I
ZZZZZ
ZZZZxI
ZZZ
ZZZZ
ZZZ
ZZZx
I
SBSASBLSA
SBSBLSA
SBLSA
LSBSA
L
SBLSA
LSB
L
A ++++
+++−=
++
•++
++
•+−
= 
 
( ) ( )
2
222
222222
2 22
2 I
ZZZ
ZZZxZZZI
SBLSA
SBLSASALSB
A ++
++−++= 
portanto, 
( ) ( )( )
( ) 2222
222
2 2
12 I
ZZZ
xZZZxI
LSBSA
SALSB
A ++
−++−= 
analogamente, 
( ) ( )( )( ) 1111 1111 2
12 I
ZZZ
xZZZxI
LSBSA
SALSB
A ++
−++−= 
( )
( )2 22 2 2 2 22 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
SA L
L
SA L SB SASA L SB
B
SA SB L SA L SB SA SB
L
SA L SB
Z Zx Z
x Z Z Z ZZ Z ZI I I
Z Z Z Z Z Z Z ZZ
Z Z Z
•• + • + + ++ += =+ • + + + ++ + +
 
( )2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
(1 ) ( )
2( )
SA L SB SA SA L SB
B
SA L SB SA SB SA SB L
x Z Z Z Z x Z x Z ZI I I
Z Z Z Z Z Z Z Z
• + + + − + • += =+ + + + + + • 
Portanto, 
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2 2 2
2 2
2 2 2
(1 ) ( )
2( )
SA L SB
B
SA SB L
x Z x Z ZI I
Z Z Z
− + • += •+ + 
Analogamente, 
1 1 1
1 1
1 1 1
(1 ) ( )
2( )
SA L SB
B
SA SB L
x Z x Z ZI I
Z Z Z
− + • += •+ +
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Ademir Carnevalli Guimarães Página 5 1/12/2009 5
Determinação da Componente de Seqüência Zero 
 
 
Do diagrama de seqüência zero vem: 
( ) ( )[ ]
( ) ( ) MSBMLMSA
MSBMSA
ZxZZZZxZ
ZxZZxZZ
000000
0000
1 1
1' −++−++
−+•+= 
 
( ) ( )[ ]
000
0000
1
1'
SBLSA
MSBMSA
ZZZ
ZxZZxZZ ++
−+•+= 
 
( ) [ ]
000
0000
2'
SBLSA
MLMSA
ZZZ
ZZZxZZ ++
−•+= 
e, 
( )[ ] ( )
000
0000
3
1'
SBLSA
MLMSB
ZZZ
ZZZxZZ ++
−•−+= 
ZSA0 ZSB0 
I2 
Z’1 
Z’2 Z’3 N’ 
(ZL0 – Z0M) 
x(ZL0 – Z0M) (1-x) (ZL0 – Z0M) 
I0 
A0 B0 
(1-x)Z0M xZ0M 
N0 
IC0 IA0 IB0 
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0'''
''' I
ZZ
ZZV ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
×= 
 
00 '''
''
'
I
ZZ
Z
Z
VI A +== 00 '''
'
''
I
ZZ
Z
Z
VIB +== '
''
0
0
Z
Z
I
I
B
A = 
 
( ) ( ) ( )ML
SBLSA
MLMSA ZZx
ZZZ
ZZZxZ
Z 00
000
0000' −+++
−+= 
 
( )[ ]( ) ( )( ML
SBLSA
MLMSB ZZx
ZZZ
ZZZxZ
Z 00
000
0000 1
1
'' −−+++ )
−−+= 
Somando, vem: 
( )( ) ( )[ ]( ) ( )( )
000
0000000000000 1'''
SBLSA
MLSBLSAMLMSBMLMSA
ZZZ
ZZZZZZZZxZZZZxZZZ ++
−+++−−++−+=+
 
Z’2 
Z’1 
I0 
Z’’ Z’ 
I2 N0 
Z’3 
X(ZL0 + Z0M) (1-x) (ZL0 + Z0M) 
IA0 IB0 
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( )[ ]( ) ( )( )( )
( )( )[ ]( )
( )000
000000000
000
000000000
1
11
'''
''
SBLSA
MLSBLSAMSBMSA
SBLSA
SBLSAMLMLMSB
ZZZ
ZZZZZZxZZxZ
ZZZ
ZZZZZxZZZxZ
ZZ
Z
++
−+++−+++
++
++−−+−−+
=+ 
 
( )( ) ( )( )[ ] ( )
( )[ ]( )MLSBLSAMSBMSA
MLSBLSAMSB
ZZZZZZxZZxZ
ZZZZZxZxZ
ZZ
Z
000000000
0000000
1
11
'''
''
−+++−+++
−++−+−+=+ 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) MLSBSA
SBLSAMSB
ZZZZ
ZxZxZxZxZ
ZZ
Z
0000
00000
2
1111
'''
''
+++
−+−+−+−+=+ 
 
( ) ( )(
( )
)
MLSBSA
SALMSB
ZZZZ
ZZZxxZ
ZZ
Z
0000
0000
2
111
'''
''
+++
++−+−+=+ 
Levando na equação do IA0 vem: 
( ) ( )( )
( ) 00000
0000
00 2
12
'''
'' I
ZZZZ
ZZZxxZ
I
ZZ
ZI
MLSBSA
SALMSB
A +++
++−+−=+= 
Podemos calcular a corrente usando a relação BOI '
''
0
0
Z
Z
I
I
B
A = de tal forma que: 
00 ''
'
AB IZ
ZI = = 0'' ''
Z I
Z Z+ 
( ) ( ) ( )ML
SBLSA
MLMSA ZZx
ZZZ
ZZZxZ
Z 00
000
0000' −+++
−+= 
( )
[ ] ( ) ( ){ } ( )
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
( ) ( )( )
( )'
' '' 1 *
( )
SA M L OM L OM SA L SB
SA L SB
SA M SB M SA L SB L M
SA L SB
Z xZ Z Z x Z Z Z Z Z
Z Z ZZ
Z Z Z xZ Z x Z Z Z Z Z Z
Z Z Z
+ − + − + +
+ +=+ + + + − + + + −⎡ ⎤⎣ ⎦
+ +
( )
[ ] ( ) ( )0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0
*( )'
' '' 1
SA M SA L SB
SA M SB M SA L SB
Z xZ x Z Z ZZ
Z Z Z xZ Z x Z Z Z Z
+ + + +=+ + + + − + + +⎡ ⎤⎣ ⎦
 
( )
( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0
1 ('
' '' 2
SA M L SB
SA SB L M
Z x x Z Z ZZ
Z Z Z Z Z Z
+ + + +=+ + + +
0 )
)
 
( )
( ) (
0 0 0
0 0
0 0 0 0
1 ( )
*
2
SA M L SB
B
SA SB L M
Z x x Z Z Z 0I I
Z Z Z Z
+ + + += + + + 
Cálculo da Tensão no ponto de aplicação do relé A 
Sabemos que: 
1111 AAF IZVV −= 
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0I
2 2F AV V= − 2 2AZ I
 
e, 
( )0 0 0 0 0 0 'F A L M A MV V x Z Z I xZ= − − − 
( ) ( )00000000 ACMAMLAF IIxZIZZxVV +−−−= 
( ) 000000000 AMCMAMLAF IxZIxZIZZxVV −−−−= 
( ) 00000000 CMAMMLAF IxZIZZZxVV −+−−= 
000000 CMALAF IxZIxZVV −−= 
então, 
1111 ALAF IxZVV −= 
2222 ALAF IxZVV −= 
000000 CMALAF IxZIxZVV −−= 
como, 
0021 =++ FFF VVV 
000011021 20 CMALALAAA IxZIxZIxZVVV −−−++= 
000001012211 CMALALALALALA IxZIxZIxZIxZIxZIxZV ++−++= 
onde: 21 LL ZZ =
( ) 0000010211 CMALALAAALA IxZIxZIxZIIIxZV ++−++= 
( ) 001001 CMLLALALA IxZZZxIIxZV +−+= 
33 0
10
1
RC
M
LL
RALALA
IxZZZxIIxZV +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+= 
RC
L
M
L
L
LL
RALLALAIZ
ZxZ
Z
ZZIZxIxZV ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+=
1
0
1
1
10
11 33
 
logo, 
( )RCMRALALA IkIkIxZV 001 ++= 
assim, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
++=+= RALA
RCMRALA
L
RALA
A
A IkI
IkIkIZx
IkI
VZ
0
00
1
0
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++=+= RALA
RCM
L
RALA
A
A IkI
IkZx
IkI
VZ
0
0
1
0
1 
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Sendo que: 
L
LL
Z
ZZk
3
0
0
−= , 
L
M
M Z
Zk
3
0
0 = , 03 CRC II = e 03 ARA II = . 
De forma análoga podemos determinar a impedância vista pelo relé instalado em B 
Cálculo da Tensão no ponto de aplicação do relé B 
Sabemos que: 
1 1 1F BV V Z= − 1BI
 
0
 
 
e, 
( )0 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) ''F B L M B MV V x Z Z I x Z I= − − − − − 
( ) ( )0 0 0 0 0 0 0(1 ) (1 )F B L M B M BV V x Z Z I x Z I I= − − − − − − 0C
0C
0C
0C
1B
2B
0C
0
0M C
 
( )0 0 0 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 )F B L M B M B MV V x Z Z I x Z I x Z I= − − − − − + − 
( )0 0 0 0 0 0 0(1 ) (1 )F B L M M B MV V x Z Z Z I x Z I= − − − + + − 
0 0 0 0 0(1 ) (1 )F B L B MV V x Z I x Z I= − − + − 
então, 
1 1 1(1 )F B LV V x Z I= − − 
2 2 2(1 )F B LV V x Z I= − − 
0 0 0 0 0(1 ) (1 )F B L A MV V x Z I x Z I= − − + − 
como, 
0021 =++ FFF VVV 
1 2 0 1 1 2 2 0 0 00 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )B B B L B L B L B M CV V V x Z I x Z I x Z I x Z I= + + − − − − − − − − 
1 1 2 2 1 0 1 0 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )L B L B L B L B L B M CVB x Z I x Z I x Z I x Z I x Z I x Z I= − + − + − − − + − − −
 
onde: 21 LL ZZ =
( )1 1 2 0 1 0 0 0 0(1 ) (1 ) (1 ) (1 )B L B B B L B L BV x Z I I I x Z I x Z I x Z I= − + + − − + − − − 
( )1 0 0 1(1 ) (1 ) (1 )B L LB B L L M CV x Z I x I Z Z x Z= − + − − − − 0 0I 
0 1
1 1 1 0
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
3 3
L L RC
B L LB L RB L M
L L
Z Z IV x Z I x Z I x Z Z
Z Z
⎛ ⎞−= − + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
 
logo, 
( )1 0 0(1 )B L LB RB MV x Z I k I k I= − + − RC
2 2BZ I
 
2 2F BV V= −
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assim, 
0 0
1
0 0
(1 ) LB RB M RCBB L
LB RB LB RB
I k I k IVZ x Z
I k I I k I
⎛ ⎞+ −= = − ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 
0
1
0 0
(1 ) 1 M RCBB L
LB RB LB RB
k IVZ x Z
I k I I k I
⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 
 
Cálculo de IC0 
 
( ) ( ) ( )( )MLBMLAMLC ZZxIZZxIZZI 000000000 1 −−−−=− 
como, 
 000 BA III +=
vem, 
( ) ( ) ( )( )( )MLAMLAMLC ZZxIIZZxIZZI 0000000000 1 −−−−−=− 
 
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( MLMLMLAMLC ZZxIZZxZZxIZZI 00000000000 11 )−−−−−+−=−
 
( ) ( )( ) ( )( )MLMLAMLC ZZxIxxZZIZZI 000000000 11 −−−−+−=− 
 
( ) 000 1 IxII AC −−= 
logo, 
( ) ( )( )
( ) ( ) 00000
0000
0 12
12 Ix
ZZZZ
ZZZxZxI
MLSBSA
MLSASB
C ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+++
++−+−= 
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DISTÂNCIA - MUTUAS DE SEQUÊNCIA ZERO.doc 
PROTEÇÃO DE DISTÂNCIA – MÚTUAS DE SEQUÊNCIA ZERO – CICRCUITOS EQUIVALENTES 
 
(IB0‐ IC0) 
I0 
ZSB0 ZSA0 
(1‐x)(ZL0 ‐Z0M) x(ZL0 ‐Z0M) 
(ZL0 ‐Z0M) 
(1‐x)Z0M xZ0M  (IA0+ IC0) 
IA0  IC0  IB0 
I2 
CIRCUITO EQUIVALENTE 
CIRCUITO REAL 
(Z0M) 
 
Ademir Carnevalli Guimarães Página 11 1/12/2009 11
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IA0 
Z0M 
I0 
ZSB0=∞ ZSA0 
(1-x)(ZL0 -Z0M) x(ZL0 -Z0M) 
(ZL0 -Z0M) 
(1-x)Z0M xZ0M (IA0+ IC0) 
IC0 
I2 
IC0 
CIRCUITO EQUIVALENTE 
CIRCUITO REAL 
Ademir Carnevalli Guimarães Página 12 1/12/2009 12
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DISTÂNCIA - MUTUAS DE SEQUÊNCIA ZERO.doc 
Ademir Carnevalli Guimarães Página 13 1/12/2009 13
 
+ 
E1 
IA0 
I0 
ZSB0=∞ 
ZSA0 
(1-x)(ZL0 -Z0M) x(ZL0 -Z0M) 
(ZL0 -Z0M) 
(1-x)Z0M 
xZ0M 
(IA0+ IC0) 
IC0 
IC0 
I2 
CIRCUITO EQUIVALENTE 
Z0M 
CIRCUITO REAL 
0 
E1 E2 E2 
+- 
-
IA0