Sistemas de Potência Apostila de Análise de Sistemas de Potência José T. de Oliveira UFRN

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JOS
�
E TAVARES DE OLIVEIRA
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J
J
J
J
J
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u
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s
s
G
Circuito A
Circuito B
ELEMENTOS B
�
ASICOS
DE
AN
�
ALISE
DE
SISTEMAS
DE
POT
^
ENCIA
[Z] =
6x6 6x6 6x2
Circuito Acoplamento Acoplamento
A-A A-B A-G
Acoplamento Circuito Acoplamento
A-B B-B B-G
6x6 6x6 6x2
Acoplamento Acoplamento Circuito
G-A G-B G-G
2x6 2x6 2x2
i
JOS
�
E TAVARES DE OLIVEIRA
Professor do Departamento de Engenharia El�etrica da UFRN
( Gradua�c~ao e P�os-Gradua�c~ao )
Doutor em Engenharia El�etrica - COPPE - UFRJ - RJ - 1993
Mestre em Engenharia El�etrica - UFPB - C. Grande - PB - 1979
Espec. em Sist. de Pote^ncia - UNICAMP - Campinas - SP - 1978
Engenheiro Eletrot�ecnico - UFRN - RN - 1977
T�ecnico em Eletrot�ecnica - ETFRN - RN - 1972
ELEMENTOS B
�
ASICOS
DE
AN
�
ALISE
DE
SISTEMAS
DE
POT
^
ENCIA
Apostila da Disciplina:
An�alise de Sistemas de Pote^ncia
do Curso de
Engenharia El�etrica
da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
ii
APRESENTAC�
~
AO
Esta Apostila tem como objetivo servir de refere^ncia para a disciplina
AN
�
ALISE DE SISTEMAS DE POT
^
ENCIA do curso de Gradua�c~ao emEngenharia El�etrica
da Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Retrata de forma clara e simpli�cada os t�opicos da ementa, dando todas as
condi�c~oes ao aluno entender e praticar os fundamentos b�asicos necess�arios para a An�alise
de Sistemas de Energia El�etrica.
Quero deixar claro ao leitor, que n~ao �e um trabalho in�edito, mas uma
coleta^nea de assuntos fundamentais que, alguns, foram transcritos da bibliogra�a citada
para n~ao perder a qualidade e n~ao descaracterizar a escrita do autor e que, outros, foram
acrescentados e aperfei�coados para dar uma melhor apresenta�c~ao did�atica.
A bibliogra�a citada no �nal, oferece condi�c~oes ao leitor aprofundar-se no
assunto de interesse espec���co dos ensinamentos apresentados.
Espero que o objetivo seja alcan�cado pelos alunos e o leitor de uma forma
geral e, desde agora, estou a disposi�c~ao de todos para acatar qualquer cr��tica, desde que
venha no sentido de melhorar este trabalho.
"Muita gente critica facilmente, mas n~ao coopera. Esta �e a forma
mais vulgar de sabotar o esfor�co alheio"(xxxxxxxxxxxx).
Natal, 27 de fevereiro de 1998
Jos�e Tavares de Oliveira
iii
�
Indice
1 C
�
ALCULO DE PAR
^
AMETROS LONGITUDINAIS E TRANSVER-
SAIS DE UMA LINHA DE TRANSMISS
~
AO [5, 12] 1
1.1 Induta^ncia de Linhas de Transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Induta^ncia de um Condutor devida ao Fluxo Interno . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Fluxo Envolvido por dois Pontos Externos de um Condutor Isolado . . . . 4
1.4 Induta^ncia de uma Linha a Dois Fios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Fluxo Concatenado com um Condutor de um Grupo de Condutores . . . . 6
1.6 Induta^ncia de uma Linha de Cabos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Induta^ncia de uma Linha Trif�asica com Espa�camento Assim�etrico . . . . . 10
1.8 Induta^ncia de uma Linha com Espa�camento Equilateral . . . . . . . . . . . 11
1.9 Induta^ncia de uma Linha com Espa�camento Assim�etrico com Transposi�c~ao 12
1.10 In
ue^ncia da Terra Considerada um Condutor Perfeito . . . . . . . . . . . 16
1.10.1 Corre�c~ao de Carson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.11 Exerc��cio Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.12 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.13 Capacita^ncia das linhas de Transmiss~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.14 Campo El�etrico de um Condutor Longo e Reto . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.15 Diferen�ca de Potencial entre dois Pontos devido a uma Carga . . . . . . . . 24
1.16 Capacita^ncia de uma Linha a dois Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.17 Diferen�ca de Potencial entre dois Condutores de um Grupo de Condutores
Carregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.18 Efeito da Terra na Capacita^ncia de uma Linha de Transmiss~ao . . . . . . . 27
1.19 Exerc��cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.20 Problemas propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.21 Redu�c~ao �a Linha Equivalente com Tre^s Condutores . . . . . . . . . . . . . 32
1.21.1 Elimina�c~ao de Cabos Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.21.2 Redu�c~ao de Condutores M�ultiplos a um Condutor Equivalente . . 35
1.21.3 Circuitos Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
iv
1.22 Rela�c~oes entre Tens~ao e Corrente numa Linha de Transmiss~ao . . . . . . . 37
1.23 Representa�c~ao das Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.23.1 Linha de Transmiss~ao Curta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.23.2 Linhas de Comprimento M�edio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.23.3 Linhas de Transmiss~ao Longas - Solu�c~ao das Equa�c~oes Diferenciais . 41
1.23.4 Linha de Transmiss~ao Longa - Interpreta�c~ao das Equa�c~oes . . . . . 42
1.23.5 Linha de Transmiss~ao Longa - Forma Hiperb�olica das Equa�c~oes . . 43
1.23.6 Circuito Equivalente de uma Linha Longa . . . . . . . . . . . . . . 44
1.24 Constantes Generalizadas de um Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.25 Exerc��cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.26 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 FORMAC�
~
AO DAS MATRIZES ADMIT
^
ANCIA E IMPED
^
ANCIA DE
BARRA E REDUC�
~
AO DE REDES.[4, 12] 52
2.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Fontes Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Equa�c~oes Nodais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Redu�c~ao de Redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5 Medi�c~ao dos Elementos das Matrizes Impeda^ncia e Admita^ncia de Barra . 63
2.6 Modi�ca�c~ao de uma Matriz Impeda^ncia de Barra . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Determina�c~ao Direta de uma Matriz Impeda^ncia de Barra . . . . . . . . . 71
3 ESTUDO DE FLUXO DE CARGA [1, 2] 76
3.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Equa�c~oes B�asicas de Fluxo de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 M�etodo de Gauss e Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 M�etodo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.1 Aplica�c~oes �as equa�c~oes de Fluxo de Pote^ncia . . . . . . . . . . . . . 90
3.4.2 M�etodo de Newton-Raphson: Coordenadas Cartesianas . . . . . . 92
3.4.3 M�etodo de Newton-Raphson: Coordenadas Polares . . . . . . . . . 96
3.4.4 Considera�c~oes Finais sobre o M�etodo de Newton-Raphson . . . . . 101
3.5 Fluxo de Carga Desacoplado R�apido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
v
4 CURTO-CIRCUITO[11] 108
4.1 Equa�c~oes B�asicas de C�alculo de Curto-Circuito . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Impeda^ncias de Seque^ncia Positiva, Negativa e Zero . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.1 Impeda^ncia de seque^ncia positiva (Z
1
) . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.2 Impeda^ncia de seque^ncia negativa (Z
2
) . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.3 Impeda^ncia de seque^ncia zero (Z
0
) .. . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 Equa�c~oes B�asicas de C�alculo de Curto-Circuito . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Curto-Circuito Trif�asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.5 Curto-Circuito Monof�asico �a Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6 Curto-Circuito Bif�asico sem Contato com a Terra . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7 Curto-Circuito Bif�asico em Contato com a
Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.8 An�alise Comparativa dos Casos de
Curto-Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.8.1 Redes com Neutro Isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.8.2 Redes com Ponto Neutro do Sistema Aterrado
Indutivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.8.3 Redes com Ponto Neutro do Sistema Rigidamente
Aterrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.9 A Varia�c~ao da Corrente de Curto-Circuito em Fun�c~ao do Tempo . . . . . . 132
4.10 Grandezas Caracter��sticas do Processo de Amortecimento . . . . . . . . . . 134
4.10.1 Reata^ncias do gerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.10.2 As constantes de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.10.3 C�alculo dos valores instanta^neos das correntes de curto-circuito . . 137
4.11 Problema Proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5 M
�
ETODOSMATRICIAIS PARA A SOLUC�
~
AO DE FALTAS TRANSVER-
SAIS E DEFEITOS LONGITUDINAIS[2, 10] 139
5.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Equacionamento em Grandezas de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3 Equacionamento em Termos de Componentes Sim�etricos . . . . . . . . . . 146
5.4 Obten�c~ao das Equa�c~oes em Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4.1 Defeito trif�asico envolvendo a terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.2 Defeito trif�asico equilibrado n~ao envolvendo a Terra . . . . . . . . . 150
vi
5.4.3 Falta dupla-fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4.4 Curto fase-terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.5 Hip�oteses Simpli�cadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6 Defeitos Longitudinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6.1 Condi�c~ao de Circuito Aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.6.2 Abertura de uma fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.6.3 Abertura de duas fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6 AN
�
ALISE DE CONTING
^
ENCIAS[2] 164
6.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.2 Fluxo de Pote^ncia em Corrente Cont��nua (FPDC) . . . . . . . . . . . . . . 165
6.3 Continge^ncias Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4 C�alculo de Fluxo de Pote^ncia para a Rede Modi�cada Devido a Con-
tinge^ncias M�ultiplas - M�etodo da Compensa�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.5 An�alise de Continge^ncias pelo M�etodo da Matriz de Impeda^ncias Nodais . 174
6.5.1 An�alise de sobrecargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7 ESTABILIDADE EM SISTEMAS DE POT
^
ENCIA[12] 183
7.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 O Problema da Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3 Dina^mica do Rotor e a Equa�c~ao de Oscila�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.4 Considera�c~oes Adicionais da Equa�c~ao de Oscila�c~ao . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5 A Equa�c~ao do
^
Angulo de Pote^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.6 Coe�cientes de Pote^ncia Sincronizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.7 Crit�erio das
�
Areas Iguais na An�alise de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . 202
7.8 Aplica�c~oes Adicionais do Crit�erio das
�
Areas Iguais . . . . . . . . . . . . . . 209
7.9 Estudo de Estabilidade Multim�aquina: Representa�c~ao Cl�assica . . . . . . . 211
7.10 Solu�c~ao por Passos da Curva de Oscila�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.11 Programa de Computador Digital para Estudo de Estabilidade Transit�oria. 226
Refere^ncias Bibliogr�a�cas 229
vii
Cap��tulo 1
C
�
ALCULO DE PAR
^
AMETROS
LONGITUDINAIS E
TRANSVERSAIS DE UMA LINHA
DE TRANSMISS
~
AO [5, 12]
1.1 Induta^ncia de Linhas de Transmiss~ao
Uma linha de transmiss~ao de energia el�etrica possui quatro para^metros
que in
uem decisivamente no transporte da energia el�etrica. Estes para^metros s~ao a
resiste^ncia, a induta^ncia, a capacita^ncia e a conduta^ncia.
A resiste^ncia �e um para^metro inerente ao tipo e �a bitola do condutor que
�e utilizado na linha, experimentando pequenas varia�c~oes com a temperatura do condutor
e a freque^ncia do sistema.
O valor da induta^ncia depende exclusivamente da geometria da linha e do
meio no qual se encontram os condutores.
�
E, pode-se dizer o para^metro mais importante
da linha uma vez que �e sempre levado em considera�c~ao qualquer que seja a an�alise que se
proceda no estudo de linhas, obviamente na an�alise de circuitos CA.
A capacita^ncia assume importa^ncia no estudo de desempenho de linhas
quando se veri�cam tens~oes superiores a 34,5 kV e comprimentos superiores a 80 km
em tais linhas. Pode-se desprezar este para^metros para linhas com n��veis de tens~oes e
comprimentos inferiores a estes.
A conduta^ncia s�o merece considera�c~ao quando os n��veis de tens~ao s~ao
elevados, em virtude das perdas por ela provocada, nas linhas com baixo n��vel de tens~ao,
serem insigni�cantes. No racioc��nio que se segue, somente ser~ao consideradas tens~oes e
correntes alternadas e senoidais e linhas a�ereas. Nenhum estudo ser�a realizado para linhas
em cabos tripolares usados em distribui�c~ao e transmiss~ao subterra^neas.
1
1.2 Induta^ncia de um Condutor devida ao Fluxo In-
terno
Admitindo-se a se�c~ao transversal de um condutor cil��ndrico, de compri-
mento in�nito e sufucientemente distante de quaisquer outros condutores e do solo para
n~ao afetar o campo magn�etico do condutor considerado, uma corrente I(A) percorrendo
este condutor produzir�a linhas de 
uxo magn�etico que ser~ao conce^ntricas ao condutor.
Linhas de 
uxo no interior do condutor, tamb�em existir~ao envolvendo cada uma parcela
da corrente total que circula pelo condutor.
&%
'$
��
��
�
��
- �
-
6
?
r
dx
H
x
Fluxo d�
x
Figura 1.1: Fluxo no interior de um Condutor
Considerando-se apenas uma linha de 
uxo no interior do condutor a
uma dista^ncia x do seu centro, a componente tangencial da intensidade de campo H
x
,
tangenciando naturalmente a linha de 
uxo d', ser�a dada por:
H
x
=
I
x
2�x
(1.1)
onde:
H
x
- vetor intensidade de campo magn�etico
I
x
- valor e�caz da corrente envolvida pela linha de 
uxo d'.
Admitindo-se densidade de corrente uniforme, pode-se dizer que:
I
�r
2
=
I
x
�x
2
ou
I
x
=
x
2
r
2
I: (1.2)
Substituindo a equa�c~ao ( 1.2 ) na equa�c~ao ( 1.1 ), tem-se
H
x
=
x
2�r
2
� I amp�eres � espiras=metro (1.3)
2
A intensidade de campo em um ponto qualquer de um campo magn�etico
pode ser relacionada com a intensidade de 
uxo ou indu�c~ao magn�etica naquele ponto
atrav�es da constante de permeabilidade magn�etica do meio.
1
Assim, a densidade de 
uxo a x metros do centro do condutor �e
B
x
= �Hx
=
�x � I
2�r
2
Wb=m
2
(1.4)
No elemento tubular de espessura dx, o 
uxo d' �e B
x
vezes a �area da
se�c~ao transversal do elemento, normal �as linhas de 
uxo. A �area desta se�c~ao ser�a dada
por dA = dx � l onde l = comprimento do condutor. Se o comprimento do condutor for
considerado unit�ario, i.e, l = 1 metro, tem-se dA = dx. O 
uxo d', portanto, ser�a igual
a
d' = B � dA =
� � x � I
2�r
2
� dx (webers=metro)
Da teoria eletromagn�etica sabe-se que o 
uxo que provoca uma diferen�ca
de potencial, quando, varia �e aquele que envolve uma corrente ou parte dela ( e = d�=dt ).
Em uma espira, por exemplo, o 
uxo que provoca uma d.d.p. nos seus terminais �e o 
uxo
contido no interior da espira, produzido pela corrente que circula na mesma. As linhas
de 
uxo que envolvem toda a espira n~ao contribuem para o aparecimento da diferen�ca
de potencial nos seus terminais. Sabe-se tamb�em que esta d.d.p. est�a relacionada com a
induta^ncia da espira (e = Ldi=dt ). Assim esta induta^ncia est�a diretamente relacionada
com o 
uxo envolvido pela espira (L = d�=di). Cada linha de 
uxo envolve a corrente que
circula na espira uma vez. Se, em vez de uma espira apenas, tem-se duas espiras em s�erie
e justaposta formando uma bobina, cada linha de 
uxo envolvido pela bobina envolveria
duas vezes a corrente que circula em cada espira. Assim, o 
uxo envolvido seria o produto
do n
o
�
de espira ou n
o
�
de vezes que a linha de 
uxo envolve a corrente da bobina pelo valor
da linha de 
uxo. Por exemplo, uma linha de 
uxo de 1 weber envolvendo 100 espiras de
uma bobina, contribuiria para o 
uxo envolvido com 100 webers-espiras.
Para o estudo da induta^ncia devida ao 
uxo interno, deve-se lembrar que
cada linha de 
uxo d' envolve apenas parte da corrente ou da espira. Desta forma, deve-
se multiplicar o 
uxo d' pela fra�c~ao de corrente ou espira envolvida. Esta fra�c~ao �e
x
2
r
2
.
Tem-se ent~ao
d	 = d'
x
2
r
2
=
�Ix
3
2�r
4
dx webers � espiras=metro
A �m de determinar o 
uxo interno total, deve-se integrar os elementos
de 
uxo envolvido desde o centro at�e a periferia do condutor, ou seja:
	
int
=
Z
r
0
�Ix
3
2�r
4
dx =
�I
8�
webers � espiras=metro
Para permeabilidade unit�aria, � = 4� � 10
�7
H/m, e
	
int
=
I
2
� 10
�7
weber � espiras=metro (1.5)
1
Permeabilidade no v�acuo �e
�
0
= 4� � 10
�7
henry/metro e �
r
= �=�
0
.
3
ou
L
int
=
1
2
� 10
�7
H=m
Constata-se, para o caso de condutores cil��ndricos, que a induta^ncia devida
ao 
uxo interno �e sempre constante e independente do raio do condutor.
1.3 Fluxo Envolvido por dois Pontos Externos de um
Condutor Isolado
De maneira ide^ntica �a anterior, ou seja, considerando-se um condutor
percorrido por uma corrente I(A) que produzir�a linhas de 
uxo conce^ntricas e externas ao
condutor, 
uxo este que se estende, com intensidade decrescente, desde a sua superf��cie,
at�e assumir valor nulo no in�nito.
"!
# 
B
B
�
�
�
�
�
�
�3
-�
�
�
�
�
�
�
�
�:
C
C
C
CO
�
�
�9
�
�
��
 
 
hh
P
1
P
2
D
1
D
2
d�
x
dx
H
x
A
AK
r
Figura 1.2: Fluxo envolvido entre dois pontos externos de um condutor isolado
Para se determinar a parcela de 
uxo envolvida por dois pontos colocados
na parte externa do condutor a dista^ncias D
1
e D
2
metros do centro, pode-se imaginar
que esta parcela esteja entre duas linhas de 
uxo conce^ntricas ao condutor, passando cada
linha por um ponto. Numa linha de 
uxo entre os dois pontos considerados existir�a uma
intensidade de campo H
x
que a tangencia assumindo o valor
H
x
=
I
2�x
amp�eres � espiras=metro
A densidade de 
uxo �e
B
x
=
�I
2�x
webers=m
2
Observe-se agora que toda a corrente envolvida pela linha de 
uxo d', o �e apenas uma
vez. Assim, o 
uxo d' �e numericamente igual ao 
uxo envolvido d	. Assim, o 
uxo total
envolvido entre os pontos P
1
e P
2
ser�a
	
12
=
Z
D
2
D
1
�I
2�x
dx =
�I
2�
ln
D
2
D
1
webers � espiras=metro
ou
	
12
= 2 � I � 10
�7
ln
D
2
D
1
webers � espiras=metro (1.6)
logo
L
12
= 2� 10
�7
ln
D
2
D
1
H=m
4
1.4 Induta^ncia de uma Linha a Dois Fios
Considere-se, agora, uma linha monof�asica a dois �os, separados por uma
dista^ncia D(m) e com raios r
1
e r
2
.
��
��
&%
'$
6
�
-
I -I
D
1
2
r
1
r
2
Figura 1.3: Linha monof�asica a dois �os
Para simpli�car a determina�c~ao da induta^ncia da linha, pode-se considerar
D muito maior que r
1
e r
2
e a densidade de 
uxo aproximadamente uniforme. O 
uxo
produzido pela corrente no condutor 1, compreendido at�e o centro do condutor 2, envolve
toda a corrente I. Todas as linhas do 
uxo que ultrapassa este ponto n~ao envolve nenhuma
corrente e n~ao ser�a considerada portanto.
Na pr�atica, as linhas de 
uxo pr�oximas ao condutor apresentam uma
pequena distor�c~ao, que n~ao ser�a considerada.
Se for utilizada a express~ao ( 1.6 ) para a determina�c~ao do 
uxo 	
12
envolvido pelos condutores 1 e 2, fazendo o ponto P
1
coincidir com a superf��cie do condutor
1 e P
2
com o centro do condutor 2, o 
uxo externo ao condutor 1 devido �a corrente que
por ele circula ser�a:
	
1;ext
= 2I � 10
�7
ln
D
r
1
webers � espiras=metro
O 
uxo interno do condutor 1 vale de ( 1.5 )
	
1;int
=
I
2
� 10
�7
Todo o 
uxo produzido pela corrente I no condutor 1 ser�a
	
1
= 	
1;int
+	
1;ext
ou
	
1
= 2I � 10
�7
ln
D
r
1
+
I
2
� 10
�7
Considerando 2I � 10
�7
em evide^ncia, tem-se
	
1
= 2I � 10
�7
(ln
D
r
1
+
1
4
)
onde ln �
1
4
=
1
4
.
5
Assim, o 
uxo produzido pela corrente no condutor 1 valer�a
	
1
= 2I � 10
�7
ln
D
r
1
�
�
1
4
webers � espiras=metro
Fazendo r
1
�
�
1
4
= r
0
1
, onde r
0
1
corresponde a um condutor �ct��cio, por�em
com a mesma induta^ncia do condutor real sem 
uxo interno entretanto, �a induta^ncia do
condutor 1 considerado isoladamente �e:
L
1
=
	
1
I
ou
L
1
= 2 � 10
�7
ln
D
r
0
1
H=m
Para se determinar a induta^ncia do condutor 2 devida �a corrente que por
ele circula (-I), deve-se proceder da mesma maneira, ou seja: o ponto P
1
deve ser colocado
na superf��cie do condutor 2 e o ponto P
2
no centro do condutor 1. No �nal, chega-se �a
seguinte express~ao para a induta^ncia do condutor 2:
L
2
= 2 � 10
�7
ln
D
r
0
2
H/m
Observa-se que as correntes nos condutores est~ao defasadas de 180
0
. Isto conduz a uma
soma de 
uxos envolvidos para a determina�c~ao da induta^ncia total, deve-se somar as
induta^ncias dos dois condutores.
L
T
= L
1
+ L
2
ou
L
T
= 2� 10
�7
(ln
D
r
0
1
+ ln
D
r
0
2
)
Assim
L
T
= 4 � 10
�7
ln
D
q
r
0
1
r
0
2
se r
0
1
= r
0
2
= r
0
, tem-se
L
T
= 4 � 10
�7
ln
D
r
0
: H/m
1.5 Fluxo Concatenado com um Condutor de um
Grupo de Condutores
Vejamos agora um caso mais geral, que �e o de um condutor pertecente a
um grupo de condutores, no qual a soma das correntes individuais�e nula. A Figura 1.4
6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
j`z
z
z
z
u
3
2
1
n
P
D
3p
D
2p
D
1p
D
np
Figura 1.4: Grupo de n condudores isolados
ilustra a situa�c~ao. Os condutores 1, 2, 3, � � � , n conduzem as correntes fasoriais I
1
, I
2
, I
3
,
� � � , I
n
. Suas dista^ncias a um ponto P afastado s~ao designadas por D
1P
, D
2P
, D
3P
, � � � ,
D
nP
.
Vamos determinar o 
uxo concatenado com o condutor 1 devido �a corrente
I
1
incluindo o 
uxo interno, excluindo por�em todo o 
uxo al�em do ponto P; Iremos
design�a-lo por 	
1P1
.
Temos que:
	
1P1
= 2 � 10
�7
�
I
1
4
+ I
1
ln
D
1P
r
1
�
	
1P1
= 2 � 10
�7
� I
1
ln
D
1P
r
0
1
O 
uxo concatenado 	
1P2
com o condutor 1, devido a I
2
, por�em excluindo
o 
uxo al�em de P, �e igual ao 
uxo produzido por I
2
entre o ponto P e o condutor 1.
	
1P2
= 2� 10
�7
I
2
ln
D
2P
D
12
:
O 
uxo 	
1P
, concatenado com o condutor 1, devido a todos condutores do grupo, ex-
cluindo o 
uxo al�em de P, �e:
	
1P
= 2 � 10
�7
 
I
1
� ln
D
1P
r
0
1
+ I
2
� ln
D
2P
D
12
+ I
3
� ln
D
3P
D
13
+ � � �+ I
n
� ln
D
nP
D
1n
!
Expandindo os termos logaritmos e reagrupando-os, temos;
	
1P
= 2� 10
�7
(I
1
� ln
1
r
0
1
+ I
2
� ln
1
D
12
+ I
3
� ln
1
D
13
+ � � �+ I
n
� ln
1
D
1n
+
I
1
� lnD
1P
+ I
2
� lnD
2p
+ I
3
� lnD
3p
+ � � �+ I
n
� lnD
np
)
7
Sendo nula a soma dos fasores corrente,
I
1
+ I
2
+ I
3
+ � � �+ I
n
= 0, obtemos, I
n
= �(I
1
+ I
2
+ I
3
+ � � � + I
n�1
), teremos,
	
1P
= 2� 10
�7
�
I
1
� ln
1
r
0
+ I
2
� ln
1
D
12
+ I
3
� ln
1
D
13
+ � � �+ I
n
� ln
1
D
1n
�
+
2 � 10
�7
 
I
1
� ln
D
1P
D
np
+ I
2
� ln
D
2p
D
np
+ I
3
� ln
D
3p
D
np
+ � � � + I
n�1
� ln
D
(n�1)p
D
np
!
:
Fazendo o ponto P mover-se para bem longe, de modo que o conjunto dos
termos contendo logaritmos de rela�c~oes das dista^ncias a partir de P torne-se in�nitesimal,
uma vez que essas rela�c~oes tendem a 1, teremos:
	
1P
= 2� 10
�7
(I
1
� ln
1
r
0
1
+ I
2
� ln
1
D
12
+ I
3
� ln
1
D
13
+ � � � + I
n
� ln
1
D
1n
) W
b
� esp=m
1.6 Induta^ncia de uma Linha de Cabos
N�umeros de �os que comp~oe um cabo �e dado por N = 3x
2
� 3x+1, onde
x �e o n�umeros de coroas, incluindo a central, constitu��da por um �unico �o condutor.
��
��
��
��
x
x
x x
x
x
xx
X
Y
a
b
c
n
a
0
b
0
c
0
m
Figura 1.5: Linha monof�asica constitu��da por dois cabos compostos por v�arios condutores
A Figura 1.5 mostra uma linha monof�asica composta por dois cabos.
Para maior generalidade, cada cabo �e mostrado como um arranjo arbitr�ario de um n�umero
inde�nido de condutores. A �unica restri�c~ao imposta �e que os condutores paralelos sejam
cil��ndricos e dividam igualmente a corrente. O cabo X �e composto por n condutores,
paralelos e ide^nticos, cada um conduzindo a corrente I/n; o cabo Y, retorno para a corrente
emX, �e constitu��do por m condutores, tamb�em ide^nticos e paralelos, cada qual conduzindo
-I/m.
Para o condutor a do cabo X, obtemos para o 
uxo com ele concatenado
8
	
a
= 2 � 10
�7
I
n
 
ln
1
r
0
a
+ ln
1
D
ab
+ ln
1
D
ac
+ � � �+ ln
1
D
an
!
+
� 2 � 10
�7
I
m
�
ln
1
D
aa
0
+ ln
1
D
ab
0
+ ln
1
D
ac
0
+ � � �+ ln
1
D
am
�
; :
onde teremos:
	
a
= 2� 10
�7
� I � ln
0
@
m
p
D
aa
0
�D
ab
0
�D
ac
0
� � �D
am
n
q
r
0
a
�D
ab
�D
ac
� � �D
an
1
A
webers � espiras=metro
Dividindo a express~ao acima pela corrente I/n, teremos a induta^ncia do
condutor a
L
a
=
	
a
I=n
= 2 � n � 10
�7
ln
0
@
m
p
D
aa
0
�D
ab
0
�D
ac
0
� � �D
am
n
q
r
0
a
�D
ab
�D
ac
� � �D
an
1
A
H/m
An�alogamente, a induta^ncia do condutor b �e:
L
b
=
	
b
I=n
= 2 � n� 10
�7
ln
0
@
m
p
D
ba
0
�D
bb
0
�D
bc
0
� � �D
bm
n
q
r
0
b
�D
ba
�D
bc
� � �D
bn
1
A
A induta^ncia m�edia dos condutores de X �e:
L
av
=
L
a
+ L
b
+ L
c
+ � � �+ L
n
n
O cabo X �e composto por n condutores em paralelo. Se todos tivessem
a mesma induta^ncia, a induta^ncia do cabo seria 1/n vezes a induta^ncia de um condutor.
Como estas induta^ncias s~ao diferentes, a induta^ncia de todos eles em paralelo �e 1/n vezes
a induta^ncia m�edia. Logo:
L
X
=
L
av
n
=
L
a
+ L
b
+ L
c
+ � � �+ L
n
n
2
Assim:
L
X
= 2 � 10
�7
ln
D
m
D
s
H/m
9
Sendo:
D
m
=
mn
q
(D
aa
0
�D
ab
0
�D
ac
0
� � �D
am
) � (D
ba
0
�D
bb
0
�D
bc
0
� � �D
bm
) � � � (D
na
0
�D
nb
0
�D
nc
0
� � �D
nm
)
D
m
= DMG ! Designada por Dista^ncia M�edia Geom�etrica
e
D
s
=
n
2
q
(D
aa
�D
ab
�D
ac
� � �D
an
) � (D
ba
�D
bb
�D
bc
� � �D
bn
) � � � (D
na
�D
nb
�D
nc
� � �D
nn
)
D
s
= RMG ! Designado Raio M�edio Geom�etrico.
A induta^ncia do condutor Y ( L
Y
) �e determinada de maneira an�aloga e
a induta^ncia total da linha �e dada por:
L
T
= L
X
+ L
Y
H/m
1.7 Induta^ncia de uma Linha Trif�asica com Espa�ca-
mento Assim�etrico
At�e agora v��nhamos considerando apenas linhas monof�asicas. No entanto,
as equa�c~oes que encontramos podem ser adaptadas, sem maiores di�culdades, para o
c�alculo da induta^ncia de linhas trif�asicas.
Consideremos uma linha de acordo com o espa�camento da Figura 1.6.
��
��
��
��
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
S
S
S
S
S
S
S
S
S
I
a
I
b
I
c
1
2 3
D
12
D
13
D
23
Figura 1.6: Linha trif�asica com espa�camento Assim�etrico
O 
uxo concatenado com o condutor a devido �as correntes I
a
, I
b
e I
c
�e
dado por:
	
a
= 2� 10
�7
� (I
a
� ln
1
r
0
a
+ I
b
� ln
1
D
12
+ I
c
� ln
1
D
13
)
10
Para o condutor b e c !
	
b
= 2� 10
�7
� (I
a
� ln
1
D
12
+ I
b
� ln
1
r
0
b
+ I
c
� ln
1
D
23
)
e
	
c
= 2� 10
�7
� (I
a
� ln
1
D
13
+ I
b
� ln
1
D
23
+ I
c
� ln
1
r
0
c
)
Passando para a forma matricial, teremos:
[	] =
2
6
4
	
a
	
bc
3
7
5
= 2� 10
�7
�
2
6
6
4
ln
1
r
0
a
ln
1
D
12
ln
1
D
13
ln
1
D
12
ln
1
r
0
b
ln
1
D
23
ln
1
D
13
ln
1
D
23
ln
1
r
0
c
3
7
7
5
:
2
6
4
I
a
I
b
I
c
3
7
5
Ou numa forma mais compacta:
[	] = [L][I]
Sendo [L] a matriz de induta^ncia dada por:
[L] = 2� 10
�7
�
2
6
6
4
ln
1
r
0
a
ln
1
D
12
ln
1
D
13
ln
1
D
12
ln
1
r
0
b
ln
1
D
23
ln
1
D
13
ln
1
D
23
ln
1
r
0
c
3
7
7
5
1.8 Induta^ncia de uma Linha com Espa�camento E-
quilateral
Consideremos D
12
= D
13
= D
23
= D. Assim sendo teremos o 
uxo
concatenado nos tre^s condutores dado por:
	
a
= 2� 10
�7
� (I
a
� ln
1
r
0
a
+ I
b
� ln
1
D
+ I
c
� ln
1
D
)
	
b
= 2� 10
�7
� (I
a
� ln
1
D
+ I
b
� ln
1
r
0
b
+ I
c
� ln
1
D
)
e
11
	
c
= 2� 10
�7
� (I
a
� ln
1
D
+ I
b
� ln
1
D
+ I
c
� ln
1
r
0
c
)
Onde na forma matricial �e dado por:
[	] =
2
6
4
	
a
	
b
	
c
3
7
5
= 2� 10
�7
�
2
6
4
ln
1
r
0
a
ln
1
D
ln
1
D
ln
1
D
ln
1
r
0
b
ln
1
D
ln
1
D
ln
1
D
ln
1
r
0
c
3
7
5
:
2
6
4
I
a
I
b
I
c
3
7
5
Admitindo que n~ao exista �o neutro, ou correntes fasorias equilibradas,
I
a
+ I
b
+ I
c
= 0, teremos que I
a
= �(I
b
+ I
c
), logo:
	
a
= 2� 10
�7
"
I
a
ln
1
r
0
a
+ (I
b
+ I
c
) � ln
1
D
#
;
	
a
= 2 � 10
�7
 
I
a
ln
1
r
0
a
� I
a
� ln
1
D
!
ou
	
a
= 2� 10
�7
� I
a
� ln
D
r
0
a
Logo:
L
a
= 2 � 10
�7
� ln
D
r
0
a
H/m
Fazendo o mesmo para a fase b e c, teremos:
L
b
= 2� 10
�7
� ln
D
r
0
b
H/m
e
L
c
= 2 � 10
�7
� ln
D
r
0
c
H/m
1.9 Induta^ncia de uma Linha com Espa�camento As-
sim�etrico com Transposi�c~ao
Quando os espa�camentos de uma linha trif�asica n~ao forem iguais, a de-
termina�c~ao da induta^ncia torna-se mais complicada. Neste caso, o 
uxo concatenado e
12
a induta^ncia correspondente a cada fase n~ao s~ao os mesmo. Uma induta^ncia diferente
em cada fase faz com que o circuito seja desequilibrado e resulta na indu�c~ao de tens~oes
em linhas de comunica�c~oes adjacentes, mesmo quando as correntes estiverem equilibradas.
Estas caracter��sticas indesej�aveis podem ser superadas pela troca de posi�c~oes entre os con-
dutores em intervalos regulares ao longo da linha, de tal modo que cada condutor ocupe
a posi�c~ao original de cada um em dista^ncias iguais. Tal troca de posi�c~oes �e chamada de
transposi�c~ao. A Figura 1.7 mostra um ciclo completo de transposi�c~ao.
�
�
�
�
�
�
L
L
L
e
e
e �
�
�
�
�
�
S
S
S
A
A
A
a c
b
ca
b
c
b
a
pos.3pos.2pos.1
Figura 1.7: Linha Trif�asica Assim�etrica com Transposi�c~ao
Consideremos o primeiro trecho da linha na pos. 1, conforme a disposi�c~ao
dos condutores da Figura 1.8.
��
��
��
��
��
��
I
a
1
I
b
I
c
2 3
pos.1
Figura 1.8: Linha Trif�asica Assim�etrica com Transposi�c~ao na posi�c~ao 1
O 
uxo concatenado com os condutores �e dado na forma matricial por:
[	
1
] =
2
6
4
	
a1
	
b1
	
c1
3
7
5
= 2� 10
�7
�
2
6
4
ln
1
r
0
ln
1
D
12
ln
1
D
13
ln
1
D
12
ln
1
r
0
ln
1
D
23
ln
1
D
13
ln
1
D
23
ln
1
r
0
3
7
5
:
2
6
4
I
a
I
b
I
c
3
7
5
13
Na posi�c~ao 2
��
��
��
��
��
��
I
c
1
I
a
I
b
2 3
pos.2
Figura 1.9: Linha Trif�asica Assim�etrica com Transposi�c~ao na posi�c~ao 2
[	
2
] =
2
6
4
	
a2
	
b2
	
c2
3
7
5
= 2 � 10
�7
�
2
6
4
ln
1
r
0
ln
1
D
23
ln
1
D
12
ln
1
D
23
ln
1
r
0
ln
1
D
13
ln
1
D
12
ln
1
D
13
ln
1
r
0
3
7
5
:
2
6
4
I
a
I
b
I
c
3
7
5
Na posi�c~ao 3
��
��
��
��
��
��
I
b
1
I
c
I
a
2 3
pos.3
Figura 1.10: Linha Trif�asica Assim�etrica com Transposi�c~ao na posi�c~ao 3
[	
3
] =
2
6
4
	
a3
	
b3
	
c3
3
7
5
= 2 � 10
�7
�
2
6
4
ln
1
r
0
ln
1
D
13
ln
1
D
23
ln
1
D
13
ln
1
r
0
ln
1
D
12
ln
1
D
23
ln
1
D
12
ln
1
r
0
3
7
5
:
2
6
4
I
a
I
b
I
c
3
7
5
O 
uxo m�edio concatenado com os condutores ao longo da linha �e:
[	] =
[	
1
] + [	
2
] + [	
3
]
3
:
Assim,
14
[	] =
k�
2
6
4
3 ln
1
r
0
(ln
1
D
12
+ ln
1
D
23
+ ln
1
D
13
)
(ln
1
D
12
+ ln
1
D
23
+ ln
1
D
13
)
(ln
1
D
12
+ ln
1
D
23
+ ln
1
D
13
)
3 ln
1
r
0
(ln
1
D
12
+ ln
1
D
23
+ ln
1
D
13
)
(ln
1
D
12
+ ln
1
D
23
+ ln
1
D
13
)
(ln
1
D
12
+ ln
1
D
23
+ ln
1
D
13
3 ln
1
r
0
)
3
7
5
:
2
6
4
I
a
I
b
I
c
3
7
5
Sendo:
k =
2
3
� 10
�7
e
[	] =
2
6
4
	
a
	
b
	
c
3
7
5
Ou, numa forma mais simpli�cada:
[	] =
2
6
4
	
a
	
b
	
c
3
7
5
= 2� 10
�7
�
2
6
6
4
ln
1
r
0
ln
1
3
p
D
12
�D
23
�D
13
ln
1
3
p
D
12
�D
23
�D
13
ln
1
3
p
D
12
�D
23
�D
13
ln
1
r
0
ln
1
3
p
D
12
�D
23
�D
13
ln
1
3
p
D
12
�D
23
�D
13
ln
1
3
p
D
12
�D
23
�D
13
ln
1
r
0
3
7
7
5
:
2
6
4
I
a
I
b
I
c
3
7
5
Substituindo
3
p
D
12
�D
23
�D
13
por D
eq
, teremos:
[	] =
2
6
4
	
a
	
b
	
c
3
7
5
= 2� 10
�7
�
2
6
6
4
ln
1
r
0
ln
1
D
eq
ln
1
D
eq
ln
1
D
eq
ln
1
r
0
ln
1
D
eq
ln
1
D
eq
ln
1
D
eq
ln
1
r
0
3
7
7
5
:
2
6
4
I
a
I
b
I
c
3
7
5
A matriz induta^ncia �e dada por:
[L] = 2� 10
�7
�
2
6
6
4
ln
1
r
0
ln
1
D
eq
ln
1
D
eq
ln
1
D
eq
ln
1
r
0
ln
1
D
eq
ln
1
D
eq
ln
1
D
eq
ln
1
r
0
3
7
7
5
Na condi�c~ao de I
a
+ I
b
+ I
c
= 0, ou que n~ao exista condutor neutro,
teremos:
L
a
= 2� 10
�7
ln
D
eq
r
0
, L
b
= 2� 10
�7
ln
D
eq
r
0
eL
c
= 2 � 10
�7
ln
D
eq
r
0
ou
L
a
= L
b
= L
c
= L.
15
1.10 In
ue^ncia da Terra Considerada um Condutor
Perfeito
A perturba�c~ao causada pela proximidade da terra no campo magn�etico
criado pelas correntes nos condutores de uma linha de transmiss~ao �e pequena, desde que
n~ao haja corrente de retorno pela terra. Por esta raz~ao no c�alculo da induta^ncia de uma
linha de transmiss~ao, para a qual a circula�c~ao de corrente pela terra �e desprez��vel, a
in
ue^ncia da terra n~ao �e considerada.
No caso de se considerar o retorno de corrente pela terra, a in
ue^ncia
desse feno^meno no valor da induta^ncia �e obtido, assumindo-se a terra como um condutor
perfeito ( � = 0), usando-se o m�etodo das imagens.
Consideremos o sistema multicondutor mostrado na Figura 1.11, com os
respectivo condutores imagens.
x
x
x
x
x
x
x
x
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
X
X
X
X
X
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
3
n
1
0
2
0
3
0
n
0
I
1
I
2
I
3
I
n
�I
1
�I
2
�I
3
�I
n
D
11
0
D
12
0
D
13
0
D
1n
0
D
12
D
13
Figura 1.11: Linha com n condutores e suas respectivas imagens considerando a terra
um condutor perfeito
O 
uxo concatenado com o condutor 1 devido �a corrente I
1
e as outras
correntes, considerando as imagens, �e dado por:
16
	
1
= 2� 10
�7
 
I
1
ln
1
r
0
1
� I
1
ln
1
D
11
0
+ I
2
ln
1
D
12
� I
2
ln
1
D
12
0
+ (1.7)
I
3
ln
1
D
13
� I
3
ln
1
D
13
0
+ I
n
ln
1
D
1n
� I
n
ln
1
D
1n
0
�
Arrumando os logaritimos de mesmo coe�ciente, teremos:
	
1
= 2 � 10
�7
 
I
1
ln
D
11
0
r
0
1
+ I
2
ln
D
12
0
D
12
+ I
3
ln
D
13
0
D
13
+ I
n
ln
D
1n
0
D
1n
!
Fazendo o mesmo arranjo nos outros condutores e colocando na forma
matricial, teremos:
2
6
6
6
4
	
1
	
2
	
3
	
n
3
7
7
7
5
= 2 � 10
�7
2
6
6
6
6
6
4
ln
D
11
0
r
0
1
ln
D
21
0
D
21
ln
D
31
0
D
31
ln
D
n1
0
D
n1
ln
D
12
0
D
12
ln
D
22
0
r
0
2
ln
D
32
0
D
32
ln
D
n2
0
D
n2
ln
D
13
0
D
13
ln
D
23
0
D
23
ln
D
33
0
r
0
3
ln
D
n3
0
D
n3
ln
D
1n
0
D
1n
ln
D
2n
0
D
2n
ln
D
3n
0
D
3n
ln
D
nn
0
r
0
n
3
7
7
7
7
7
5
:
2
6
6
6
4
I
1
I
2
I
3
I
n
3
7
7
7
5
A matriz induta^ncia �e dada na forma acima, e os elementos s~ao dados por
L
ij
= 2 � 10
�7
ln
D
ij
0
D
ij
Onde:
D
ij
=
(
i = j : Raio m�edio Geom�etrico do condutor i
i 6= j : Dista^ncia entre os condutores i e j
D
ij
0
= Dista^ncia entre o condutor i e a imagem do condutor j.
Para uma linha operando em regime estacion�ario senoidal, a matriz de
impeda^ncia s�erie, ser�a ent~ao, dada por:
[Z] = [R] + |![L]
Onde [R] �e uma matriz diagonal cujos elementos s~ao as resiste^ncias dos
condutores, e [L] �e calculada como mostrada anteriormente e ! = 2�f , onde f �e a
freque^ncia.
17
1.10.1 Corre�c~ao de Carson
No caso da terra ser considerada um condutor com resistividade diferente
de zero, o que realmente ocorre na pr�atica, Carson ( 1926 ) mostrou que as impeda^ncias
pr�oprias e m�utuas da linha s~ao as mesmas obtidas considerando-se a terra como um
condutor perfeito acrescidas de um termo de corre�c~ao.
Basicamente, Carson considerou dois condutores cil��ndricos, paralelos, de
pequeno dia^metro em face da dista^ncia entre eles e o solo, paralelos ao solo, supo^s o solo
plano, de constante diel�etrica e condutividade uniforme, o ar de condutividade muito
inferior �a do solo.
x
x
x
x
h
h
h
h
h
h
h
h
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
i
j
i
0
j
0
h
i
h
i
h
j
h
j
D
ij
D
ij
0
"
"
x
ij
�
Figura 1.12: Linha Bif�asica para corre�c~ao de Carson
Os termos da corre�c~ao de Carson s~ao obtidos em forma de s�eries. De
acordo com as considera�c~oes de Carson na con�gura�c~ao mostrada na Figura 1.12, os
termos da corre�c~ao s~ao dados por:
[Z] = [[R] + [�R
c
]] + |! [[L] + �[L
c
]] 
=km
Onde:
[R]: Matriz diagonal das resiste^ncias dos condutores
[L]: Matriz de induta^ncia dos condutores considerando a terra como condutor perfeito
[�R
c
] : Matriz de corre�c~ao dos valores de resiste^ncia ( n~ao diagonal)
[�L
c
]: Matriz de corre�c~ao dos valores de induta^ncia.
Os elementos das matrizes de corre�c~ao de Carson, [�R
c
] e [�L
c
], s~ao dadas
por:
18
[�R
c
] + |![�L
c
] = 25; 134 � 10
�4
� f � ([P ] + |[Q]) 
=km
Os valores de [P] e [Q] s~ao obtidos em fun�c~ao das vari�aveis p e �, as quais
s~ao diferentes para os valores das impeda^ncias pr�oprias e m�utuas e dependem tamb�em da
posi�c~ao dos condutores.
Para o caso da linha dada na Figura 1.12, teremos:
1. Impeda^ncias pr�oprias
�
ii
= 0
p
ii
= 5; 62 � 10
�3
h
i
q
f=� , � = resistividade da terra em 
:m
2. Impeda^ncias m�utuas
�
ij
= tg
�1
x
ij
h
i
+h
j
p
ij
= 28; 1004 � 10
�4
�D
ij
0
�
q
f=�
Os termos P e Q s~ao dados por s�eries de pote^ncia de p e � que variam
com o valor de p. Para o caso de p � 0; 25, mais comum em linhas de pote^ncia em regime
permanente, teremos:
P =
"
�
8
�
p
3
p
2
� cos � +
p
2
16
� cos 2� �
 
0:6728 + ln
2
p
!
+
p
2
16
� � � sen2�
#
=km
e
Q =
"
�0; 0386 +
1
2
� ln
2
p
+
1
3
p
2
� p � cos �
#
=km
19
1.11 Exerc��cio Resolvido
Um circuito de uma linha de transmiss~ao monof�asica �e composta de tre^s
condutores s�olidos, cada um com 2,54 mm de Raio. O circuito de retorno �e constitu��do
por dois condutores de Raio 5,08 mm. A disposi�c~ao dos condutores �e mostrada na Figura
1.13. Determine a induta^ncia devida �a corrente em cada lado da linha e a induta^ncia da
linha completa.
x
px
x x
x
a
b
c
d
e
6,10 m
6,10 m
9,14 m
Lado X Lado Y
Figura 1.13: Linha de Transmiss~ao monof�asica
Dista^ncia m�edia Geom�etrica m�utua entre os lados X e Y ( DMG ).
D
m
=
6
p
D
ad
�D
ae
�D
bd
�D
be
�D
cd
�D
ce
�
D
ad
= D
be
= 9; 14 m
D
ae
= D
bd
= D
ce
=
p
9; 14
2
+ 6; 10
2
= 10; 99 m
D
cd
=
p
9; 14
2
+ 12; 2
2
= 15; 3 m
D
m
=
6
p
9; 14
2
� 15; 3 � 11; 0
3
= 10; 9 m
Dista^ncia M�edia Geom�etrica pr�opria do lado X (Raio M�edio Geom�etrico)
D
s
=
9
p
D
aa
�D
ab
�D
ac
�D
ba
�D
bb
�D
bc
�D
ca
�D
cb
�D
cc
D
aa
= D
bb
= D
cc
= 2; 54 � 10
�3
� 0; 7788 m
D
ab
= D
ba= D
bc
= D
cb
= 6; 10 m
D
ac
= D
ca
= 12; 2 m
D
s
=
9
q
(2; 54 � 10
�3
� 0; 7788)
3
� 6; 14
4
� 12; 2
2
= 0; 489 m
Para o lado Y
D
s
=
4
q
(5; 08 � 10
�3
� 0; 7788)
2
� 6; 10
2
= 0; 153 m
Assim
L
X
= 2� 10
�7
ln
D
m
D
s
= 2� 10
�7
ln
10;9
0;489
= 0; 621 � 10
�3
mH=m = 0; 621 mH=km
L
Y
= 2 � 10
�7
ln
D
m
D
s
= 2� 10
�7
ln
10;9
0;153
= 0; 845 � 10
�3
mH=m = 0; 845 mH=km
L = L
X
+ L
Y
= 1; 47 mH=km
20
1.12 Exerc��cios Propostos
1. Uma linha de transmiss~ao bif�asica, operando em 60 Hz, �e constitu��da de cabos de
Bitola 1/0, formados por sete �os de cobre duro, sendo 1,5 m a dista^ncia entre seus
centros. Eles est~ao situados na horizontal a uma altura m�edia do solo de 10 m. A
resistividade m�edia do solo �e de 100 
:m. Pede-se para calcular a matriz impeda^ncia
longitudinal na forma matricial nas seguintes condi�c~oes:
(a) Desprezando a presen�ca da terra
(b) Considerando a terra um condutor perfeito
(c) considerando a terra condutora
2. Uma linha de transmiss~ao trif�asica com freque^ncia de 60 Hz est�a disposta num
plano horizontal sendo 3,66 m a dista^ncia entre os condutores adjacentes. A altura
da linha em rela�c~ao ao solo �e de 10 m. Suponha que a linha tenha um cabo p�ara-
raios do mesmo tipo usado nas fases, situado na mesma posi�c~ao do condutor central,
mas a uma dista^ncia do solo de 15 m. Os condutores s~ao cabos n
o
�
4=0, ACSR, de
uma camada, com dia^metro externo de 1,43 cm e Raio m�edio geom�etrico de 0,248
cm. Este cabo apresenta uma resiste^ncia de 0,276 
/km a freque^ncia de 60 Hz
e a temperatura de 25
0
C. Pede-se para calcular a matriz impeda^ncia longitudinal
considerando o solo um condutor perfeito.
3. Os condutores de uma linha trif�asica est~ao colocados nos v�ertices de um tria^ngulo
equil�atero. O espa�camento entre eles �e de 3 m e cada condutor de cobre tem um
dia^metro de 10 mm. Calcule a reata^ncia em s�erie na forma matricial.
4. Uma linha telefo^nica rural foi constru��da paralelamente a uma linha de pote^ncia
n~ao transposta. A Figura 1.14 d�a as dimens~oes de ambas. A linha de pote^ncia
conduz uma corrente equilibrada de 500 A e�caz por fase. calcule a tens~ao de 60 Hz
induzida por metro na linha telefo^nica. Considere que a corrente de curto-circuito
fase terra na linha de pote^ncia �e da ordem de 5000 A. Calcule a tens~ao induzida por
metro na linha telefo^nica durante um curto-circuito na fase 3.
wx x x
u u
6 m 6 m
5 m
1 m
20 m
Linha de pote^ncia
Linha telefo^nica
I
1
I
2
I
3
Figura 1.14: Linha telefo^nica paralela a uma linha de pote^ncia
5. Uma linha de 750 kV utiliza, por fase, um feixe de quatro condutores, como mostra
a Figura 1.15.
21
(a) Calcule a reata^ncia por fase dessa linha a 60 Hz. Cada condutor conduz 25%
da corrente de fase e admitimos que haja transposi�c~ao. Considere o raio de
cada condutor igual �a 35 mm.
(b) Determine as dimens~oes do cabo de uma linha hipot�etica com um condutor
por fase, cuja induta^ncia seja igual �a da linha dada.
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
- -
17,0 m 17,0 m
460 mm
460 mm
Figura 1.15: Linha de 750 kV
22
1.13 Capacita^ncia das linhas de Transmiss~ao
A diferen�ca de potencial entre os condutores de uma linha de transmiss~ao
faz com que se carreguem da mesma maneira que as placas de um capacitor quando entre
elas existe uma diferen�ca de potencial. A capacita^ncia entre os condutores �e carga por
unidade de diferen�ca de potencial. A capacita^ncia entre condutores paralelos �e constante,
dependendo da sec�c~ao e da dista^ncia entre eles. Para linhas de transmiss~ao de at�e uns 80
km, o efeito da capacita^ncia �e pequeno e pode ser desprezado. Esse efeito passa a ser de
grande importa^ncia em linhas mais extensas e de alta tens~ao.
A aplica�c~ao de uma tens~ao alternada a uma linha faz com que, em qualquer
ponto dos condutores, a carga aumente e diminua, com o aumento e diminui�c~ao do valor
instanta^neo da tens~ao entre esses condutores, no ponto considerado. O 
uxo da carga �e
uma corrente e a corrente causada pela carga, a descarga de uma linha devido �a tens~ao
alternada, �e chamada de corrente capacitiva da linha. Essa corrente existe at�e mesmo
quando a linha est�a em vazio; afeta a queda de tens~ao ao longo da linha, seu rendimento
e seu fator de pote^ncia, bem como a estabilidade do sistema do qual ela faz parte.
1.14 Campo El�etrico de um Condutor Longo e Reto
Da mesma maneira que o campo magn�etico �e importante no estudo da
indutan^cia, o campo el�etrico o �e para o estudo da capacita^ncia.
As linhas de 
uxo el�etrico originam-se nas cargas positivas de um condutor
e terminam nas cargas negativas do outro. O 
uxo el�etrico total que emana de um
condutor �e numericamente igual �a carga em coulombs do condutor. A densidade de 
uxo
el�etrico �e o 
uxo por metro quadrado, medida em coulombs por metro quadrado. Se
um condutor longo, reto e cil��ndrico tem uma carga el�etrica uniforme ao longo de seu
comprimento e est�a isolado de outras cargas de modo que sua carga esteja uniformemente
distribu��da em sua periferia, o 
uxo ser�a radial. Todos os pontos equidistantes desse
condutor pertencem a uma mesma equipotencial e te^m a mesma densidade de 
uxo.
Consideremos um condutor cil��ndrico isolado como o da Figura 1.16
O campo el�etrico a uma dista^ncia x do centro do condutor ao ponto con-
siderado �e:
E =
q
2��
�
1
x
volts=metro (V=m)
23
&%
'$
+
++
+
q
�
�
�
�
�
�
�*
x
Figura 1.16: Condutor cil��ndrico el�etrico isolado
Sendo q a carga no condutor em coulombs por metro de comprimento e � a permissividade
do meio, que no ar �e dada por: �
0
= 8; 85 � 10
�12
F/m ou �
0
=
1
36�
� 10
�9
F/m .
1.15 Diferen�ca de Potencial entre dois Pontos devido
a uma Carga
O modo mais simples de calcular a queda de tens~ao entre os pontos (P
1
e
P
2
), Figura 1.17, �e calcular a tens~ao entre as superf��cies equipotenciais que passam por
(P
1
e P
2
), fazendo a integra�c~ao sobre uma linha radial entre essas superf��cies. Assim, a
diferen�ca de potencial entre P
1
e P
2
, ser�a:
V
12
=
Z
D
2
D
1
Edx =
q
2��
�
Z
D
2
D
1
dx
x
=
q
2��
� ln
D
2
D
1
volts
Onde q �e carga instanta^nea no condutor, em coulombs por metro de comprimento.
"!
# 
�
�
�
�
�7
-
�
�
�
�
�
�
��1
+q
D
1
x
D
2
P
1
P
2
Figura 1.17: Diferen�ca de potencial entre dois pontos externos de um condutor
1.16 Capacita^ncia de uma Linha a dois Condutores
24
��
��
��
��
s s
-
-�
D
r
a
r
b
a
b
Figura 1.18: Linha de transmiss~ao a dois condutores
A capacita^ncia entre dois condutores de uma linha �e de�nida como a carga
dos condutores por unidade de diferen�ca de potencial entre eles. Sob a forma de equa�c~ao,
temos:
C =
q
v
F=m
Onde q �e a carga da linha em coulombs por metro e v a diferen�ca de potencial entre os
condutores em volts.
A tens~ao v
ab
entre os condutores da linha mostrada na Figura 1.18, pode
ser determinada achando-se a queda de tens~ao devida �a carga q
a
no condutor a e, em
seguida, a queda de tens~ao devida �a carga q
b
no condutor b. Pelo princ��pio da superposi�c~ao,
a queda de tens~ao do condutor a ao condutor b, devida �as cargas em ambos os condutores, �e
a soma das quedas provocadas por cadauma das cargas consideradas isoladamente. Assim
sendo, a tens~ao entre os condutores �e:
V
ab
=
q
a
2��
0
�
Z
D
r
a
dx
a
x
a
+
q
b
2��
0
�
Z
r
b
D
dx
b
x
b
V
ab
=
q
a
2��
� ln
D
r
a
+
q
b
2��
� ln
r
b
D
volts
Sendo para a linha a dois condutores, q
a
= �q
b
, logo:
V
ab
=
q
a
2��
0
�
ln
D
r
a
� ln
r
b
D
�
=
q
a
2��
0
� ln
 
D
2
r
a
r
b
!
volts
A capacita^ncia entre os condutores �e:
C
ab
=
q
a
V
ab
=
2��
0
ln
D
2
r
a
r
b
F=m
Se r
a
= r
b
= r
C
ab
=
��
0
ln
D
r
F=m
25
1.17 Diferen�ca de Potencial entre dois Condutores de
um Grupo de Condutores Carregados
~
~
~
~
�
�
�
�
�
�
�
�
B
B
B
B
B
B
B
B
`
`
`
`
`
`
`
`
``
1
2
3
n
D
13
D
23
D
12
Figura 1.19: Grupo de condutores carregados
A f�ormula,
V
12
=
q
2��
ln
D
2
D
1
;
pode ser usada para se calcular a diferen�ca de potencial entre dois condutores pertencentes
a um grupo de condutores. Este c�alculo ser�a feito assumindo-se que cada condutor do
grupo �e reto, in�nitamente longo e possui uma carga el�etrica uniformemente distribu��da
ao longo do seu comprimento. Suponha-se a con�gura�c~ao mostrada na Figura 1.19.
A diferen�ca de potencial entre os condutores 1 e 2 �e obtida adicionando-se
os efeitos das cargas q
1
, q
2
, q
3
, � � � , q
n
, ou seja:
v
12
=
1
2��
0
�
q
1
� ln
D
12
r
1
+ q
2
� ln
r
2
D
21
+ q
3
� ln
D
32
D
31
+ � � �+ q
n
� ln
D
n2
D
n1
�
A capacita^ncia entre os condutores do grupo de condutores �e de�nida como
a carga por unidade de diferen�ca de potencial e poderia ser, ent~ao, obtida de express~oes
como a mostrada acima dividindo-se a queda de tens~ao entre dois condutores pela carga.
Diferentemente do que acontece no caso da induta^ncia, a perturba�c~ao
causada pela presen�ca da terra pr�oxima aos condutores da linha �e bastante acentuada o
que torna essencial �a considera�c~ao desse feno^meno no c�alculo da capacita^ncia.
26
1.18 Efeito da Terra na Capacita^ncia de uma Linha
de Transmiss~ao
No caso da capacita^ncia considera-se apenas a terra como um condutor
ideal (� = 0) e, portanto, pode-se usar o m�etodo das imagens. Consideremos o sistema
multicondutor dado na Figura 1.20 onde aparecem os condutores imagens.
~
~
~
~
~
~
~
~
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
A
A
A
A
A
A
A
A
A
1
2
3
n
D
13
D
11
0
D
12
0
q
1
1
0
2
0
3
0
n
0
q
1
0
Figura 1.20: Condutores de uma linha de transmiss~ao e suas imagens
A diferen�ca de potencial do condutor 1 em rela�c~ao �a terra �e dada por:
V
1
=
1
2
V
11
0
=
1
4��
0
�
q
1
� ln
D
11
0
r
1
+ q
2
� ln
D
12
0
D
12
+ q
3
� ln
D
13
0
D
13
+ � � �+ q
n
� ln
D
1n
0
D
1n
�q
1
� ln
r
1
D
11
0
� q
2
� ln
D
12
D
12
0
� q
3
� ln
D
13
D
13
0
� � � � � q
n
� ln
D
1n
D
1n
0
�
Ou ainda
V
1
=
1
2��
0
�
q
1
� ln
D
11
0
r
1
+ q
2
� ln
D
12
0
D
12
+ q
3
� ln
D
13
0
D
13
+ � � �+ q
n
� ln
D
1n
0
D
1n
�
Express~oes similares, �a dada acima, para o condutor 1 podem ser obtidas
para os demais condutores as quais podem ser combinadas na forma matricial:
27
2
6
6
6
6
6
6
6
4
V
1
V
2
V
3
.
.
.
V
n
3
7
7
7
7
7
7
7
5
=
1
2��
0
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
ln
D
11
0
r
1
ln
D
12
0
D
12
ln
D
13
0
D
13
.
.
.
ln
D
1n
0
D
1n
ln
D
12
0
D
12
ln
D
22
0
r
2
ln
D
32
0
D
32
.
.
.
ln
D
n2
0
D
n2
ln
D
13
0
D
13
� � �
ln
D
23
0
D
23
� � �
ln
D
33
0
r
3
� � �
.
.
.
ln
D
n3
0
D
n3
� � �
ln
D
1n
0
D
1n
ln
D
2n
0
D
2n
ln
D
3n
0
D
3n
.
.
.
ln
D
nn
0
r
n
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
:
2
6
6
6
6
6
6
6
4
q
1
q
2
q
3
.
.
.
q
n
3
7
7
7
7
7
7
7
5
ou ainda
[V ] = [P ][Q]
Onde [P ] �e a chamada matriz de coe�cientes de potencial cujos elementos
s~ao dados genericamente por:
P
ij
=
1
2��
0
ln
D
ij
0
D
ij
Onde:
Dij = Dista^ncia entre o condutor i e o condutor j
D
ij
0
= Dista^ncia entre o condutor i e a imagem do condutor j.
Quando i = j, te^m-se D
ii
= r
ii
= Raio do condutor i.
A matriz de capacita^ncia �e dada pelo inverso da matriz de coe�cientes de
potencial, isto �e,
[C] = [P ]
�1
F=m
A qual em forma matricial �e:
[C] =
2
6
6
6
6
6
6
6
4
C
11
�C
12
�C
13
.
.
.
�C
1n
�C
12
C
22
�C
32
.
.
.
�C
n2
�C
13
� � �
�C
23
� � �
C
33
� � �
.
.
.
C
n3
� � �
�C
1n
�C
2n
�C
3n
.
.
.
C
nn
3
7
7
7
7
7
7
7
5
Cujos elementos tem a interpreta�c~ao dada na Figura 1.21.
Onde:
C
1g
= C
11
� C
12
� C
13
� � � � � C
1n
C
2g
= C
22
� C
12
� C
23
� � � � � C
2n
C
3g
= C
33
� C
13
� C
23
� � � � � C
3n
28
~
~
~
~
l
l
l
Z
Z
Z
Z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Q
Q
a
a
!
!
!
!
�
�
�
�
�
�
T
T
T
T
l
l
l
l
Z
Z
Z
Z
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
!
1
2
3
n
C
1g
C
2g
C
3g
C
ng
C
12
C
13
C
1n
C
23
C
2n
C
3n
Figura 1.21: Circuito equivalente da matriz capacita^ncia
.
.
.
C
ng
= C
nn
� C
1n
� C
2n
� � � � � C
(n�1)n
No c�alculo das capacita^ncias utiliza-se o valor do raio externo dos condu-
tores, contrariamente ao que �e feito no caso da induta^ncia onde se usa o RMG, pois as
cargas se localizam na superf��cie dos condutores.
No caso de condutores compostos ( ou m�ultiplos ) pode-se substituir as
dista^ncias entre os condutores pela DMG quando isto for conveniente.
Para uma linha operando em regime estacion�ario senoidal a equa�c~ao,
[Q] = [C][V ]:
Pode ser reescrita em termos de corrente como
[I] = j![Q] = j![C][V ]
de onde se obteria a matriz admita^ncia paralelo ( suscepta^ncia )
[Y ] = j![C]
onde ! = 2�f ( f= Freque^ncia ).
29
1.19 Exerc��cios Resolvidos
1. Determine a suscepta^ncia capacitiva de uma linha monof�asica a dois condutores
(cabos), operando em 60 Hz. Os cabos s~ao de Bitola 1/0, constitu��dos por sete �os
de cobre duro, sendo de 5,5 m a dista^ncia entre seus centros.
Solu�c~ao:
O dia^metro desse cabo �e 0,368 polegadas= 0,935 cm. O raio ser�a : r = 0,467 cm.
Sabe-se que a capacita^ncia entre os dois condutores �e,
C =
��
0
ln
D
r
F=m:
~ ~ ~ ~
C
C
n
= 2C
s
Figura 1.22: Capacita^ncia entre dois condutores e entre um condutor e o neutro
Assim:
C =
��
0
ln
550
0;467
= 3; 928�10
�12
F=m = 3; 928�10
�3
�F=km entre condutores
A capacita^ncia entre cada condutor e neutro como na Figura 1.22 �e:
C
n
= 2� 3; 928 � 10
�3
= 7; 856 � 10
�3
�F=km; para o neutro
A reata^ncia capacitiva �e dada por:
X
c
=
1
!C
e a susceptancia por b
c
=
1
X
c
= !C Logo: b
c
= 377�7; 856�10
�3
0=km;
para o neutro ou
X
c
=
1
377�7;856�10
�3
= 0; 338 � 10
6
=km = 0; 338M
=km; para o neutro .
2. Considere que a linha anterior tenha l = 20km de comprimento e funcione com a
tens~ao de 13,8 kV. Calcule a pote^ncia reativa total fornecida pela linha e a corrente
capacitiva por unidade de comprimento.
A pote^ncia reativa �e dada por:
Q = V � I =
V
2
X
c
= V
2
� ! � C
Logo:
Q
T
= (13:8)
2
� 377 � 3; 928 � 10
�3
� 20 = 5; 64 kVAr
I =
V
X
c
= V !C = 13; 8 � 377 � 3; 928 � 10
�3
= 20; 43 mA=km
30
1.20 Problemas propostos
1. Calcular os para^metros, induta^ncia e capacita^ncia de uma linha de transmissa~ao
bif�asica operando em 60 Hz. Os cabos s~ao de bitola 1/0 , constitu��dos por sete
�os de cobre duro, sendo 5,5 m a dista^ncia entre seus centros. Eles est~ao situados
na horizontal a uma altura m�edia do solo de 10 m. A resistividade m�edia do solo
ao longo da linha �e de 100 �:m. Pede-se para calcular os para^metros, impeda^ncia
longitudinal e transversal, na forma matricial nas seguintes condi�c~oes:
(a) desprezando a presen�ca da terra;
(b) considerando a terra um condutor perfeito;
(c) considerando a terra condutora.
31
1.21 Redu�c~ao �a Linha Equivalente com Tre^s Condu-
tores
As linhas de transmiss~ao encontradas na pr�atica apresentam diferentes
con�gura�c~oes no que diz respeito ao n�umero, posi�c~ao, e tipo dos condutores. O uso de
condutores m�ultiplos ( \blunded", geminados ), cabos terra ( p�ara raios ) e circuitos duplos
faz com que o n�umero de condutores constituintes de uma linha seja, em geral, maior que
o n�umero de condutores necess�arios para uma linha trif�asica ( tre^s ). Portanto, as matrizes
impeda^ncia s�erie e admita^ncia paralelo obtidas pelo procedimento anterior ter~ao, tamb�em,
dimens~oes maiores que 3 X 3 desde que a cada condutor do sistema corresponda uma linha
e uma coluna das matrizes de para^metros. Nas �guras seguintes, s~ao mostrados alguns
exemplos de con�gura�c~ao de linhas e respectivas matrizes de para^metros.
Raramente existe interesse em se manter a individualidade dos condutores
em um estudo de an�alise em regime permanente ( 
uxo de carga, curto-circuito, etc). Por
outro lado, devido �a existe^ncia de linhas de transmiss~ao com diferente n�umero de condu-
tores em uma rede de transmiss~ao, a manuten�c~ao da individualidade desses condutores
causaria problemas quando da montagem do modelo da rede. Por esta raz~ao �e importante
obter-se matrizes impeda^ncia s�erie e admita^ncia paralela para um sistema equivalente de
tre^s condutores. Isto �e feito por um processo de redu�c~ao de matrizes que explore certas
caracter��sticas dos condutores m�ultiplo e cabos-terra.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
u
u
u
u
g
a
c
b
Figura 1.23: Linha com tre^s condutores fase e o cabo terra
A matriz que representa a Figura 1.23 �e dada a seguir:
[Z] =
2
6
6
6
4
Z
aa
Z
ab
Z
ac
Z
ag
Z
ab
Z
bb
Z
bc
Z
bg
Z
ac
Z
bc
Z
cc
Z
cg
Z
ag
Z
bg
Z
cg
Z
gg
3
7
7
7
5
32
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
qqq
u u u u u u
uu
g
1
g
2
a
1
a
2
b
1
b
2
c
1
c
2
Figura 1.24: Linha com condutores m�ultiplos e dois cabos terra
A matriz correspondente �a linha da Figura 1.24 �e dada por:
[Z] =
a
1
/x b
1
/x c
1
/x a
2
/x b
2
/x c
2
/x g
1
/x g
2
/x
b
1
/x x x x x x x x
c
1
/x x x x x x x x
a
2
/x x x x x x x x
b
2
/x x x x x x x x
c
2
/x x x x x x x x
g
1
/x x x x x x x x
g
2
/x x x x x x x x
33
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�C
C
C
C
C
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
J
s
u
s s
s
s
s s
s
s
s s
s
s
G
Circuito A
Circuito B
Figura 1.25: Linha com circuito paralelo, condutores m�ultiplos e dois cabos terra
[Z] =
6x6 6x6 6x2
Circuito Acoplamento Acoplamento
A-A A-B A-G
Acoplamento Circuito Acoplamento
A-B B-B B-G
6x6 6x6 6x2
Acoplamento Acoplamento Circuito
G-A G-B G-G
2x6 2x6 2x2
1.21.1 Elimina�c~ao de Cabos Terra
Suponhamos uma linha de transmiss~ao com a con�gura�c~ao mostrada na
Figura 1.23. A queda de tens~ao nos condutores dessa linha seria dada por:
2
6
6
6
4
�V
a
�V
b
�V
c
�V
g
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
Z
aa
Z
ab
Z
ac
Z
ag
Z
ab
Z
bb
Z
bc
Z
bg
Z
ac
Z
bc
Z
cc
Z
cg
Z
ag
Z
bg
Z
cg
Z
gg
3
7
7
7
5
:
2
6
6
6
4
I
a
I
b
I
c
I
g
3
7
7
7
5
Considerando �V
g
= 0, e simpli�cando a equa�c~ao matricial acima, tere-
mos:
34
"
h
�V
abc
i
[0]
#
=
2
4
h
Z
abc
�
i
h
Z
t
g
i
[Z
g
]
[Z
gg
]
3
5
:
"
h
I
abc
i
[I
g
]
#
Onde as submatrizes s~ao as mostradas na equa�c~ao original e �V
g
= 0,
resulta do fato do potencial do cabo terra ser nulo. Reescrevendo as equa�c~oes individual-
mente, temos:
[�V
abc
] = [Z
abc
�
] � [I
abc
] + [Z
g
� [I
g
]
[0] = [Z
t
g
] � [I
abc
] + [Z
gg
] � [I
g
]
Do que resulta
[�V
abc
] = [Z
abc
] � [I
abc
]
Onde
[Z
abc
] = [Z
abc
�
]� [Z
g
] � [Z
�1
gg
] � [Z
t
g
]
A matriz [Z
abc
], representa a linha �ct��cia com tre^s condutores equivalentes
�a linha original. Esta t�ecnica �e aplic�avel a uma linha com qualquer n�umero de condutores
e, como ser�a visto a seguir, a linhas com condutores geminados e circuitos duplos.
1.21.2 Redu�c~ao de Condutores M�ultiplos a um Condutor Equi-
valente
Para efeito de ilustra�c~ao da t�ecnica de redu�c~ao de condutores geminados,
suponhamos uma linha de transmiss~ao com a con�gura�c~ao at��pica mostrada na Figura
1.26, onde tamb�em �e mostrada a matriz impeda^ncia.
A queda de tens~ao nos condutores �e dada por
2
6
6
6
4
�V
d
�V
b
�V
c
0
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
Z
dd
Z
db
Z
dc
Z
df
� Z
dd
Z
db
Z
bb
Z
bc
Z
bf
� Z
db
Z
dc
Z
bc
Z
cc
Z
cf
� Z
dc
Z
df
Z
bf
Z
cf
Z
ff
� Z
df
3
7
7
7
5
:
2
6
6
6
4
I
d
I
bI
c
I
f
3
7
7
7
5
Onde a equa�c~ao correspondente ao cabo " f " foi adicionada �a equa�c~ao
correspondente ao cabo " d " multiplicada por -1.
35
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
tt
s
s
q
q
q
b
c
fd
a
Figura 1.26: Linha com con�gura�c~ao at��pica com condutores m�ultiplos
Colocando as quedas de tens~ao em fun�c~ao da corrente total da fase a, isto
�e, I
a
= I
d
+ I
f
, vem
2
6
6
6
4
�V
a
�V
b
�V
c
0
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
Z
dd
Z
db
Z
dc
Z
df
� Z
dd
Z
db
Z
bb
Z
bc
Z
bf
� Z
db
Z
dc
Z
bc
Z
cc
Z
cf
� Z
dc
Z
df
� Z
dd
Z
bf
� Z
db
Z
cf
� Z
dc
Z
ff
� 2Z
df
+ Z
dd
3
7
7
7
5
:
2
6
6
6
4
I
a
I
b
I
c
I
f
3
7
7
7
5
Nesta forma o sistema de equa�c~oes pode ser reduzido, usando-se um pro-
cedimento semelhante ao mostrado para o caso dos cabos terra, eliminando-se a equa�c~ao
correspondente ao cabo f. A matriz resultante ( 3X3 )�e a matriz equivalente.
1.21.3 Circuitos Paralelos
No caso de circuitos paralelos, como mostrado na Figura 1.25 por exem-
plo, costuma-se manter a individualidade de cada circuito, representando-se o acoplamento
entre os dois circuitos por uma matriz de acoplamento. Se os dois circuitos forem conec-
tados aos mesmos barramentos terminais seria poss��vel efetuar uma redu�c~ao ao sistema
equivalente de tre^s condutores como mostrado nos itens anteriores.
Os exemplos mostrados neste item foram todos baseados na matriz impe-
da^ncia s�erie. O mesmo procedimento pode ser seguido para o caso da matriz admita^ncia
paralelo.
36
1.22 Rela�c~oes entre Tens~ao e Corrente numa Linha
de Transmiss~ao
Aqui, iremos desenvolver equa�c~oes com as quais poderemos calcular a
tens~ao, a corrente e o fator de pote^ncia em qualquer ponto de uma linha de transmiss~ao,
desde que estes valores sejam conhecidos em um ponto da linha .
Estas express~oes que iremos deduzir s~ao importantes porque indicam o
efeito dos diversos para^metros da linha sobre as quedas de tens~ao ao longo da mesma
para v�arias cargas. S~ao �uteis tamb�em no c�alculo do rendimento da transmiss~ao, bem
como no c�alculo da pote^ncia que 
ui por uma linha.
1.23 Representa�c~ao das Linhas
@
@
@
�
�
�
h h
h
e
e
e
�
�
�
R e L
Gerador
Linha de transmiss~ao
Carga
Z
L
no
Figura 1.27: Rede equilibrada composta de uma Linha, um Gerador e a Carga
37
A Figura 1.27 representa um gerador ligado em Y alimentando uma carga equilibrada
tamb�em ligada em Y.
A corrente que circula pelo condutor que une o neutro " o " do gerador
ao neutro " n " da carga �e nula, uma vez que a soma das correntes que convergem para "
n " �e zero em um sistema equilibrado. Portanto, os pontos " o " e " n " est~ao no mesmo
potencial, n~ao passando corrente pelo condutor neutro e ele pode ser eliminado sem que
ocorra qualquer mudan�ca no circuito.
Para resolver o circuito, sup~oe-se que exista o neutro e considera-se que
por ele circule a soma das tre^s correntes de fase; aplica-se a lei de Kirchho� das tens~oes
na malha que cont�em uma fase e o neutro, conforme Figura 1.28.
n
Z
L
R e L
Gerador
?
?
V
R
V
S
Figura 1.28: Circuito equivalente monof�asico da rede trif�asica equilibrada
A classi�ca�c~ao das linhas de transmiss~ao segundo sua extens~ao est�a baseada
nas aproxima�c~oes admitidas no uso dos para^metros da linha.
� Linhas curtas ! at�e 80 km.
� Linhas m�edias ! at�e 240 km.
� Linhas longas ! acima de 240 km .
Para fazer a distin�c~ao entre a impeda^ncia s�erie total da linha e a impeda^ncia
em s�erie por unidade de comprimento, temos:
z = impeda^ncia em s�erie por unidade de comprimento, por fase.
y = admita^ncia em paralelo por unidade de comprimento, entre linha e neutro.
l = comprimento da linha.
z.l = Z = impeda^ncia total em s�erie, por fase.
y.l = Y = admita^ncia total em paralelo, entre linha e neutro.
38
1.23.1 Linha de Transmiss~ao Curta
n
Z
L
R + |!L
Gerador
?
?
V
R
V
S
Figura 1.29: Circuito equivalente de uma linha curta
Regula�c~ao em % =
jV
NL
j�jV
FL
j
jV
FL
j
� 100
jV
NL
j = m�odulo da tens~ao nos terminais da carga em vazio.
jV
FL
j = m�odulo da tens~ao nos terminais da carga em plena carga.
jV
NL
j = jV
S
j
jV
FL
j = jV
R
j.
Os diagramas da Figura 1.30 mostram que �e necess�ario uma tens~ao maior
no gerador para manter uma dada tens~ao na carga quando a corrente est�a atrasada, do
que quando a tens~ao e corrente est~ao em fase.
-
Z
Z~
�
�
�
�76
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��:
Q
Q
Qs
I
R
�R
V
R
I
R
V
S
I
R
�X
L
Fator de pote^ncia na
carga = 70% atrasado
- - -
6
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�*
I
R
V
R
I
R
�R
I
R
�X
L
V
S
Fator de pote^ncia
na carga = 100%
-
�
Z
Z
Z}
�
�
�
�
�
�
�3
�
�
��
I
R
V
S
I
R
�X
L
I
R
�R
V
R
Fator de pote^ncia
70% adiantado
Figura 1.30: Diagramas fasorial de tens~ao e corrente de uma carga
39
1.23.2 Linhas de Comprimento M�edio
O circuito � �e mais utilizado nas linhas de transmiss~ao m�edias do que o
circuito nominal T da Figura 1.31.
?
6
?
6
-
6
-
I
R
V
R
Z/2Z/2
I
S
V
S
Y
Figura 1.31: Circuito nominal T
Para deduzir as equa�c~oes, temos p/ o circuito � na Figura 1.32.
Z
Y/2Y/2
? ?
-
-
I
S
V
S
V
R
I
R
Figura 1.32: Circuito nominal �
V
S
=
�
V
R
�
Y
2
+ I
R
�
� Z + V
R
V
S
=
�
ZY
2
+ 1
�
� V
R
+ Z � I
R
I
S
= V
S
Y
2
+ V
R
�
Y
2
+ I
R
Substituindo V
S
:
I
S
= V
R
� Y
�
1 +
ZY
4
�
+
�
ZY
2
+ 1
�
� I
R
40
�
��
?
-
?
-
6
��
?
- -
?
V
S
I
S
I+ dI
V + dV
I
V
Carga
V
R
I
R
x
dx
Figura 1.33: Linha de transmiss~ao com Para^metros distribu��dos. Solu�c~ao exata.
1.23.3 Linhas de Transmiss~ao Longas - Solu�c~ao das Equa�c~oes
Diferenciais
Considerando-se um pequeno elemento da linha na Figura 1.33 e calculando-se as diferan�cas
de tens~oes e correntes entre eles.
dV = I � zdx dI = V � ydx
dV
dx
= I � z
dI
dx
= V � y
Derivando em rela�c~ao �a x as equa�c~oes:
d
2
V
dx
2
= z
dI
dx
d
2
I
dx
2
= y �
dV
dx
Substituindo os valores
dI
dx
e
dV
dx
temos:
d
2
V
dx
2
= z � y � V (1.8)
d
2
I
dx
2
= z � y � I
Supondo que a solu�c~ao da equa�c~ao 1.8 seja:
V = A
1
e
p
yzx
+A
2
e
�
p
yzx
41
Assim
d
2
V
dx
2
= yz
�
A
1
e
p
yzx
+A
2
e
�
p
yzx
�
Observa-se que a derivada segunda �e yz vezes a suposta solu�c~ao de V.
dV
dx
=
p
yzA
1
e
p
yzx
�
p
yzA
2
e
�
p
yzx
= I � z
I =
p
yz
z
A
1
e
p
yzx
�
p
yz
z
A
2
e
�
p
yzx
I =
1
q
z=y
A
1
e
p
yz
�
1
q
z=y
A
2
e
�
p