licao04 o campo de distribuicoes de carga

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Física 3
Lição 04: O Campo de Distribuições de Carga
Giovani Manzeppi Faccin
Lição 04
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 1 / 22
O Campo Elétrico de Distribuições de Carga
Na aula anterior vimos que o
campo elétrico causado por uma
distribuição de cargas pontuais é
dado pela expressão ao lado.
O Campo Elétrico:
~Ei =
1
4pi�0
∑
j 6=i
qj
(|~rji |)2
rˆji
Na aula de hoje iremos estudar formas de generalizar este resultado
para o caso de distribuições contínuas de carga.
Uma distribuição contínua de carga corresponde a um conjunto
imenso de cargas pontuais distribuídas em dada região do espaço, tal
que na prática seja muito difícil de se distinguir cada elemento de
carga individualmente.
Nesta situação iremos trabalhar com densidades de carga elétrica,
ao invés de cargas pontuais.
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O Campo Elétrico de Distribuições de Carga
Considere a distribuição
contínua de cargas ao lado.
O campo elétrico resultante no
ponto P será dado pela soma
dos campos gerado por cada
elemento de carga:
~E =
1
4pi�0
∫
rˆ
|~r |2 dq,
sendo ~r = ~x − ~x ′.
Observe que a variável de integração é o ~x ′, enquanto que a variável
que define a posição do ponto P é o vetor ~x .
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O Campo Elétrico de Distribuições de Carga
~E =
1
4pi�0
∫
rˆ
|~r |2 dq
O truque para resolver a integral
é parametrizar o elemento de
carga dq em termos de variáveis
que saibamos integrar.
Para estruturas complexas, utilizamos métodos numéricos, tais como
por exemplo, o método de diferenças finitas ou o de elementos de
contorno.
Neste curso, nos limitaremos a estruturas que possam ser integradas
analiticamente.
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O Campo Elétrico de Distribuições de Carga
~E =
1
4pi�0
∫
rˆ
|~r |2 dq
Se, de alguma forma,
conseguirmos decompor o
elemento de carga dq em termos
de uma densidade de carga ρ (~r)
e de um elemento de volume
dV , na forma dq = ρ (~r) dV ,
nosso problema passará a ser o
de resolver uma integral de
volume.
Isto já aprendemos a fazer no curso de cálculo, o que nos dá um
caminho para calcular o campo ~E .
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O Campo Elétrico de uma Distribuição 1D de Carga
Considere o anel ao lado, carregado de
uma carga positiva e uniforme Q.
Como a carga é uniforme, isto
significa que sua distribuição se dá por
igual em todo o anel.
Consequentemente, podemos definir a
densidade linear de carga do anel na
forma:
λ =
Q
2piR
,
sendo λ um valor constante.
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O Campo Elétrico de uma Distribuição 1D de Carga
O elemento diferencial de carga será
escrito na forma:
dq = λds,
o qual irá gerar no ponto P um campo
elétrico de magnitude:
∣∣∣d ~E ∣∣∣ = 1
4pi�0
dq
r2
=
1
4pi�0
λds
(z2 + R2)2
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 7 / 22
O Campo Elétrico de uma Distribuição 1D de Carga
Da figura, você pode observar que d ~E
faz um ângulo θ com a vertical.
Para qualquer trecho do anel que você
considerar, a componente vertical de
d ~E apontará para cima.
Similarmente, as componentes
horizontais irão apontar para o centro
do anel.
Como o ponto P está exatamente
acima do centro do anel, por simetria
a soma das componentes horizontais
do campo deverá ser nula.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 8 / 22
O Campo Elétrico de uma Distribuição 1D de Carga
Considerando então apenas as
componentes verticais, temos:
d ~E =
∣∣∣d ~E ∣∣∣ [cos θzˆ ]
Da figura, temos que:
cos θ =
z
r
=
z√
z2 + R2
Logo:
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O Campo Elétrico de uma Distribuição 1D de Carga
d ~E =
∣∣∣d ~E ∣∣∣ [ z√
z2 + R2
zˆ
]
=
1
4pi�0
λds
z2 + R2
[
z√
z2 + R2
zˆ
]
Precisamos agora somar as contribuições de todos os elementos de
carga d ~E . Isto implica em integrarmos o campo de cada elemento ao
longo do anel.
Felizmente, na forma como está escrito acima, o campo d ~E não
depende da variável de integração s. Daí:
~E =
∫ 2piR
0
1
4pi�0
λds
z2 + R2
z√
z2 + R2
zˆ = . . .
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O Campo Elétrico de uma Distribuição 1D de Carga
. . . =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)
3
2
zˆ
∫ 2piR
0
ds =
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)
3
2
zˆ [s]
∣∣∣∣2piR
0
=
=
λ
4pi�0
z
(z2 + R2)
3
2
zˆ [2piR − 0] = λ · 2piR
4pi�0
z
(z2 + R2)
3
2
zˆ .
Uma vez que Q = λ · (2piR), teremos:
Campo Elétrico de Um Anel Carregado:
~E =
Q
4pi�0
z
(z2 + R2)
3
2
zˆ
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 11 / 22
O Campo Elétrico de uma Distribuição 1D de Carga
Campo Elétrico de Um Anel Carregado:
~E =
Q
4pi�0
z
(z2 + R2)
3
2
zˆ
Uma forma de verificar nosso resultado é testando-o em casos
assintóticos.
Por exemplo, considere o caso em que estejamos em uma grande
distância do anel: z � R .
Isto nos leva a:
~E =
Q
4pi�0
z
(z2 + R2)
3
2
zˆ ≈ Q
4pi�0
z
z3
zˆ → ~E = Q
4pi�0
1
z2
zˆ
correspondente ao campo de uma partícula pontual com carga Q.
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O Campo Elétrico de uma Distribuição 1D de Carga
E se medirmos o campo exatamente no meio do anel? Neste caso,
z = 0:
~E =
Q
4pi�0
=0︷︸︸︷
z
(z2 + R2)
3
2
zˆ → ~E = ~0.
Aqui temos um resultado que poderia ser inferido por simetria: no
meio do anel o campo de cada elemento de carga, que é radial, irá ser
anulado pelo campo do elemento de carga diametralmente oposto,
resultando assim num campo elétrico efetivo nulo.
Obviamente, isso só ocorreu pois a carga está distribuída
uniformemente. Caso não estivesse, aí teríamos que somar, via
integral ou outro método, a contribuição de cada elemento de carga.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 13 / 22
Exercício
Um bastão de comprimento
l possui uma densidade de
carga positiva e uniforme λ,
e carga total Q.
Calcule o campo elétrico num ponto P localizado ao longo da direção em
que se encontra o eixo do bastão, a uma distância a da ponta do mesmo.
~E =
a) − Q4pi�0al xˆ b) Q2pi�0a(l+a) xˆ c) − Q4pi�0a(l+a) xˆ d) − Q4pi�0a2 xˆ
e) Nenhuma das anteriores.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 14 / 22
O Campo Elétrico de uma Distribuição 2D de Carga
Façamos agora o cálculo para um
disco carregado com uma carga
positiva e uniforme Q.
A densidade superficial de carga σ
será:
σ =
Q
4piR2
E o elemento diferencial de carga:
dq = σdA = σ (2pirdr)
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 15 / 22
O Campo Elétrico de uma Distribuição 2D de Carga
Como já resolvemos o problema de
encontrar o campo elétrico gerado por
um anel carregado, podemos aproveitar
este resultado para escrever o campo
de um elemento de integração para o
disco, em forma de anel:
d ~E =
dq
4pi�0
z
(z2 + r2)
3
2
zˆ =
σ2pirdr
4pi�0
z
(z2 + r2)
3
2
zˆ → d ~E = zσrdr
2�0 (z2 + r2)
3
2
zˆ
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 16 / 22
O Campo Elétrico de uma Distribuição 2D de Carga
d ~E =
zσrdr
2�0 (z2 + r2)
3
2
zˆ
Somando a contribuição de todos os
anéis, obtemos o campo elétrico
gerado pelo disco:
~E =
∫ R
0
zσrdr
2�0 (z2 + r2)
3
2
zˆ =
=
zσ
2�0
zˆ
∫ R
0
r
(z2 + r2)
3
2
dr =
zσ
2�0
zˆ
[
− 1√
z2 + R2
+
1
z
]
→
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 17 / 22
O Campo Elétrico de uma Distribuição 2D de Carga
Campo Elétrico de Um Disco Carregado:
~E =
σ
2�0
[
1− z√
z2 + R2
]
zˆ
Um outro resultado importante pode ser obtido manipulando-se o que
acabamos de obter.
Se fizermos com que o raio do disco tenda a infinito,teremos
construído uma superfície plana infinita (use a imaginação!).
Vejamos como fica o campo elétrico para esta superfície:
~E = lim
R→∞
σ
2�0
[
1− z√
z2 + R2
]
zˆ =
σ
2�0
zˆ
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 18 / 22
O Campo Elétrico de uma Superfície Infinita
Campo Elétrico de Superfícies Infinitas:
~E =
σ
2�0
zˆ
Em situações práticas, muitos casos
podem ser aproximados por
superfícies infinitas.
Exemplo: placas capacitoras
paralelas em circuitos eletrônicos.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 19 / 22
Exercício
Considere dois discos e
um anel, todos planos,
cada um com a mesma
carga uniforme Q.
Ordene, do maior para o menor, os objetos de acordo com a magnitude do
campo elétrico por eles gerado no ponto P , que se encontra na mesma
altura em todos os casos.
a) a, b, c; c) a, c, b;
b) c, b, a; d) b, a, c.
e) Nenhuma das anteriores.
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Exercício
Dois bastões de plástico curvados,
um com carga +q e o outro com
carga −q formam um círculo de raio
R = 8.50 cm no plano xy .
O eixo x passam através de ambas as conexões entre os bastões, e a carga
se encontra distribuída uniformemente.
Se q = 15.0 pC, determine o campo elétrico ~E no ponto P .
a) −15.2yˆ (N/C); c) 18.15yˆ (N/C)
b) −23.8yˆ (N/C); d) 36.9xˆ (N/C)
e) Nenhuma das anteriores.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 21 / 22
Exercícios Sugeridos
Capítulo 22 do livro do Halliday, 8ª edição:
23, 27, 32, 37, 52.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 04 22 / 22