licao05 a lei de gauss

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Física 3
Lição 05: A Lei de Gauss
Giovani Manzeppi Faccin
Lição 05
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 1 / 30
O Fluxo de um Campo Elétrico
O fluxo Φ de um campo elétrico
corresponde a uma estimativa
da intensidade do campo elétrico
distribuído em uma certa região
do espaço.
Φ é, consequentemente,
proporcional à quantidade de
linhas de campo que penetram
nesta região de interesse.
Considere a figura acima, onde o campo elétrico ~E é ortogonal à
superfície A.
O fluxo neste caso será Φ =
∣∣∣~E ∣∣∣A, em unidades de N·m2C .
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O Fluxo de um Campo Elétrico
Caso as linhas de campo elétrico
não sejam ortogonais à
superfície de interesse, teremos
numa mesma área um fluxo
menor do que aparece no caso
ortogonal.
A região A′ correspondente à projeção da superfície A num plano
ortogonal às linhas de campo.
As mesmas linhas de campo que atravessam A, também atravessam
A′.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 3 / 30
O Fluxo de um Campo Elétrico
Como A′⊥~E , temos
que:
ΦA′ =
∣∣∣~E ∣∣∣A′
Daí segue que o fluxo em A será:
Φ =
∣∣∣~E ∣∣∣A′ → Φ = ∣∣∣~E ∣∣∣A cos θ
Observe que, até o momento, estamos supondo que o campo elétrico
~E é constante em toda a superfície.
Como fica o cálculo do fluxo se o campo variar ao longo do espaço?
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O Fluxo de um Campo Elétrico
Neste caso, vamos subdividir a
superfície de interesse em
regiões muito pequenas.
Em cada trecho, vamos supor
que o campo ~E seja,
aproximadamente, constante.
Esta aproximação pode ser
aprimorada tanto quanto
necessário simplesmente
subdividindo a região em
pedaços menores.
Por convenção, vamos definir os vetores ~A, correspondentes a um
elemento de área, como sendo ortogonais à superfície.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 5 / 30
O Fluxo de um Campo Elétrico
Além disto, faremos mais
uma convenção, referente
a superfícies fechadas:
Se ~E sai da superfície, seu sinal será positivo (caso 1);
Se ~E entra na superfície, seu sinal será negativo (caso 3);
Se ~E for tangencial à superfície, seu fluxo será nulo (caso 2).
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O Fluxo de um Campo Elétrico
O fluxo no i-ésimo elemento de área da superfície será:
∆ΦE =
∣∣∣~E ∣∣∣A cos θ = ~Ei ·∆~Ai
Somando a contribuição de todos os elementos de área, teremos o
fluxo que passa por toda a superfície:
ΦE ≈
∑
i
~Ei ·∆~Ai
Este cálculo ainda está aproximado, pois supomos que o campo ~E é
constante em cada elemento de área, e estes elementos podem não ter
dimensões desprezíveis.
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O Fluxo de um Campo Elétrico
Se reduzirmos a área de cada elemento, aumentando assim o total de
elementos, no limite teremos uma soma de Riemann, equivalente a
uma integral:
ΦE = lim
∆~Ai→0
∑
i
~Ei ·∆~Ai =
∫
superfície
~E · d ~A
Na maioria das vezes, estaremos interessados em calcular o fluxo em
superfícies fechadas. Neste caso:
Fluxo Elétrico em uma Superfície Fechada:
ΦE =
∮
~E · d ~A
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Exercício
Um campo elétrico uniforme atravessa uma superfície em formato
cilíndrico, conforme mostrado.
As linhas de campo são paralelas ao eixo do cilindro, e se propagam da
esquerda para a direita.
Calcule o fluxo de campo elétrico que passa por este cilindro.
a) −2EpiR2 ≤ ΦE < −EpiR2 b) −EpiR2 ≤ ΦE < 0
c) 0 ≤ ΦE < EpiR2 d) EpiR2 ≤ ΦE < 2EpiR2
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 9 / 30
Exercício
Um campo elétrico não-uniforme
dado por ~E = 3.0x iˆ + 4.0jˆ
(
N
C
)
atravessa o cubo mostrado.
Calcule o fluxo elétrico que passa pela face esquerda.
a) −50 < Φe ≤ −10 b) −10 < Φe ≤ 0
c) 0 < Φe ≤ 10 d) 10 < Φe ≤ 50
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Exercício
Um campo elétrico não-uniforme
dado por ~E = 3.0x iˆ + 4.0jˆ
(
N
C
)
atravessa o cubo mostrado.
Calcule o fluxo elétrico que passa pela face direita, em N ·m2/C.
a) −50 < Φe ≤ −10 b) −10 < Φe ≤ 0
c) 0 < Φe ≤ 10 d) 10 < Φe ≤ 50
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 11 / 30
Exercício
Um campo elétrico não-uniforme
dado por ~E = 3.0x iˆ + 4.0jˆ
(
N
C
)
atravessa o cubo mostrado.
Calcule o fluxo elétrico que passa pela face superior.
a) −50 < Φe ≤ −10 b) −10 < Φe ≤ 0
c) 0 < Φe ≤ 10 d) 10 < Φe ≤ 50
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 12 / 30
A Lei de Gauss
A Lei de Gauss relaciona o fluxo de campo elétrico presente numa
superfície fechada hipotética com a quantidade de carga dentro desta
superfície.
Uma discussão detalhada da origem desta equação se encontra no
livro do Moysés, páginas 22 a 27.
Estudar este material é uma das suas tarefas para casa nesta semana.
Nesta aula e na próxima, nosso foco será em entender como utilizar a
equação abaixo:
Lei de Gauss:
ΦE =
∮
~E · d ~A = Q
�0
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 13 / 30
A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
Considere uma única
carga pontual, positiva,
conforme mostrado ao
lado.
Gostaríamos de reproduzir um resultado conhecido através da Lei de
Gauss: a fórmula para o campo elétrico gerado por esta carga a uma
distância ~r da mesma.
A Lei de Gauss utiliza o que denominamos superfícies gaussianas,
correspondentes a uma superfície hipotética fechada no espaço,
localizada nos pontos nos quais gostaríamos de calcular o campo.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 14 / 30
A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
A superfície gaussiana
pode ter qualquer formato
que quisermos.
Dica: escolher um
formato que contenha
simetrias e que seja,
portanto, mais fácil de
calcular, sempre é uma
boa idéia!
Adotando uma superfície esférica, temos:∮
~E · d ~A = Q
�0
→
∣∣∣~E ∣∣∣ 4pir2 = Q
�0
→
∣∣∣~E ∣∣∣ = 1
4pi�0
Q
r2
Este resultado é o que já conhecíamos, antes calculado diretamente
pela definição de campo elétrico.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 15 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Cilíndricas
Ao lado temos um material isolante,
moldado na forma de um fio muito
comprido, carregado com uma
densidade de carga uniforme λ.
Queremos calcular o campo elétrico
gerado por estas cargas a uma
distância ~r do fio.
Aproveitando a simetria do fio, vamos aplicar a Lei de Gauss.
Em princípio, poderíamos também deduzir este resultado pela
definição de campo elétrico: ~E = 14pi�0
q
r2
rˆ .
Tente fazer em casa pela definição, e compare com o resultado obtido
via Lei de Gauss.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 16 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Cilíndricas
∮
~E · d ~A = E
∮
dA = EA =
Q
�0
=
λh
�0
A área da superfície curva é A = 2pirh,
logo:
E2pir Ah =
λAh
�0
→ E = λ
2pi�0r
Pela simetria, infere-se que a direção do campo é radial. Logo:
~E =
λ
2pi�0r
rˆ
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 17 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Planas
Vamos agora encontrar o campo
elétrico a uma distância r de um
plano infinito e carregado com uma
densidade de cargas positiva uniforme
σ.
Para construir uma superfície gaussiana que envolva as cargas de
interesse, vamos usar um cilindro que atravessa a folha, conforme
mostrado.
Aplicando a Lei de Gauss, teremos:
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 18 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Planas
∮
~E · d ~A = Q
�0
ESA + ESA =
σSA
�0
2E =
σ
�0
→ E = σ
2�0
Logo o campo elétrico será:
~E =
σ
2�0
nˆ
Observe que este valor é constante, não importa a distância que se
esteja do plano de cargas. Isto ocorre devido à hipótese do plano ser
infinito.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 19 / 30
O Caso de Dois Planos de Carga Infinitos
Podemos utilizar o
resultadoanterior junto do
princípio da superposição
para encontrar o campo
em planos paralelos.
Considere, por exemplo, a situação de dois planos isolantes infinitos,
carregados com cargas de sinais opostos e mesma magnitude,
conforme mostrado.
Sabemos, pelo resultado anterior, que o campo gerado por cada plano
será constante em todo o espaço. Logo:
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 20 / 30
O Caso de Dois Planos de Carga Infinitos
Nas regiões externas aos planos, os
campos se anulam.
Na região interna:
~E =
σ
2�0
nˆ +
σ
2�0
nˆ
~E =
σ
�0
nˆ
Observe que o campo novamente é constante no interior das placas
infinitas.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 21 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Esféricas
Aplicando a Lei de Gauss a cascas esféricas, podemos encontrar dois
resultados importantes:
1 Uma casca esférica de carga uniforme atrai ou repele cargas fora da
casca como se toda a carga da casca estivesse concentrada no centro
da mesma.
2 Se uma carga for colocada dentro da casca carregada, esta carga não
sentirá nenhuma força eletrostática.
Vamos aos cálculos:
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 22 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Esféricas
A figura ao lado apresenta uma casca
esférica de carga total Q e raio R ,
entre duas superfícies esféricas
concêntricas S1 e S2.
Aplicando a Lei de Gauss para a
superfície S1, dentro da qual não há
cargas: ∮
~E · d ~A = Q
�0
= 0→ E = 0
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 23 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Esféricas
Repetindo o cálculo para a
superfície S2, dentro da qual
temos uma carga Q:
∮
~E · d ~A = Q
�0
→
∣∣∣~E ∣∣∣ 4pir2 = Q
�0∣∣∣~E ∣∣∣ = 1
4pi�0
Q
r2
Reunindo tudo, temos, para a casca esférica:
~E =
{
0 r < R
1
4pi�0
Q
r2
rˆ r ≥ R
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 24 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Esféricas
Considere agora uma esfera
maciça, cuja carga está
uniformemente distribuída com
densidade ρ = Q4
3pia
3 .
Aplicando a Lei de Gauss para
pontos internos à esfera, temos:
∮
~E · d ~A = Q
�0
→ E4pir2 = ρ
(4
3pir
3)
�0
=
Q
@@
4
3pia
3
(
@@
4
3pir
3
)
�0
E =
1
4pi@@r2
Q
a3
(
rA3
)
�0
→ ~E =
(
Q
4pi�0a3
)
r · rˆ ; (r < a)
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 25 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Esféricas
Repetindo para pontos externos
à esfera:
∮
~E · d ~A = Q
�0
→ E4pir2 = Q
�0
E =
Q
4pi�
1
r2
→ ~E =
(
Q
4pi�0r2
)
· rˆ ; (r ≥ a)
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 26 / 30
A Lei de Gauss Aplicada a Simetrias Esféricas
Resultado para a esfera
sólida com distribuição
uniforme de carga:
~E =

(
Q
4pi�0a3
)
r · rˆ r < R(
Q
4pi�0r2
)
· rˆ r ≥ a
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 27 / 30
Exercício
A figura mostra uma superfície
Gaussiana no formato de um cubo de
lado 2.00 m, sendo as posições
x1 = 5.00 m e y1 = 4.00 m.
O cubo se encontra numa região onde o vetor campo elétrico é dado por
~E = −3iˆ − 4y2 jˆ + 3kˆ , com y dado em metros.
Qual é a carga líquida contida no cubo, em nC?
a) −1000 < q ≤ −500 b) −500 < q ≤ −1
c) −1 < q ≤ 500 d) 500 < q ≤ 1000
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 28 / 30
Exercício
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 29 / 30
Tarefa Para Casa
Capítulo 23 do livro do Halliday, 8ª edição:
3, 8, 12, 27, 39, 49.
Leitura da seção 3.4 do Livro do Moysés, localizada nas páginas
22 a 27.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 05 30 / 30