licao08 o potencial eletrico 2de2

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Física 3
O Potencial Elétrico 2/2
Giovani Manzeppi Faccin
Lição 08
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 1 / 29
Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
Em aulas anteriores, verificamos as duas formas possíveis para a Lei de
Gauss:
Forma Integral:∮
~E · d ~A = Q
�0
Forma Diferencial:
∇ · ~E = ρ
�0
Estas formas, somadas à própria Lei de Coulomb, correspondem a
mecanismos para o cálculo do campo elétrico.
Hoje vamos conhecer mais um mecanismo, envolvendo o potencial
elétrico.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 2 / 29
Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
Vimos na aula anterior que o potencial elétrico de uma partícula
carregada que se move num campo elétrico ~E é dado pela integral de
linha:
V − VO = −
∫ ~r
O
~E · d~s
onde O corresponde à configuração na qual as cargas estão infinitamente
separadas umas das outras; por convenção, definimos VO = 0.
A diferença de potencial entre dois pontos ~a e ~b é:
V
(
~b
)
− V (~a) = −
∫ ~b
O
~E · d~s +
∫ ~a
O
~E · d~s = −
∫ ~b
O
~E · d~s −
∫ O
~a
~E · d~s =
= −
∫ ~b
~a
~E · d~s. Logo: V
(
~b
)
− V (~a) =
∫ ~b
~a
−~E · d~s.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 3 / 29
Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
V
(
~b
)
− V (~a) =
∫ ~b
~a
−~E · d~s
Por outro lado, o teorema fundamental do cálculo nos diz que:
V
(
~b
)
− V (~a) =
∫ ~b
~a
(∇V ) · d~s
Igualando os lados direitos das equações:
∫ ~b
~a
−~E · d~s =
∫ ~b
~a
(∇V ) · d~s →
Relação Potencial - Campo:
~E = −∇V
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 4 / 29
Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial
Um detalhe muito relevante
deve ser observado: o campo
elétrico é um vetor, com 3
componentes, enquanto que o
potencial é apenas um escalar.
Relação Potencial - Campo:
~E = −∇V
Para determinar o campo elétrico temos que determinar todas as suas
componentes, o que pode ser muito trabalhoso dependendo do
método utilizado.
O seguinte atalho pode então ser adotado: calculamos o potencial
primeiro, e partir dele, com operações de derivação, obtemos as
componentes do campo elétrico.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 5 / 29
Exemplo: O Campo de uma Carga Pontual
Vamos aplicar este resultado a
um caso conhecido: a partícula
pontual carregada, mostrada ao
lado.
Já sabemos que, nesse caso:
V (~r) =
1
4pi�0
Q
r
O operador de gradiente em coordenadas esféricas é:
∇f = ∂f
∂r
rˆ +
1
r
∂f
∂θ
θˆ +
1
r sin θ
∂f
∂φ
φˆ
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 6 / 29
Exemplo: O Campo de uma Carga Pontual
Logo:
~E = −∇V = −∂V
∂r
rˆ −ZZ
ZZ
1
r
∂V
∂θ
θˆ −
HHHHHH
1
r sin θ
∂V
∂φ
φˆ = − Q
4pi�0
∂
∂r
[
1
r
]
rˆ
~E =
Q
4pi�0
1
r2
rˆ
Chegamos no resultado esperado, que já encontramos antes via Lei de
Coulomb e via Teorema de Gauss.
Suponha que uma distribuição de cargas complicada tenha um
potencial V com dependências radiais e angulares, do tipo V (r , θ, φ).
Calcular o campo elétrico desta distribuição diretamente pode ser
difícil; todavia, se encontrarmos o potencial desta distribuição,
automaticamente poderemos encontrar o campo elétrico associado.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 7 / 29
Exercício
O potencial elétrico numa dada região do plano xy é dado por
V = 2.0x2 − 3.0y2, em V/m2.
Determine o vetor campo elétrico no ponto (3.0, 2.0) (m).
a) 12xˆ + 12yˆ V/m. b) −12xˆ + 12yˆ V/m.
c) −6xˆ − 6yˆ V/m. d) −6xˆ + 6yˆ V/m.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 8 / 29
O Rotacional de ~E
Aproveitando o exemplo da partícula pontual carregada, façamos um
pequeno experimento numérico.
Sabemos que o campo elétrico desta partícula será:
~E =
1
4pi�0
Q
r2
rˆ
Vamos tentar calcular a integral de linha deste campo num caminho
fechado, em coordenadas esféricas:∫ ~b
~a
~E · d~s =
∫ ~b
~a
[
1
4pi�0
Q
r2
rˆ , 0, 0
]
·
[
dr , rdθθˆ, r sin θdφφˆ
]
=
=
Q
4pi�0
∫ ~b
~a
1
r2
dr = − Q
4pi�0
[
1
r
]∣∣∣∣~b
~a
→
∫ ~b
~a
~E · d~s = − Q
4pi�0
[
1
rb
− 1
ra
]
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 9 / 29
O Rotacional de ~E
Num caminho fechado, ~a = ~b, logo ra = rb, o que resulta em:∮
~E · d~s =
XXXXXXXXX
− Q
4pi�0
[
1
ra
− 1
ra
]
= 0
Por outro lado, pelo teorema de Stokes, sabemos que:∮
~E · d~s =
∮ (
∇× ~E
)
· d ~A
Como o lado esquerdo da equação
anterior é nulo, para que o lado direito
seja nulo para qualquer superfície, é
necessário que o argumento da integral
seja nulo.
O Rotacional de ~E
∇× ~E = 0
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 10 / 29
O Rotacional de ~E
Importante: este resultado foi
calculado para uma partícula carregada
no vácuo, na ausência de campos
magnéticos.
O Rotacional de ~E
∇× ~E = ~0
A situação muda quando existem campos magnéticos, conforme
veremos mais à frente no curso.
Como o resultado foi encontrado apenas para uma partícula, você
pode estar se perguntando qual a utilidade geral dele.
Suponha que você tenha um conjunto de partículas indexadas por
1, 2, 3 . . ., ou uma distribuição de cargas.
Pelo princípio da superposição, temos: ~E = ~E1 + ~E2 + . . .
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 11 / 29
O Rotacional de ~E
~E = ~E1 + ~E2 + . . .
Calculando o rotacional deste campo:
∇× ~E = ∇×
(
~E1 + ~E2 + . . .
)
= ∇× ~E1︸ ︷︷ ︸
=0
+∇× ~E2︸ ︷︷ ︸
=0
+ . . .→ ∇× ~E = 0.
Logo a aplicação do princípio da superposição nos permite generalizar
o resultado, feito para apenas uma partícula, para um conjunto
qualquer de partículas.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 12 / 29
A Equação de Laplace
As duas formas diferenciais (ou locais) do campo eletrostático são:
Rotacional de ~E :
∇× ~E = ~0
Lei de Gauss:
∇ · ~E = ρ
�0
Uma vez que ~E = −∇V , podemos reformular estas equações em
termos do potencial:
∇ · ~E = ∇ · (−∇V ) = −∇2V
∇2V = − ρ
�0
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 13 / 29
A Equação de Laplace
Assim temos a equação de Poisson
em termos do potencial.
No caso particular de ausência de
cargas elétricas, teremos a
equação de Laplace.
Equação de Poisson:
∇2V = − ρ
�0
Equação de Laplace:
∇2V = 0
Repetindo a operação para ∇× ~E :
∇× ~E = ∇× (−∇V ) = 0
Nada de novidade neste resultado: o rotacional do gradiente de
qualquer vetor é sempre nulo.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 14 / 29
O Potencial Elétrico de Condutores Carregados e Isolados
Vimos na aula anterior que o campo
elétrico dentro de um condutor sempre
é nulo: ~E = ~0.
Mas isto implica que:
~E = −∇V = 0→ ∇V = 0→ V = constante!
No interior de condutores, o potencial
elétrico é constante.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 15 / 29
O Potencial Elétrico de Condutores Carregados e Isolados
Esse resultado continua valendo
mesmo se o condutor estiver
imerso num campo elétrico.
Nesse caso o campo irá induzir
cargas que se ajustarão de forma
a manter o potencial no interior
do condutor constante, e
consequentemente, o campo
elétrico no seu interior nulo.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 16 / 29
Exercício
Determine o excesso de carga numa esfera condutora de raio r = 0.15 m,
se o potencial na esfera é V = 1500 V e V = 0 no infinito.
a) −10 < q ≤ −10−5 C b) −10−5 < q ≤ 0 C
c) 0 < q ≤ 10−5 C d) 10−5 < q ≤ 10 C
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 17 / 29
O Potencial Elétrico de Condutores Carregados e Isolados
O fato de que não há cargas na
parede interna de um condutor
oco carregado foi observado por
B. Franklin em 1755,
suspendendo um pedacinho de
rolha por um fio de seda e
colocando-o dentro de uma lata
carregada, conforme mostrado
ao lado.
Mas,e se a rolha inserida
estivesse carregada?
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 18 / 29
O Potencial Elétrico de Condutores Carregados e Isolados
Nesse caso a carga q inserida
induziria uma distribuição de
cargas −q no interior do
condutor e +q no exterior, de
forma a manter o campo elétrico
no seu interior nulo.
Se, em seguida, a carga q tocar
a parede interna do condutor,
imediatamente será cancelada
pela carga −q induzida nas
paredes internas.
Porém, nesse caso, teríamos uma carga resultante líquida +q sobrando
na superfície do condutor.
Esse mecanismo é usado para transferir e acumular cargas em
condutores.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 19 / 29
O Gerador Van de Graaff
É o princípio de funcionamento dos geradores Van de Graaff:
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 20 / 29
As Descargas de Corona
Será que um objeto qualquer
pode acumular carga sem
limites?
O limite de acúmulo de carga é
dado pela rigidez dielétrica do
meio. Para o ar, isto vale cerca
de 3× 106 Vm .
Ao atingir esse limite, as moléculas do gás se ionizam, criando uma
atmosfera condutora na qual corrente elétrica pode fluir.
O termo técnico para esse fenômeno é descarga de corona.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 21 / 29
Exercício
Uma técnica utilizada para o estudo de relâmpagos
consiste na construção de um domo esférico no qual
carga é continuamente acumulada através de um
gerador Van de Graaff.
O processo de acúmulo de carga é mantido até o ponto em que o campo
elétrico na superfície do domo se iguale à resistência dielétrica do ar.
Qualquer excesso de carga adicional gera pequenos relâmpagos, tais como
os mostrados na figura.
Suponha que o domo tenha um diâmetro de 30.0 cm e esteja rodeado por
ar seco cujo campo elétrico de ruptura seja 3.00× 106 V/m.
Qual é o máximo potencial elétrico no domo?
a) −106 < V ≤ −10 V b) −10 < V ≤ 0 V
c) 0 < V ≤ 10 V d) 10 < V ≤ 106 V
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 22 / 29
As Descargas de Corona
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 23 / 29
O Poder das Pontas
Considere duas esferas condutoras de raios r1 e r2, cujos centros
distam de uma distância d � r1, r2. Seus potenciais serão:
V1 =
1
4pi�0
q1r1 + q2d︸︷︷︸
≈0
 ≈ q14pi�0r1
V2 =
1
4pi�0
q2r2 + q1d︸︷︷︸
≈0
 ≈ q24pi�0r2
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 24 / 29
O Poder das Pontas
Conecte agora estas esferas
através de um fio condutor
muito fino.
A carga total q = q1 + q2 irá fluir entre as esferas, deixando-as com
novas cargas q′1 e q
′
2.
Desprezando a presença do fio, teremos então:
V ≈ q
′
1
HHH4pi�0r1
≈ q
′
2
HHH4pi�0r2
→ q
′
1
r1
≈ q
′
2
r2
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 25 / 29
O Poder das Pontas
q′1
r1
≈ q
′
2
r2
→ q′1 = q′2
r1
r2
A carga total será:
q = q′1 + q
′
2 ≈ q′2
r1
r2
+ q′2 ≈ q′2
(
r1
r2
+ 1
)
Isolando q′2, e depois repetindo o processo substituindo q
′
1:
q′2 ≈
q(
r1
r2
+ 1
) ≈ qr2
r1 + r2
; e q′1 ≈
q(
r2
r1
+ 1
) ≈ qr1
r1 + r2
;
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 26 / 29
O Poder das Pontas
q′2 ≈
qr2
r1 + r2
; e q′1 ≈
qr1
r1 + r2
;
As densidades superficiais de carga são:
σ1 =
q′1
4pir21
e σ2 =
q′2
4pir22
Dividindo uma equação pela outra:
σ1
σ2
≈
q′1
ZZ4pir21
q′2
ZZ4pir22
≈
HHqr1
XXX(r1+r2)r C21
HHqr2
XXX(r1+r2)r C22
≈
1
r1
1
r2
≈ r2
r1
→ σ1
σ2
≈ r2
r1
.
Conclusão: a densidade de cargas é inversamente proporcional ao
raio de curvatura da superfície condutora.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 27 / 29
O Poder das Pontas
Isso explica um fenômeno
conhecido como poder das
pontas.
Em condutores a carga elétrica
tende a se acumular em objetos
pontiagudos.
No caso do pára-raios a carga
induzida na superfície da Terra
se acumula na ponta do
dispositivo
Quando o raio ocorre, ele é atraído diretamente para a alta
concentração de cargas presente no pára-raios, e com isso, não atinge
outros objetos próximos.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 28 / 29
Tarefa Para Casa
Exercícios Sugeridos - Capítulo 24 do livro do Halliday, 8ª edição:
39, 67, 72, 94, 118.
Giovani Manzeppi Faccin Física 3 Lição 08 29 / 29