apostila engenharia economica (Carlos Eduardo Marinho Diniz)

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I – IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA
	NOME: Matemática Financeira/
Engenharia Econômica
	PROFESSOR
Carlos Eduardo Marinho Diniz
	CARGA HORÁRIA
20 horas
	CURSO
MBA em Administração Financeira
O Professor Eduardo, Possui graduação em Ciências Econômicas pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (1999) Especialização em Perícia Judicial e mestrado em Engenharia de Produção pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (2004). Atualmente é professor titular da Faculdade Natalense Para o Desenvolvimento do Rio Grande do Norte , Professor Titular da Faculdade União Americana e Professor Titular da Faculdade Católica Nossa Senhora das Neves. Tem experiência na área de Economia com ênfase em desenvolvimento regional, na área de Administração, com ênfase em Administração Financeira Privada e Pública e em Engenharia de Transportes com ênfase em acidentalidade. Atuando principalmente nos seguintes temas: Gestão Financeira, Gestão Pública, Planejamento Urbano, Engenharia Econômica, Transportes, Gestão da Qualidade, Analise de Custos, Sistema Financeiro, Mercado Segurador e Empreendedorismo.
	II – EMENTA
Conceitos Básicos e Simbologias. Juros Simples. Juros Compostos. Operações de Desconto. Equivalência de Taxas. Rendas ou Anuidades. Sistemas de Amortização de Empréstimos. Análise de Fluxo de Caixa. Valor Presente Líquido. Taxa Interna de Retorno.
	III – OBJETIVO
- Desenvolver no aluno a capacidade de análise e de soluções de problemas a partir de princípios básicos estudados nos conteúdos citados acima.
- Entender e realizar levantamento das questões da economia empresarial no Brasil do império até o momento atual.
	IV – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
I – CONCEITOS BÁSICOS
introdução
Premissas e princípios
Custo de Oportunidade
Juros, Conceitos e Modalidades
A Variável Tempo
II–TAXA DE JUROS
Juros Simples
Juros Compostos
Comparação entre RJS e RJC
III–FLUXO DE CAIXA E SIMBOLOGIA
IV–RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
 Relação entre valor presente P(Vp, Vo ou Va) e valor futuro F (Vf)
Serie Uniforme
Série Gradiente Uniforme
V–CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXA DE JUROS
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Conversão de Taxa Nominal em Taxa Efetiva
VI – TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE
VII– TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR
VIII – INFLAÇÃO
Inflação e Juros
IX – AMORTIZAÇÃO E CALCULO DO SALDO DEVEDOR
 Pagamento Uniforme – Tabela Price
Sistema de Amortização Constante
X – Análise de alternativas
Critérios econômicos para seleção de alternativas
Método do Valor Atual ou Valor Presente
Alternativas com durações desiguais
Método do Equivalente Uniforme Periódico ou Anual
	V – METODOLOGIA
Aulas expositivas utilizando a lousa e/ou projetor
Estudo em equipe / individual
Discussão e análise dos resultados dos grupos – equipes
Exercícios avaliativos
	VI – AVALIAÇÃO
Serão considerados os seguintes indicadores:
Desempenho dos alunos nos trabalhos realizados na disciplina;
A assiduidade às aulas, com no mínimo 75% de freqüência.
	VII – REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 4a ed. São Paulo: Atlas, 1998.
FRANCISCO, Walter de. Matemática Financeira. 7a ed. São Paulo: Atlas, 1994.
HAZZAN, Samuel, POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 4a ed. São Paulo: Atual, 1993.
HEWLETT-PACKARD. HP-12C – Manual do proprietário e guia para solução de problemas. 
MATHIAS, W. Franco, GOMES, José M. Matemática Financeira. 2a ed. São Paulo: Atlas, 1993.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 6a ed. São Paulo: Saraiva, 1999.
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira. 2a ed. São Paulo: Makron Books, 1999. 
SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998.
TEIXEIRA, James, NETTO, Scipione Di Pierro, Matemática Financeira. 1a ed. São Paulo: Makron Books, 1998. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Manual de aplicações financeiras HP-12C. 2a ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 6a ed. São Paulo: Atlas, 1997.
1. Conceitos básicos
1.1 Introdução
A escassez de recursos frente às necessidades ilimitadas das empresas faz com que cada vez mais se procure otimizar a utilização de tais recursos.
Um desses recursos é o capital. Na estrutura sócio-econômica em que vivemos, o dinheiro tem não somente a função de facilitar o processo de transações entre os elementos da sociedade, mas também de servir de elemento importante no processo de produção dos bens e serviços sendo transacionados, assim como na distribuição destes produtos entre a população. Esta ação de participar do processo de produção se dá através do investimento. 
Assim, um investimento pode ser definido como sendo uma aplicação de dinheiro em projetos de implantação de novas atividades, expansão, modernização, etc., da qual se espera obter uma boa rentabilidade. Portanto, torna-se necessário analisar as alternativas para garantir um bom retorno do investimento.
Se dispuséssemos de recursos ilimitados de capital, não haveria necessidade de aplicação das técnicas que serão apresentadas a seguir. Todas as propostas de aplicação de fundos seriam aceitáveis, desde que obedecessem a um simples critério : a renda total deve exceder o total dos gastos. Entretanto, no mundo real os recursos são limitados. A oferta de capital disponível não é suficiente para satisfazer toda a demanda imaginável, não sendo possível aproveitar todas as oportunidades de investimentos.
Análises envolvendo a escolha entre processos produtivos alternativos, de substituição de equipamentos, de escolha entre a compra e o aluguel de um dado imóvel industrial ou de uma máquina, são alguns dos exemplos de questões tratadas pelos engenheiros e administradores cujas decisões serão tomadas com base, entre outras, nas técnicas de Engenharia Econômica.
A análise prévia dos investimentos permite que se racionalize a utilização dos recursos de capital. Para a solução de um problema de análise de investimentos, dentro da complexidade do mundo atual, é necessário o conhecimento de técnicas especiais estudadas em uma disciplina conhecida por Engenharia Econômica.
As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na ciência exata chamada Matemática Financeira, que por sua vez descreve as relações do binômio Tempo e Dinheiro. 
1.2 Premissas e princípios
Todas as decisões são tomadas a partir de alternativas. Não havendo alternativas não há decisão a tomar.
É necessário um denominador comum, (a rentabilidade comum, por exemplo) a fim de tornar as conseqüências mensuráveis. Não é possível misturar ordens.
Apenas as diferenças entre alternativas são relevantes. As alternativas competem entre si. São mutuamente excludentes.
Os critérios para decisões de investimento devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e os problemas relativos ao racionamento de capital. As avaliações de engenharia econômica servem para decisões voltadas para o futuro.
1.3 Custo de oportunidade
A diferença de valores entre duas taxas de juros, provindas de alternativas econômicas diferentes de investimento, constitui, para a alternativa aceita e de menor valor, uma taxa de juros chamada de custo de oportunidade. Admitindo que os bancos pagam 20% ao ano juros, manter uma quantia qualquer de dinheiro sem investí-lo incorre-se num custo de oportunidade de 20% ao não que este dinheiro deixa de render.
Se existir uma outra oportunidade de investimento que renda 50% ao ano, o custo de oportunidade de manter o dinheiro sem investí-lo será de 50%, e de por o dinheiro no banco será de 30%. O custo de oportunidade é um conceito relativo e depende das possibilidades de investimentos existentes. Constitui o que se “paga” por não se preferir a oportunidade de maior rendimento.
1.4 Juros : conceito e modalidades
Os juros são portanto o custo do capital,mais especificamente os juros correspondem ao pagamento pela oportunidade de dispor de um capital durante um determinado tempo.
Exemplos de algumas transações que envolvem juros :
- compras à crédito
- cheques especiais
- compra de casa própria
Todas as transações que envolvem dinheiro devem ser analisadas considerando-se juros envolvidos explicitamente ou implicitamente. Uma compra à vista também é analisada considerando-se juros.
O juro, que representa o rendimento em troca do uso do dinheiro por certo tempo, é o elemento básico para a ligação entre valores em um ponto de tempo e outro. A taxa de juros representa o percentual do capital inicial a ser pago na forma de juros no final do período do qual a taxa se refere.
1.5 A variável tempo
Quando situações econômicas são investigadas, as quantidades de dinheiro envolvidas são sempre relacionadas com um fator indispensável e incontrolável, o tempo. Todas as quantias de dinheiro serão referidas à uma data e somente poderão ser transferidas para uma outra data considerando os juros envolvidos nesta transferência.
Assim, será impossível somar ou subtrair quantias de dinheiro que não se referirem à mesma data.
2. Taxa de Juros
O capital inicialmente investido, denominado principal, pode crescer devido aos juros segundo duas modalidades: juros simples ou juros compostos. 
2.1. Juros simples
Quando são cobrados juros simples apenas o principal rende juros. Os juros são diretamente proporcionais ao capital (emprestado ou aplicado).
J = i P n
onde :
P = principal ou capital na data de hoje; (Va ou Vo)
i = taxa de juros
n = número de períodos de juros
Os juros obtidos aumentam linearmente.
O montante F (Vf ) que uma pessoa que obtenha um empréstimo deverá 
devolver, ao fim de n períodos será :
F = P + J = P + iPn F = P ( 1 + in)
2.2. Juros compostos
Após cada período de capitalização, os juros são incorporados ao principal e passam a render juros também.
Após cada mês (período de capitalização) os juros são somados à divida anterior, e passam a render juros no mês seguinte. Tudo se passa como se cada mês o empréstimo fosse renovado ( no valor do principal mais os juros relativos ao mês anterior.
Após o 1° período : F1 = P ( 1 + i )
Após o 2° período : F2 = F1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )2
Após o 3° período : F3 = F2 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )3
Após o n-ésimo período Fn = P ( 1 + i )n
2.3. Comparação entre juros simples e juros compostos
Exemplo : Supondo R$100 emprestados a uma taxa de 5% ao mês. O quadro a seguir mostra a evolução de R$100 a juros de 5% ao mês durante um ano. No caso de juros simples 5% ao mês correspondem a 60% ao ano (a.a.), ou seja taxas proporcionais. Em juros compostos temos 5% ao mês correspondendo a 79,5856% ao ano.
3. Fluxo de caixa e simbologia
A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem em instantes diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação gráfica simples chamada diagrama de fluxo de caixa.
A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste em uma escala
horizontal onde são marcados os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima os recebimentos e com setas para baixo os desembolsos de capital. A unidade de tempo deve coincidir com o período de capitalização de juros considerado.
4. Relações de equivalência
Conforme visto anteriormente, pode-se definir juros como o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado ou como a remuneração do capital empregado em investimentos ou em atividade produtivas. A noção de equivalência está intimamente relacionada à taxa de juros. Considere o plano de empréstimo tomado de um banco que cobra 3% de juros ao mês. Nessas condições, um empréstimo de R$100 pode ser pago em dois meses por um dos seguintes planos:
Todos os planos baseiam-se em juros compostos de 3% ao mês. Apesar de envolverem pagamentos de magnitude diferente em instantes de tempo diferentes, os planos possuem dois pontos em comum: juros de 3% ao mês, débito igual a zero no fim do segundo período.
Conclui-se que os planos são equivalentes a R$100,00 na data inicial (t = 0), a juros de 3% ao mês, porque pagam exatamente o empréstimo feito.
O exemplo acima mostra que quando se lida com quantias monetárias, alem do valor numérico, interessa também o instante em que tais quantias serão pagas ou recebidas.
4.1. Relação entre valor presente P(Vp, Vo ou Va) e valor futuro F (Vf)
A transformação de um valor presente em um montante e vice e versa permite resolver problemas do tipo: 
- qual valor que deverá ser investido hoje a uma determinada taxa de juros para se obter uma quantia F após um certo tempo ?
- investindo hoje uma quantia P a uma taxa de juros, qual a quantia F obtida após n períodos ? 
Admitindo que uma quantia P tenha sido emprestada. Após o primeiro período de capitalização, a dívida será :
4.2. Série uniforme
A série uniforme é definida como sendo uma série de valores constantes (desembolsos ou recebimentos) que se inicia no período 1 e termina no período n. 
- Relação entre valor atual e série uniforme
- Relação entre valor futuro e série uniforme
Obtenção de um montante a partir de uma série uniforme de pagamentos, e vice-versa. Um exemplo é o caso de depósitos programados para uma retirada futura.
4.3. Série gradiente uniforme
5. Considerações sobre taxas de juros
5.1. Taxa nominal e taxa efetiva
A taxa de juros contratada em uma operação financeira chama-se taxa nominal. Essa taxa nem sempre é igual à taxa efetiva que é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da efetiva, como por exemplo juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas.
Esses e outros artifícios às vêzes são usados conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a conveniência. 
Seja uma taxa de juros de 1% ao mês. Ao se determinar a correspondente taxa anual, pode-se chegar a resultados distintos conforme se considere juros simples ou compostos. Tomando-se juros simples, seria 12% a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1%. Esta taxa anual é chamada de taxa nominal de juros. Tomando-se agora juros compostos, a taxa anual seria 12,7%, chamada de taxa efetiva de juros.
No primeiro caso, foi feita uma soma simples da taxa mensal, não incidindo portanto juros sobre juros, enquanto que, no segundo caso, a taxa mensal foi capitalizada, isto é, a cada mês a taxa mensal incide sobre a do mês anterior. Matematicamente, chamando de i a taxa efetiva anual e r a taxa nominal anual, a partir de uma taxa i’ por período de capitalização e m períodos de capitalização durante o ano :
Se um título rende 36% ao ano é dito que o mesmo rende 3% ao mês, o que é incorreto. Para que a taxa de juros seja considerada efetiva é necessário que o período referido na taxa coincida com o período de capitalização, caso contrário a taxa será dita nominal. Até aqui foram consideradas apenas taxas efetivas. 
Exemplos de taxas nominais :
 40% ao ano com capitalização mensal
 5% ao mês com capitalização anual
5.2. Conversão de uma taxa Nominal em Efetiva
Seja uma taxa nominal r capitalizada m vezes por período. Será determinada a taxa equivalente i por período. Seja ainda P uma quantia emprestada a taxa r. O montante F formado após um período é:
ou seja, o montante poderá ser calculado por qualquer uma das taxas, nominal ou efetiva; 
Simplificando tem-se :
6. Taxa mínima de atratividade
(taxa de expectativa; taxa de equivalência)Ao fazer um investimento, comparamos os prováveis dividendos por ele proporcionados com os de outros investimentos disponíveis.
A taxa de juros que o dinheiro investido irá proporcionar deverá ser superior a uma taxa prefixada, com a qual fazemos a comparação.
Tal taxa de juros comparativa e prefixada é chamada : TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE
Exemplo:
Um investimento de $50.000 proporciona por 10 anos, valores uniformes de $15.000; podemos examinar tal oferta sob a seguinte questão :
Qual seria a mínima taxa de juros comparativa para considerarmos interessante o investimento proposto ?
Imaginemos que tal taxa seja de 20% a.a. Esta taxa passaria a ser a Taxa Mínima de Atratividade O investimento analisado daria os seguintes valores uniformes :
U = 50.000 (U/P; 20%; 10)
U = 50.000 x 0,239
U = 11.950
Como os dividendos oferecidos são de $15.000, maiores que $12.000 concluímos ser interessante o investimento proposto por oferecer dividendos maiores que os da taxa mínima de atratividade.
7. Taxa interna de retorno - TIR
A TIR de um fluxo de caixa é a taxa para a qual o valor presente é nulo.
Exemplo : É feito um investimento de $1.000 que renderá $200 por ano durante 6 anos. Qual a TIR deste investimento ?
P = -1.000 + 200(P/U; i%; n)
(P/U; i%; n) = 5
Verificando nas tabelas, os valores mais próximos a 5 para (P/A; i%; 6) correspondem às taxas de 5,4 e 5,5%
Frequentemente, a taxa TIR só pode ser encontrada por tentativas. Como regra geral :
1) arbitra-se uma taxa e calcula-se o valor presente do fluxo de caixa;
2) sendo o valor presente positivo, aumenta-se o valor da taxa e recalcula-se; sendo negativo, diminui-se o valor da taxa
3) repete-se o passo anterior até que se chegue a um valor próximo de zero.
8. Inflação
Não abordaremos nenhuma análise sobre a inflação nem qualquer teoria objetivando seu combate. Trataremos apenas de assuntos resultantes de sua existência.
De uma forma geral, nos estudos apresentados, foram considerados condições estáveis da moeda. Geralmente, os estudos são feitos em condições estáveis da moeda, por não ser possível prever com exatidão, condições futuras das contribuições de um Fluxo de Caixa, sob influência da inflação.
Os acertos reais dos valores, relativos a duas épocas, referidos em condições estáveis da moeda, são realizados com o auxílio de índices de referência. Tais índices expressam situações em várias épocas relacionadas a uma espécie enunciada, por meio dos quais pode-se atualizar os valores das épocas de espécie referida. Conforme a espécie referida, poderíamos ter: índices de preços ao consumidor, índices de preços por atacado, índice geral de preços, etc..
8.1. Inflação e Juros
Quando um compromisso está sujeito à inflação (correção monetária, que visa tornar o valor do compromisso, corrigido monetariamente, de acordo com determinado índice. Um investimento de $1.000 por um ano num empreendimento que paga 6% ao ano e mais a correção monetária devido a inflação. Se ao fim de um ano a inflação for de f = 35%, $1.000 ao fim de um ano vale menos (em poder aquisitivo), vale :
$1.000/(1+0,35)
o empreendimento paga ao fim de um ano $1.000(1+0,06)(1+0,35), inclui a correção monetária o poder aquisitivo é:
É possível raciocinar com o dinheiro a valor constante (em termos de poder aquisitivo) Pressuposto : todos os preços, custos, contratos, etc., sejam reajustados no fim de cada período de exatamente o valor da correção monetária que compensa a inflação.
Caso contrário : proceder às análises com juros totais (inclusive a inflação) j e valores monetários. Ao comprar um imóvel com parcelas de dinheiro com correção monetária significa que as mudanças nas parcelas consideradas entre os períodos t e t-1 são tais que 
Pt = Pt-1 ( 1 + f ) , onde f é o valor de correção monetária
considerando um processo que paga juros i mais correção monetária f sobre um capital K, o montante correspondente (juros + correção monetária) ao fim de um período é :
Ao considerar o fator j = ( i + f ) estaremos cometendo um erro, principalmente se i e f forem valores elevados.
9. Amortização : Cálculo do Saldo Devedor
Análise de sistemas de pagamento
 pagamento uniforme (sistema PRICE)
 amortização constante (sistema SAC)
9.1. Pagamento Uniforme – Sistema Price
Pagamento uniforme ou método dos equivalentes uniformes anuais Ao pagar uma parcela de uma dívida, é interessante saber : 
- quanto corresponde aos juros sobre o saldo devedor
- quanto corresponde à reposição do principal (capital inicial)
Quando pagamos uma unuidade Am, a mesma se compõe de :
- uma parcela correspondente aos juros Km sobre o saldo devedor
- outra Km de reposição do capital
Am = Km + Km para o período seguinte tem-se :
Am+1 = Km+1 + Km+1
mas os pagamentos são uniformes Am = Am+1
Desta forma :
Km - Km+1 = Km+1 - Km
a diferença Km - Km+1 é igual ao juro da parcela do capital principal, reposta entre os tempos m e m+1
ou seja, Km - Km+1 = i Km (onde i é a taxa de juros)
Assim,
Km+1 = Km + i Km = Km ( 1 + i )
As cotas de reposição do capital inicial aumentam em progressão geométrica, com razão ( 1 + i )
9.2. Sistema de Amortização Constante
A parcela de reposição do capital é constante Os juros são pagos no fim do período sobre o total do saldo devedor correspondente ao período As parcelas globais a pagar são decrescentes (não uniformes) 
10. Análise de alternativas
10.1. Critérios econômicos para seleção de alternativas
A Engenharia Econômica fornece critérios para tomada de decisão entre alternativas de investimentos. Os critérios levam em consideração fatores econômicos e o objetivo é a escolha da alternativa de maior rentabilidade, embora a meta do investidor possa não ser apenas esta.
É importante destacar que a questão econômica não é o único fator a ser considerado na decisão final. Nem sempre as propostas de investimento mais rentáveis podem ser realizadas, normalmente devido as limitações dos recursos. A análise da disponibilidade destes, dos encargos financeiros assumidos, etc., deve ser feita paralelamente, o que é denominado análise Financeira dos Investimentos.
Além disso, existem outros fatores que podem influir na avaliação final e que não podem ser reduzidos a valores monetários. São os chamados fatores imponderáveis. Sua avaliação tem caráter subjetivo e depende daqueles que têm a responsabilidade da decisão. Os métodos de comparação de alternativas de investimento baseiam-se no princípio de equivalência. Isto pressupõe uma taxa de juros que será aplicada na avaliação de cada uma das alternativas. Resumidamente, serão apresentados três métodos de avaliação: método do valor atual, método do equivalente uniforme e da taxa de retorno.
10.2. Método do Valor Atual ou Valor Presente
No método do Valor Atual calcula-se o valor do fluxo de caixa, com o uso de uma taxa de juros, normalmente a taxa mínima de atratividade. Sendo o valor atual positivo, a proposta de investimento é atrativa. No caso de duas ou mais propostas, escolhe-se a de maior valor atual.
No segundo caso (alternativas III e IV), a análise entre as alternativas já não é tão simples. A simples somatória das parcelas é inviável.
 $ 500 no período 2 vale mais ou menos que uma parcela de $ 600 no período 3 ?
O método do Valor Atual consiste em « transportar » todos os valores para o ponto t = 0.
Dadas diversas alternativas, é possível calcular os valores atuais equivalentes, às séries correspondentes e compará-los para decidir qual a melhor.
É importante observar que ao se investir uma quantia exatamente a taxa de atratividade, o valor presente do projeto será nulo. Um valor atual positivo indica que está investindo a uma taxa superior à taxa de atratividade. Ou seja, as quantias futuras, descontadas à taxa mínima de
atratividade,superam o investimento inicial necessário. O inverso ocorre para valores presentes negativos o que significa que se está investindo mais do que se irá obter.
10.3. Alternativas com durações desiguais
A engenharia econômica compara sempre alternativas que devem apresentar durações iguais, o que nem sempre ocorre na realidade. Para transpor essa dificuldade podemos empregar um artifício para que seja possível a comparação das alternativas com durações diferentes.
Trata-se da adoção de uma duração final comum a todas as alternativas. Adota-se o Mínimo múltiplo comum das duas (ou mais) durações e emprega-se o Método do Valor Atual normalmente, comparando-se as diferentes alternativas para chegar à melhor escolha em termos econômicos.
10.4. Método do Equivalente Uniforme Periodico ou Anual
A comparação entre as alternativas de investimento pelo método do Equivalente Uniforme Periódico ou Anual é feita reduzindo-se o fluxo de caixa de cada alternativa a uma série uniforme, com o uso de uma taxa de juros específica (taxa mínima de atratividade). Os valores obtidos são
confrontados, permitindo a tomada de decisão.
Seja um investimento no qual obtemos uma série de valores diferentes. Podemos transformar estes valores diferentes em valores uniformes iguais.
 Facilidade de análise
transformar todos os valores de cada alternativa em uma série equivalente uniforme de mesma duração e comparar os elementos das séries em princípio, para cada alternativa uma duração igual ao mínimo múltiplo comum (repetição dos ciclos).
Observa-se : o equivalente uniforme de cada alternativa com duração igual ao m.m.c. coincidirá com o equivalente uniforme de cada alternativa com duração igual a apenas um ciclo Neste caso não há necessidade de determinar o mínimo múltiplo comum das duas alternativas. Resolve-se diretamente, calculando-se o equivalente uniforme, mesmo com durações desiguais O princípio da Engenharia Econômica de comparar sempre alternativas com durações desiguais continua sendo respeitado.
Continua em vigor a consideração da repetitividade dos ciclos. 
O CAIXA É REI” — O caso da Riocell ilustra a evolução dos sistemas de avaliação. Hoje, o que menos se olha numa empresa são seus ativos fixos, como máquinas e equipamentos. Nem sua história. “O passado da empresa é só o ponto de partida da avaliação”, diz Orfeu Trivelli, sócio da Strategía, empresa de avaliação de São Paulo. “O que nos interessa é o seu futuro.” Não é o caso de procurar a mãe Dinah. A bola de cristal dos avaliadores tem sido o DCF. O objetivo do sistema é avaliar a capacidade de geração de caixa da empresa. Ela faz dinheiro hoje e demonstra condições de continuar fazê-lo no futuro? Então, tem produtos, marcas, custos baixos, gestão eficiente, talentos, tecnologia. Compre-a. 
“O caixa é rei”, diz o americano Thomas Copeland, sócio da McKinsey, uma das mais conceituadas consultorias do mundo. Copeland é autor de Valuation, a bíblia dos avaliadores nos Estados Unidos. Ainda sem tradução para o português, o livro e seu conceito têm adeptos por aqui. “É o meu livro de cabeceira”, diz Fábio Castanheira Ribeiro, analista de investimento do Banco Real. Ribeiro não avalia empresas para operações de compra e venda. Ele recomenda suas ações ao mercado. “O modelo tradicional de avaliação embaça a visão do investidor”, diz Ribeiro. “Todo mundo sabe que os números dos balanços podem ser manipulados ou não revelar a real situação da empresa.” Aí está a fragilidade da avaliação apenas pelo valor patrimonial estampado nos balanços.
É o caso da Brahma. A cervejaria tem sido a vedete das análises de Ribeiro nos últimos meses. A empresa é a mais valorizada das bolsas brasileiras. Os investidores compram suas ações por 3,26 vezes o seu valor patrimonial. Nos últimos doze meses, o índice Bovespa valorizou-se 37%. As ações da Brahma, 96%. “É uma empresa cuja gestão se preocupa em criar valor para o acionista”, diz Ribeiro (veja reportagem Sua empresa dá dinheiro?). Por isso, vive uma situação singular. No balanço, ela vale 705 milhões de dólares. Mas se alguém se aventurasse num eventual takeover teria de desembolsar 3,4 bilhões de dólares por 100% de suas ações. 
O balanço da Brahma está errado? Não necessariamente. O balanço é um retrato da situação da empresa em determinado momento. Para a avaliação, interessa justamente o futuro. Entretanto, dois terços dos executivos ouvidos pela Simonsen ainda acham que os ativos fixos são seus bens mais preciosos. “Se você tem um empresa que não gera caixa, então você não tem um negócio”, diz Antônio Cordeiro, da Simonsen. “Você só tem patrimônio.” 
Os prédios e equipamentos da Pão Americano, dona da marca Pullmann, não valem 85 milhões de dólares, o valor pago pela Santista Alimentos, do grupo Bunge, para ficar com a empresa. “Nós compramos uma rede de distribuição, uma marca forte e seu potencial para estimular nossos negócios atuais”, diz Roberto de Azevedo, diretor da Santista para as operações de massas e pães. Em outras palavras, a Santista não comprou a fábrica. O grupo já era dono da Plus Vita, no Rio de Janeiro, e queria crescer nesse setor. Com a Pullmann, tornou-se o maior fabricante de pães industriais no país. 
LUVAS — Para chegar ao valor pago, a Santista utilizou o método do fluxo de caixa descontado. Por ele, a empresa acabou pagando 1,2 vez o faturamento da Pão Americano. Trata-se de um valor acima da média para empresas de alimentos. A Gessy Lever pagou pela Cica o equivalente às suas vendas anuais, que eram de 282 milhões de dólares em 1993. A Santista não se importa com a comparação. A empresa entrou no mercado paulista com um negócio pronto, funcionando. Mais que isso, com uma rede de distribuição eficiente. Para um produto como o pão, altamente perecível, a distribuição vale ouro. Se fosse criar uma empresa nova, a Santista perderia tempo e dinheiro incalculáveis. “A aquisição é estratégica para nós”, diz Azevedo.
As aquisições estratégicas tornaram-se mais comuns a partir da abertura do mercado brasileiro. Nelas, o comprador aceita pagar mais do que o negócio valeria se fosse calculado pelas metodologias tradicionais — uma espécie de luvas para ficar com a empresa. Esse tipo de investidor em geral está de olho no mercado, não em lucros rápidos. As multinacionais dispostas a desembarcar no Brasil são um bom exemplo de investidor estratégico. Outro exemplo: empresas com planos de expansão rápida. A mais famosa dessas aquisições envolveu 1,04 bilhão de dólares no começo de 1995. Foi o preço pago pela Colgate-Palmolive para ficar com a Kolynos. O valor é 3,6 vezes o faturamento anual da Kolynos. A Procter & Gamble, candidata à compra da Kolynos, contestou o negócio no Cade. Uma de suas argumentações é que a Colgate pagou mais do que a Kolynos valia. A Colgate não contesta com números. “Kolynos é uma marca pronta, líder do mercado brasileiro e pode virar um nome mundial”, diz Carlos Eduardo Toro, vice-presidente jurídico e de assuntos corporativos da Colgate-Palmolive. “Pagamos pelo que podemos fazer com a Kolynos no futuro.”
Os argumentos da Colgate são conhecidos pelos especialistas como bens intangíveis ou goodwill, no inglês. Exemplo: marca, tecnologia, clientes, qualidade da gestão, entre outros. Quanto vale uma equipe de gerentes afinada com as estratégias da empresa? Vale tanto quanto a empresa perderia se não a tivesse. “O goodwill é a diferença entre o patrimônio líquido, registrado no balanço, e o valor efetivamente pago”, diz Alberto Camões, diretor do Banco Pactual. “Se uma empresa gera caixa é porque tem bens intangíveis.”
“Eu não vendo a minha empresa por menos do que 15 milhões de dólares”, diz George Waddel, sócio da Mercosul Assistência. Na verdade, Waddel, um inglês radicado há três anos no Brasil, acredita que pode cobrar até 20 milhões. Seus ativos (microcomputadores, sistemas de telefonia, entre outros) valem um quarto desse valor, 5 milhões de dólares. Detalhe: Waddel e seu sócio, Keith Westmacott, compraram a Mercosuldo grupo francês GM&F, em 1993, por 3,8 milhões de dólares. A empresa atua num setor em expansão, o de assistência mecânica a clientes de seguradoras, cartões de crédito e montadoras. No ano passado, o crescimento chegou a 20%. Além disso, tem uma lucratividade alta. Para um faturamento de 23 milhões de dólares em 1995, a Mercosul lucrou 3,4 milhões. Sua carteira de clientes inclui General Motors e Bradesco Seguros. É por conta desses bens intangíveis que Waddel quer no mínimo 15 milhões de dólares. “Só vendo se pagarem isso”, diz ele. “Caso contrário, continuarei ganhando dinheiro com ela.”
Empresas de serviços, como a Mercosul, valorizaram-se muito nestes tempos de reinado do cliente. As de alta tecnologia, também. A Sisco, indústria americana de softwares, vale cinqüenta vezes o seu lucro ou onze vezes suas vendas anuais. Já as empresas de commodities, como as químicas e alguns setores da agroindústria, estão em declínio. Seu preço no mercado internacional é inferior a cinco vezes o lucro. “Os valores das empresas estão cada vez menos relacionados com o que os livros dizem”, diz Hans Apostel, da Apostel & Co, empresa de intermediação de negócios, de São Paulo. Apostel freqüentou os bastidores de negociações como a da venda de parte da Bombril para a Henkel e da Mallory, pela Black & Decker, a um fundo de investidores irlandeses, em 1991. Com sua experiência, desenvolveu uma técnica curiosa de intermediar negócios. Quando representa o vendedor, sempre seleciona os compradores pelo que eles podem ganhar com a empresa. “Aquele com capacidade de ganhar dinheiro, de fazer o negócio prosperar, pagará mais por ela”, diz. O segundo colocado da lista de Apostel certamente vai pechinchar no preço. Em 1993, a Quaker foi muito criticada nos Estados Unidos. Na ocasião, pagou 240 milhões de dólares pela Gatorade, cujo fauramento era de apenas 100 milhões. Hoje, a Gatorade fatura 1 bilhão de dólares por ano. “Nas mãos da Quaker, a Gatorade pôde crescer”, diz Apostel. “Nas da Volkswagen não valeria nada hoje.” 
A Mallory, sob o comando da Black & Decker, era uma divisão que fabricava pequenos componentes para eletrodomésticos. O negócio corria o risco de desaparecer. A B&D decidira concentrar-se em ferramentas e eletrodomésticos. Por isso, venderam a Mallory. Os novos donos, um grupo de investidores irlandeses do Cent Investiments associado ao executivo belga Marcel Vanden Bussche, transformaram-na em fabricante de eletrodomésticos. Desde então, a empresa multiplicou por quatro seu tamanho. O negócio de timers foi passado adiante no ano passado. Com a empresa valorizada, os irlandeses a venderam, no final de 1995, a um novo grupo de investidores.
POTENCIAL DE CRESCIMENTO — Não é fácil avaliar as empresas brasileiras. A metodologia do fluxo de caixa descontado exige uma economia estável. O amontoado de índices inflacionários e impostos, associados a uma contabilidade capenga, distorce as estimativas de fluxo de caixa. “Essas dificuldades afetam quase todos os mercados emergentes”, diz Copeland, da McKinsey. Ah, por isso você faz parte dos 60% que não sabem o valor da empresa? Valeu a tentativa, mas isso não pode servir de desculpas. “O valor da empresa é uma informação estratégica na tomada de decisões”, diz Cordeiro, da Simonsen. Segundo ele, o dado não é valioso apenas em processos de venda ou fusão. “Ele é necessário na obtenção de recursos financeiros adequados em quantidade e custos”, diz.
“Nunca me preocupei com o assunto até o momento em que sentei numa mesa de negociação”, diz Nelson Cury, presidente da Panex. Cury esteve no centro de duas complexas operações, concluídas em abril. Na primeira, a Panex adquiriu 100% da Rochedo, controlada pela Alcan. Noutra, Cury comprou uma parte da Penedo, sua maior rival no mercado de panelas. Os antigos donos da Penedo agora são sócios da nova empresa. A Panex dobrou de tamanho em vendas (180 milhões de reais este ano) e participação de mercado (cerca de 30%). Somadas, as duas operações envolveram 40 milhões de dólares. O dinheiro será captado com a abertura de capital da Panex. Cerca de 25% das ações serão colocados à venda. Durante essas operações, a Panex passou por dois tipos de avaliação, a do fluxo de caixa e a de múltiplos do lucro, conhecida como P/L. A primeira foi feita na tentativa de atrair investidores institucionais, como fundos de pensão. “É a metodologia preferida por eles porque olha o longo prazo”, diz Paulo de Tarso, diretor da Proinvest, de São Paulo, intermediário do negócio.
Ao se decidir pela abertura do capital para obter recursos, a Panex usou o índice P/L, mais utilizado nas bolsas brasileiras. “O investidor de bolsa está preocupado com seus dividendos no final do ano”, diz Tarso. Não foi uma troca lucrativa para a Panex. O método de fluxo de caixa encontrou um valor 50% maior para a empresa. É que o P/L olha só o balanço. Já o fluxo de caixa revela o potencial de crescimento para os próximos anos. A fusão permitirá um corte de 40% nos custos administrativos. Custos menores são sinônimo de mais dinheiro em caixa. “O caixa é importante porque dele vem o dinheiro para investimentos, pagamento de fornecedores e de impostos”, diz Copeland. E mais importante: é com o tal fluxo de caixa que o acionista é remunerado — e ninguém compra uma empresa por outro motivo."
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LIGA DE ENSINO DO RIO GRANDE DO NORTE
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MBA em Administração Financeira – Prof. MSc. Carlos Eduardo Marinho Diniz
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