pontes ufba prof. daniel

Prévia do material em texto

2011.1
Prof. Daniel de Souza Machado 
NOTAS DE AULA 
 
ENG	115	–Pontes
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
2 
SUMÁRIO 
PREFÁCIO ...................................................................................................................................................... 4 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................. 5 
1.1.1 Elementos constituintes das pontes ...................................................................................................... 6 
1.1.2 Tipos de pontes ..................................................................................................................................... 7 
1.1.3 Seções transversais ............................................................................................................................. 10 
2 CARREGAMENTOS .................................................................................................................................... 13 
2.1 CARREGAMENTOS E SOLICITAÇÕES NAS PONTES ..................................................................................................... 13 
2.1.1 Solicitações provocadas pelo peso próprio da estrutura .................................................................... 13 
2.1.2 Solicitações provocadas pelas cargas úteis ......................................................................................... 13 
2.1.3 Solicitações produzidas pelos elementos naturais .............................................................................. 13 
2.1.4 Esforços produzidos por deformações internas .................................................................................. 14 
2.2 CARGAS PERMANENTES ..................................................................................................................................... 16 
2.2.1 Peso próprio dos elementos estruturais .............................................................................................. 16 
2.2.2 Pavimentação ..................................................................................................................................... 16 
2.2.3 Lastro de trilhos .................................................................................................................................. 16 
2.3 CARGAS MÓVEIS .............................................................................................................................................. 17 
2.3.1 Rodoviária ........................................................................................................................................... 17 
2.3.2 Ferroviária ........................................................................................................................................... 20 
2.3.3 Aeroviária ............................................................................................................................................ 22 
2.3.4 Cargas rodoviárias não usuais ............................................................................................................ 23 
2.3.5 Consideração de impacto devido às cargas móveis ............................................................................ 24 
2.4 FORÇAS HORIZONTAIS EM PONTES. ..................................................................................................................... 25 
2.4.1 Carregamento Longitudinal ................................................................................................................ 25 
2.4.1.1 Frenagem e Aceleração ................................................................................................................................. 25 
2.4.1.2 Empuxo de Terra ........................................................................................................................................... 26 
2.4.1.3 Temperatura.................................................................................................................................................. 28 
2.4.1.4 Determinação da rigidez dos apoios ............................................................................................................. 29 
2.4.1.5 Retração ........................................................................................................................................................ 32 
2.4.1.6 Protensão ...................................................................................................................................................... 32 
2.4.2 Carregamento transversal .................................................................................................................. 32 
2.4.2.1 Força Centrífuga ............................................................................................................................................ 32 
2.4.2.2 Empuxo de água ............................................................................................................................................ 34 
2.4.2.3 Pressão do Vento .......................................................................................................................................... 34 
3 PILARES .................................................................................................................................................... 36 
3.1 EFEITOS DE PRIMEIRA ORDEM ............................................................................................................................. 36 
3.2 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM ............................................................................................................................. 37 
3.3 DISPENSA DA ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM .......................................................................................................... 38 
3.4 MÉTODO DO PILAR‐PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA ................................................................................... 39 
4 LINHAS DE INFLUÊNCIA ............................................................................................................................. 40 
4.1 VIGAS ISOSTÁTICAS ........................................................................................................................................... 41 
4.1.1 LI de reações ....................................................................................................................................... 41 
4.1.2 LI de esforços cortantes ...................................................................................................................... 42 
4.1.3 LI de momentos fletores ...................................................................................................................... 43 
4.2 VIGAS CONTÍNUAS ............................................................................................................................................ 44 
4.3 REGRA DOS TRAPÉZIOS (COMPOSTA) .................................................................................................................... 45 
5 VIGAS ....................................................................................................................................................... 46 
5.1 FLEXÃO .......................................................................................................................................................... 46 
5.1.1 Estado limite último ............................................................................................................................ 46 
5.1.2 Determinação da área de aço longitudinal .........................................................................................46 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
3 
5.1.3 Largura colaborante ........................................................................................................................... 48 
5.1.4 Fadiga ................................................................................................................................................. 49 
5.1.4.1 História da falha por fadiga ........................................................................................................................... 49 
5.1.4.2 Mecanismos da fadiga ................................................................................................................................... 54 
5.1.5 Verificação segundo a NBR 6118 (Estado Limite de Fadiga) ............................................................... 54 
5.1.5.1 Verificação da fadiga no concreto ................................................................................................................. 55 
5.1.5.2 Verificação da fadiga na armadura ................................................................................................................ 57 
5.1.6 Verificação da fissuração .................................................................................................................... 58 
5.1.6.1 Estado limite de abertura de fissuras (ELS‐W) ............................................................................................... 60 
5.2 ESFORÇO CORTANTE ......................................................................................................................................... 64 
5.2.1 Modelo de cálculo I ............................................................................................................................. 64 
6 LAJES ........................................................................................................................................................ 66 
6.1 SUPERFÍCIES DE INFLUÊNCIA ............................................................................................................................... 67 
6.2 TABELAS DE RÜSCH ........................................................................................................................................... 69 
6.3 COMPATIBILIZAÇÃO DE MOMENTOS FLETORES ........................................................................................................ 73 
7 PONTES CAIXÃO ....................................................................................................................................... 74 
7.1 TORÇÃO EM SEÇÕES CAIXÃO ............................................................................................................................... 75 
7.1.1 Tubos de paredes finas com seção transversal fechada ..................................................................... 76 
7.1.2 Hipóteses de carregamento ................................................................................................................ 79 
7.2 DIMENSIONAMENTO SEGUNDO A NBR 6118 (2003) ............................................................................................. 81 
7.2.1 Determinação da seção resistente do caixão (seção cheia) ................................................................ 81 
7.2.2 Determinação da seção resistente do caixão (seção vazada) ............................................................. 81 
7.2.3 Verificação da compressão diagonal do concreto .............................................................................. 82 
7.2.4 Cálculo das armaduras de torção ....................................................................................................... 83 
7.2.5 Torção e flexão .................................................................................................................................... 83 
7.2.6 Torção e força cortante ....................................................................................................................... 84 
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA ................................................................................................................... 85 
ANEXO A – LINHAS DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS FLETORES PARA RELAÇÃO DE VÃOS 1:1,2:1 (INÉRCIA 
CONSTANTE) ............................................................................................................................................... 87 
ANEXO B – LINHAS DE INFLUÊNCIA ESFORÇOS CORTANTES PARA RELAÇÃO DE VÃOS 1:1,2:1 (INÉRCIA 
CONSTANTE) ............................................................................................................................................... 92 
ANEXO C – LINHAS DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS FLETORES PARA RELAÇÃO DE VÃOS 1:1,25:1 (INÉRCIA 
CONSTANTE) ............................................................................................................................................... 96 
ANEXO D – LINHAS DE INFLUÊNCIA DE ESFORÇOS CORTANTES PARA RELAÇÃO DE VÃOS 1:1,25:1 (INÉRCIA 
CONSTANTE) ............................................................................................................................................... 99 
ANEXO E – DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETORES E ESFORÇOS CORTANTES PARA RELAÇÃO DE VÃOS 1:1,2:1 
(INÉRCIA CONSTANTE) – CARGAS PERMANENTES ...................................................................................... 103 
CARGA DISTRIBUÍDA ............................................................................................................................................. 103 
CARGAS CONCENTRADAS ....................................................................................................................................... 104 
ANEXO F – DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETORES E ESFORÇOS CORTANTES PARA RELAÇÃO DE VÃOS 1:1,25:1 
(INÉRCIA CONSTANTE) ‐ CARGAS PERMANENTES ....................................................................................... 106 
CARGA DISTRIBUÍDA ............................................................................................................................................. 106 
CARGAS CONCENTRADAS ....................................................................................................................................... 107 
ANEXO G – TABELAS DE RÜSCH ................................................................................................................. 109 
ANEXO H – TABELAS DE ZELLERER PARA VIGAS CONTÍNUAS (1:1,2:1 E 1:1,25:1) ......................................... 113 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
4 
PREFÁCIO 
Este material apresenta conceitos básicos necessários para a iniciação do aluno ou 
profissional no projeto de pontes. Baseia-se em bibliografias mais utilizadas para o 
tema Pontes e principalmente em recomendações das normas brasileiras da ABNT 
(Associação Brasileira de Normas Técnicas) e normas internacionais. O material traz 
apenas a teoria, sendo os exercícios relativos a cada capítulo resolvidos em sala de 
aula na disciplina de ENG 115 – Pontes da Universidade Federal da Bahia ministrada 
pelo Professor Daniel Machado. O Professor da disciplina tem mestrado e é 
doutorando na área de Aerodinâmica de Pontes Estaiadas pela Universidade Federal 
do Rio Grande do Sul. Trabalha atualmente no projeto estrutural de Obras de Artes 
Especiais. 
O presente material encontra-se ainda em revisão (Última revisão:05/01/11) 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
5 
1 INTRODUÇÃO 
Pontes são classificadas como Obras de Arte Especiais destinadas a transposição de 
obstáculos sejam eles rios ou vias. Quando a Ponte transpõe uma via ou obstáculos 
não constituintes de água é chamado de Viaduto. Em alguns casos como mostra a 
Figura 1.1, a estrutura pode ser constituída de dois trechos: estrutura principal 
(ponte) e viadutos de acesso.Figura 1.1 - Estrutura principal e viadutos de acesso (Pfeil, 1987). 
 
Chamam-se ainda de pontilhões as pontes de pequenos vãos. Acima de 5 metros, 
alguns profissionais já a chamam de pontes. Tanto as pontes quanto os pontilhões se 
subordinam aos mesmos procedimentos de projeto. 
As pontes podem ser classificadas de acordo com o material estrutural, sendo de 
concreto armado ou protendido, metálicas ou mistas. Quanto à finalidade podem ser 
rodoviárias, ferroviárias ou aeroviárias. Quando destinadas ao tráfego de pedestres é 
chamada de passarelas. 
Quanto ao sistema estrutural podem ser isostáticas ou hiperestáticas. 
Conforme o desenvolvimento dos eixos das pontes pode ser de eixo retilíneo ou 
curvo. É possível ainda classificá-las como retas ou esconsas. Nas primeiras, o 
cruzamento do curso de água ou vale, pela ponte será normal aos mesmos e, no 
segundo caso, em ângulos diferentes de 90o . 
Bueiros diferente das pontes e pontilhões, são obras construídas sob o terrapleno 
de vias, transversalmente ao eixo da estrada e são destinados a passagem de águas 
pluviais. Os bueiros podem ter seções variáveis conforme necessidade da passagem. 
Também é projetado usando os procedimentos utilizados em pontes com algumas 
alterações dependendo da camada de solo sobre o bueiro. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
6 
 
Figura 1.2 - Bueiros: (a) de manilhas e (b) feito com quadros rígidos de 
concreto armado. 
1.1.1 Elementos constituintes das pontes 
As pontes podem ser divididas em três partes: superestrutura, mesoestrutura e 
infraestrutura. 
A infraestrutura é constituída das fundações. Pela infraestrutura que são transmitidas 
as cargas ao terreno. Fazem parte da infraestrutura, os blocos, estacas, sapatas, 
tubulões, etc. assim como qualquer peça de ligação destes elementos. 
A mesoestrutura é constituída pelos pilares e aparelhos de apoio além dos 
encontros. Os pilares transmitem as cargas da superestrutura às fundações. 
Transferem esforço à infraestrutura como vento, frenagem/ aceleração, corrente de 
água, etc. 
A superestrutura é composta pelas lajes e vigas, é o elemento de suporte imediato 
do estrado, que constitui a parte útil da obra. 
Os encontros ainda podem ser considerados por alguns engenheiros como 
mesoestrutura e por outros como infraestrutura. Além de receber cargas da 
superestrutura resistem ao empuxo dos aterros de acesso e evitam a transmissão 
para os demais elementos da ponte. A Figura 1.3 mostra uma ponte construída 
utilizando a solução de encontros. 
Os encontros podem ser dispensados em algumas pontes, nestes casos, o estrado 
apresenta extremos em balanço e, geralmente, os pilares extremos ficam sujeitos a 
empuxo dos aterros de acesso (Figura 1.4) (Pfeil, 1987). 
(a) (b) 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
7 
 
Figura 1.3 - Vista geral de uma ponte, mostrando os principais elementos 
constituintes (Pfeil, 1987). 
 
Figura 1.4 - Viaduto sem encontros, com extremo em balanço (Pfeil, 1987). 
1.1.2 Tipos de pontes 
 
A Figura 1.5 à Figura 1.15 mostram alguns tipos de pontes classificadas quanto a 
finalidade, material utilizado, tipo estrutural, tipo de carregamento e especiais. Para 
mais detalhes consultar a bibliografia indicada. 
 
Figura 1.5 - Ponte em laje (Pfeil, 1987). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
8 
 
Figura 1.6 - Ponte em viga reta de alma cheia (Pfeil, 1987). 
 
Figura 1.7 - Ponte em viga reta de treliça (Pfeil, 1987). 
 
Figura 1.8 - Ponte em quadro rígido (Pfeil, 1987). 
 
Figura 1.9 – Ponte em abóbada (arco inferior) (Pfeil, 1987). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
9 
 
Figura 1.10 - Ponte em arco superior (Pfeil, 1987). 
 
Figura 1.11 - Ponte pênsil (Pfeil, 1987). 
 
Figura 1.12 - Pontes levadiças (a) São Petersburgo e (b) Porto Alegre. 
 
Figura 1.13 - Pontes para carregamento aeroviário: Aeroporto de Funchal, na ilha de Madeira-Portugal. 
(a) (b) 
http://blogs.ua.pt http://3.bp.blogspot.com 
http://img171.imageshack.us.com http://img171.imageshack.us.com 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
10 
 
Figura 1.14 - (a) Ponte-túnel, liga Dinamarca e Suécia e (b) Ponte-canal na Alemanha sobre o Rio 
Elba, próxima a Magdeburgo. 
 
Figura 1.15 - Pontes rolantes para elevação e transporte de cargas: (a) tipo ponte; (b) tipo pórtico. 
1.1.3 Seções transversais 
 
A seção transversal de pontes deve ser fixada conforme gabarito que indicam 
dimensões horizontais e verticais necessárias para a passagem do automóvel ou 
embarcação sobre/sob a ponte. A largura da seção transversal dependerá, portanto 
da largura e quantidade de faixas de rolamento projetada para o tráfego, 
acostamentos e passeios. Para mais detalhes sobre o tema pode-se recorrer ao 
Manual de projeto de obras-de-arte especiais do DNER (1996). 
A Figura 1.16 a Figura 1.21 apresentam alguns tipos de seções transversais usuais: 
(a) (b) http://3.bp.blogspot.com http://www.sinaldetransito.com.br.com 
(a) (b) 
http://www.mollyn.com.br http://images04.olx.com.br 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
11 
 
Figura 1.16 - Ponte em vigas retas. 
 
Figura 1.17 - Ponte em vigas pré moldadas. 
 
 
Figura 1.18 - Ponte caixão simples. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
12 
 
Figura 1.19 - Ponte caixão duplo. 
 
Figura 1.20 - Ponte caixão triplo. 
 
Figura 1.21 - Ponte treliçada (seção de uma ponte pênsil). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
13 
2 CARREGAMENTOS 
2.1 CARREGAMENTOS E SOLICITAÇÕES NAS PONTES 
Para o dimensionamento das pontes em concreto armado e protendido, devem ser 
considerados os carregamentos e efeitos diversos que determinam os esforços 
solicitantes em seus elementos. As solicitações podem ser agrupadas em 
determinados grupos tais como: 
2.1.1 Solicitações provocadas pelo peso próprio da estrutura 
As estruturas das pontes, como quaisquer outras, têm que suportar, além das cargas 
externas, o seu peso próprio. A importância relativa do peso próprio, no total de 
solicitações, depende do material empregado e do vão livre da ponte. 
2.1.2 Solicitações provocadas pelas cargas úteis 
As pontes ou viadutos são feitos coma finalidade de permitir aos veículos a 
transposição de obstáculos (rios, vales, estradas etc.). 
Os pesos dos veículos são denominados cargas úteis. O movimento dos veículos e 
as irregularidades das pistas produzem acréscimos nos pesos atuantes; esses 
acréscimos são denominados efeitos de impacto vertical. 
 Os veículos fazem atuar nas pontes esforços horizontais longitudinais, devidos à 
frenagem e aceleração. Nas obras em curva, o deslocamento dos veículos produz 
esforços horizontais transversais, devidos à força centrífuga. 
Nas pontes ferroviárias, as folgas entre os trilhos e as abas laterais das rodas 
produzem um esforço horizontal transversal denominado impacto lateral. 
2.1.3 Solicitações produzidas pelos elementos naturais 
Os elementos naturais em contato com a ponte (ar, água, terra) exercem pressões 
sobre a estrutura, originando solicitações que devem ser levadas em conta no 
dimensionamento da obra. 
Em pontes com pilares de grande altura (por exemplo, 50m a 100m), as solicitações 
provocadas pelo vento têm grande importância no dimensionamento dos pilares. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
14 
Em pontes com pilares em rios sujeitos a grandes enchentes, a pressãoda água gera 
solicitações consideráveis nos pilares, freqüentemente agravadas pelo impacto de 
troncos de árvore trazidos por enxurradas. 
Os empuxos de terra são produzidos pelos aterros de acesso à obra, dando origem 
a esforços horizontais absorvidos pelos encontros ou pilares da ponte. Os 
deslocamentos das fundações, provocados por deformação do terreno, podem 
produzir solicitações nas obras com estrutura estaticamente indeterminada. 
2.1.4 Esforços produzidos por deformações internas 
As deformações internas dos materiais estruturais, produzidos por variações de 
temperatura, retração ou fluência do concreto, originam solicitações parasitárias por 
vezes importantes, cuja consideração é exigida na análise de estabilidade das obras. 
Na moderna conceituação de segurança das estruturas, procura-se definir os 
parâmetros em jogo por critérios estatísticos. Não foi possível, entretanto, até o 
momento, aplicar os conceitos estatísticos às solicitações atuantes, pela 
complexidade das mesmas e pela falta de medidas experimentais em grande número. 
As solicitações são, então, fixadas arbitrariamente nas normas, com fundamento em 
valores teóricos e experimentais. As normas brasileiras fornecem os valores das 
solicitações a adotar no projeto, bem como as cargas móveis de cálculo tanto para 
pontes rodoviárias quanto para ferroviárias. Além das cargas gerais de cálculo, 
válidas para todos os elementos da estrutura, as normas fixam ainda cargas especiais 
para certos elementos da estrutura, como por exemplo: 
a) Carga horizontal sobre guarda-corpos; 
b) Carga horizontal sobre guarda-rodas ou barreiras de proteção; 
c) Carga horizontal sobre pilares de viadutos, sujeitos a choques 
acidentais de veículos. 
De acordo com a NBR8681/2003 - AÇÕES E SEGURANÇA NAS ESTRUTURAS, 
ações são as causas que provocam o aparecimento de esforços ou deformações nas 
estruturas. Estas podem ser classificadas em: 
a) Ações permanentes: diretas e indiretas; 
b) Ações variáveis: normais e especiais; 
c) Ações excepcionais. 
Considerando a norma NBR7187/2003 - PROJETO E EXECUÇÃO DE PONTES DE 
CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO, as ações nas pontes podem ser agrupadas da 
seguinte forma: 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
15 
d) Ações permanentes: Ações cujas intensidades podem ser consideradas 
como constantes ao longo da vida útil da construção. Também são 
consideradas permanentes as que crescem no tempo, tendendo a um 
valor limite constante. As ações permanentes compreendem, entre 
outras: 
 As cargas provenientes do peso próprio dos elementos estruturais; 
 As cargas provenientes do peso da pavimentação, dos trilhos, dos 
dormentes, dos lastros, dos revestimentos, das barreiras, dos 
guarda-rodas, dos guarda-corpos e de dispositivos de sinalização; 
 Os empuxos de terra e de líquidos; 
 As forças de protensão; 
 As deformações impostas, isto é, provocadas por fluência e 
retração do concreto, por variações de temperatura e por 
deslocamentos de apoios. 
b) Ações variáveis: Ações de caráter transitório que compreendem, entre 
outras: 
 As cargas móveis; 
 As cargas de construção; 
 As cargas de vento; 
 O empuxo de terra provocado por cargas móveis; 
 A pressão da água em movimento; 
 O efeito dinâmico do movimento das águas; 
 As variações de temperatura. 
d) Ações excepcionais: São aquelas cuja ocorrência se dá em 
circunstâncias anormais. Compreendem os choques de objetos móveis, 
as explosões, os fenômenos naturais pouco freqüentes, como ventos 
ou enchentes catastróficos e sismos, entre outros: 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
16 
 Choques de objetos móveis; 
 Outras ações excepcionais. 
2.2 CARGAS PERMANENTES 
Ações estas consideradas como constantes ao longo da vida útil da obra. 
Constituem-se cargas permanentes em pontes: peso próprio dos elementos 
estruturais, da pavimentação, dos trilhos, dos dormentes, dos lastros, dos 
revestimentos, das barreiras, dos guarda-corpos, empuxos de terra e de líquidos, 
forças de protensão, deformações impostas (fluência e retração), variações de 
temperatura e deslocamentos de apoio (NBR 7187, 1987). 
2.2.1 Peso próprio dos elementos estruturais 
O peso específico a ser tomado para a determinação do peso dos elementos 
estruturais é de no mínimo 24kN/m³ para o concreto simples e de 25kN/m³ para o 
concreto armado ou protendido. 
2.2.2 Pavimentação 
Para pavimentação o peso específico mínimo deve ser adotado 24kN/m³, prevendo-
se uma carga adicional de 2kN/m² para atender a um eventual recapeamento. O 
proprietário da obra pode dispensar esta carga de 2kN/m² no caso de obras de 
grandes vãos. 
2.2.3 Lastro de trilhos 
Para lastros de ferrovias deve ser considerado um peso específico aparente de 
18kN/m³. Deve supor que o lastro atinja o nível superior dos dormentes e preencha 
completamente o espaço limitado pelos guarda-lastros, até o seu bordo superior, 
mesmo se na seção transversal do projeto não for indicado desta forma. Na ausência 
de indicações precisas, a carga referente aos dormentes, trilhos e acessórios deve 
ser considerada, no mínimo, igual a 8kN/m por via. Para valores detalhados pode-se 
fazer referência a Tabela 2.1. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
17 
Tabela 2.1 –Massas específicas (Pfeil, 1980). 
Materiais Massa específica [kN/m³] 
Aço estrutural de trilhos 78,5 
Dormentes de madeira 12,5 
Dormentes de concreto 24,0 
Lastro de pedra 17,0 
 
2.3 CARGAS MÓVEIS 
A norma que orienta o projetista na determinação de cargas móveis para pontes e 
passarelas de pedestres é a NBR 7188/1984 – CARGA MÓVEL EM PONTE 
RODOVIÁRIA E PASSARELA DE PEDESTRES. 
Carga móvel é o sistema de cargas que representa valores característicos de 
carregamentos provenientes do tráfego e que a estrutura está sujeita em serviço 
NBR 7188 (1984). Refere-se também à carga móvel de uma ponte como TREM-
TIPO. 
2.3.1 Rodoviária 
As cargas podem ser classificadas em classes: 
a) Classe 45: Representada por um veículo – tipo de 450kN de peso 
total; 
b) Classe 30: Representada por um veículo – tipo de 300kN de peso 
total; 
c) Classe 12: Representada por um veículo – tipo de 120kN de peso 
total; 
A determinação da utilização do trem tipo fica a critério dos órgãos de jurisdição 
sobre as mesmas. 
A área ocupada pelo veículo é suposta ocupar uma área retangular de dimensões ( 3 x 
6 )m². A Figura 2.1 e a Tabela 2.2 apresentam as dimensões dos Trens-Tipo e 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
18 
carregamentos. As cargas distribuídas não devem se sobrepor as cargas do Trem-
Tipo. 
 
Figura 2.1 - Elevação e planta de um trem tipo típico. 
Tabela 2.2 – Carregamentos da NBR 7188 (1984). 
 
Tabela 2.3 – Características bidimensionais dos Trens-Tipos, dimensões em 
[m], NBR 7188 (1984). 
A Figura 2.2 e Tabela 2.3 apresentam as dimensões características dos Trens-Tipos. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
19 
 
 
Figura 2.2 - Elevação e planta dos Trens-Tipo, dimensões em [m], NBR 7188 
(1984). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
20 
O veículo deve ser orientado sempre na direção do tráfego e posicionado de forma 
que provoque a maior solicitação na seção de estudo. 
Os passeios devem ser carregados em toda sua área pela carga p’. 
A carga distribuída de intensidade p deve ser aplicada em toda a pista de rolamento, 
nesta incluídas as faixas de tráfego, acostamentos. Desconta-se apenas a posição 
onde se localiza o veículo (NBR 7188, 1984). 
Mais a frente será visto que é permitido avançar com as cargas distribuídasde 
multidão sobre o Trem-Tipo desde que se faça uma dedução desta carga sobre as 
cargas do Trem-Tipo. Esta simplificação torna mais fácil os cálculos de solicitações 
através de linhas de influência de vigas contínuas. 
Os guarda-rodas devem ser verificados para uma carga aplicada em seu extremo de p 
= 60kN sem a consideração de coeficientes de impacto. 
Para mais informações sobre carregamentos em pontes sugere-se ler a NBR 
7188/1984. 
2.3.2 Ferroviária 
Para obras rodoviárias as condições de projeto são fixadas pela norma NBR 
7189/1985 – CARGAS MÓVEIS PARA PROJETO ESTRUTURAL DE OBRAS 
FERROVIÁRIAS. 
Da mesma forma que para obras rodoviárias, nas obras ferroviárias temos os trens-
tipo brasileiros (TB) classificados como segue: 
a) TB-360: para ferrovias sujeitas a transporte de minério de ferro ou 
outros carregamentos equivalentes; 
b) TB-270: para ferrovias sujeitas a transporte de carga geral; 
c) TB-240: para ser adotado somente na verificação de estabilidade e 
projeto de reforço de obras existentes; 
d) TB-170: para vias sujeitas exclusivamente ao transporte de passageiros 
em regiões metropolitanas ou suburbanas. 
A Figura 2.3 e a Figura 2.4 mostram um esquema de TB para 
carregamentos móveis para obras ferroviárias e a Tabela 2.4 apresenta 
estes valores. 
EXT
Comentário do texto
Representa o tráfego de veículos de pequeno porte que pode acompanhar a passagem do caminhão e/ou do compressor. Carga uniformemente distribuída, kgf/m2.
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
21 
 
Figura 2.3 - Esquema de um trem com representação de cargas de eixo para 
os respectivos vagões. 
 
Figura 2.4 - Características de geometria para definição das cargas dos TBs 
(NBR 7189, 1985). 
Tabela 2.4 – Carregamentos da NBR 7188 (1984). 
TB Q [kN] Q [kN/m] q’ [kN/m] a [cm] b [cm] c [cm] 
360 360 120 20 1,00 2,00 2,00 
270 270 90 15 1,00 2,00 2,00 
240 240 80 15 1,00 2,00 2,00 
170 170 25 15 11,00 2,50 5,00 
 
Para o caso em quem temos que analisar projetos em que irão passar três ou mais 
vias, é necessário que sejam consideradas a pior das duas hipóteses exemplificadas a 
seguir: 
a) Duas vias devem ser carregadas com o TB em posição crítica e demais 
vias devem estar descarregadas; 
b) Todas as vias devem ser carregadas, no entanto devem-se utilizar 
fatores de redução, , conforme o número de vias, n, (Tabela 2.5). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
22 
Tabela 2.5 – Carregamentos da NBR 7188 (1984). 
n 
3 0,73 
4 0,66 
51 0,59 
 
Para obras existentes a NBR 7189 (1985) sugere que sejam adotadas as seguintes 
condições de carregamentos: 
a) na verificação da estabilidade de obras existentes, quando justificada, a 
entidade responsável pela via pode optar pela utilização de seu trem-
padrão operacional como base para determinação das solicitações na 
estrutura; 
b) no projeto de reforço de obras existentes, ainda que oriundo de 
verificação da estabilidade efetuada conforme deve ser considerado no 
mínimo um dos trens-tipo definido anteriormente; 
c) no caso de obra situada em ramal, pátio ou terminal privados, o trem-
tipo a ser adotado no projeto estrutural pode ser diferente dos 
especificados nesta Norma, a critério de seus proprietários, mas nunca 
inferior ao trem-tipo da via de acesso correspondente; 
d) no caso de obra situada dentro de área de processo industrial, o trem-
tipo a ser adotado deve ser especificado pelos proprietários das 
indústrias. 
2.3.3 Aeroviária 
Viadutos usados para passagem de aeronaves devem ser dimensionados para cargas 
pesadas modernas. Um Boeing 747 (Jumbo), por exemplo, tem as seguintes 
características apresentadas na Tabela 2.6: 
 
1 Nunca tomar n maior que 5. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
23 
Tabela 2.6 – Características de um trem tipo de Boeing 747 (Pfeil, 1980). 
Peso total 3235kN 
Comprimento 70,5m 
Largura 59,7m 
Carga por trem de aterrissagem 755kN 
Carga por pneu 189kN 
 
A Figura 2.5 mostra um trem-tipo de Boeing 747 (a) e uma aeronave sobre uma 
provável pista de pouso sobre ponte. Neste caso deve-se fazer avaliação especial 
uma vez que temos cargas adicionais de impacto. 
 
Figura 2.5 - (a) Trem-tipo aeroviário para um Boeing 747 (Pfeil, 1980) e (b) 
Boeing em pouso sobre uma pista sobre ponte. 
2.3.4 Cargas rodoviárias não usuais 
Cargas não usuais como o próprio nome já diz são cargas excepcionais que podem ou 
não ser consideradas em projeto. Carretas extraordinárias e de grandes 
comprimentos às vezes são necessárias para se transportar transformadores 
pesados ou outro tipo de carregamento pesado (Figura 2.6). A Figura 2.6 também 
apresenta um caminhão especial “fora de estrada” utilizado em obras de mineração e 
terraplanagem. A passagem de veículo deste porte sobre pontes só deve ser feita 
após a análise das solicitações na estrutura. 
(b) (a) 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
24 
 
Figura 2.6 - Cargas excepcionais: (a) reboque especial e (b) caminhão “fora 
de estrada”. 
2.3.5 Consideração de impacto devido às cargas móveis 
O efeito dinâmico devido às cargas móveis pode ser gerado por diversos fatores: 
imperfeições da pista ou trilho, vibração causada pelo próprio automotor, 
deslocamento das cargas, inclinação variável da locomotiva, etc. 
A análise dinâmica para estes casos citados torna-se complexa e deve ser analisada 
levando-se em conta a teoria da dinâmica das estruturas. A NBR 7187 (2003) 
permite, portanto que sejam feitas simplificações para considerar um efeito dinâmico 
na estrutura através de coeficientes de ponderação das cargas móveis: 
a) Para os elementos de pontes rodoviárias: 
1007,04,1  L (2.1) 
b) Para os elementos de pontes ferroviárias: 
  2,125,2601600001,0  LL (2.2) 
Para pontes suspensas ou outras pontes flexíveis sugere-se fazer uma análise 
dinâmica mais apurada à nível de vibrações causadas pela ação dinâmica de veículos, 
vento entre outras. 
Pra obras ferroviárias devem ainda ser considerados os choques laterais causados 
por irregularidades nos trilhos e rodas ou inclinação lateral da locomotiva. Para este 
http://www.locamaq.com http://lh4.ggpht.com (b) (a) 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
25 
caso a NBR 7187 (2003) sugere a aplicação de uma força horizontal móvel de valor 
20% da carga do eixo mais pesado. Em pontes em curva em planta, não se deve 
somar o efeito do choque com a força centrífuga causada pela curva. Em pontes com 
mais de uma linha considera-se apenas a ação do choque em ma delas. 
2.4 FORÇAS HORIZONTAIS EM PONTES. 
Dentre todas as solicitações e carregamentos que as pontes sofrem, os que 
provocam esforços horizontais nas mesmas são: 
Longitudinais: 
a) frenagem ou aceleração da carga móvel sobre o tabuleiro; 
b) empuxo de terra e sobrecarga nas cortinas; 
c) componente longitudinal do vento incidindo na superestrutura; 
d) variação de temperatura; 
e) retração; 
f) protensão. 
Transversais: 
a) vento incidindo na superestrutura; 
b) força centrífuga (pontes em curva horizontal); 
c) componente Horizontal de empuxo de terra nas cortinas. 
2.4.1 Carregamento Longitudinal 
2.4.1.1 Frenagem e Aceleração 
As forças de frenagem ou aceleração sobre as pontes devem ser tomados com uma 
fração das cargas móveis, consideradas sem impacto (NBR 7187, 2003). Para 
pontes rodoviárias, devem ser aplicadas no topo da superfície de rolamento e igual 
ou maior que os seguintes valores: 
a) 5% das cargas de multidão no tabuleiro (excluindo passeios): 
UniversidadeFederal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
26 
AmkNFA  ²/505,0 (2.3) 
Onde A é a área do tabuleiro onde está disposto o carregamento de multidão. 
b) 30% do peso do veículo: 
TTFA  3,0 (2.4) 
2.4.1.2 Empuxo de Terra 
O empuxo de terra deve ser determinado conforme princípios da mecânica dos solos. 
Algumas simplificações para determinação do carregamento em pontes podem ser 
feitas de acordo com o que será explicado a seguir. 
Supões-se que o solo não tenha coesão e que não haja atrito entre o terreno e a 
estrutura, desde que as solicitações assim determinadas estejam a favor da 
segurança. O Peso específico do solo úmido deve ser considerado 18kN/m³ e o 
ângulo de atrito interno, no máximo igual a 30o. Quando a superestrutura funcione 
como arrimo dos aterros de acesso, a ação do empuxo de terra proveniente desses 
aterros deve ser levada em conta apenas em uma das extremidades do tabuleiro. Em 
caso de tabuleiros de pontes esconsos ou em curva deve ser feita também a análise 
em ambos os acessos. Para pilares implantados em taludes de aterros, deve ser 
adotada, para o cálculo do empuxo de terra, uma largura fictícia igual a três vezes a 
largura do pilar, devendo este valor não ser maior que a largura da plataforma do 
aterro (NBR 7187, 1987). 
A pressão do solo sobre o elemento estrutural se tivéssemos uma coluna de um 
líquido seria determinado pela fórmula: 
hP  (2.5) 
Onde: 
 é a massa específica da água; 
h é a distância da superfície d’água até a profundidade onde se deseja determinar a 
pressão hidrostática. 
Para se levar em conta, no caso de solo, o atrito entre partículas, a rugosidade do 
muro e a inclinação do terreno em relação a horizontal, introduz-se um coeficiente k: 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
27 
khPsolo  (2.6) 
Onde: 
k é designado coeficiente de empuxo ou de Coulomb. 
Para o caso de cortinas sujeitas ao empuxo de terra como mostra a Figura 2.7, o 
coeficiente de Coulomb se torna: 


 
2
452 oa tgk (2.7) 
Conforme a NBR 7187 (2003) o peso específico do solo úmido deve ser 
considerado 18kN/m³ e o ângulo de atrito interno, no máximo igual a 30o, neste caso 
a Equação (2.7) se torna: 
3,0
2
30452 


 
o
o
a tgk 
(2.8) 
A Pressão do solo, portanto (Equação (2.6)), torna-se 
hhPsolo 63,018  (2.9) 
Calcula-se a pressão ao nível do topo da cortina e ao nível inferior. Nota-se na Figura 
2.7 que 1soloP deve ser determinado considerando uma altura equivalente de solo de 
50cm que representa uma sobrecarga devido a cargas móveis em aproximação da 
ponte. 
O Empuxo devido o solo é determinado pela área do diagrama de pressões incidente 
na cortina. 
 
221
cortina
solosoloh
hPPE  (2.10) 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
28 
 
Figura 2.7 - Esquema de distribuição de pressões sobre uma cortina e a 
resultante Eh. 
2.4.1.3 Temperatura 
Para o cálculo da dilatação linear devido a temperatura utiliza-se um coeficiente de 
dilatação térmica de 10-5 e uma variação de temperatura de 15º C (NBR 7187, 
2003). 
dT   (2.11) 
Onde: 
 é a deformação linear (alongamento ou encurtamento); 
T é a variação de temperatura que ocorre no local da obra; 
d é a distância do centro elástico da peça linear ao ponto em que se deseja calcular 
o deslocamento. 
O deslocamento das vigas causará esforços nos pilares que serão quantificados 
conforme a rigidez de cada um deles. 
 
Figura 2.8 – Distribuição de esforços longitudinais aplicados a estrutura. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
29 
2.4.1.4 Determinação da rigidez dos apoios 
A determinação da distribuição dos esforços em cada um dos pilares da ponte 
dependerá da rigidez de cada um deles. 
Quando o sistema estrutural é formado por vigas contínuas, a superestrutura sofre 
um deslocamento horizontal e o topo dos pilares sofre o mesmo deslocamento por 
estarem ligados à superestrutura. 
O esforço aplicado ao topo de cada pilar é igual ao produto do deslocamento pela 
rigidez do pilar (K). Se todos os pilares sofrem o mesmo deslocamento, o esforço 
transmitido a cada pilar é proporcional à sua rigidez. O esforço Fi, num pilar genérico, 
é dado por: 
F
K
KF ii  
(2.12) 
Onde: 
F é o carregamento total a ser distribuído conforme rigidez de cada pilar; 
iK é a rigidez de cada do apoio em que se deseja determinar a parcela de força 
atuante; 
K é o somatório das rigidezes dos apoios. 
Quando cada linha de apoio possuir mais de um pilar, o esforço horizontal transmitido 
pela superestrutura, que é dividido pelos pilares proporcionalmente à sua rigidez, 
deve também ser dividido pelo número de pilares que constituem cada apoio. Como 
mostra a Figura 2.8. 
A rigidez (K) desse mesmo pilar é o esforço que produz um deslocamento unitário no 
topo como mostra a Figura 2.9. A rigidez e a flexibilidade de uma estrutura são 
relacionadas entre si por K = 1/ , conhecida a flexibilidade de uma estrutura, sua 
rigidez é obtida pelo inverso da flexibilidade. 
Quando a transmissão dos esforços da superestrutura para os pilares é feita através 
de aparelhos de apoio de borracha (neoprene), a rigidez dos pilares sofre uma 
modificação devido à contribuição da flexibilidade do neoprene no deslocamento total 
do topo do pilar. Seja um pilar engastado na base e livre no topo no qual existe um 
aparelho de apoio, e sejam L e nh as alturas do pilar e do aparelho de apoio, 
respectivamente conforme Figura 2.10. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
30 
 
Figura 2.9 – Conceito de flexibilidade e rigidez de uma pilar. 
 
Figura 2.10 – Deformação de uma pilar com apoio de neoprene. 
Se ao topo da placa de neoprene for aplicada uma força horizontal unitária (F = 1), 
esta provocará na placa um deslocamento horizontal n . Como o aparelho de apoio 
está ligado ao pilar, a força horizontal também solicita o topo do pilar, deslocando-o 
de p . Desse modo, o conjunto aparelho de apoio + pilar ( pnK ) sofre um 
deslocamento horizontal total de n + p , e a rigidez desse conjunto, definida 
como o inverso da flexibilidade, vale: 
nppn
pnK  
11
 
(2.13) 
Após algumas deduções chegamos a uma equação direta para determinação da 
rigidez do conjunto pnK : 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
31 
np
np
pn KK
KK
K  
(2.14) 
Para um pilar engastado-livre: 
³
3
L
EIK p  (2.15) 
A rigidez do neoprene será dada após algumas deduções por: 
n
n
n h
GAK  (2.16) 
Onde: 
G é o módulo de elasticidade transversal da borracha (neoprene) que vale em torno 
de 1MPa; 
nA é a área da seção transversal do neoprene. 
Quando o pilar é bi-engastado, o procedimento é análogo, podendo a rigidez ser 
calculada como o inverso da flexibilidade (processo dos esforços) ou obtida 
diretamente de tabelas. Para o caso particular de pilar bi-engastado de inércia 
constante sua rigidez vale: 
³
12
L
EIK p  (2.17) 
A Figura 2.11 mostra a rigidez de um pilar bi-engastado. 
 
Figura 2.11 – Deformação em um pilar bi-engastado. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
32 
 
Sob a ação dos esforços horizontais provocados pela pressão do vento e da água, 
cada conjunto de pilares, geralmente constituindo um pórtico transversal por apoio, 
comporta-se como engastado na fundação e elasticamente apoiado na 
superestrutura, provocando, portanto, reações em seus topos. 
2.4.1.5 Retração 
Para o cálculo da dilatação linear devido a retração utiliza-se um coeficientede 
dilatação térmica de 10-5 e uma equivalência a uma variação de temperatura de 25º 
C. 
2.4.1.6 Protensão 
Para o cálculo da dilatação linear devido a protensão utiliza-se um coeficiente de 
dilatação térmica de 10-5 e uma equivalência a uma variação de temperatura de 70º 
C. 
2.4.2 Carregamento transversal 
2.4.2.1 Força Centrífuga 
Aplicada a pontes rodoviárias em curva, a força centrífuga tem direção perpendicular 
ao eixo da pista e atua na superfície de rolamento. Determina-se como sendo uma 
fração C do peso do veículo já incluso o efeito dinâmico das cargas móveis. 
25,0;300  Cmr (2.18) 
R
Cmr 75;300  (2.19) 
 
Sendo R o raio de curvatura horizontal da ponte. 
Para pontes ferroviárias, a força centrífuga deve ser aplicada a uma altura de 1,60 
metros acima da superfície definida pelo topo dos trilhos (Figura 2.12). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
33 
 
Figura 2.12 – Força centrífuga em ferrovias. 
O fator C é definido como segue: 
Para linhas de bitola larga (1,6m no Brasil): 
15,0;1200  CmR (2.20) 
R
CmR 180;1200  (2.21) 
Para linhas de bitola estreita (1,0m no Brasil): 
10,0;750  CmR (2.22) 
R
CmR 75;750  (2.23) 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
34 
2.4.2.2 Empuxo de água 
Devem-se ter informações sobre níveis máximo e mínimo dos cursos d’água para se 
determinar o carregamento hidrodinâmico em pilares. Em caso de muros de arrimo 
deve-se prever sistema de drenagem para evitar a atuação de pressões 
hidrostáticas. 
A pressão da corrente de água sobre pilares e elementos das fundações pode ser 
determinada através da expressão (NBR 7187, 2003): 
2²]/[ vkmkNP  (2.24) 
Onde: 
P é a pressão estática equivalente em [kN/m²]; 
v é a velocidade da água em [m/s]; 
k é um coeficiente adimensional, cujo valor varia conforme forma da seção transversal 
do elemento incidente e ângulo de incidência da corrente d’água. A Figura 2.13 
apresenta os coeficientes k para três formas de seção transversal diferentes. 
 
Figura 2.13 - Valores de coeficientes k obtidos experimentalmente (NBR 
7187, 2003). 
Para formas diferentes das apresentadas na Figura 2.13 devem ser realizados 
ensaios experimentais para determinação do coeficiente k. 
2.4.2.3 Pressão do Vento 
A pressão do vento deve ser determinada utilizando a NBR 6123 – Forças devidas 
ao vento em edificações de 1988. Pfeil (1980) sugere para pequenas pontes uma 
simplificação: 
a) Para ponte descarregada considerar uma pressão de 1,5kN/m²; 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
35 
b) Para ponte carregada considerar uma pressão de 1,0kN/m²; 
São consideradas as superfícies de incidência do vento como mostra a Figura 2.14 à 
Figura 2.17: 
 
Figura 2.14 – Pressão do vento sobre pontes rodoviárias carregadas. 
 
Figura 2.15 – Pressão do vento sobre pontes rodoviárias descarregadas. 
 
Figura 2.16 – Pressão do vento sobre pontes ferroviárias carregadas. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
36 
 
Figura 2.17 – Pressão do vento sobre pontes ferroviárias descarregadas. 
 
3 PILARES 
Apresenta-se aqui um procedimento da NBR 6118/2003 para consideração dos 
efeitos de segunda ordem e dimensionamento de pilares circulares para pontes. 
Os passos seguintes consistirão na verificação das dimensões dos pilares quanto à 
capacidade resistente do concreto de forma que satisfaçam as solicitações da 
superestrutura transferida ao pilar. Deverão ser ainda determinadas as áreas de aço 
longitudinais e transversais do pilar. O detalhamento deverá ainda atender as 
necessidades construtivas. 
Como visto em aula anterior os pilares estão solicitados a esforços verticais e 
horizontais. Os esforços serão resumidos em esforço normal e momento fletor na 
base do pilar para dimensionamento do mesmo a flexão composta obliqua. Far-se-á 
necessária a utilização de ábacos de dimensionamento de pilar circular devido à 
complexidade da solução manual. 
Faremos ao final do capítulo um exemplo de dimensionamento de pilar de concreto 
armado circular levando-se em conta a combinação última de cargas (Estado Limite 
Último). 
3.1 EFEITOS DE PRIMEIRA ORDEM 
A Figura 3.1 apresenta diversas formas de representar excentricidades de carga em 
pilares devido ao efeito de primeira ordem. 
 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
37 
 
Figura 3.1 – Diferentes formas de representar excentricidades de carga em pilares. 
A NBR 6118 (2003) considera a formulação a seguir para levar em consideração os 
efeitos de imperfeições locais (construtivas) através de uma excentricidade acidental: 
 hea 03,0015,0  (3.1) 
h é a altura total da seção na direção a serem considerados os esforços. 
3.2 EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM 
O cálculo dos esforços finais no pilar leva em consideração agora a estrutura 
deformada. 
 
 
Figura 3.2 – Efeito de segunda ordem em um pilar. 
 
e1
e2
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
38 
3.3 DISPENSA DA ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM 
Para elementos isolados estes efeitos de segunda ordem podem ser dispensados 
quando o índice de esbeltez for menor que o limite estabelecido 1. Os pilares devem 
ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ≤�200). Apenas no caso de postes 
com força normal menor que 0,10 fcd. Ac, o índice de esbeltez pode ser maior que 
200. 
Para o calculo do índice de esbeltez, temos: 
i
le ; 
A
Ii  (3.2) 
Onde: le é o comprimento equivalente de flambagem do pilar que dependerá das 
condições de contorno deste; i é o raio de giro da seção transversal do pilar; I e A 
são a inércia e a área da seção, respectivamente. A Figura 3.3 mostra algumas 
condições de contorno e a Tabela 3.1 apresenta os comprimentos de flambagem a 
serem considerados. 
 
 
Figura 3.3 – Comprimento de flambagem de barras para diferentes condições de contorno 
(www.mspc.eng.br). 
Tabela 3.1 – Comprimento de flambagem para barras com diferentes 
condições de contorno. 
Tipo  (a)  (b)  (c)  (d)  (e)  (f) 
Le (teórico)  0,5L  0,7L  1,0L  1,0L  2,0L  2,0L 
Le (prático)  0,65L  0,8L  1,2L  1,0L  2,1L  2,0L 
Fonte: (www.mspc.eng.br). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
39 
 
O índice de esbeltez limite é dado pela equação: 
b
h
e

1
1
5,1225 
 ; 9035 1   
(3.3) 
Para pilares em balanço, temos: 
 
base
meio
M
M
b 2,08,0  ; 85,00,1  b (3.4) 
3.4 MÉTODO DO PILAR-PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA 
Empregado apenas no cálculo de pilares com índice de esbeltez menor ou igual a 90, 
seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. O Momento 
total máximo, portanto deve ser calculado pela expressão a seguir: 
2,1, eNMM dAdbtotd   (3.5) 
r
lee 1
10
2
2  
(3.6) 
  hhr
005,0
5,0
005,01   
(3.7) 
Onde: 
e2 é o esforço de segunda ordem e 1/r é o raio de curvatura. A força normal 
reduzida,  , o momento reduzido,  , e a taxa  , são dados respectivamente por: 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
40 
cdAcf
Nd (3.8) 
hAcf
M
cd
d (3.9) 
cd
yd
f
f
Ac
As (3.10) 
A área de aço será distribuída no perímetro da seção do pilar considerando 
cobrimentos, espessura de estribos e metade do diâmetro da barra utilizado no 
detalhamento. 
yd
cd
f
AcfAs  (3.11) 
4 LINHAS DE INFLUÊNCIA 
Denomina-se linha de influência de uma solicitação ou esforço Sm num ponto m, uma 
linha cujas ordenadas fornecem os valores de Sm para diversas posições de uma 
cargaunitária (Figura 4.1). A figura mostra uma viga contínua contendo dois vãos. As 
linhas de influência mostram para a seção m as ordenadas que representam os 
esforços na seção para várias posições de uma carga unitária. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
41 
 
Figura 4.1 – Conceito de linhas de influência de um esforço Sm (Pfeil, 1987). 
Conforme conceito de linhas de influência, para se determinar o esforço na seção a 
partir das cargas concentradas e distribuídas aplicadas a estrutura temos a seguinte 
formulação: 

b
a
m ydxqyQyQyQS .222211 ; 
  qAyQS iim 
(4.1) 
Em conseqüência do princípio da superposição, para várias cargas distribuídas 
aplicadas na viga o esforço pode ser determinado pelo somatório do produto das 
cargas uniformemente distribuídas pelas respectivas áreas de incidência destas 
cargas. 
4.1 VIGAS ISOSTÁTICAS 
4.1.1 LI de reações 
O processo mais simples pra se traçar linhas de influência para certa viga é desenhar 
os diagramas das solicitações desejadas para diversas posições de uma carga 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
42 
unitária sobre a viga. Na Figura 4.2a vemos que para uma carga concentrada Q 
aplicada no apoio A, a reação em A vale Q (ordenada da LIRA igual a 1 no ponto A); 
para a carga aplicada em B, a reação em A é nula (ordenada da LIRA nula no ponto B). 
Para a carga Q aplicada a uma distância x do apoio A, a reação em A vale Q(L-x)/L. 
Verificamos que a linha de influência é uma reta. Como a reta é definida por dois 
pontos, podemos traçar a linha de influência de RA na Figura 4.2b. A linha de 
influência de reação RB é análoga à de RA, representada na Figura 4.2c. (Pfeil, 
1987). 
 
Figura 4.2 – Linhas de influência de reação de apoio de uma viga simples AB: (a) esquema da viga, 
com uma carga Q na posição genérica; (b) LI de reação RA; (c) LI de reação RB (Pfeil, 1987). 
4.1.2 LI de esforços cortantes 
Na Figura 4.3 podemos ver a evolução dos esforços cortantes numa seção (m), para 
diversas posições de uma carga Q, ao longo da viga. Na Figura 4.3a, admitimos a 
força Q aplicada num ponto genérico à esquerda da seção m, obtendo o diagrama da 
seção (Figura 4.3b). Na Figura 4.3c, a carga Q foi suposta aplicada numa seção 
corrente, à direita da seção (m), obtendo-se o diagrama da Figura 4.3c. As 
Expressões de Vm nos diagramas das Figura 4.3b e Figura 4.3d mostram que o 
esforço cortante em (m) cairia linearmente com a posição da carga. Por transposição 
das ordenadas dos diagramas das Figura 4.3b e Figura 4.3d, obtemos a linha de 
influência desenhada na Figura 4.3e (Pfeil, 1987). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
43 
 
Figura 4.3 – Linha de influência de esforço cortante numa seção (m) de uma viga simplesmente 
apoiada: (a) esquema de uma viga mostrando a seção (m) e a carga concentrada Q numa posição 
genérica, à esquerda da seção m (x<a); (b) diagrama dos esforços cortantes V para a posição da carga 
indicada em (a); (c) esquema da viga para uma posição da carga Q à direita da seção m (x>a); (d) 
diagrama dos esforços cortantes V para a posição da carga indicada em (c); (e) linha de influência do 
esforço cortante na seção (m); (f) convenção de sinal para o esforço cortante (g) esforços cortantes à 
esquerda e à direita do ponto de aplicação da carga Q (Pfeil, 1987). 
4.1.3 LI de momentos fletores 
Na Figura 4.4 estudamos a variação do momento fletor em uma seção (m) da viga AB. 
Para uma carga Q, situada num ponto corrente à esquerda de m (x<a), obtemos o 
diagrama de momentos da Figura 4.4b. Observamos que o momento M varia 
linearmente com a abscissa da carga Q, atingindo um valor máximo Qa(L-a)/L, quando a 
carga atua na própria seção (m). Assim, a linha de influência à esquerda da seção (m) 
é uma linha reta, definida pela ordenada zero no ponto A e pela ordenada a(L-a)L no 
ponto (m). Para a carga atuando à direita da seção (m), chegaremos a conclusões 
análogas, resultando a Linha de influência representada na Figura 4.4c (Pfeil, 1987). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
44 
 
Figura 4.4 – Linha de influência do momento fletor numa seção (m): (a) esquema da viga AB, 
mostrando a seção (m) e a carga Q numa posição genérica; (b) diagrama de momento fletor para a 
posição da carga indicada em (a); (c) linha de influência do momento fletor; (d) convenção de sinal 
para momentos (momento positivo produz tração na fibra inferior) (Pfeil, 1987). 
Para sistemas mais complexos, o emprego do processo acima, apresenta 
inconvenientes práticos, sendo necessário traçar um grande número de diagramas 
para obter as linhas de influência. 
4.2 VIGAS CONTÍNUAS 
Para a determinação de linhas de influência para estruturas hiperestática como, por 
exemplo, as vigas contínuas que são utilizadas em pontes em viga reta utilizaremos 
tabelas alemãs desenvolvidas com o objetivo de agilizar a determinação de 
solicitações pelo projetista. Em sala de aula utilizaremos também programas 
computacionais para determinação de LI para diversos tipos de vigas contínuas. No 
anexo são encontradas as tabelas com ordenadas das linhas de influência para 30 
seções igualmente espaçadas para vigas contínuas com relação de vãos (1:1,2:1) e 
(1:1,25:1), para momentos, cortantes e reações. Encontram-se também estas linhas 
de influência plotadas com ajuda do programa computacional Ftool 2.12 (Programa 
Gráfico-Interativo para Ensino de Comportamento de Estruturas). No Ftool 2.12 
ainda pode-se traçar linhas de influência para relações quaisquer de vãos de vigas de 
pontes. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
45 
4.3 REGRA DOS TRAPÉZIOS (COMPOSTA) 
A regra dos trapézios será utilizada aqui com o objetivo de calcular áreas sob as 
curvas de linhas de influência onde incidem cargas distribuídas conforme já visto em 
seção anterior. No entanto anteriormente o cálculo das áreas das linhas de influência 
era mais simples devido terem caráter linear e serem facilmente calculadas a partir de 
aproximações a figuras conhecidas como triângulos e trapézios. A seguir é deduzida 
de forma simples a regra do trapézio composta para a função qualquer que será 
utilizada para calcular áreas de linhas de influência para vigas contínuas que por sua 
vez possuem formas curvas. 
 
Figura 4.5 - Função curva aproximada por trapézios de altura h e bases y. 
Para simplificar, consideramos que o tamanho desses subintervalos é constante = h. 
(sendo h a distância entre as seções de análise da ponte) e yn são as ordenadas 
obtidas nas linhas de influências. Calculando as áreas independentes de cada trapézio 
e somando-as posteriormente, temos: 







222222
22110 hyyhyyhyyA n 
 nyyyyhA  210 222 
(4.2) 
A fórmula dos trapézios utilizada para calcular áreas sobre as curvas de linhas de 
influência de pontes será dada, portanto pela equação: 
 nRIASINTERMEDIÁLI yyyhA  22 0 (4.3) 
Onde: 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
46 
h é a distância entre as seções de cálculo da linha de influência; 
0y é a ordenada da seção inicial em que incide uma carga distribuída; 
RIASINTERMEDIÁy são as ordenadas das seções intermediárias em que incide uma carga 
distribuída; 
ny é a ordenada da última seção em que incide uma carga distribuída. 
5 VIGAS 
5.1 FLEXÃO 
5.1.1 Estado limite último 
A combinação sugerida pela NBR 8681 (2003) é: 


  

n
j
qjkjkqq
m
i
gikgid FFFF
2
01
1
 (5.1) 
a) Para peso próprio de pontes em geral: q = 1,35; 
b) Protensão: q = 1,2; 
c) Veículo: q = 1,5; 
d) Temperatura: q = 1,2; 1 =0,6; 
e) Vento: q = 1,4;1 = 0,6; 
5.1.2 Determinação da área de aço longitudinal 
A seguir serão relembradas de forma expedita as formulações necessárias para se 
determinar a área de aço para vigas retas de pontes. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
47 
Para o cálculo de tensões permite fazer substituições do diagrama parábola-retângulo 
pelo simplesmente retangular. A Figura 5.1ilustra os dois diagramas e as tensões no 
concreto para diversas formas de seções transversais. 
 
 
Figura 5.1 – Diagramas de tensões e alguns tipos de seções e respectivas tensões para diagrama 
retangular (Pinheiro, 2003). 
O dimensionamento no domínio 3 é ideal para projeto, pois ocorre aproveitamento 
dos dois materiais (concreto e aço) e a ruína é dúctil, pois ocorre com aviso, o aço 
está em escoamento e ocorrem fissuras aparentes e flechas significativas. A linha 
neutra varia entre 0,259d e 0,628d. Segue as formulações para se determinar o 
valor de x e y (para garantia da forma de ruptura) e a área de aço necessária para a 
viga. 
compcd ybfRcc 85,0 (5.2) 
AfRst yd (5.3) 
RstRcc  (5.4) 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
48 
MdzRM ccRd  (5.5) 
Combinando as equações (5.2) e (5.5), temos: 
 ydybfMd compcd 5,085,0  ; 
 
compcd ybf
Mdydy
85,0
5,0  ; 
0
85,0
5,0 2 
compcd ybf
Mdydy ; 
(5.6) 
Resolvendo a equação de segundo grau e expressando em termos de x (posição da 
linha neutra), temos que: 



 
compcd bf
Mdddx
85,0
225,1 2 
(5.7) 
A condição para garantir aviso na ruptura é que 0,259d < x < 0,628d. 
Para se determinar a área de aço da seção basta combinar as equações (5.3) a 
(5.5), temos: 
 xdf
MAs
yd
d
4,0 
(5.8) 
5.1.3 Largura colaborante 
Para o caso de pontes apoiadas em vigas podemos no dimensionamento levar em 
consideração uma viga T, para isto deve-se definir qual a largura colaborante da mesa 
que efetivamente contribui para absorver os esforços de compressão. De acordo 
com a NBR 6118, a largura colaborante bf será dada pela largura da viga bw 
acrescida de no máximo 10% da distância “a” entre pontos de momento fletor nulo, 
para cada lado da viga em que houver laje colaborante (Figura 5.2). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
49 
a) viga simplesmente apoiada ............................................a = 1,00 L 
b) tramo com momento em uma só extremidade ....................a = 0,75 L 
c) tramo com momentos nas duas extremidades.....................a = 0,60 L 
d) tramo em balanço.........................................................a = 2,00 L 
O calculo de “a” ainda pode ser feito de forma mais precisa se determinando no 
diagrama o comprimento exato entre momentos nulos. 
Figura 5.2 – Largura colaborante. 
5.1.4 Fadiga 
5.1.4.1 História da falha por fadiga 
O fenômeno da fadiga foi observado pela primeira vez por volta de 1800, quando os 
eixos de um vagão ferroviário começaram a falhar após um pequeno período em 
serviço. Apesar de serem feitos de aço dúctil, os mesmos exibiam características de 
fraturas frágeis e repentinas. Rankine publicou um artigo em 1843, As Causas da 
Ruptura Inesperada de Munhões de Eixos Ferroviários, no qual dizia que o material 
havia “cristalizado” e se tornado frágil devido às tensões flutuantes. Os eixos haviam 
sido projetados com toda a perícia e engenharia disponível na época, as quais se 
baseavam em experiências decorrentes de estudos com estruturas carregadas 
estaticamente. Cargas dinâmicas eram, portanto, um fenômeno novo, resultantes da 
introdução das máquinas movidas a vapor. Esses eixos estavam fixos às rodas e 
giravam em conjunto com as mesmas. Desse modo, a tensão de flexão em qualquer 
ponto da superfície do eixo variava ciclicamente entre valores positivos e negativos, 
como mostra a Figura 5.3a (Abrahão, 2008). Pode se ainda se encontrar 
carregamentos do tipo alternado (Figura 5.3b) ou aleatório (Figura 5.3c). 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
50 
 
Figura 5.3 – Tensões variantes: (a) alternada, (b) flutuante e (c) aleatória. 
O engenheiro alemão, August Wöhler (1819-1914), realizou a primeira investigação 
científica (durante um período de 12 anos) sobre o que estava sendo chamado de 
falha por fadiga, testando, em laboratório, eixos até a falha sob carregamento 
alternado. Ele publicou suas descobertas em 1870, as quais identificavam o número 
de ciclos de tensão variando no tempo como os causadores do colapso e a 
descoberta da existência de uma tensão limite de resistência à fadiga para aços, isto 
é, um nível de tensão que toleraria milhões ciclos de uma tensão alternada. O 
diagrama S-N ou Curva de Wöhler, mostrado na Figura 5.4, tornou-se a forma-padrão 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
51 
para caracterizar o comportamento dos materiais submetidos a solicitações 
alternadas e ainda é utilizado atualmente, apesar de outras medidas sobre a 
resistência dos materiais, sob cargas dinâmicas, estarem disponíveis. 
 
Figura 5.4 – Diagrama Stress-Number of cycles ou Curvas de Wöhler. 
A tensão que um material pode suportar ciclicamente é muito menor que a suportável 
em condições estáticas. A fim de aumentar o número de ciclos de tensão possíveis 
numa certo material, é necessário reduzir-se a tensão nos seus componentes. Cada 
metal terá um Limite de Fadiga correspondente a uma variação de tensão abaixo da 
qual suporta um número de ciclos infinito, sem romper. 
O termo “fadiga” foi aplicado pela primeira vez por Poncelet em 1839. O mecanismo 
de falha ainda não compreendida e a aparência de uma fratura frágil na superfície de 
um material dúctil geraram especulações de que o material, de alguma maneira, 
apresentou “cansaço” e fragilizou-se devido às oscilações da carga aplicada. Wöhler, 
mais tarde, constatou que cada metade dos eixos quebrados quando submetido a 
ensaios de tração continuava com a mesma resistência. De qualquer maneira, o termo 
falha por fadiga permaneceu e ainda é usado para descrever qualquer as falhas 
provenientes de cargas variantes no tempo. A Figura 5.1 resume o desenvolvimento 
histórico da fadiga. 
Tabela 5.1 – Histórico do desenvolvimento da fadiga. 
Data Pesquisador Pesquisa 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
52 
1829 Albert (Alemanha) Falha devido a carregamentos cíclicos foi documentada 
1839 Poncelet (França) Introdução do termo fadiga 
1849 IEM (França) Rebatida a teoria da “cristalização” por fadiga em metais 
1864 Fairbain Primeiros experimentos de carregamentos cíclicos 
1871 Wöhler 
Investigação do comportamento em fadiga de eixos 
ferroviários, ensaios de flexão rotativa, curvas S-N, 
conceito de “limite de fadiga” 
1886 Bauschinger 
Observações da mudança do limite elástico devido a 
carregamentos cíclicos, curvas de histerese em tensão-
deformação. 
1903 Ewing e Humfrey 
Estudo microscópico desaprova a teoria da cristalização; 
toma lugar a deformação em fadiga por escorregamento, 
similar à deformação monotônica. 
1910 Bairstow Conceitos de amolecimento e endurecimento cíclicos. 
1929 Haigh 
Diferença no comportamento cíclico devido a entalhes, 
conceitos de análise de deformações em entalhes e 
tensões próprias. 
1955 Coffin e Manson 
(trabalhando independentemente)-ciclagem térmica, 
fadiga de baixo ciclo, considerações sobre deformação 
plástica. 
1963 Paris e Erdogran 
Taxa de crescimento de trinca por fadiga descrita 
usando o fator de intensidade de tensão. 
 
Os aços especiais (barras de aço nervuradas de alta resistência) começaram a ser 
usadas no Brasil, em pontesde concreto armado, a partir de aproximadamente 
1960. 
A seguir apresenta-se uma relação de normas brasileiras relacionadas a fadiga e como 
tratavam o assunto em cada época (Schäffer, 2002). 
a) NB-2/1950: nesta norma de pontes só era admitido o uso de barras 
de aço lisas (sem nervuras), das categorias 37-CA e 50-CA que 
correspondem às atuais categorias CA-25 e CA-32. Nestes aços, com 
as tensões com as tensões de serviço usuais, não se manifesta o 
fenômeno da fadiga. Aços especiais não eram admitidos em pontes. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
53 
b) NB-1/1950 (revisão de 1960): nesta norma passou a ser admitido o 
uso de aços estruturais das categorias CA-T40 e CA-T50 (atuais 
CA40-B e CA-50B) em obras de concreto armado comuns (edifícios). 
Esta, no entanto, não é uma norma de pontes. 
c) NB2-1950 (revisão de 1961): esta norma passou a admitir o uso de 
aços especiais das categorias CA-T40 e CA-T50 em pontes. Era 
omissa em relação à fadiga. 
d) EB-3/1965: esta especificação, no anexo II, modifica dispositivos da 
NB-1 e da NB-2 e estabelece um limite para a variação da tensão em 
aços especiais (categorias CA-40, CA-50 e CA-60), de 220MPa (item 
16, letra a), na armadura reta de vigas fletidas. Como na época era 
usual multiplicar previamente as cargas móveis por 1,2, a variação de 
tensão realmente admitida pela EB-3/1965 era de 220/1,2 igual a 
aproximadamente 180MPa. 
e) EB-3/1967: o anexo da EB-3/1967 repete o disposto no anexo II da 
EB-3/1965, em relação à fadiga da armadura de flexão. 
f) NBR 6118/1978 (Antiga NB-1): refere-se à fadiga apenas no item 
3.1.1.7 onde dispõem: havendo possibilidade de fadiga deverá esta 
ser considerada no cálculo das peças. 
g) NBR 7187/1987 (Antiga NB-2): na ausência de resultados de ensaios 
esta norma fixa, no item 8.1.3.1, a resistência característica à 
fadiga, skf , para barras de alta aderência (aços especiais), em 
150MPa. O item 10.11.1.2 limita a máxima variação da tensão no aço 
ao valor de skf dividido por um coeficiente de segurança à fadiga igual 
a 1,5, isto é, ao valor de 150/1,5 = 100MPa. Este resultado está 
muito abaixo dos valores usuais (aproximadamente 180MPa) o que 
sugere a existência de um engano da norma nesta questão da fadiga. 
h) NBR 6118/2003: será exemplifica em item posterior neste trabalho. 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
54 
5.1.4.2 Mecanismos da fadiga 
De forma bem resumida, existem três estágios na falha por fadiga: 
a) início da trinca (pequena duração caso o material apresente 
concentrador de tensão); 
b) propagação da trinca (maior tempo de vida da peça); 
c) ruptura repentina devido ao crescimento instável da trinca (instantâneo, 
sem aviso prévio). 
A Figura 5.5 apresenta fases e aspecto macroscópico da superfície de fratura por 
fadiga. Geralmente a ruptura é indicada por uma série de anéis em torno da fissura 
inicial. 
 
Figura 5.5 – Fases e aspecto macroscópico da superfície de fratura por fadiga: (a) esquema da série de 
anéis em torno da fissura inicial e (b) fotografia semelhante. 
5.1.5 Verificação segundo a NBR 6118 (Estado Limite de Fadiga) 
A NBR 6118 (2003) sugere que a verificação para o estado limite de fadiga seja 
feita pela Combinação Freqüente das Ações. 
As ações de fadiga de média e baixa intensidade e número de repetições até 
2.000.000 de ciclos são consideradas na NR 6118. 
(a) (b) 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
55 



m
j
qjkjkq
m
i
gikserd FFFF
2
211
1
,  (5.9) 
 
Para pontes rodoviárias a verificação da fadiga os coeficientes da combinação são 
apresentados como sendo: 
a) 1 = 0,5 para verificação das vigas; 
b) 1 = 0,7 para verificação das transversinas; 
c) 1 = 0,8 para verificação do tabuleiro. 
Para pontes ferroviárias: 
d) 1 = 1,0. 
A carga kqF 1 é considerada na NBR como carga variável principal que é o caso das 
cargas móveis. 
5.1.5.1 Verificação da fadiga no concreto 
Nenhuma exigência de verificação do concreto à fadiga era feita pelas normas 
brasileiras anteriores ao NBR 6118/2003. Esta nova norma, no entanto, exige tal 
verificação (Schäffer, 2002). 
O Manual do Concreto da ACI (1991) apresenta as principais características do 
concreto, à fadiga: 
a) A resistência à fadiga o concreto como uma fração da resistência 
estática que pode ser suportada repetitivamente para um dado número 
de ciclos. A resistência à fadiga é influenciada pela amplitude da 
variação das tensões e pela excentricidade da carga (gradiente de 
tensões) entre outras causas (ACI 215R, 1991 item 2.1.1). 
b) A resistência à fadiga do concreto diminui com o aumento do número de 
ciclos (assim como no aço). O concreto não apresenta um limite de 
resistência à fadiga até 10 milhões de ciclos. Isto significa que não 
existe um limite a tensão abaixo da qual o concreto suporta um número 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes – Prof. Daniel de Souza Machado, MSc 
 
 
56 
infinito de ciclos sem se romper. A resistência do concreto à fadiga 
diminui com o aumento da amplitude de variação das tensões, 
podendo-se considerar uma relação linear (diagrama de Goodman) (ACI 
215R, 1991, item 2.1.2). 
c) Gradientes de tensões influenciam a resistência à fadiga do concreto. 
Para simular a zona comprimida de vigas, corpos de prova foram 
submetidos a ensaios de duração com forças de compressão 
excênctricas foi de 15 a 18% mais alta que a resistência à fadiga 
obtida para tensões uniformemente distribuídas (ACI 125R, 1991, 
item 2.1.6) Quando a resistência do concreto à fadiga é comparada 
não com a resistência estática à compressão excêntrica, com a mesma 
excentricidade do ensaio de duração, verifica-se que a resistência à 
fadiga do concreto praticamente não varia. Portanto, as resistências 
do concreto – estática e à fadiga – são afetadas pela excentricidade na 
mesma proporção (Boletim de Informação n 188, 1988, item 3.14, 
p.123). 
Essa verificação para o concreto em compressão é satisfeita se: 
fadcdcc f ,max,  (5.10) 
Onde: 
cdfadcd ff 45,0,  (5.11) 





2
15,05,1
1
c
c
c

 
(5.12) 
c é um fator que considera o gradiente de tensões de compressão no concreto; 
1c é o menor valor, em módulo, da tensão de compressão a uma distância não 
maior que 300 mm da face sob a combinação relevante de cargas; 
Universidade Federal da Bahia – ENG 115 – Pontes  
 
 
57 
1c é o maior valor, em módulo, da tensão de compressão a uma distância não maior 
que 300 mm da face sob a combinação de carga usada para cálculo de 1c . 
 
Figura 5.6 – Definição das tensões para cálculo de fadiga no concreto (NBR 6118, 2003). 
 
5.1.5.2 Verificação da fadiga na armadura 
Essa verificação é satisfeita se a máxima variação de tensão calculada, S s, para a 
combinação freqüente de cargas satisfaz: 
fadsdS f , (5.13) 
Os valores de min,, fadsdf podem ser tomados para 2x106 ciclos como: 
a) Barras longitudinais com Ø = 10mm a 16mm: 190MPa; 
b) Barras longitudinais com Ø = 20mm: 185MPa; 
c) Barras longitudinais com Ø = 25mm: 175MPa; 
d) Barras longitudinais com Ø = 32mm: 165MPa; 
e) Estribos: 85MPa. 
Para se determinar as tensões na armadura da viga deve-se levar em consideração a 
teoria usada na resistência dos materiais para vigas compostas. Para este caso deve-
se aplicar o Método da Seção Transformada. Em resumo, se for aplicado um 
momento fletor numa viga composta, permanecendo a lei de Hook, a deformação vai 
variar linearmente na seção, portanto, se tivermos valores de E diferentes, a tensão 
será maior para materiais com