matematica e raciocinio logico p trtrj aula 03

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/ TRT-RJ 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 03: PORCENTAGEM E JUROS 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 31 
3. Lista de exercícios resolvidos 91 
4. Gabarito 119 
 
Olá! 
 
Hoje vamos tratar dos seguintes tópicos do seu edital: 
 
Porcentagem. Juros simples e compostos. 
 
Tenha uma boa aula! 
 
1. TEORIA 
1.1 Porcentagem 
 A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o 
número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas 
notícias da imprensa. Dizer que 12% (leia “cinco por cento”) dos brasileiros são 
desempregados é igual a dizer que 12 a cada grupo de 100 brasileiros não tem 
emprego. Veja outros exemplos: 
 
- “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária”: de cada 
100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência. 
 
- “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de cada 100 adultos no 
Brasil, 20 são analfabetos. 
 
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- “o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano 
anterior”: para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a 
existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas. 
 
- “o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da década”: para 
cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 – 5, isto é, 95 
fumantes. 
 
 Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um 
todo, basta efetuar a seguinte divisão: 
 
quantia de interessePorcentagem = 100%
total
×
 
 
 Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças 
representam em um total de 4 crianças, temos: 
 
quantia de interesse 3Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75%
total 4
× = × = × = 
 
 Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número 
decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % significa “dividido por 
100”. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75: 
 
7575% 0,75
100
= = 
 
 Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos 
saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%: 
 
1000,025 0,025 0,025 100% 2,5%
100
= × = × = 
 
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 Por fim, se quantia de interessePorcentagem = 100%
total
× , então também 
podemos dizer que: 
 
quantia de interesse = porcentagem total×
 
(Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 100100% 1
100
= =
) 
 
 Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300, 
basta multiplicar 20% por 300: 
 
20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60 
 
 Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas. 
Portanto, grave isso: em matemática, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% 
de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante. 
 
 Por ora, vejamos duas questões sobre o assunto: 
 
1. FCC – MPE/RS – 2010) Devido a uma promoção, um televisor está sendo 
vendido com 12% de desconto sobre o preço normal. Cláudio, funcionário da loja, 
está interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da loja, ele 
tem direito a 25% de desconto sobre o preço promocional, o desconto que Cláudio 
terá sobre o preço normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de 
a) 37% 
b) 36% 
c) 35% 
d) 34% 
e) 33% 
RESOLUÇÃO: 
 Se o preço normal do televisor é T, com o desconto de 12% ela está sendo 
vendida pelo preço promocional abaixo: 
 
Preço Promocional = T – 12%T = T – 0,12T = 0,88T 
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 Como Cláudio tem desconto de 25% sobre o preço promocional, ele deve 
pagar: 
 
Preço para Cláudio = Preço Promocional – 25% do Preço Promocional 
Preço para Cláudio = 0,88T – 25% x 0,88T 
Preço para Cláudio = 0,88T – 0,25 x 0,88T = 0,66T 
 
 Isto é, Cláudio pagará apenas 66% do preço normal da televisão, tendo um 
desconto de 100% - 66% = 34%. 
Resposta: D 
 
2. FCC – TCE/SP – 2010) Suponha que certo medicamento seja obtido 
adicionando- se uma substância A a uma mistura homogênea W, composta de 
apenas duas substâncias X e Y. Sabe-se que: 
 
- o teor de X em W é de 60%; 
 
- se pode obter tal medicamento retirando-se 15 de 50 litros de W e substituindo-os 
por 5 litros de A e 10 litros de Y, resultando em nova mistura homogênea. 
 
Nessas condições, o teor de Y no medicamento assim obtido é de 
a) 52% 
b) 48% 
c) 45% 
d) 44% 
e) 42% 
RESOLUÇÃO: 
 Se a mistura W contém apenas as substâncias X e Y, sendo 60% de X, 
temos então 100% - 60% = 40% de Y. 
 Retirando 15 litros de W, sobram 35 litros dessa mistura. Sabemos que X é 
60% de W, portanto, temos: 
 
Volume de X = 60% do Volume de W = 60% x 35 litros = 0,6 x 35 = 21 litros 
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 Se ao todo temos 35 litros, o volume de Y será: 
 
Volume de Y = Volume de W – Volume de X = 35 – 21 = 14 litros 
(você também poderia ter feito 40% x 35 litros = 14 litros) 
 
 Veja que ainda devemos adicionar 5 litros de A e 10 litros de Y. Ficamos, ao 
todo, com 21 litros de X, 14 + 10 = 24 litros de Y e 5 litros de A, totalizando 21 + 24 
+ 5 = 50 litros. 
 Deste total de 50 litros, temos 24 litros de Y, que representam a 
porcentagem: 
quantia de interessePorcentagem = 100%
total
24Porcentagem = 100% 0,48 100% 48%
50
×
× = × =
 
Resposta: B 
 
1.2 Juros simples e compostos 
Juros é o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”. 
Quando você pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma 
remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar 
na posse desse dinheiro por um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela 
taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de cobrança de juros: 
juros simples e juros compostos. Você deve conhecer as duas, saber efetuar 
cálculos com cada uma delas, e distinguir situações onde se aplicam uma ou outra. 
 
1.2.1 JUROS SIMPLES – INTRODUÇÃO 
Continuemos com o exemplo em que você contratou um empréstimo junto ao 
banco. Pode ser que fique combinado que será cobrada uma taxa de juros mensal 
apenas sobre o valor emprestado inicialmente. Não serão cobrados “juros sobre 
juros”, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido à dívida a cada mês. Neste 
caso, estamos diante da cobrança de juros simples. Para ilustrar, imagine que você 
pegou um montante de R$1000 emprestados com o banco a uma taxa de juros 
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simples de 10% ao mês, para pagar após 5 meses. Quantovocê deverá pagar ao 
banco ao final dos 5 meses? 
Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do primeiro 
mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital inicial (R$1000). Como 
10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida 
subiu para R$1100, onde R$1000 correspondem ao montante inicial e R$100 
correspondem aos juros incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão 
devidos mais 10% de 1000, ou seja, mais 100 reais. Ao final do terceiro, quarto e 
quinto meses serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 5 meses 
você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 5 parcelas de 100 reais, 
totalizando R$1500. Deste valor, 500 reais referem-se aos juros (“preço” que você 
paga por ter ficado com 1000 reais do banco durante 5 meses) e 1000 reais 
referem-se ao Principal da dívida, que é outra forma muito comum de designar o 
capital inicialmente obtido. Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo: 
 
= × + ×(1 )M C j t 
 
 Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros (10% ao 
mês), t é o período analisado (5 meses), e M é o montante (valor total) devido ao 
final dos “t” períodos. Observe que a taxa de juros e o período analisado devem 
referir-se à mesma unidade temporal (neste caso, ambos referem-se a meses). Se 
elas não estiverem na mesma unidade, o primeiro passo da resolução deve ser a 
uniformização destas unidades, como veremos mais adiante neste curso. 
A fórmula acima pode ser dividida em duas partes, tirando os parênteses: 
 
= + × ×M C C j t 
 
 Nesta fórmula, ×C j é o valor dos juros pagos a cada período (R$100), que é 
sempre igual. Já × ×C j t é o total pago na forma de juros (neste caso, R$500). 
Portanto, o valor dos juros totais devidos é simplesmente: 
 
= × ×J C j t 
 
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 Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o Montante e 
o Capital inicial: 
 
J = M – C 
 
 Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e t). A 
maioria dos exercícios envolvendo juros simples fornecerão 3 dessas variáveis e 
perguntarão a quarta. O exercício poderia ter dito que João pegou R$1000 
emprestados à taxa de juros simples de 10% ao mês, e perguntar quanto tempo 
levaria para que o valor devido chegasse a R$1500. Assim, você teria C = 1000, j = 
10% e M = 1500, faltando encontrar t: 
 
= × + ×
= × + ×
= + ×
= + ×
= ×
=
(1 )
1500 1000 (1 10% )
1500 1 0,1
1000
1,5 1 0,1
0,5 0,1
5
M C j t
t
t
t
t
t
 
 
 Como a taxa de juros refere-se a meses, então t = 5 meses. Exercite esta 
fórmula resolvendo o exercício abaixo. 
 
3. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) Um aplicador realizou um investimento 
cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros simples é 
de 3,5% ao mês e que faltam 5 meses para o resgate, o valor da aplicação, em 
reais, foi de: 
a) 68.085,10 
b) 66.000,00 
c) 65.000,00 
d) 64.555,12 
e) 63.656,98 
RESOLUÇÃO: 
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 Observe que, nessa questão, R$80.000,00 não é o valor que foi investido 
inicialmente (capital inicial), mas sim o valor obtido ao final dos 5 meses de 
investimento. Portanto, trata-se do montante final, isto é, M = 80.000 reais. Além 
disso, foi dito que a taxa de juros é j = 3,5% a.m., e o tempo de aplicação é t = 5 
meses. Utilizando a fórmula de juros simples, podemos descobrir o valor que foi 
investido no início (C): 
 
= × + ×
= × + ×
= × +
= ×
= =
(1 )
80000 (1 0,035 5)
80000 (1 0,175)
80000 (1,175)
80000 68085,10
1,175
M C j t
C
C
C
C
 
 
Resposta: A 
 Obs.: observe que um investimento financeiro é tratado com a mesma 
fórmula que utilizamos para cálculo do empréstimo ao longo da exposição teórica. 
Isto porque, na realidade, temos uma coisa só: sempre que existe um empréstimo 
ocorre, simultaneamente, um investimento. Quando você pega um valor emprestado 
junto ao banco, a instituição financeira está fazendo um investimento, que será 
remunerado pelos juros pagos por você. 
 
1.2.2 JUROS COMPOSTOS – INTRODUÇÃO 
Em alguns casos, os juros não incidirão apenas sobre o capital inicial de um 
empréstimo. Eles incidirão sobre o valor devido, que aumenta a cada período (pois 
ao capital inicial vão sendo somados os juros devidos nos períodos anteriores). Por 
isso, os juros devidos em um mês serão diferentes dos juros devidos no mês 
seguinte. Vamos usar o mesmo exemplo: você contrata R$1000 de empréstimo 
junto ao banco, por um período de 5 meses e taxa de juros compostos de 10% ao 
mês. Qual é o valor devido ao final de 5 meses? 
Ao final do primeiro mês, aplicaremos a taxa de 10% sobre todo o valor 
devido, que neste caso é o próprio capital inicial (1000 reais), resultado em juros de 
100 reais. Ou seja, ao fim deste mês você estará devendo 1100 reais. Ao final do 
segundo mês, aplicaremos novamente a taxa de 10% sobre todo o valor devido, que 
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não é mais 1000 reais, e sim 1100 reais. Logo, os juros relativos ao segundo mês 
somam R$110 reais (e não 100). A dívida total chegou a R$1210 (1100+110). 
Portanto, ao final do terceiro mês serão devidos mais R$121 em juros, que resulta 
da aplicação de 10% sobre R$1210. E assim sucessivamente. Veja que: 
- ao final do primeiro período, o valor total devido é o mesmo que no caso dos 
juros simples (R$1100). Essa propriedade é importantíssima: juros simples e juros 
compostos são equivalentes para um único período. 
- a partir do segundo período, o valor total devido é maior no caso de juros 
compostos (R$1210) do que no caso de juros simples (R$1200). Ou seja, os juros 
compostos são mais onerosos que os juros simples, a partir do segundo período! 
Uma informação adicional: para períodos de tempo fracionários (t entre 0 e 
1), os juros simples são mais onerosos que os juros compostos! 
 
A fórmula para cálculo de juros compostos é: 
 
= × +(1 )tM C j
 
 
As questões que versam a respeito de juros compostos costumam seguir a 
mesma linha: apresentam 3 das 4 variáveis e pedem para você calcular a restante. 
Como o tempo (“t”) está no expoente, será preciso trabalhar com potências e raízes, 
e em alguns casos com o logaritmo. 
Sobre logaritmos, a propriedade mais importante a ser lembrada é que, 
sendo dois números A e B, então: 
log AB = B x log A 
(o logaritmo de A elevado ao expoente B é igual a multiplicação de B pelo logaritmo 
de A) 
 
 Esta propriedade é útil quando nosso objetivo é encontrar o valor do prazo “t”, 
que se encontra no expoente da fórmula = × +(1 )tM C j . Imagine que vamos investir C 
= 2000 reais a uma taxa composta j = 2% ao mês, e pretendemos obter o triplo do 
valor inicial, ou seja, M = 6000 reais. Veja como obter o prazo deste investimento: 
M = C x (1 + j)t 
6000 = 2000 x (1 + 0,02)t 
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6000 / 2000 = 1,02t 
3 = 1,02t 
 
 Aplicando o logaritmo aos dois ladosdessa igualdade, temos: 
log 3 = log 1,02t 
 
 O enunciado normalmente fornecerá o valor de alguns logaritmos. Digamos 
que seja informado que log 3 = 0,477, e que log 1,02 = 0,0086. Antes de utilizar 
esses valores, devemos lembrar que log AB = B x log A, ou seja, log 1,02t = t x log 
1,02. Assim: 
log 3 = t x log 1,02 
0,477 = t x 0,0086 
t = 0,477 / 0,0086 
t = 55,46 meses 
 
Portanto, é preciso investir os 2000 reais por mais de 55 meses para obter o 
valor pretendido. 
 
Para facilitar as contas, em alguns casos a sua prova pode fornecer tabelas 
com valores para +(1 )tj , normalmente usando as letras +(1 )ni , para diferentes 
valores de i e diferentes valores de n. O termo +(1 )ni é chamado de Fator de 
Acumulação de Capital (FAC). Basta você olhar na tabela qual o valor correto da 
expressão +(1 )ni para a taxa de juros “i” e tempo “n” que você tiver em seu 
exercício. Veja abaixo um exemplo desta tabela: 
 
Se, em uma questão de prova, a taxa de juros de um empréstimo for de 5% 
ao mês e o período do empréstimo for de 7 meses, teríamos uma fórmula de juros 
compostos assim: 
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M = C x (1 + 5%)7 
 
Calcular o fator (1 + 5%)7 manualmente seria impraticável em uma prova. 
Entretanto, veja que marquei na tabela fornecida o valor do fator de acumulação de 
capital para i = 5% e n = 7 períodos. Podemos dizer que (1 + 5%)7 = 1,4071. 
Portanto, uma pessoa que contratasse um empréstimo no valor inicial C teria que 
pagar, ao final de 7 meses e com taxa de 5% ao mês, o valor final M = 1,4071xC. 
 
Atenção: ao invés de fornecer a tabela, o exercício poderia ter simplesmente 
dito que, para taxa de 5% ao mês e 7 períodos, o valor do fator de acumulação de 
capital é 1,4071. É assim que a FCC costuma fazer! 
 
Comece a praticar os conceitos relativos a juros compostos resolvendo a 
questão abaixo: 
 
4. FGV – ICMS/RJ – 2011 – Adaptada) Um indivíduo tem uma dívida de R$ 500,00 
cuja taxa de juros é de 10% ao mês, juros compostos. Após três meses, essa dívida 
é 
(A) R$ 675,00. 
(B) R$ 650,00. 
(C) R$ 645,50. 
(D) R$ 665,50. 
(E) R$ 680,50. 
RESOLUÇÃO: 
 O enunciado informa que há uma dívida inicial C = 500, que é corrigida sob o 
regime de juros compostos, tendo taxa de juros j = 10% ao mês e período t = 3 
meses. Aplicando a fórmula, temos o montante final: 
 
M = C x (1 + j)t 
M = 500 x (1 + 0,10)3 
M = 500 x 1,1 x 1,1 x 1,1 
M = 500 x 1,21 x 1,1 
M = 665,50 
Resposta: D 
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 Nos próximos tópicos veremos alguns assuntos mais específicos, ainda 
dentro do tema juros simples e compostos, que podem ser explorados em sua 
prova. 
 
1.2.3 TAXAS NOMINAIS, EFETIVAS, PROPORCIONAIS, EQUIVALENTES 
 Para aplicar corretamente uma taxa de juros, é importante saber: 
- a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não adianta 
saber apenas que a taxa de juros é de “10%”. É preciso saber se essa taxa é 
mensal, bimestral, anual etc. 
- de quanto em quanto tempo os juros devem ser calculados e seu valor incorporado 
no total devido. Este é o período de capitalização. Por exemplo, se tivermos juros 
com capitalização semestral, isso quer dizer que a cada semestre os juros devem 
ser calculados, e o valor calculado deve ser acrescido à dívida. 
 Em regra, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida é a 
mesma do período de capitalização. Ex.: 10% ao mês com capitalização mensal 
(isto é, calculados a cada mês), 12% ao ano com capitalização anual etc. Quando 
isso acontece, temos uma taxa de juros efetiva, isto é, uma taxa de juros que 
efetivamente corresponde à realidade da operação. Nestes casos normalmente 
omite-se a informação sobre o período de capitalização, dizendo-se apenas “10% 
ao mês” ou “12% ao ano”. 
 Porém podemos ter uma taxa de juros de 10% ao ano com capitalização 
semestral. Neste caso, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida 
(ao ano) é diferente do período de capitalização (a cada semestre). Assim, essa é 
chamada taxa de juros de nominal, pois ela precisará ser “adaptada” para então ser 
utilizada nos cálculos. 
 Quando temos uma taxa de juros nominal, é preciso obter a taxa efetiva para 
só então efetuar os cálculos devidos. Isto é muito simples, pois basta uma simples 
divisão, de modo a levar a taxa de juros para a mesma unidade de tempo da 
capitalização. Veja alguns exemplos: 
- Taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral: como a taxa é anual, 
devemos dividi-la por 2 (pois 1 ano possui 2 semestres) para chegar à taxa efetiva 
de 5% ao semestre. 
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- Taxa nominal de 6% ao semestre com capitalização mensal: basta dividir a taxa 
por 6 (afinal temos 6 meses em 1 semestre) para obter a taxa efetiva de 1% ao mês. 
 
 Resumidamente, temos até aqui os seguintes conceitos: 
a) Taxa de juros efetiva: é aquela onde o período de capitalização é igual da 
unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização anual). 
b) Taxa de juros nominal: é aquela onde o período de capitalização é diferente da 
unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização bimestral). 
 
 Vamos discorrer agora sobre dois outros conceitos importantíssimos na 
resolução dos exercícios, e que geralmente são cobrados juntos dos que acabamos 
de ver: as taxas de juros equivalentes e as taxas proporcionais. 
Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes 
de levar o mesmo montante inicial C ao montante final M, após o mesmo 
intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa de 12% ao ano leva o 
capital 100 reais ao montante final 112 reais após o período de 1 ano. Existe uma 
taxa de juros mensal que é capaz de levar o mesmo capital inicial 100 ao montante 
final 112 após transcorrido o mesmo período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa 
mensal que é equivalente à taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la 
de jeq. Podemos obtê-la substituindo t = 12 meses e M = 112 e C = 100 na fórmula 
de juros compostos: 
 
= × +
= × +
= +
+ =
= − = =
12
12
1
12
1
12
(1 )
112 100 (1 )
1,12 (1 )
1 1,12
1,12 1 0,0095 0,95%
t
eq
eq
eq
eq
eq
M C j
j
j
j
j
 
 
 Portanto, uma taxa de juros de 0,95% ao mês é equivalente a uma taxa de 
juros anual de 12% ao ano, pois ambas levam o mesmo capital inicial C ao mesmo 
montante final M após o mesmo período transcorrido. 
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 Tendo uma taxa de juros compostos “j”, é possível obter uma equivalente “jeq” 
através da fórmula: 
(1 ) (1 )eqt teqj j+ = + 
 
 Em nosso exemplo, teríamos teq = 12 meses, j = 12% ao ano, e t = 1 ano. 
Portanto: 
12 1
1
12
1
12
(1 ) (1 12%)
1 (1,12)
(1,12) 1 0,0095 0,95%
eq
eq
eq
j
j
j am
+ = +
+ =
= − = =
 
 
 Obs.: fique tranquilo, pois em sua prova você nunca precisará calcular algo 
como 
1
12(1,12) à mão. 
 Veja a seguir dois exercícios sobre o assunto: 
 
5.CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) 
 
A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, 
capitalizada mensalmente, monta a: 
(A) 12,68% 
(B) 12,75% 
(C) 12,78% 
(D) 12,96% 
(E) 13,03% 
RESOLUÇÃO: 
 Essa questão é sobre juros simples ou compostos? Esta é uma dúvida que 
pode surgir em muitas questões, e você deve estar atento às dicas que eu vou 
passar ao longo da aula para facilitar essa identificação. 
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Nesta questão, saiba que a palavra “capitalizada” já nos remete ao regime de 
juros compostos. Isto porque “capitalizar” juros significa “incluir os juros no capital”, 
que é exatamente o que acontece no regime de juros compostos. 
Uma vez identificado o regime de juros, veja que temos uma taxa anual com 
capitalização mensal. Basta dividi-la por 12 para obter a taxa efetiva, uma vez que 
temos 12 meses em 1 ano. Assim, 12% ao ano, capitalizada mensalmente, 
corresponde à taxa efetiva de 1% ao mês. 
 Para obter o valor da taxa anual equivalente a esta, basta lembrarmos que, 
após o mesmo período (1 ano, ou 12 meses) as duas taxas devem levar o mesmo 
capital inicial C ao mesmo montante final M: 
 
(1 ) (1 ) eqtt eqM C j C j= × + = × + 
12 1(1 1%) (1 )eqC C j× + = × + 
 
 Observe que na fórmula da esquerda temos a taxa mensal (1%) e o tempo 
em meses (12), já na da direita temos a taxa anual equivalente (jeq) e o tempo em 
anos (1). Cortando a variável C, temos: 
12
12
(1 1%) (1 )
(1,01) 1
eq
eq
j
j
+ = +
= −
 
 
 Para auxiliar as nossas contas, o exercício disse que (1,01)11 = 1,1157. Basta 
multiplicarmos este valor por 1,01 e teremos (1,01)12: 
12(1,01) 1,01 1,1157 1,1268= × = 
 Assim, 
12(1,01) 1 1,1268 1 0,1268 12,68% . .eqj a a= − = − = = 
Resposta: A 
 
6. FCC – Banco do Brasil – 2006) A taxa efetiva trimestral referente a uma 
aplicação foi igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano, com 
capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando: 
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RESOLUÇÃO: 
 Lembrando que 1 trimestre é equivalente a 3 meses, então a taxa mensal 
equivalente à taxa de 12% ao trimestre é dada por: 
1 3(1 12%) (1 )eqj+ = + 
1/3(1,12) 1eqj = − 
 
 Para obtermos a taxa anual nominal que é correspondente a esta taxa efetiva 
mensal, basta multiplicá-la por 12. Assim, temos: 
1/3
min 12 [(1,12) 1]no alj = × − 
Resposta: C 
 
 Dizemos ainda que duas taxas de juros são proporcionais quando 
guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por exemplo, 12% ao ano é 
proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 1% ao mês. Para obter 
taxas proporcionais com segurança, basta efetuar uma regra de três simples. 
Vamos obter a taxa de juros bimestral que é proporcional à taxa de 12% ao ano: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 1 ano 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna da direita 
na mesma unidade temporal, temos: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 12 meses 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
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 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
 
12% x 2 = Taxa bimestral x 12 
Taxa bimestral = 2% ao bimestre 
 
 Quando trabalhamos com juros simples, taxas de juros proporcionais são 
também taxas de juros equivalentes. Essa informação é importantíssima, pois em 
muito simplifica o cálculo de taxas equivalentes quando estamos no regime de juros 
simples. Isto é, neste regime de juros, 1% ao mês, 6% ao semestre ou 12% ao ano 
são proporcionais, e levarão o mesmo capital inicial C ao mesmo montante M após 
o mesmo período de tempo. 
 Sobre este tema, tente resolver a questão abaixo. 
 
7. ESAF – SEFAZ-SP – 2009) Um capital unitário aplicado a juros gerou um 
montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de 
aplicação deste capital? 
a) 4% 
b) 10% 
c) 60% 
d) 54% 
e) 48% 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos um capital inicial unitário (C = 1), um montante final M = 1,1 e o 
prazo de 2 meses e 15 dias, isto é, t = 2,5 meses. Podemos descobrir a taxa de 
juros simples através da fórmula: 
 
(1 )
1,1 1 (1 2,5)
1,1 1 2,5
1,1 1 0,04 4%
2,5
M C j t
j
j
j
= × + ×
= × + ×
= +
−
= = =
 
 
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 A taxa de 4% ao mês, em juros simples, é proporcional à taxa de 48% ao ano 
(12 x 4%). Sabemos que, em juros simples, a taxa proporcional é também a taxa 
equivalente. Portanto, este é o nosso gabarito. 
Resposta: E 
 
1.2.4 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
Se temos 100 reais aplicados em um investimento que rende juros de 10% 
ao mês, sabemos que estes 100 reais terão se transformado em 110 reais ao final 
do primeiro mês. Podemos dizer que ter 100 reais hoje ou 110 daqui a um mês tem 
o mesmo valor, ou seja, são situações equivalentes. É por isso que dizemos, neste 
caso, que o capital C1 = 100 reais na data de hoje (t = 0) é equivalente ao capital C2 
= 110 reais daqui a 1 mês (t = 1). 
Se estivermos tratando de juros compostos, podemos dizer que os capitais 
C1 na data t1 e C2 na data t2 são equivalentes se respeitarem a seguinte igualdade: 
1 2
1 2
(1 ) (1 )t t
C C
j j=+ + 
 Utilizando o exemplo acima, podemos verificar essa igualdade: 
=
+ +
=
=
0 1
100 110
(1 0,10) (1 0,10)
100 110
1 1,1
100 100
 
 Se estivermos tratando de juros simples, podemos dizer que os capitais C1 
na data t1 e C2 na data t2 são equivalentes se respeitarem a seguinte igualdade: 
1 2
1 2(1 ) (1 )
C C
j t j t=+ × + × 
 
1.2.5 TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO 
 Imagine que você resolva aplicar o seu dinheiro disponível não em 1 
investimento apenas, mas sim em vários investimentos diferentes, com taxas de 
juros simples distintas, porém todos com o mesmo prazo. Exemplificando, vamos 
imaginar que você tenha 1000 reais e resolva fazer os 3 investimentos abaixo: 
- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses; 
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- 300 reais à taxa de 5% ao mês, por 3 meses; 
- 200 reais à taxa de 20% ao mês, por 3 meses. 
 Seria possível aplicar todo o dinheiro (1000 reais) em um único investimento, 
pelos mesmos 3 meses, de modo a obter o mesmo valor a título de juros. A taxa de 
juros desse investimento único é chamada de taxa de juros média (jm). 
Os juros simples gerados por cada investimento podem ser calculados 
através da fórmula J C j t= × × . Nesse caso, teríamos: 
 
1
2
3
500 0,10 3 150
300 0,05 3 45
200 0,20 3 120
J
J
J
= × × =
= × × =
= × × =
 
 
 Portanto, o total de juros produzidos pelos 3 investimentos foi de J = 315 
reais. A taxa de juros média jm que, aplicada ao capital total(1000 reais) geraria os 
mesmos 315 reais após t = 3 meses é: 
 
315 1000 3
0,105 10,50%
m
m
m
J C j t
j
j
= × ×
= × ×
= =
 
 
 Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula: 
 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
m
C j t C j t C j tj
C t C t C t
× × + × × + × ×
=
× + × + ×
 
 
 Generalizando essa fórmula para casos onde houver não apenas 3, mas sim 
“n” investimentos diferentes, temos: 
 
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
j
C t
=
=
× ×
=
×
∑
∑
 
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 Veja como isso pode ser cobrado em um exercício: 
 
8. DOM CINTRA – FISCAL ITABORAÍ – 2011) Uma empresa realizou cinco 
aplicações durante um mês e obteve uma taxa de rentabilidade para cada uma das 
aplicações, como mostra a tabela a seguir: 
 
A taxa média mensal obtida pela aplicação desses capitais foi igual a: 
A) 1,855% 
B) 1,915% 
C) 1,988% 
D) 2,155% 
E) 2,277% 
RESOLUÇÃO: 
 Em primeiro lugar, repare que não foi mencionado o regime de juros. Vamos 
assumir que se trata de juros simples, pois esta é uma questão de taxa média. 
Faríamos o mesmo se fosse uma questão sobre prazo médio, que veremos adiante. 
 Veja que o total aplicado nos diversos investimentos é de 10000 reais. A taxa 
média é aquela que, aplicada a todo o capital, produz o mesmo total de juros que foi 
produzido pelas diversas aplicações. 
 Assim, vamos calcular a quantidade de juros produzida por cada 
investimento, lembrando que, em t = 1 mês, os juros somam J = C x j x 1 : 
 
- Aplicação A: J = 1000 x 0,02 x 1 = 20 
- Aplicação B: J = 1500 x 0,01 x 1 = 15 
- Aplicação C: J = 2000 x 0,025 x 1 = 50 
- Aplicação D: J = 2500 x 0,015 x 1 = 37,5 
- Aplicação E: J = 3000 x 0,021 x 1 = 63 
 
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Portanto, o total de juros produzido pelos investimentos é de 185,5. Para que 
10000 reais produzam 185,5 reais de juros em 1 mês, precisam ser aplicados à taxa 
de: 
J = C x j 
185,5 = 10000 x j 
j = 0,01855 = 1,855% ao mês 
(letra A) 
Resposta: A 
 Obs.: Se preferir, você pode usar diretamente a fórmula: 
 
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
1 2 3 4 5( )m
C j t C j t C j t C j t C j tj
C C C C C t
× × + × × + × × + × × + × ×
=
+ + + + ×
 
 
1000 0,02 1 1500 0,01 1 2000 0,025 1 2500 0,015 1 3000 0,021 1
(1000 1500 2000 2500 3000) 1mj
× × + × × + × × + × × + × ×
=
+ + + + ×
 
1,855%mj = 
 
 Agora imagine que você tem os mesmos 1000 reais e pretenda colocá-los em 
3 investimentos distintos, todos com a mesma taxa de juros simples de 10% ao 
mês, porém cada um com um prazo diferente: 
- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses; 
- 300 reais à taxa de 10% ao mês, por 2 meses; 
- 200 reais à taxa de 10% ao mês, por 5 meses. 
 Seria possível investir todo o dinheiro (1000 reais) em uma única aplicação, 
com a taxa de juros de 10% ao mês, por um tempo tm , de modo a obter o mesmo 
valor a título de juros. Esse prazo é denominado de prazo médio. Para obtê-lo, 
novamente vamos calcular os juros de cada aplicação com a fórmula J C j t= × × : 
 
1
2
3
500 0,10 3 150
300 0,10 2 60
200 0,10 5 100
J
J
J
= × × =
= × × =
= × × =
 
 
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 Assim, o total de juros produzidos pelos três investimentos foi de J = 310 
reais. Podemos obter o prazo médio tm que todo o capital (1000 reais) precisaria 
ficar investido, à taxa j = 10% ao mês: 
 
310 1000 0,10
3,1 meses
m
m
m
J C j t
t
t
= × ×
= × ×
=
 
 
Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula: 
 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
m
C j t C j t C j tt
C j C j C j
× × + × × + × ×
=
× + × + × 
 
 Generalizando essa fórmula para casos onde houver “n” investimentos 
diferentes, temos: 
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
t
C j
=
=
× ×
=
×
∑
∑
 
 
 Vejamos uma questão sobre o assunto: 
 
9. ESAF – AFRF – 2002) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e 
R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, 
quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes 
capitais. 
a) quatro meses 
b) quatro meses e cinco dias 
c) três meses e vinte e dois dias 
d) dois meses e vinte dias 
e) oito meses 
RESOLUÇÃO: 
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 Vamos calcular o valor dos juros ganhos em cada investimento, utilizando a 
fórmula J C j t= × × : 
 
1
2
3
4
2000 0,04 2 160
3000 0,04 3 360
1500 0,04 4 240
3500 0,04 6 840
J
J
J
J
= × × =
= × × =
= × × =
= × × =
 
 
 Assim, os juros totais somaram 1600 reais. O prazo médio “tm” é aquele após 
o qual, aplicando todo o capital (10000) à taxa de 4% dada no enunciado, leva aos 
mesmos juros totais. Isto é, 
 
1600 10000 0,04 mt= × × 
4mt = meses 
Resposta: A 
 Obs.: se preferir usar a fórmula: 
 
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4( )m
C j t C j t C j t C j tt
C C C C j
× × + × × + × × + × ×
=
+ + + ×
 
 
2000 0,04 2 3000 0,04 3 1500 0,04 4 3500 0,04 6
(2000 3000 1500 3500) 0,04mt
× × + × × + × × + × ×
=
+ + + ×
 
 
4mt = 
 
1.2.6 CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL 
 Em alguns cálculos de juros compostos, podemos ter um prazo de aplicação 
não-inteiro, isto é, com uma parte fracionária. Exemplificando, imagine que 
pretendemos aplicar 1000 reais à taxa de juros compostos j = 3% ao mês, pelo 
período de 5,2 meses. Veja que o tempo de aplicação possui uma parte inteira (5 
meses) e uma parte fracionária (0,2 meses). 
 Nesses casos, existem duas formas básicas de se calcular o montante final: 
a convenção linear e a convenção exponencial. Vejamos cada uma delas: 
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- convenção exponencial: neste caso, basta utilizar diretamente a fórmula de juros 
compostos, isto é: 
 
5,2
(1 )
1000 (1 0,03)
tM C j
M
= × +
= × +
 
 
 Observe que elevar 1,03 à potência 5,2 não é trivial. Você não conseguirá 
efetuar essa conta na prova sem o auxílio de uma calculadora ou uma tabela. Por 
esses e outros motivos, geralmente as provas de concurso solicitam o cálculo 
através da convenção linear, que vemos a seguir. 
 
- convenção linear: neste caso, o cálculo é dividido em 2 etapas: 
 1. Calcular, com a fórmula de juros compostos, o montante produzido após a 
parte inteira do prazo de aplicação. 
 2. Considerando o montante calculado no passo 1 como sendo o capital 
inicial C, calcular, com a fórmula de juros simples, o montante final gerado pela 
parte fracionária do prazo. 
Em nosso exemplo, devemos usar a fórmula de juros compostos para obter o 
montante após t = 5 meses (parte inteira): 
 
5
(1 )
1000 (1 0,03) 1159,27
tM C j
M
= × +
= × + =
 
 
 Aplicar a fórmula de juros simplespelo prazo fracionário (t = 0,2 meses), 
utilizando o montante acima como sendo o capital inicial: 
 
(1 )
1159,27 (1 0,03 0,2) 1166,22
M C j t
M
= × + ×
= × + × =
 
 
 Obs.: Se a questão for de juros compostos e não mencionar a convenção 
linear, usar a convenção exponencial. O que falamos aqui não se aplica às questões 
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de juros simples, onde basta aplicar a fórmula = × + ×(1 )M C j t considerando t = 5,2 
(isto é, a parte inteira e a fracionária). 
 
 Tente resolver este exercício a seguir: 
 
Atenção: Use a tabela abaixo para resolver as questões da prova DOM CINTRA – 
FISCAL ITABORAÍ – 2011. 
 
10. DOM CINTRA – FISCAL ITABORAÍ – 2011) Um investidor aplicou R$1.000,00 
a juros compostos durante três períodos e meio, a uma taxa de 18% ao período. 
Considerando-se a convenção linear para cálculo do montante, o montante 
representa, em relação ao capital inicial, uma variação percentual de: 
A) 90% 
B) 89% 
C) 85% 
D) 83% 
E) 79% 
RESOLUÇÃO: 
 Nesta questão foi explicitado que o regime de juros é composto, mas ainda 
que isso não fosse dito deveríamos usar juros compostos. Isto porque se trata de 
uma questão sobre convenção linear/exponencial, e não faz sentido falar neste 
assunto ao tratar de juros simples (pois, como vimos, em juros simples nós sempre 
aplicamos a fórmula normal, mesmo que o prazo seja não-inteiro). 
 Aqui temos um número não-inteiro de períodos: 3,5 períodos. A convenção 
linear nos diz para aplicar juros compostos durante o número inteiro de períodos (3) 
e, sobre o montante obtido, aplicar juros simples pelo tempo restante (0,5 período). 
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 Ao fim dos 3 períodos, temos: 
 
M = 1000 x (1 + 0,18)3 
M = 1000 x (1,18)3 
M = 1000 x 1,643032 = 1643,032 
 
 Para a parte fracionária (0,5 período), vamos utilizar a fórmula de juros 
simples, tendo como capital inicial o montante calculado acima: 
 
Mfinal = 1643,032 x (1 + 0,18 x 0,5) = 1790,90 
 
 Portanto, o montante (1790,90) é aproximadamente 1,79 vezes o capital 
inicial (1000). Isto é, o montante é 79% maior. 
Resposta: E 
Obs.: veja que calculamos (1 + 0,18)3 através da tabela de fator de acumulação de 
capital fornecida, usando i = 18% e n = 3. 
 
1.2.7 JUROS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS 
 Em alguns exercícios temos que trabalhar com prazos expressos em dias. 
Neste caso, precisamos saber como converter uma taxa de juros expressa em outra 
unidade temporal (ex.: 10% ao ano) para uma taxa diária. Temos três formas 
básicas de fazer isso: 
 
1- considerando que o mês tem a quantidade exata de dias (de 28 a 31 dias, 
conforme o caso) e o ano tem 365 dias (ou 366, se bissexto). Neste caso, estamos 
trabalhando com juros exatos. Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano, 
em juros exatos, é igual a 10% 0,02739%
365
= ao dia. 
 
2- considerando que o mês tem 30 dias, e o ano tem 360 dias. Neste caso, estamos 
trabalhando com juros comerciais (ou ordinários). Ex.: a taxa diária que é 
proporcional a 10% ao ano é igual a 10% 0,0277%
360
= ao dia. 
 
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3- considerar a taxa de juros com base no ano comercial (360 dias) e o prazo de 
aplicação com base no tempo exato (número de dias): trata-se dos juros bancários. 
 
 Vejamos como isso pode ser cobrado. 
 
11. FCC – SEFAZ-PB – 2006) Certas operações podem ocorrer por um período de 
apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros 
segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. Então, se um capital de R$ 
15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um 
mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos 
juros exatos é 
(A) R$ 37,50 
(B) R$ 30,00 
(C) R$ 22,50 
(D) R$ 15,00 
(E)) R$ 7,50 
RESOLUÇÃO: 
 Ao trabalhar com juros comerciais, consideramos que cada mês possui 30 
dias. Assim, 5 dias correspondem a 5/30 mês, isto é, 1/6 mês. Deste modo, os juros 
da aplicação seriam: 
 
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (1/6) = 232,5 reais 
 
 Já ao trabalhar com juros exatos, devemos considerar o número de dias de 
cada mês, que neste caso é igual a 31. Deste modo, os 5 dias correspondem a 5/31 
mês. Os juros da aplicação seriam: 
 
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (5/31) = 225 reais 
 
 A diferença entre as duas formas de cálculo é de 232,5 – 225 = 7,5 reais. 
Resposta: E 
 
1.2.8 INFLAÇÃO, TAXAS REAIS E TAXAS APARENTES 
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Quando aplicamos certa quantia em um investimento, ela renderá juros ao 
longo do tempo. Isto é, o nosso capital irá crescer. Entretanto, uma parte deste 
crescimento é “corroída” pela inflação. Isto é, apesar do nosso investimento ter certo 
rendimento nominal, ou aparente, é preciso tirar deste valor o que foi corroído pela 
inflação, restando o rendimento real. 
A fórmula abaixo relaciona o rendimento nominal, ou aparente (ou taxa de 
juros nominal/aparente) jn com a taxa de juros real jreal, de acordo com a taxa de 
inflação “i”: 
(1 ) (1 )(1 )
n
real
j j
i
+
= +
+
 
 Exemplificando, se a inflação é de 5% ao ano, e o nosso rendimento foi 
remunerado à taxa de juros jn = 8% ao ano, então o rendimento real do investimento 
foi de: 
(1 8%) (1 )(1 5%)
1,08 (1 )
1,05
1,028 1
0,028 2,8%
real
real
real
real
j
j
j
j
+
= +
+
= +
= +
= =
 
Portanto, a taxa de juros real do investimento foi de apenas 2,8%, pois boa 
parte do rendimento nominal serviu apenas para repor a inflação do período. 
Veja a questão abaixo: 
12. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, 
resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta 
aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 
2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de 
(A) R$ 27.060,00 
(B) R$ 27.000,00 
(C) R$ 26.460,00 
(D) R$ 26.400,00 
(E) R$ 25.800,00 
RESOLUÇÃO: 
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 Veja que a taxa real de juros foi jreal = 10% e a taxa de inflação foi i = 2,5%. 
Utilizando a fórmula que vimos, podemos obter a taxa de juros aparente jn: 
(1 ) (1 )(1 )
n
real
j j
i
+
= +
+
 
(1 ) (1 10%)(1 2,5%)
nj+
= +
+
 
1 1,025 1,10 1,1275nj+ = × = 
0,1275 12,75%nj = = 
 
 Portanto, o capital de 24000 reais rendeu 12,75% no período, chegando ao 
montante de: 
M = 24000 x (1 + 12,75%) = 27060 reais 
Resposta: A 
 
1.3 RECAPITULAÇÃO 
Antes de partirmos para os exercícios, veja na tabela abaixo um resumo dos 
tópicos da aula de hoje. Com ela em mente você deve ser capaz de resolver a 
grande maioria dos exercícios sobre porcentagens, juros simples e juros compostos. 
 
TABELA 01. Porcentageme Juros 
Fórmulas e definições 
quantia de interessePorcentagem = 100%
total
× 
 
quantia de interesse = porcentagem total×
 
O “de” pode ser substituído pelo sinal de multiplicação: 
90% de 100 = 90% x 100 
Juros simples: = × + ×(1 )M C j t 
Juros compostos: = × +(1 )tM C j 
Fator de Acumulação de Capital: (1 )tFAC j= + 
(em tabelas, geralmente usa-se +(1 )ni ) 
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Taxa de juros nominal: período de capitalização é diferente da unidade temporal 
da taxa (ex.: 10% ao ano com capitalização semestral) 
Taxa de juros efetiva: período de capitalização igual à unidade temporal da taxa 
(ex.: 10% ao ano com capitalização anual, ou simplesmente 10% ao ano) 
Taxas de juros equivalentes: levam o mesmo capital inicial C ao mesmo montante 
final M após o mesmo período de tempo. 
- para juros compostos, temos: (1 ) (1 )eqt teqj j+ = + 
Ex.: 0,95% ao mês e 12% ao ano 
- para juros simples: calcular a taxa proporcional. 
Taxas de juros proporcionais: guardam a mesma proporção em relação aos prazos. 
Ex.: 12% ao ano, 6% ao semestre e 1% ao mês. 
** em juros simples, as taxas proporcionais são também equivalentes. 
Taxa média (juros simples): 
=
=
× ×
=
×
∑
∑
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
j
C t
 
Prazo médio (juros simples): 
=
=
× ×
=
×
∑
∑
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
t
C j
 
Capitais equivalentes: representam, na mesma data, o mesmo valor. 
- juros simples: 1 2
1 2(1 ) (1 )
C C
j t j t=+ × + × 
- juros compostos: 1 2
1 2
(1 ) (1 )t t
C C
j j=+ + 
Juros exatos: mês com 28-31 dias, ano com 365-366 dias 
Juros comerciais (ordinários): mês com 30 dias, ano com 360 dias 
Juros bancários: prazo exato da aplicação (em dias), ano com 360 dias 
Taxa de juros real: a partir da taxa de juros nominal (ou aparente) jn de um 
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investimento, devemos descontar o efeito da inflação do período, i, para obter a 
taxa de juros real: 
 
(1 ) (1 )(1 )
n
real
j j
i
+
= +
+
 
 
2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
13. FCC – TRT/4ª – 2011) Relativamente aos 75 funcionários de uma Unidade do 
Tribunal Regional do Trabalho, que participaram certo dia de um seminário sobre 
Primeiros Socorros, sabe-se que: 
- no período da manhã, 48% do total de participantes eram do sexo feminino; 
- todas as mulheres participaram do início ao fim do seminário; 
- no período da tarde foi notada a ausência de alguns funcionários do sexo 
masculino e, assim, a quantidade destes passou a ser igual a 3/7 do total de 
participantes na ocasião. 
Nessas condições, o número de homens que se ausentaram no período da tarde é: 
a) 6 
b) 7 
c) 9 
d) 10 
e) 12 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui, o total de funcionários é 75, e o percentual de mulheres no período da 
manhã era 48%. Portanto, a quantidade de mulheres (quantia de interesse) pode 
ser calculada lembrando que: 
quantia de interesse = porcentagem total×
 
mulheres = 48% 75 = 0,48 75 = 36× ×
 
 
 Se haviam 36 mulheres no total de 75 funcionários, o restante eram homens: 
75 – 36 = 39 homens 
 
 Assim, pela manhã haviam 39 homens presentes, que representavam 52% 
(100% - 48%) do total de funcionários. 
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 Com a saída de H homens à tarde, os homens passaram a ser 3/7 do total. 
Os homens que restaram eram 39 – H, e as mulheres que restaram eram 36. Assim: 
quantia de interessePorcentagem = 100%
total
3 39
 = 
7 (39 ) 36
3 [(39 ) 36] 7 (39 )
3 [75 ] 273 7
225 3 273 7
4 48
12
H
H
H H
H H
H H
H
H
×
−
− +
× − + = × −
× − = −
− = −
=
=
 
 Portanto, o número de homens que se ausentaram no período da tarde é H = 
12. 
Resposta: E 
 
14. FCC – TRF/1ª – 2011) Na compra de um computador, um Técnico recebeu um 
desconto de 10% sobre o preço de M reais. Após certo tempo, comprou um novo 
computador por R$ 2 370,00 e, para fazer o pagamento, deu o primeiro computador 
como entrada, com prejuízo de 10% sobre a quantia que havia pago, e mais três 
parcelas sem juros de R$ 250,00 cada. Nessas condições, M é igual a 
a) 2000 
b) 2050 
c) 2100 
d) 2105 
e) 2110 
RESOLUÇÃO: 
 Se o técnico recebeu desconto de 10% sobre o preço M do primeiro 
computador, ele pagou: 
 
M – 10% de M = M – 10%M = M – 0,1M = 0,9M 
 
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 Para comprar o segundo computador, foi dado de entrada o primeiro, com 
prejuízo de 10% em relação ao valor pago. Isto é, o primeiro computador foi 
entregue pelo preço P abaixo: 
 
P = 0,9M – 10% x 0,9M = 0,9M – 0,09M = 0,81M 
 
 Para pagar os 2370 reais do segundo computador, foi entregue o primeiro 
computador (pelo valor 0,81M) e mais 3 parcelas de 250 reais. Portanto: 
2370 = 0,81M + 3 x 250 
0,81M = 1620 
M = 2000 
Resposta: A 
 
15. FCC – TRF/1ª – 2007) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se 
que um técnico judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número 
restante à tarde. Relativamente ao total de processos que recebeu, o número 
daqueles que deixaram de ser arquivados corresponde a 
a) 84,64% 
b) 85,68% 
c) 86,76% 
d) 87,98% 
e) 89,84% 
RESOLUÇÃO: 
 Se o técnico recebeu P processos, e arquivou 8% de manhã, sobraram ao 
final deste período: 
 
P – 8% de P = P – 0,08P = 0,92P 
 
 A tarde foram arquivados mais 8% do restante, isto é, 8% de 0,92P. Portanto, 
sobraram: 
 
0,92P – 8% x 0,92P = 0,92P – 0,0736P = 0,8464P 
 
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 Portanto, sobraram 84,64% do total de processos. 
Resposta: A 
 
16. FCC – Banco do Brasil – 2011) Em dezembro de 2007, um investidor comprou 
um lote de ações de uma empresa por R$ 8000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações 
dessa empresa sofreram uma valorização de 20%; em 2009, sofreram uma 
desvalorização de 20%, em relação ao seu valor no ano anterior; em 2010, se 
valorizaram em 20%, em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas 
informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do 
investimento foi de: 
(A) 20%. 
(B) 18,4%. 
(C) 18%. 
(D) 15,2%. 
(E) 15%. 
RESOLUÇÃO: 
 Se em 2008 as ações sofreram valorização de 20%, o seu valor ao final deste 
ano foi: 
P2008 = 8000 + 20%x8000 = 9600 
 
 Já em 2009 essas ações sofreram desvalorização de 20% em relação ao 
valor do ano anterior, isto é, em relação a 9600. Assim, o valor no final de 2009 foi: 
P2009 = 9600 - 20%x9600 = 7680 
 
 Em 2010, voltaram a valorizar 20% em relação ao ano anterior: 
P2010 = 7680 + 20%x7680 = 9216 
 
 Assim, ao longo desses três anos as ações foram de 8000 para 9216 reais. A 
valorização percentual, em relação ao valor inicial (8000), foi de: 
9216 1 0,152 15,2%
8000
− = = 
Resposta: DMATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO P/ TRT-RJ 
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17. FCC – TRF/2ª – 2012) Certo dia, no início do expediente, um Técnico Judiciário 
constatou que no almoxarifado do Tribunal havia 120 pastas, 60% das quais eram 
verdes e as demais, azuis. Sabe-se que, tendo sido retiradas algumas pastas do 
almoxarifado, no final do expediente ele constatou que a porcentagem do número 
de pastas verdes havia se reduzido a 52% do total de pastas que lá restavam. 
Assim, considerando que o número de pastas azuis era o mesmo que havia 
inicialmente, a quantidade de pastas verdes que foram retiradas é um número: 
a) menor que 10 
b) compreendido entre 10 e 18 
c) compreendido entre 18 e 25 
d) compreendido entre 25 e 30 
e) maior que 30 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o número de pastas de cada cor que haviam inicialmente, 
lembrando que o total era de 120: 
� Verdes = 60% de 120 = 60% x 120 = 0,6 x 120 = 72 
� Azuis = 120 – 72 = 48 
 
 Ao final do expediente, as pastas verdes eram apenas 52% do total, de modo 
que as pastas azuis passaram a representar 48% do total. Deste modo, podemos 
calcular o número total de pastas restantes: 
48 pastas azuis ------------------- 48% 
Total de pastas restantes-------- 100% 
 
 Logo, Total de pastas restantes = 100 pastas. Destas, as pastas verdes são 
100 – 48 (azuis) = 52. 
 Se haviam 72 pastas verdes no início do expediente e, ao final, apenas 52, 
então podemos dizer que 20 pastas verdes foram retiradas. 
Resposta: C 
 
18. FCC – Banco do Brasil – 2010) As estatísticas da Campanha Nacional de 
Prevenção ao Câncer de Pele, organizada há 11 anos pela Sociedade Brasileira de 
Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege adequadamente do sol: 70% 
dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo 
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quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34 430 
pessoas, o número delas que usam protetor solar é 
(A) 24 101 
(B) 15 307 
(C) 13 725 
(D) 12 483 
(E) 10 329 
RESOLUÇÃO: 
 Se 70% não usam proteção solar, então 30% usam. Como o total de 
entrevistados é de 34430 pessoas, então: 
Usam proteção = 30% de 34430 pessoas 
Usam proteção = 30% x 34430 
Usam proteção = 0,30 x 34430 = 10329 pessoas 
Resposta: E 
 
19. FCC – Banco do Brasil – 2011) Certo mês, um comerciante promoveu uma 
liquidação em que todos os artigos de sua loja tiveram os preços rebaixados em 
20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende voltar a vender os artigos 
pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na liquidação devem 
ser aumentados em 
(A) 18,5%. 
(B) 20%. 
(C) 22,5%. 
(D) 25%. 
(E) 27,5%. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o preço inicial do produto. Retirando 20%, ficamos com: 
P – 0,20 x P = 0,80P 
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 Queremos multiplicar o preço com desconto (0,80P) por um fator F tal que 
este preço retorne ao valor original (P). Isto é: 
F x (0,80P) = P 
F x 0,80 = 1 
F = 1 / 0,80 = 1,25 
 
 Assim, para retornar o preço ao valor original é preciso multiplicar por 1,25, 
isto é, promover um aumento de 25%. 
Resposta: D 
 
20. FCC – DNOCS – 2010) Um capital é aplicado durante 8 meses a uma taxa de 
juros simples de 1,5% ao mês, resultando em um montante no valor de R$ 
14.000,00 no final do período. Caso este mesmo capital tivesse sido aplicado, sob o 
mesmo regime de capitalização, durante 1 ano a uma taxa de 2% ao mês, o valor 
do montante, no final do ano, seria de 
(A) R$ 15.000,00. 
(B) R$ 15.500,00. 
(C) R$ 16.000,00. 
(D) R$ 17.360,00. 
(E) R$ 18.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
 No primeiro investimento descrito no enunciado, vemos que t = 8 meses, j = 
1,5% ao mês e M = 14.000. Com isso, podemos obter o valor do capital aplicado 
inicialmente: 
 
(1 )
14000 (1 0,015 8)
14000 12500
1 0,12
M C j t
C
C
= × + ×
= × + ×
= =
+
 
 
 Já no segundo investimento descrito, temos t = 1 ano e j = 2% ao mês. O 
capital inicial é o mesmo já calculado, isto é, C = 12500. Aqui, precisamos observar 
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que o prazo não está na mesma unidade de tempo que a taxa de juros. Devemos, 
assim, utilizar t = 12 meses. Com isso, o montante final é: 
 
(1 )
12500 (1 0,02 12)
15500
M C j t
M
M
= × + ×
= × + ×
=
 
Resposta: B 
 
21. FCC – Banco do Brasil – 2011) Um capital foi aplicado a juros simples, à taxa 
anual de 36%. Para que seja possível resgatar-se o quádruplo da quantia aplicada, 
esse capital deverá ficar aplicado por um período mínimo de: 
(A) 7 anos, 6 meses e 8 dias. 
(B) 8 anos e 4 meses. 
(C) 8 anos, 10 meses e 3 dias. 
(D) 11 anos e 8 meses. 
(E) 11 anos, 1 mês e 10 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos um capital C que, aplicado à taxa de juros simples j = 36% ao 
ano, por um período “t” desconhecido, atinge o montante M = 4C (quádruplo do 
valor aplicado). Utilizando a fórmula de juros simples, podemos calcular o valor de t: 
 
(1 )
4 (1 0,36 )
4 1 0,36
3 / 0,36 300 / 36 25 / 3
M C j t
C C t
t
t
= × + ×
= × + ×
= +
= = =
 
 
 Portanto, o tempo da aplicação deve ser de, no mínimo, 25/3 anos. Veja que: 
 
25 24 1 18
3 3 3 3
= + = +
 
 
Isto é, 8 anos e mais 1/3 de ano. Como 1 ano tem 12 meses, 1/3 de ano tem 
4 meses. 
 Assim, o capital precisa ficar aplicado por 8 anos e 4 meses. 
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Resposta: B 
 
22. FCC – COPERGÁS – 2011) Um capital aplicado a juros simples, a uma taxa de 
7,5% ao ano, apresentou no final do período um montante de valor igual ao capital 
inicial acrescido de 25% de seu valor. O tempo em que este capital ficou aplicado foi 
de 
(A) 40 meses. 
(B) 32 meses. 
(C) 30 meses. 
(D) 24 meses. 
(E) 20 meses. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos um capital inicial C que, aplicado à taxa de juros simples j = 7,5% 
ao ano, por um período t desconhecido, chegou a um montante M que é 25% maior 
que C, isto é, M = 1,25C. Colocando essas informações na fórmula de juros simples, 
temos: 
M = C x (1 + j x t) 
1,25C = C x (1 + 0,075 x t) 
1,25 = 1 + 0,075 x t 
t = 0,25 / 0,075 = 250 / 75 = 10 / 3 
 
 10 / 3 anos equivalem a 40 meses, de modo que o gabarito é a letra A. 
Resposta: A 
 Obs.: a conversão de 10/3 anos para meses pode ser feita utilizando a regra 
de três abaixo: 
 1 ano ----------------------------------- 12 meses 
10 / 3 anos ----------------------------------- X 
X = (10/3) x 12 = 40 meses 
 
23. FCC – COPERGÁS – 2011) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 
15.000,00 a juros simples, por 6 meses, a uma taxa de 12% ao ano. O montante 
obtido nessa aplicação ela aplicou a juros compostos, durante 2 meses, à taxa de 
1% ao mês. A soma dos juros correspondentes das duas aplicações é igual a 
(A) R$ 1.600,00. 
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(B) R$ 1.538,23. 
(C) R$ 1.339,18. 
(D) R$ 1.219,59. 
(E) R$ 1.200,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Na primeira parte do enunciado, temos o capital inicial C = 15000 aplicado à 
taxa de juros simples j = 12% ao ano pelo período de 6 meses (t = 0,5 ano). O 
montante obtido é de: 
 
M = C x (1 + j x t) = 15000 x (1 + 0,12 x 0,5) = 15900 
 
 Aplicando este montante à taxa de juros compostos j = 1% ao mês, pelo 
período t = 2 meses, temos: 
 
M = C x (1 + j)t = 15900 x (1 + 0,01)2 = 16219,59 
 
 Portanto, o total de juros obtido é de 1219,59 (16219,59 – 15000). Letra D. 
Resposta: D 
 
24. FCC – TCE/PR – 2011) Um capital no valor de R$ 18.000,00 é aplicado durante 
8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do período, o 
montante é resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de 
5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicações é igual a 
(A) R$ 4.012,30. 
(B) R$ 4.026,40. 
(C) R$ 4.176,00. 
(D) R$ 4.226,40. 
(E) R$ 5.417,10. 
RESOLUÇÃO: 
 Aplicando o capital C = 18000 à taxa de juros simples j = 18% ao ano, pelo 
período de 8 meses (isto é, t = 8/12 ano), temos: 
 
M = 18000 x (1 + 0,18 x 8/12) = 18000 x (1 + 0,18 x 2/3) 
M = 18000 x 1,12 = 20160 
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 Aqui, já vemos que a aplicação rendeu juros de 2160 reais (20160 – 18000) 
nos primeiros 8 meses. O valor final (20160) foi aplicado à taxa de juros compostos 
de 5% ao semestre, durante 1 ano (t = 2 semestres). Assim, o montante final será: 
 
M = 20160 x (1 + 5%)2 = 20160 x 1,1025 
M = 22226,4 
 
 Portanto, a segunda aplicação rendeu juros de 2066,40 (22226,4 – 20160). 
Somando os dois ganhos, temos um total de juros de: 
 
2160 + 2066,40 = 4226,40 reais 
(letra D) 
Resposta: D 
 
25. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um televisor é vendido em uma loja onde o 
comprador pode escolher uma das seguintes opções: 
I. R$ 5 000,00, à vista sem desconto. 
II. R$ 1 000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4 500,00 em 1 (um) mês 
após a data da compra. 
A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que 
vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de 
(A) 30% 
(B) 25% 
(C) 20% 
(D) 15% 
(E) 12,5% 
RESOLUÇÃO: 
 Dando uma entrada de 1000 reais, sobraria uma dívida inicial C = 4000 reais 
(considerando o preço à vista de 5000 reais). Veja que esta dívida se transforma em 
M = 4500 reais após t = 1 mês. Assim, a taxa de juros cobrada pela loja é de: 
M = C x (1 + j)t 
4500 = 4000 x (1 + j) 
j = 0,125 = 12,5% ao mês 
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Resposta: E 
 Obs.: aqui você também poderia ter usado a fórmula de juros simples, afinal 
temos t = 1 período. 
 
26. FCC – Banco de Brasil – 2011) Um capital de R$ 10 500,00 foi aplicado a juros 
simples. Sabendo que a taxa de juros contratada foi de 42% ao ano, então, não 
tendo sido feito qualquer depósito ou retirada, o montante de R$ 11 725,00 estará 
disponível a partir de quanto tempo da data de aplicação? 
(A) 4 meses. 
(B) 3 meses e 20 dias. 
(C) 3 meses e 10 dias. 
(D) 3 meses. 
(E) 2 meses e 20 dias. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um capital inicialmente aplicado de C = 10500 reais, taxa de juros 
simples j = 42% ao ano e montante final M = 11725 reais. O prazo t pode ser obtido 
assim: 
M = C x (1 + j x t) 
11725 = 10500 x (1 + 0,42 x t) 
t = 0,2777 ano 
 
 Podemos multiplicar este prazo por 12 para obtê-lo em meses: 
t = 12 x 0,2777 meses 
t = 3,333 meses 
t = 3 meses + 1/3 de mês 
t = 3 meses e 10 dias 
Resposta: C 
 
27. FGV – ICMS/RJ – 2011) Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de 
R$2.000,00, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, 
é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é 
(A) R$ 2.250,00. 
(B) R$ 2.325,00. 
(C) R$ 2.175,00. 
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(D) R$ 2.155,00. 
(E) R$ 4.100,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos uma dívida inicial C = 2000, taxa j = 35% ao ano e período t = 3 
meses. Veja que a taxa e o período estão em unidades temporais distintas. 
Podemos resolver a questão considerando que t = 3/12 ano = 1/4 ano = 0,25 ano. 
Portanto, utilizando a fórmula de juros simples, temos: 
 
M = C x (1 + j x t) 
M = 2000 x (1 + 35% x 0,25) 
M = 2000 x (1,0875) = 2175 
 
 Assim, devido ao atraso de 3 meses deverá ser pago o valor de 2175 reais, 
em substituição aos 2000 reais do início. 
Resposta: C 
 
28. FGV – ICMS/RJ - 2011) O número de anos para que um capital quadruplique 
de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de 
(A) 7,50. 
(B) 3,80. 
(C) 4,50. 
(D) 5,00. 
(E) 6,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine que temos um capital inicial C. Para ele quadruplicar, é preciso que o 
montante final seja igual a 4C, ou seja, M = 4C. Sabemos ainda que a taxa de juros 
simples é j = 5% ao mês, portanto podemos usar a fórmula para obter o número de 
períodos necessários: 
 
M = C x (1 + j x t) 
4C = C x (1 + 0,05t) 
4 = 1 x (1 + 0,05t) = 1 + 0,05t 
0,05t = 4 – 1 
t = 3 / 0,05 = 60 meses 
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 Como 1 ano tem 12 meses, então 60 meses correspondem a 5 anos. Este é 
o período necessário para o capital quadruplicar, se aplicado a juros simples a uma 
taxa de 5% ao mês. 
Resposta: D 
 
29. FCC - ISS/SP - 2012) Em 05 de janeiro de certo ano, uma pessoa tomou 
R$10.000,00 emprestados por 10 meses, a juros simples, com taxa de 6% ao mês. 
Após certo tempo, encontrou um outro credor que cobrava taxa de 4% ao mês. 
Tomou, então, R$13.000,00 emprestados do segundo credor pelo resto do prazo e, 
no mesmo dia, liquidou a dívida com o primeiro. Em 05 de novembro desse ano, ao 
liquidar a segunda dívida, havia pago um total de R$5.560,00 de juros aos dois 
credores. O prazo do segundo empréstimo foi 
a) 4 meses 
b) meses e meio 
c) 5 meses 
d) 5 meses e meio 
e) 6 meses 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que temos 10 meses entre o início do primeiro empréstimo (5 de janeiro) 
e a liquidação do último (5 de novembro). Digamos que o segundo empréstimo foi 
tomado “t” meses após o início do primeiro, ou seja, o primeiro empréstimo durou “t” 
meses e o segundo durou “10 – t” meses. 
 Após “t” meses, os juros devidos relativos ao primeiro empréstimo foram de:
 
10000 0,06 600
J C j t
J t t
= × ×
= × × =
 
 
 Uma vez que este primeiro empréstimo foi liquidado, nos “10 – t” meses finais 
apenas o segundo empréstimo, de 13000 reais, rendeu juros. Os juros devidos 
relativos a este segundo empréstimo foram de:
 
13000 0,04 (10 ) 520 (10 )
J C j t
J t t
= × ×
= × × − = × −
 
 
 Portanto, o total de juros devidos nessa operação foi de: 
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600t + 520x(10-t) = 5200 + 80t 
 
Como foi pago um total de R$5560,00 em juros, podemos dizer que: 
5560 = 5200 + 80t 
t = 4,5 meses 
 
 O segundo empréstimo teve prazo “10 – t” meses, isto é: 
10 – t = 10 – 4,5 = 5,5 meses 
 
 Temos o resultado da letra D. 
Resposta: D 
 
30. FCC - ISS/SP - 2012) Em uma loja, um computador, cujo preço é R$2.200,00, 
pode ser vendido nas seguintes condições: 
- à vista, com abatimento de 10% no preço ou 
- em duas parcelas, sendo a primeira delas dada como entrada, correspondendo a 
25% do preço. A segunda, que corresponde ao restante financiado a juros 
compostos à taxa de 4% ao mês, deve ser paga ao completar 2 meses da data da 
compra. 
Se R e S são, respectivamente, os totais pagos no primeiro e no segundo casos, é 
verdade que: 
a) S = R + R$354,64 
b) S + R = R$4.312,00 
c) R = S - R$179,52 
d) S - R = R$ 99,52 
e) S = 2R 
RESOLUÇÃO: 
 No primeiro caso, basta tirarmos 10% do preço inicial. Assim, 
R = 2200 – 10%x2200 = 2200 – 220 = 1980 reais 
 
 No segundo caso, a entrada é de 25% de 2200, isto é, 25%x2200 = 550 
reais. O saldo devedor é de 2200 – 550 = 1650. Este valor será corrigido, por 2 
meses, a juros compostos de 2% ao mês, totalizando: 
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2(1 ) 1650 (1 0,04) 1784,64tM C j= × + = × + =
 
 
 Deste modo, os pagamentos referentes à segunda opção totalizam: 
S = 550 + 1784,64 = 2334,64 
 
 Analisando as alternativas de resposta, temos que a letra A (S = R + 354,64) 
está correta. 
Resposta: A 
 
31. FGV – ICMS/RJ – 2010) Uma quantia foi aplicada durante um ano à taxa de 
10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano, a juros de 
20% ao ano. Ambas as taxas são juros compostos. Para que a mesma quantia, 
aplicada durante igual período, resultasse no mesmo montante, deveria ser aplicada 
à taxa anual efetiva única de: 
(A) 14,89%. 
(B) 15,25%. 
(C) 16,33%. 
(D) 18,45%. 
(E) 20,00%. 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine que o capital inicial é C. Se ele for aplicado por t = 1 ano a uma taxa 
j = 10% ao ano, no regime de juros compostos, o montante ao final deste período 
será: 
M = C x (1 + j)t 
M = C x (1 + 0,10)1 = 1,1C 
 
 Por sua vez, se aplicarmos o valor de 1,1C (valor resultante) por t = 1 ano e j 
= 20% ao ano, o montante final será: 
M = (1,1C) x (1 + 0,20)1 = 1,1C x 1,2 = 1,32C 
 
 O exercício pede a taxa de juros que, se aplicada ao capital inicial C, 
fornecerá o montante final M = 1,32C ao final de t = 2 anos. Para isto, basta 
usarmos a fórmula: 
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M = C x (1 + j)t 
1,32C = C x (1 + j)2 
1,32 = (1 + j)2 
 
 Como resolver esta equação acima para obter o valor de j? Particularmente, 
considero mais interessante testar as alternativas, uma vez que você não terá uma 
calculadora em mãos. Testando a primeira, se j = 14,89%, temos: 
 
(1 + 14,89%)2 = 1,1489x1,1489 = 1,3199 � aproximadamente 1,32 
 
 Esta deve ser a resposta, mas por cautela vamos testar mais a alternativa 
seguinte, com j = 15,25%: 
 
1,1525 x 1,1525 = 1,3282 
 
 Veja que a alternativa A aproxima-se mais de 1,32, portanto este é o 
gabarito. As demais alternativas resultariam em valores ainda maiores. 
Resposta: A 
 
32. FCC – ISS/SP – 2007) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de 
R$ 2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$ 2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, 
vai aplicar hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que: 
− daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$ 
2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto 
do prazo; 
− daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicação e efetuar o 
segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras. 
Nessas condições, o valor de C é igual a 
(A) R$ 3.654,00 
(B) R$ 3.648,00 
(C) R$ 3.640,00 
(D) R$ 3.620,00 
(E) R$ 3.600,00 
RESOLUÇÃO: 
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 Se aplicarmos o capital inicial C à taxa simples de j = 3% ao mês por t = 6 
meses, teremos ao final deste período teremos: 
 
M = C x (1 + j x t) = C x (1 + 0,03 x 6) = 1,18C 
 
 Após pagar 2000 reais, sobram 1,18C – 2000. Este será o capital inicial da 
segunda aplicação, que tem a mesma taxa j = 3% ao mês e período t = 2 meses 
(período entre o 6º e 8º meses). O montante deverá ser igual a 2382,88 reais, que é 
o valor do segundo título, pois o enunciado diz que após este segundo pagamento 
não sobra nada (nem falta). Logo, 
 
2382,88 = (1,18C – 2000) x (1 + 0,03 x 2) 
2382,88 = (1,18C – 2000) x 1,06 
1,18C – 2000 = 2382,88 / 1,06 = 2248 
1,18C = 2248 + 2000 = 4248 
C = 4248 / 1,18 = 3600 
 
 Portanto, o valor aplicado inicialmente foi C = R$3600. 
Resposta: E 
 
33. FCC – Banco do Brasil – 2011) Saulo aplicou R$ 45000,00 em um fundo de 
investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa 
aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135000,00 
e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, 
quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
(A) 15. 
(B) 12. 
(C) 10. 
(D) 9. 
(E) 6. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que o capital de Saulo cresce devido ao investimento, e o preço da casa 
cresce devido à valorização. No caso do capital, seu valor inicial é C = 45000, a taxa 
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de juros é j = 20% ao ano, regime de juros simples. Após um tempo “t”, o montante 
é: 
M = 45000 x (1 + 0,20)t 
 
 A casa tinha valor inicial C = 135000 reais e valorizava à taxa j = 8% ao ano. 
Após um tempo “t”, o seu valor é: 
M = 135000 x (1 + 0,08)t 
 
 Para que estes dois montantes se igualem, é preciso que: 
45000 x (1 + 0,20)t = 135000 x (1 + 0,08)t 
1,2t = 3 x 1,08t 
(1,2 / 1,08)t = 3 
 
 Agora devemos lançar mão dos conhecimentos de logaritmo: 
log(120 / 108)t = log3 
t x log(10 / 9) = 0,48 
t x [log10 – log9] = 0,48 
t x [ 1 – log32] = 0,48 
t x [1 – 2 x log3] = 0,48 
t x [1 – 2 x 0,48] = 0,48 
t = 12 anos 
Resposta: B 
 
34. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Maria quer comprar uma bolsa que 
custa R$ 85,00 à vista. Como não tinha essa quantia no momento e não queria 
perder a oportunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestações de R$ 
45,00, uma no ato da compra e outra um mês depois. A taxa de juros mensal que a 
loja estava cobrando nessa operação era de 
(A) 5,0% 
(B) 5,9% 
(C) 7,5% 
(D) 10,0% 
(E) 12,5% 
RESOLUÇÃO: 
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 Como Maria pagou 45 reais no ato da compra, restaram 85 – 45 = 40 reais de 
saldo devedor. Este era o saldo devedor inicial, ou capital devido inicial C = 40. 
 Entretanto, foi preciso pagar o montante de 45 reais (M = 45) após decorrido