METODOLOGIA PARA RESOLVER A LISTA DE EXERCÍCIOS DE CALCULO NUMERICO

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LISTA DE EXERCÍCIOS – CÁLCULO NUMÉRICO 
 
1) Determine a profundidade H de um canal com vazão Q = 5m
3
/s, inclinação 
S = 0,0002 (m/m), largura B = 20m, coeficiente de rugosidade n = 0,03 (coeficiente de 
Manning, adimensional), na equação de continuidade de Q = UAc, para velocidade U e 
área da seção transversal Ac, com velocidade calculada a partir da equação de Manning 
e raio hidráulico expresso em termos da área Ac e do perímetro molhado dado por P = B 
+ 2H: 
 5
3
2
( )
( 2 )
S BH
Q
n B H


 
Dica: Substitua os valores disponíveis, adapte para obter f(H) e então itere com os 
métodos de bisseção e Newton para obter H tal que f(H) = 0. 
METODOLOGIA: primeiro você deve substituir os dados na fórmula para encontrar a 
função f(H). Após encontrado tal função você deve colocar a calculadora em RAD! 
Depois de arrumado a calculadora, iremos usar o ANS. 0 = ►f(H) = Irá fornecer o 
valor, 1 = volte na função escrita e aperte novamente o sinal =, fornecendo o novo valor. 
Após encontrar as raízes que se dão na troca dos sinais, aplicamos o método da bisseção 
descrito no exercício “3b”. Itere quantas vezes achar necessário e utilize o ultimo valor 
de m para usar como xi na seguinte formula do método de Newton: 
𝑓𝑥+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
 
Depois de encontrado esse valor, vá apertando o sinal de igual da calculadora até todos 
os valores permanecerem os mesmos. 
 
2) Usando a equação da lei dos gases de Van Der Waals, faça estimativa do volume (v) 
de dióxido de carbono e de oxigênio para as temperaturas de 300K, 500K e 700K, para 
pressões de 1atm, 10atm e 100atm (obs.: 9 combinações), considerando R = 0,082054 
L.atm/(mol.K) e a = 3,592 e b = 0,04267, para o dióxido de carbono e a = 1,36 e b = 
0,03183, para o oxigênio. 
 
2
( )
a
p v b RT
v
 
   
 
 
METODOLOGIA: Substitua os valores fornecidos no enunciado, encontre a função f(v) 
e faça o mesmo procedimento para encontrar as raízes e as iterações pelos métodos de 
Bisseção e Newton. 
 
3) Determine o coeficiente de arrasto c necessário para que um pára-quedista de massa 
m = 72kg tenha velocidade v = 40m/s depois de cair em queda livre por t = 10s. 
Considere g = 9,8m/s2 e a fórmula da velocidade com arrasto c. Use a função f(c) e 
resolva a equação f(c) – 40 = 0. 
 
a) Encontre um intervalo pequeno que contenha raiz no intervalo [12, 18]; 
METODOLOGIA: Primeiramente você deve colocar a calculadora em RAD! Depois de 
arrumado a calculadora, iremos usar o ANS. 12 = ►(((72*9,8*(1-e-10*ANS/72))/ANS)-
40) = Irá fornecer o valor, 13 = volte na função escrita e aperte novamente o sinal =, 
fornecendo o novo valor. Após concluir o numero de intervalos indicado no enunciado 
(até 18 =) devemos conferir as raízes, elas se dão na troca dos sinais. 
 
b) Efetue quatro iterações com o método de bisseção para o intervalo 
delimitado em a); 
METODOLOGIA: Escolher uma das raízes. Supondo que a escolha feita foi [15,16], o 
“a” seria o 15 e o “b” seria o 16. O m é a média, então (15+16)/2 = 15,5! Para 
encontrarmos o f(a) é preciso jogar o valor de a como ANS na calculadora, lembre-se 
tem que estar em RAD, então 15= ►(((72*9,8*(1-e-10*ANS/72))/ANS)-40), e para o f(b), 
a mesma coisa 16= ►(((72*9,8*(1-e-10*ANS/72))/ANS)-40) , o f(m) é calculado sendo 
substituído pelo valor de m onde, nesse caso, 15,5 = ►(((72*9,8*(1-e-10*ANS/72))/ANS)-
40). Depois de obtido todos os valores, vamos ao 2º passo: Deve-se observar os valores 
obtidos na função, nesse caso f(a)= +1,18; f(b)= -0,68; f(m)= +0,23. O sinal é 
importantíssimo, pois é ele que dará o valor para as próximas funções! Como podemos 
ver existem dois sinais positivos e um negativo, o que esta em menor quantia 
permanecera, abaixando-o. O f(m) será o seu novo f(a), assim como o m será seu novo 
índice que deve ser excluído por repetir o sinal, nesse caso será o novo valor de a. 
Assim, repete-se ate o numero de iterações pedido. 
 
c) Compare os erros en =|bn – an|/2 nas estimativas obtidas em a) e b); 
METODOLOGIA: utilize os últimos valores de b e a encontrados no exercício 3b e 
substitua-os na formula do enunciado. 
 
d) Verifique a possibilidade de solução analítica para o problema proposto. 
 
4) Encontre as raízes das funções f(x) nos intervalos indicados: (BISSEÇÃO) 
a) f(x) = x
2
 – (1 – x)9, x  [-1.4, 1] 
b) f(x) = (x – 1)e-9x + x9 x  [-0.8, 1.6] 
c) f(x) = x
2
 + sin(x/9) – 1/4 x  [-0.5, 1.9] 
d) f(x) = 9/8 – 1/(8x) x  [0.001, 1.201] 
e) f(x) = tan(x) – x – 0.0463025 x  [-0.9, 1.5] 
f) f(x) = x
2
 + x.sin(8x) – 0.2 x  [0.4, 1] 
METODOLOGIA: é o mesmo passo a passo que o do exercício 3-a! 
Iterar até convergência para  = 0,01. 
METODOLOGIA: substitua na formula abaixo para encontrar o numero de iterações 
necessárias, sendo os valores de b e a as raízes encontradas. 
 
𝑛 =
ln(
𝑏 − 𝑎
𝜀 )
ln 2
 
 
5) Verifique a condição para convergência e itere com o método de Newton para o 
limite inferior dos intervalos indicados nos exercícios 4). 
METODOLOGIA: Para verificar a convergência deve-se comparar os resultado de f(x) 
e f”(x), sendo os sinais distintos converge. Para a iteração, é calculado pela formula 
abaixo e em seguida aperta-se o sinal de igual até obter todas as casas iguais: 
𝑓𝑥+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)