Aula5-Interpolação_parte1

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Interpolação
Introdução
Conceito de Interpolação
Interpolação Polinomial
Formas de obter pn(x)
	4.1 Resolução de sistema linear
 4.2 Forma de Lagrange
 4.3 Forma de Newton
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Introdução
A tabela abaixo relaciona calor específico da água e temperatura:
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1. Introdução
Vamos supor que desejamos saber:
	a) o calor específico da água a 32.5°;
	b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.99837.
Interpolação
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Introdução
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma função g(x), escolhida dentro de uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada no lugar da função f(x). 
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Introdução
Situações de interpolação.
Quando temos os valores numéricos de uma função não conhecida para um conjunto de pontos e queremos o valor desta num ponto não tabelado.
Quando uma função conhecida em estudo tem uma expressão tal que operações como diferenciação e integração são difíceis (ou impossíveis).
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2. Conceito de Interpolação
Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação, e os valores de f(x): f(x0), f(x1), ..., f(xn).
A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função g(x) tal que: g(x0) = f(x0), 
	 g(x1) = f(x1), 
	 g(xn) = f(xn).
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2. Conceito de Interpolação
Graficamente
x
f(x)
x0
x1
x2
x3
x4
x5
(x0,f(x0))
(x1,f(x1))
(x2,f(x2))
(x3,f(x3))
(x4,f(x4))
(x5,f(x5))
f(x)
g(x)
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2. Conceito de Interpolação
Consideraremos aqui que g(x) é uma função polinomial. Contudo, a função g(x) escolhida pode ser: racional, trigonométrica, etc.
Existem outras formas de interpolação, por exemplo via fórmula de Taylor, via polinômios de Hermite, etc.
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3. Interpolação Polinomial
Dados os pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)), queremos aproximar f(x) por um polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que
f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n
	
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3. Interpolação Polinomial
Teorema: Existe um único polinômio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que f(xk) = pn(xk), k=0,1,2,..., n desde que 
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3. Interpolação Polinomial
Demonstração do Teorema:
	
Seja . 
Das condições de interpolação:
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3. Interpolação Polinomial
Demonstração do Teorema:
A matriz dos coeficientes é do tipo Vandermonde, 
logo desde que sejam pontos 
distintos, então o determinante da matriz dos 
coeficientes é não-nulo. Consequentemente o 
sistema admite solução única.
Conclusão: Existem únicos que 
satisfazem as condições de interpolação.
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4. Formas de obter pn(x)
Há várias maneiras para obter pn(x). 
Discutiremos três possibilidades:
Resolução de Sistema Linear
Forma de Lagrange
Forma de Newton
	
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4. Formas de obter pn(x)
Resolução de Sistema Linear
	Exemplo 1: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo:
	Temos então:
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Polinômio:
Resolvendo o sistema linear, obtemos
 
polinômio que interpola 
f(x) em x0, x1 e x2
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Nem sempre a resolução do sistema linear para se obter pn(x) é simples e exato.
	Exemplo 2: Encontrar o polinômio de grau menor ou igual a 3 que interpola os dados da tabela abaixo:
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Polinômio:
 
Sistema de 4 equações 
com 4 incógnitas
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Resolvendo por eliminação de Gauss, com uma 
aritmética de ponto flutuante com três dígitos:
 
Lembrete de aritmética de ponto fixo: b é a base; e é o expoente;
 e t é o número de dígitos na mantissa.
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Obter p3(x) usando aritmética de ponto flutuante com três dígitos e eliminação de Gauss:
Para x=0.4
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Resolvendo por Eliminação de Gauss com 18 dígitos, utilizando o programa do Maple:
 
> with(LinearAlgebra):
A := <<1,1,1,1>|<0.1*10^(0),0.2*10^(0),0.3*10^(0),0.4*10^(0)>|<0.1*10^(-1),0.4*10^(-1),0.9*10^(-1),0.16*10^(0)>|<0.1*10^(-2),0.8*10^(-2),0.27*10^(-1),0.64*10^(-1)>>;
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Continuando
 
> b := <5,13,-4,-8>;
> GaussianElimination(A);
> ReducedRowEchelonForm(<A|b>);
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4.1 Resolução de Sistema Linear
Note que no processo de eliminação de Gauss, a matriz escalonada tem números muito próximos de zero. Isto gera problemas de arredondamento!!!!
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4.2 Forma de Lagrange
Sejam (n+1) pontos distintos:x0, x1, ..., xn, chamados nós da interpolação, e os valores de yi= f(xi): f(x0), f(x1), ..., f(xn) para i=1,2,...,n.
A interpolação de f(x) que veremos consiste em obter uma função pn(x) tal que:
onde os polinômios são de grau n.
IMPORTANTE: Como os yi são dados, devemos no 
Método de Lagrange determinar os .
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4.2 Forma de Lagrange
Queremos que as condições sejam satisfeitas, ou seja,
Solução 
Note que e 
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4.2 Forma de Lagrange
Logo, 
Enfim, a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: 
 com 
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4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
Seja a tabela:
Devemos interpolar os 3 pontos com uma forma de Lagrange. Segue:
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4.2 Forma de Lagrange - Exemplo
Enfim, a forma de Lagrange da interpolação:
Mesmo resultado a resolução do sistema linear!!!
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4.2 Forma de Newton
A forma de Newton para o polinônio pn(x), que interpola f(x) em (n+1) pontos distintos x0, x1, ..., xn , é a seguinte:
No Método de Newton, os valores de são dados por diferenças divididas de ordem k.
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4.2 Forma de Newton
 Operador Diferenças Divididas
Seja f(x) definida em (n+1) pontos distintos x0, 
x1, ..., xn. O operador diferenças divididas é dado:
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4.2 Forma de Newton - Operador Diferenças Divididas
Construímos a tabela:
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4.2 Forma de Newton
Mostra-se que é simétrica nos argumentos, ou seja,
Mostra-se que a forma de Newton para o polinômio de ordem n que interpola f(x) é
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4.2 Forma de Newton - Exemplo
Sejam os dados:
Tabela
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4.2 Forma de Newton - Exemplo
Dados:
A forma de Newton que interpola estes pontos é dada por
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Exercícios
Fazer os seguintes exercícios do capítulo 4 do livro texto:
Exercício 2 a
Faça o projeto proposto Método de Newton Discreto (página 206) e resolva novamente o exercício 2 a com este algoritmo.