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Aula5-Interpolação_parte2

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Interpolação-Parte II
Estudo do Erro
Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação Inversa
Grau do Polinômio Interpolador
Função Spline em Interpolação
	4.1 Spline Linear
 4.2 Spline Cúbica
 
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1.Estudo do Erro na Interpolação
O erro em aproximar a função f(x) por um polinômio interpolador pn(x), de grau menor ou igual a n, é:
En(x)=f(x)-pn(x) para todo x de [x0,xn].
Estudar o erro na interpolação significa saber o quão próximo f(x) está de pn(x).
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação linear de f1(x) e f2(x)
x
f(x)
x0
x1
f1(x0)= f2(x0)=p1(x0)
f1(x)
p1(x)
f2(x)
f1(x1)= f2(x1)=p1(x1)
*
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Interpolação linear de f1(x) e f2(x) por p1(x).
O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1.
O erro E11(x)=f1(x)-p1(x) > E12(x)= f2(x)- p1(x) para todo x de (x0 , x1).
O erro depende da concavidade da curva, ou seja, de f1”(x) e f2”(x).
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Teorema 1: 
“Sejam pontos.
Seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para 
todo x em [x0,xn]. Seja pn(x) o polinômio 
interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, x2,...,xn. 
Então, em qualquer ponto do intervalo [x0,xn] o 
erro é dado por
En(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn) 
onde “. 
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Demonstração:Teorema 1 
Note que x=xi para i=1,2,..,n, segue que
 G(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn)=0 En(x)=0, logo a fórmula do erro está correta para x=xi.
Definindo a função H(t)= En(x)G(t)- En(t)G(x), com 
 . Então, H(t) tem n+1 derivadas e pelo menos n+2 zeros. Note que x0,x1,..,xn e x são zeros de H(t).
Aplicando o Teorema de Rolle sucessivamente, n+1 vezes, demonstra-se o teorema.
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Teorema 2: 
“Sejam pontos.
Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos 
pontos x0, x1, x2,...,xn. Da forma de Newton
En(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn) f[x0, x1, x2,...,xn,x]. 
Portanto, 
 
com . 
Demonstração imediata.
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Corolário1: Estimativa do Erro.
Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, 
temos que 
onde 
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1.Estudo do Erro na Interpolação
Corolário2: Estimativa do Erro.
Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2, 
temos que 
onde 
*
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Estimativa para o erro
Seja dada na tabela: 
	a) Obter f (0.47) usando um polinômio de grau 2.
	b) Encontrar uma estimativa para o erro.
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Tabela de diferenças
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Estimativa para o erro
Escolhendo
	
a) 
b) 
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2. Interpolação inversa
Seja dada na tabela: 
	Obter x tal que f(x)= 1.3365 e encontrar uma estimativa para o erro.
Este é o problema da interpolação inversa.
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2. Interpolação inversa
Solução versão 1: 
Obtenha pn(x) que interpola f(x)= 1.3365 e determine x. Problema: não temos como estimar o erro cometido!!!!!!!
Solução versão 2:
Se f(x) for monotonicamente crescente ou decrescente no intervalo considerado, então ela pode ser invertida. Então faça a interpolação da função inversa e calcule o erro.
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Tabela de diferenças divididas - Versão 2
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Estimativa para o erro
Escolhendo
	
a) 
b) 
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3.1 Grau do polinômio interpolador
Para a escolha do grau do polinômio interpolador:
1) Construir a tabela de diferenças divididas;
2) Examinar as diferenças na vizinhança do ponto de interesse;
	Se as diferenças de ordem k forem praticamente constante, ou se as diferenças de ordem k+1 variarem em torno de zero, o polinômio de grau k será o que melhor aproximará a função na região considerada.
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3.1 Grau do polinômio interpolador
Seja com os valores da tabela: 
Um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para 
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3.1 Grau do polinômio interpolador
	
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3.2 Fenômeno de Runge
Questão: A seqüência {pn(x)} converge para f(x) no intervalo [a,b] se {x0,x1,...,xn} pertencem a {a,b] e n tende ao infinito?
Interpolando a função
 no intervalo [-1,1] com 
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3.2 Fenômeno de Runge
Interpolação linear de f1(x) e f2(x) com n=10
x
-1
1
f(x)
P10(x)
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4. Função Spline em Interpolação
Fenômeno de Runge é superado pela função Spline.
Definição: Seja tabelada para . 
A função é denominada spline de grau se:
a) Em cada subintervalo , para ,
 é um polinômio de grau .
b) é contínua e tem derivadas contínuas até ordem 
 em .
c) .
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4.1 Função Spline Linear 
A função spline linear interpolante de f(x), ou
seja S1(x) nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita 
em cada subintervalo como
Note que S1(x) é polinômio de grau 1 no intervalo.
s1(x) é contínua em todo intervalo 
Nos pontos nós .
 Logo, S1(x) é a spline linear interpolante de f(x).
*
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*
4.1 Função Spline Linear
Achar a função spline linear que interpola f(x)
Da definição:
Analogamente: 
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4.1 Função Spline Linear
Graficamente
x
f(x)
1
7
s3(x)
5
2
s2(x)
s1(x)
f(x)
*
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4.2 Função Spline Quadrática
As spline quadráticas tem derivadas contínuas até ordem 1 e portanto a curvatura de S2(x) não é suave nos nós.
Seja a função
Note que a função e sua derivada primeira são contínuas em x=1. Contudo, sua derivada segunda, em x=1, não é contínua.
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4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente
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4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente, vemos a descontinuidade da derivada segunda (curvatura). Considere agora a situação em que f(x) e sua derivada primeira são contínuas em x=1, contudo ocorre mudança de sinal da derivada segunda em x=1
Esta é situação que ocorre no ajuste de spline quadrática.
*
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4.2 Função Spline Quadrática
Graficamente
*
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4.2 Função Spline Cúbica
As splines cúbicas são as mais usadas.
Uma spline cúbica S3(x) é uma função polinomial por partes, contínua, onde cada parte sk(x) é um polinômio de grau 3 nos intervalos [xk-1,xk].
S3(x) tem derivadas primeira e segunda contínuas, logo não tem bicos e não troca abruptamente a curvatura nos nós.
*
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4.2 Função Spline Cúbica - Construção
A função spline cúbica interpolante de f(x), ou
seja S3(x), nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita 
em cada subintervalo como polinômios de grau 3. 
Denotada por sk(x) para k=1,2,...,n, deve satisfazer:
 
 
 
 
 
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4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Sejam as parte da spline cúbica dadas por 
O Cálculo de envolve a determinação de 4n
coeficientes:
Condições 1: satisfeitas por construção.
Condições 2: (n+1) condições nos nós. 
Condições 3: (n-1) condições de continuidade de S3 nos nós. 
Condições 4: (n-1) condições de continuidade de S’3 nos nós. 
Condições 5: (n-1) condições de continuidade de S’’3 nos nós. 
Total de 4n-2 condições. Restam duas condições em aberto!!!
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4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Notação: 
Impondo as condições: 
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4.2 Função Spline Cúbica - Construção
Resta impor mais duas condições.
Alternativas 1: Chamada spline natural
Alternativa 2: Chamada spline parabólica.
Alternativa 3: Impor inclinações nos extremos.
Geralmente quando temos informações físicas do problema
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4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo
Achar a splinecúbica natural que interpola f(0.25) dada
Temos 4 subintervalos iguais. Dadas
resolvendo o sistema linear para 
 
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4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo
Substituindo os valores de 
resolvemos o sistema linear obtendo:
Calculamos
Como queremos f(0.25) fazemos
 
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5. EXERCÍCIOS
Faça os seguintes exercícios do capítulo 5
 do livro texto.
Exercícios: 9,10 e projeto 2 página 266.

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