APOSTILA MECANICA DOS FLUIDOS 2011
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APOSTILA MECANICA DOS FLUIDOS 2011


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Fluidos, STREETER, Victor L. & WYLIE, São Paulo, McGraw-Hill do Brasil. (1980). 
 
13. Mecânica dos Fluidos, SHAMES I.H, Vol.1 e Vol.2 Ed. Edgar Blucher Ltda., (1999). 
 
14. Teoria de la Capa Limite, SCHLICHTING, H. Ed. Urmo, Madrid, España, (1972). 
 
15. Hidromecanica, BECERRIL, E. Ed. Dossas, Madrid España, (1960). 
Anexo A: Equações Básicas e Cinemática 
 
Jorge A. Villar Alé A-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEQQUUAAÇÇÕÕEESS BBÁÁSSIICCAASS EE CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS B-2 
EQUACOES BASICAS DE MECANICA DOS FLUIDOS 
 
 
Equação da conservação da massa 
 
0)( =m
dt
d
 
 
 
Equação da Quantidade de Movimento 
(2ª Lei de Newton) 
 
FVm
dt
d rr
=)( 
 
 
Equação do Momento da Quantidade de 
Movimento 
 
( ){ } FrrVm
dt
d rrrr
×=× 
 
 
Equação da Conservação da Energia 
 dt
dW
dt
dQE
dt
d
\u2212=)( 
 
 
Onde: 
 
m Massa do fluido 
V
r
 Vetor de velocidade da partícula de fluido 
r
r Vetor posição da partícula de fluido 
F
r
 Vetor das forcas agindo sobre a partícula de fluido 
E Energia total 
Q Calor 
W Trabalho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo A: Equações Básicas e Cinemática 
 
Jorge A. Villar Alé A-3 
FORMAS INTEGRAIS DAS EQUACOES DO MOVIMENTO 
 
As equações integrais podem ser descritas a partir de uma equação geral reconhecendo os efeitos externos e termos 
característicos. 
\u222b \u222b+\u2200\u2202\u2202=
vc sc
ext AdVdt
E
rr\u3be\u3c1\u3be\u3c1
 
 
Conservação da massa: 0=extE 1=\u3be 
Quantidade de Movimento: 
BSext FFE
rr
+= V
r
=\u3be 
Momento da Quantidade de 
Movimento: eixoBSext TFrFrE
rr
r
r
r
+×+×= Vr
r
r
×=\u3be 
Equação da Energia 
dt
dW
dt
dQEext \u2212= e=\u3be 
 
 Onde e representa a energia total por unidade de massa e E/m 
 
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb ++= int22
1
ugzVe 
 
sendo uint a energia especifica interna (energia por unidade de massa). 
 
As forcas que agem em fluidos são basicamente as forcas de superfície e as forcas de campo. 
 
As forcas de superfície são formadas pelas forcas por efeito o de tensões normais ou de pressão e das tensões 
tangenciais ou de cisalhamento. 
 
\u222b\u222b +=+= AASSpS dApdAFFF \u3c4\u3c4rrr 
 
A forca de campo dada por: 
 
\u222b\u222b\u222b \u2200=\u2200== vcvcvcB dgdBdmBF \u3c1\u3c1 rrrr 
 
 
As forcas de campo e de superfície podem ser representadas pelas suas componentes: 
 
idFidFidFFd SpzSpySpxSp \u2c6\u2c6\u2c6 ++=
r 
 
idFidFidFFd zSySxSS \u2c6\u2c6\u2c6 \u3c4\u3c4\u3c4\u3c4 ++=
r
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS B-4 
 FORMA VETORIAL DO CAMPO DE VELOCIDADES 
O vetor de posição ou de deslocamento de uma partícula de fluido e dado por: 
 
krjrirr zyx \u2c6\u2c6\u2c6 ++=
r 
 
A velocidade e uma função vetorial da posição e do tempo com três componentes u,v e w sendo cada componente um 
campo escalar 
 
ktzyxwjtzyxvitzyxutrV \u2c6),,,(\u2c6),,,(\u2c6),,,(),( ++=r 
 
Outras grandezas podem ser determinadas manipulando matematicamente o campo de velocidades, denominadas 
propriedades cinemáticas: 
 
 Propriedades Cinemáticas: 
 Vetor de Deslocamento dtV\u222b=
r
r
r 
 Aceleração dt
Vd
r
r
=a 
 
 Vazão em Volume 
 
 
\u222b= AdV rrQ 
 
 
Vetor rotação \u2013 Velocidade Angular 
 
V
r
r ×\u2207=
2
1
\u3c9 
 2ª Lei de Newton aplicada a Fluidos. 
 
amF r
r
= 
 
Apresenta-se para fluidos em movimentos definindo a aceleração substancial da partícula de fluido. 
 
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb=
Dt
VD
mF
r
r 
 
Onde 
 
( )VV
t
V
Dt
VD rr
rr
\u2207+
\u2202
\u2202= 
 
 
 
 
Anexo A: Equações Básicas e Cinemática 
 
Jorge A. Villar Alé A-5 
 
Para estudar o movimento dos fluidos devemos conhecer algumas regras básicas assim como operadores específicos. 
 Regra da Cadeia. 
Seja uma variável de f, 
 
Dependente de coordenadas espaciais e do tempo de f(x,y,z,t), 
 
Para obter uma derivada temporal escalar da mesma variável pode-se aplicar a regra da cadeia. 
 
dt
dz
z
f
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
t
f
dt
df
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202= 
 
Gradiente ou Operador Nabla 
As variáveis de cinemática dos fluidos podem ser manipuladas escritas de modo mais compacto quando se utiliza o 
operador denominado Gradiente o Operador Nabla definido como. 
 
 
Gradiente kzjyix
\u2c6\u2c6\u2c6
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=\u2207 
 
 
O produto deste operador com um vetor velocidade resulta no divergente do vetor . 
 
Por exemplo, o divergente do vetor velocidade e dado por: 
 
 
 Divergente da Velocidade z
w
y
v
x
uV
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=\u2207
r 
 
 Conservação da massa escoamento compressível e incompressível em regime não-permanente: 
 
 
Eq. da conservação da massa. 
 
( ) 0=\u2207+
\u2202
\u2202 V
t
r
\u3c1\u3c1 
 
 
 z
w
y
v
x
u
t
V
t \u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=\u2207+
\u2202
\u2202 \u3c1\u3c1\u3c1\u3c1\u3c1\u3c1
r 
 
 
No caso em que o escoamento é em regime permanente, com fluido incompressível. 
 
 Escoamento Incompressível Regime permanente. 
 
0=\u2207V
r 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS B-6 
 ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA DE FLUIDO 
 
A aceleração de uma partícula de fluido é dada por: 
kajaia zyx \u2c6\u2c6\u2c6a ++=
r 
a qual pode ser determinara em função do vetor velocidade : 
dt
Vd
r
r =a 
k
dt
dwj
dt
dvi
dt
du
dt
Vd
\u2c6\u2c6\u2c6 ++=
r
 
 
Utilizando a regra da cadeia para cada componente u,v,w: 
 
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
t
u
dt
du
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202= 
 
Como se trata de uma partícula especifica. 
dt
dw
w
dt
dy
v
dt
dx
u === 
 
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
dt
du
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202= 
 
De modo compacto podemos representar esta equação como: 
 
)(uV
t
u
dt
du \u2207+
\u2202
\u2202=
r 
 
Aplicando o mesmo procedimento para o componente u, v e e w encontramos as seguintes expressões: 
 
 
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
dt
du
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202= 
 
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
dt
dv
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202= 
 
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
dt
dw
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202= 
 
 
 
)(uV
t
u
dt
du \u2207+
\u2202
\u2202=
r 
 
)(vV
t
v
dt
dv \u2207+
\u2202
\u2202=
r 
 
 
Anexo A: Equações Básicas e Cinemática 
 
Jorge A. Villar Alé A-7 
)(wV
t
w
dt
dw \u2207+
\u2202
\u2202=
r 
 
A aceleração total de uma partícula e denominada também aceleração substancial ou material 
 
 
 Aceleração total de uma partícula 
 
VV
t
V
Dt
VD rr
rr
\u2207+
\u2202
\u2202= 
 
 
 Aceleração total de uma 
partícula 
 
z
V
w
y
V
v
x
V
u
t
V
Dt
VD
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202=
rrrrr
 
 
 
Derivada substancial 
 
z
w
y
v
x
u
tDt
D
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202+
\u2202
\u2202= 
 
 
 
 Aceleração Local 
\uf8fe\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
\u2202
\u2202
t
V
r
 
 
\u2022 Trata-se de uma aceleração que ocorre no tempo. 
 
\u2022 Ocorre em escoamentos transientes e em regime permanente. 
 
\u2022 E nula para escoamento em regime permanente. 
 
Aceleração Convectiva 
\uf8fe\uf8fd
\uf8fc
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202+\u2202
\u2202
z
V
w
y
V
v
x
V
u
rrr
 
 
\u2022 Aceleração que se manifesta em escoamentos com mudanças de geometria. 
\u2022 Escoamentos em regime permanente podem ter grandes acelerações 
convectivas devido a mudanças de geométrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS B-8 
 ROTACIONAL 
 
O rotacional e o produto do operador Nabla por
Ítalo
Ítalo fez um comentário
Apostila muito boa. Recomendo !
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