Matematica Financeira Eugênio Carlos Stieler 2012

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CAMPUS DE TANGARÁ DA SERRA-MT 
 
Matemática Financeira 
Notas de Aula Ciências Contábeis 
Eugênio Carlos Stieler 
 
Matemática Financeira Pág.2 
 
Sumário 
 
PROGRAMA DA DISCIPLINA ...................................................................................................... 5 
MATEMÁTICA FINANCEIRA ....................................................................................................... 6 
1. CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................... 6 
1.1. DEFINIÇÃO DE TAXA DE JUROS ......................................................................................... 6 
1.2. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO .................................................................................... 6 
1.3. DIAGRAMA DOS FLUXOS DE CAIXA ..................................................................................... 7 
2. TIPOS DE FORMAÇÃO DE JUROS ................................................................................ 8 
2.1. JUROS SIMPLES .............................................................................................................. 8 
2.2. ATIVIDADES PROPOSTAS ................................................................................................ 10 
2.3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ............................................................................................ 12 
2.4. TAXAS DE JUROS NOMINAIS E EFETIVAS .......................................................................... 14 
2.5. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS ............................................................................................... 15 
2.5.1. ATIVIDADES ................................................................................................................. 16 
3. DESCONTOS ............................................................................................................... 18 
3.1. CONCEITO .................................................................................................................... 18 
3.2. DESCONTO SIMPLES (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL) ....................................................... 18 
3.3. DESCONTO COMERCIAL PARA UMA SÉRIE DE TÍTULOS DE MESMO VALOR .............................. 19 
3.4. ATIVIDADES PROPOSTAS ................................................................................................ 22 
4. SÉRIE DE PAGAMENTOS ............................................................................................. 24 
4.1. NOÇÕES SOBRE FLUXO DE CAIXA .................................................................................... 24 
4.2. SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS .................................................. 25 
4.2.1. FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (FAC) ...................................................................... 25 
4.2.2. FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL (FFC) .......................................................................... 26 
4.2.3. FATOR DE VALOR ATUAL (FVA) ....................................................................................... 27 
4.3. FATOR RECUPERAÇÃO DE CAPITAL ................................................................................... 28 
4.3.1. QUANDO O PRAZO NÃO É CONHECIDO .............................................................................. 28 
4.4. SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS ............................................. 29 
4.4.1. FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ............................................................................... 29 
4.4.2. FATOR DE VALOR ATUAL................................................................................................. 30 
4.5. PERPETUIDADE ............................................................................................................. 30 
4.5.1. ATIVIDADES PROPOSTAS ................................................................................................ 31 
5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................................... 35 
5.1. SISTEMA DO MONTANTE ................................................................................................ 35 
5.2. SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS .................................................................................. 36 
5.3. SISTEMA AMERICANO .................................................................................................... 37 
5.4. SISTEMA PRICE, FRANCÊS OU DE PRESTAÇÕES CONSTANTES ............................................. 38 
5.5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES - SAC ............................................................. 39 
5.6. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO - SAM ....................................................................... 41 
5.6.1. ATIVIDADES PROPOSTAS ................................................................................................ 42 
6. MÉTODO PARA ANÁLISE DE FLUXOS DE CAIXA ....................................................... 43 
6.1. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE ..................................................................................... 43 
6.2. VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL .................................................................................. 43 
6.3. ATIVIDADES PROPOSTAS ................................................................................................ 45 
7. TAXA INTERNA DE RETORNO ..................................................................................... 46 
APÊNDICE ................................................................................................................................. 51 
1. PLANILHA ELETRÔNICA ............................................................................................ 51 
1.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 51 
1.2 A PLANILHA BROFFICE CALC. ......................................................................................... 51 
1.2.1 BARRA DE MENU .................................................................................................... 51 
1.2.2 INSERIR UMA FÓRMULA ........................................................................................... 52 
1.2.3 FÓRMULAS MATEMÁTICAS SIMPLES ........................................................................... 52 
1.2.4 COMO DIGITAR FÓRMULAS CONTENDO ENDEREÇOS DE CÉLULAS: ................................. 53 
Matemática Financeira Pág.3 
1.3 MATEMÁTICA FINANCEIRA NA PLANILHA............................................................................... 55 
1.3.1 COMPREENDENDO O BÁSICO ...................................................................................... 55 
1.3.2 POR QUE OS VALORES RETORNADOS SÃO NEGATIVOS? .................................................... 55 
1.3.3 ASSEGURANDO QUE SEUS PERCENTUAIS ESTÃO CORRETOS ............................................... 56 
1.3.4 ARREDONDANDO PERCENTUAIS E DECIMAIS CORRETAMENTE ....................................... 56 
1.3.5 PRINCIPAIS COMPONENTES DE UM CÁLCULO FINANCEIRO ............................................ 57 
1.3.6 ATINGIR META ....................................................................................................... 59 
1.3.7 ALGUMAS FUNÇÕES FINANCEIRAS POSSÍVEIS DE SE CALCULAR NA PLANILHA .................. 59 
A) EFETIVA_ADD ............................................................................................................ 59 
B) NOMINAL ................................................................................................................... 60 
C) VF ............................................................................................................................... 60 
D) VP ..............................................................................................................................61 
E) NPER .......................................................................................................................... 61 
F) PGTO.......................................................................................................................... 62 
G) PPGTO ....................................................................................................................... 62 
H) TAXA .......................................................................................................................... 62 
I) TIR ............................................................................................................................. 63 
J) VPL ............................................................................................................................. 63 
K) ÉPGTO ....................................................................................................................... 64 
L) IPGTO ........................................................................................................................ 64 
COMO USAR A CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C .............................................................. 66 
1.4 DIAGNÓSTICO ............................................................................................................... 66 
1.5 PONTO E VÍRGULA DECIMAIS .......................................................................................... 66 
1.6 NÚMERO DE CASAS DEPOIS DA VÍRGULA .......................................................................... 66 
1.7 TROCA DE SINAL ........................................................................................................... 66 
1.8 LÓGICA RPN (REVERSE POLISH NOTATION) ...................................................................... 66 
1.9 CÁLCULO DE EXPRESSÕES .............................................................................................. 67 
1.10 ROTAÇÃO DA PILHA ................................................................................................... 67 
1.11 TROCA DE X COM Y .................................................................................................... 67 
1.12 LIMPEZA DO VISOR .................................................................................................... 67 
1.13 ÚLTIMO X ................................................................................................................. 67 
1.14 NÚMEROS MUITO GRANDES OU MUITO PEQUENOS ......................................................... 67 
1.15 MENSAGENS DE ERRO................................................................................................. 67 
1.16 PERCENTAGENS ......................................................................................................... 68 
1.17 FUNÇÕES FINANCEIRAS: FLUXOS CONSTANTES .............................................................. 68 
1.18 PAGAMENTO ÚNICO (QUANDO PMT = 0) ..................................................................... 68 
1.19 SÉRIES UNIFORMES (QUANDO PMT NÃO É ZERO) .......................................................... 69 
1.20 FUNÇÕES FINANCEIRAS FLUXOS VARIÁVEIS ................................................................... 70 
1.21 ADMINISTRAÇÃO DOS DADOS NA MEMÓRIA ................................................................... 71 
1.22 O FLAG C .................................................................................................................. 71 
1.23 OUTRAS FUNÇÕES DA CALCULADORA ............................................................................ 72 
1.24 PROGRAMA DE CONVERSÃO DE TAXAS .......................................................................... 72 
1.25 SOFTWARE DE CONVERSÃO AUTOMÁTICA DE TAXAS ....................................................... 72 
 
 
Matemática Financeira Pág.4 
 
 
 
 
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PROGRAMA DA DISCIPLINA 
 
EMENTA 
 
Valor do dinheiro no tempo. Capitalização simples. Conceito de juros simples. Capitalização 
compostas. Conceito de juros compostos. Taxas equivalentes. Desconto de duplicatas. Taxa de desconto. 
Valor de face e valor de mercado. Valor presente e valor futuro de uma série de pagamentos ou 
recebimentos. Sistemas de amortização. Valor presente líquido e taxa interna de retorno. Problemas da 
TIR. Equivalência de taxas de juros. Períodos de capitalização. Equivalência de fluxos de caixa. 
Perpetuidade. 
 
CARGA HORÁRIA TOTAL 
 
60 horas/aula 
 
OBJETIVOS 
 
Proporcionar aos participantes uma sólida base conceitual da matemática financeira, para servir de ponto 
de partida para estudos mais avançados em finanças e análise de investimentos. 
Oferecer um quadro referencial que permita a imediata aplicação dos conceitos apresentados. 
Promover a troca de experiência entre o professor e os participantes, por meio de estudos de casos 
práticos. 
 
METODOLOGIA 
 
Aulas expositivas, estudos de casos, uso da planilha eletrônica no laboratório de informática. 
 
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 
 
A média final da disciplina será composta da seguinte forma: (a) avaliação individual, sob a 
forma de prova escritas, (b) trabalhos práticos, individuais ou em grupo, a serem realizados no 
laboratório de informática e ou em casa. 
 
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 
 
ARRUDA, Sérgio Roberto Matemática Financeira ao alcance de quase todos. São Paulo: 2ª ed. 
Sagra, 1996. 
ASSAF NETO, A., Matemática Financeira e suas Aplicações, São Paulo, Atlas, 1994. 
CRESPO, Antônio Arnot. Matemática Comercial e financeira fácil. São Paulo: Saraiva, 1996. 
LAPPONI, J. C., Matemática Financeira Usando o EXCEL, São Paulo, Lapponi Treinamento e Editora, 
1995. 
MILONE, Giuseppe. Curso de Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1993. 
MORGADO, A. C. de Oliveira; WAGNER, E.; ZANI, S. Cristina. Progressões e Matemática Financeira. 
Rio de Janeiro: Wagner, 1993. 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira – Aplicações à Análise de Investimentos. 2ª 
ed. São Paulo: Makron Books, 1999. 
VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Financeira. 4ª ed. São Paulo: Atlas, 2001. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2006. 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
1. CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
1.1. DEFINIÇÃO DE TAXA DE JUROS 
 
Uma taxa de juros, ou taxa de crescimento do capital, é a taxa de lucratividade recebida num 
investimento. De uma forma geral, é apresentada em bases anuais, podendo também ser utilizada em 
bases semestrais, trimestrais, mensais ou diárias, e representa o percentual de ganho realizado na 
aplicação do capital em algum empreendimento. 
Por exemplo, uma taxa de juros de 12% ao ano indica que para cada unidade monetária 
aplicada, um adicional de R$ 0,12 deve ser retornado após um ano, como remuneração pelo uso daquele 
capital. (Thuesen, 1977) 
A taxa de juros, simbolicamente representada pela letra i, pode ser também apresentada sob a 
forma unitária, ou seja, 0,12, que significa que para cada unidade de capital são pagos doze centésimos 
de unidades de juros. Esta é a forma utilizada em todas as expressões de cálculo. 
A taxa de juros também pode ser definida como a razão entre os juros, cobrável ou pagável, no 
fim de um período de tempo e o dinheiro devido no início do período. Usualmente, utiliza-se o conceito 
de taxa de juros quando se paga por um empréstimo, e taxa de retorno quando se recebe pelo capital 
emprestado. 
Portanto, pode-se definir o juro como o preço pago pela utilização temporária do capital alheio, 
ou seja, é o aluguel pago pela obtenção de um dinheiro emprestado ou, mais amplamente, é o retorno 
obtido pelo investimento produtivo do capital. 
Genericamente, todas as formas de remuneração do capital, sejam elas lucros, dividendos ou 
quaisqueroutras, podem ser considerados como um juro. 
Quando uma Instituição Financeira decide emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma 
expectativa de retorno do capital emprestado acrescido de uma parcela de juro. Além disso, deve-se 
considerar embutido na taxa de juros os seguintes fatores: (Thuesen, 1977) 
 
Risco - grau de incerteza de pagamento da dívida, de acordo, por exemplo, com os 
antecedentes do cliente e sua saúde financeira; 
 
Custos Administrativos - custos correspondentes aos levantamentos cadastrais, pessoal, 
administração e outros; 
 
Lucro - parte compensatória pela não aplicação do capital em outras oportunidades do mercado, 
podendo, ainda, ser definido como o ganho líquido efetivo; 
 
Expectativas Inflacionárias - em economias estáveis, com inflação anual baixa, é a parte que 
atua como proteção para as possíveis perdas do poder aquisitivo da moeda. 
 
 
1.2. O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
 
O conceito do valor do dinheiro no tempo surge da relação entre juro e tempo, porque o dinheiro 
pode ser remunerado por certa taxa de juros num investimento, por um período de tempo, sendo 
importante o reconhecimento de que uma unidade monetária recebida no futuro não tem o mesmo valor 
que uma unidade monetária disponível no presente. 
Para que este conceito possa ser compreendido, torna-se necessário a eliminação da idéia de 
inflação. Para isso, supõe-se que a inflação tecnicamente atinge todos os preços da mesma forma, 
sendo, portanto, anulada no período considerado. 
Assim, um dólar hoje vale mais que um dólar amanhã. Analogamente, um real hoje tem 
mais valor do que um real no futuro, independentemente da inflação apurada no período. 
Esta assertiva decorre de existir no presente a oportunidade de investimento deste dólar ou real 
pelo prazo de, por exemplo, 2 anos, que renderá ao final deste período um juro, tendo, 
consequentemente, maior valor que este mesmo dólar ou real recebido daqui a 2 anos. 
Conclui-se, pelo fato do dinheiro ter um valor no tempo, que a mesma quantia em real ou 
dólares, em diferentes épocas, tem outro valor, tão maior quanto à taxa de juros exceda zero. Por outro 
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lado, pode-se dizer que este dinheiro varia no tempo em razão do poder de compra de um real ou dólar 
ao longo dos anos, dependendo da inflação da economia, como será visto adiante. 
 
1.3. DIAGRAMA DOS FLUXOS DE CAIXA 
 
Para identificação e melhor visualização dos efeitos financeiros das alternativas de investimento, 
ou seja, das entradas e saídas de caixa, pode-se utilizar uma representação gráfica denominada 
Diagrama dos Fluxos de Caixa. 
Este diagrama é traçado a partir de um eixo horizontal que indica a escala dos períodos de 
tempo. O número de períodos considerado no diagrama é definido como o horizonte de planejamento 
correspondente à alternativa analisada. (Oliveira, 1982). Cabe ressaltar que é muito importante a 
identificação do ponto de vista que está sendo traçado o diagrama de fluxos de caixa. Um diagrama sob 
a ótica de uma Instituição Financeira que concede um empréstimo, por exemplo, é diferente do diagrama 
sob a ótica do indivíduo beneficiado por tal transação (Thuesen, 1977). 
 
A figura abaixo mostra um exemplo de um diagrama genérico de um fluxo de caixa. 
 
Convencionou-se que os vetores orientados para cima representam os valores positivos de caixa, 
ou seja, os benefícios, recebimentos ou receitas. Já os vetores orientados para baixo indicam os valores 
negativos, ou seja, os custos, desembolsos ou despesas. 
 
 R$ 5.500 R$ 5.000 R$ 4.500 R$ 4.000 R$ 2.000 R$ 4.000 
 
0 1 2 3 ... (n-1) n 
 
Fig. 1 - Representação de um Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
No presente trabalho será adotada a notação definida abaixo, em todos os diagramas de fluxo de 
caixa estudados: 
 
i - taxa de juros para determinado período, expressa em percentagem e utilizada nos cálculos na 
forma unitária. 
Ex.: rendimento de dez por cento ao ano i = 0,10 ou 10 % a.a. 
 
n - número de períodos de capitalização. 
Ex.: aplicação de um capital por cinco meses n = 5 
 
VP - valor equivalente ao momento presente, denominado de Principal, Valor Presente ou Valor 
Atual. Na HP-12C representada por PV. 
Ex.: aplicação de R$ 10.000,00 efetuada hoje; VP = 10.000,00. 
 
J - juros produzidos ou pagos numa operação financeira. 
Ex.: um capital de R$ 5.000 rendeu R$ 300 ao final de 1 ano; J = 300,00. 
 
VF - valor situado num momento futuro em relação à VP, ou seja, daqui a n períodos, a uma 
taxa de juros i, denominado Montante ou Valor Futuro. Na HP-12C representada por FV. 
 
Ex.: uma aplicação de R$ 15.000, feita hoje, corresponderá a R$ 19.000 daqui a n períodos, a 
uma taxa de juros i; VF = 19.000. 
 
R - valor de cada parcela periódica de uma série uniforme, podendo ser parcelas anuais, 
trimestrais, mensais etc. Na HP-12C representada por PMT. 
 
Ex.: R$ 5.000,00 aplicados mensalmente numa caderneta de poupança produzirão um montante 
de R$ 34.000,00 ao fim de n meses; R = 5.000,00 
 
A notação para os elementos da Matemática Financeira varia para cada autor. Desta forma, 
não é recomendável a memorização de uma só notação nem sua adoção como padrão. Recomenda-se o 
aprendizado dos conceitos fundamentais da Matemática Financeira, independentemente da notação 
utilizada, de modo que qualquer problema possa ser resolvido. 
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Por convenção, todas as movimentações financeiras, representadas em cada período dos 
diagramas de fluxo de caixa, estão ocorrendo no final do período. Por exemplo, um pagamento efetuado 
no segundo ano de um diagrama de fluxo de caixa significa que esta saída de dinheiro ocorreu no final 
do segundo ano. 
 
2. TIPOS DE FORMAÇÃO DE JUROS 
 
Os juros são formados através do processo denominado regime de capitalização, que pode 
ocorrer de modo simples ou composto, conforme apresentado a seguir: 
 
2.1. JUROS SIMPLES 
 
No regime de capitalização a juros simples, somente o capital inicial, também conhecido como 
principal VP, rende juros. Assim, o total dos juros J resultante da aplicação de um capital por um 
determinado período n, a uma taxa de juros dada, será calculado pela fórmula: 
 
J = VP.i.n (1) 
 
Para fins de cálculo, a taxa de juros deverá estar na mesma unidade de tempo do período de 
aplicação, ou seja, para um período em anos, a taxa deverá ser anual. 
Logo, pode-se calcular o total conseguido ao final do período, ou seja, o montante, através da 
soma do capital inicial aplicado com o juro gerado. O montante pode ser expresso, para este caso, por: 
VF = VP + J, originando a fórmula: 
 
VF = VP (1 + i.n) (2) 
 
Nos meios, econômico e financeiro, o emprego de juros simples é pouco frequente. O reinvesti 
mento dos juros é prática usual e a sua consideração na consecução de estudos econômico-financeiros 
deve ser levada em conta, até mesmo por uma questão de realismo. (Oliveira, 1982) Assim, o presente 
texto será desenvolvido consoante os princípios da capitalização a juros compostos, que será visto no 
próximo item. 
 
Situação problema: 
a. Um capital de $ 10.000,00 foi aplicado por cinco meses, a juros simples. Calcule o valor a ser 
resgatado no final deste período à taxa de 4 % a.m. 
Dados: 
VP = 10.000 
n = 5 meses 
i = 4% ao mês 
 
 
 
 
 
b. Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante sete meses, rende juros de $7.875,00. Determinar a taxa 
mensal correspondente. 
Dados: 
VP = 
J = 
n = 
i = 
 
 
c. Uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 8.250,00. Indaga-
se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
 
VP = 
J = 
n = 
i = 
 
MatemáticaFinanceira Pág.9 
 
d. Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de $7.500,00, á taxa de 8% 
ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. 
 
Dados: 
VP = 
J = 
¡ = 
n = 
 
 
e. Qual o capital que, á taxa de 4% ao mês, rende juros de $ 9.000,00 em um ano? 
 
Dados: 
J = 
n = 
¡ = 
VP = 
 
 
f. Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por $ 29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa 
mensal de juros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
g. Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de $ 20.000,00, feita a uma taxa de 4,94% 
ao mês, pelo prazo de 76 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
h. Calcular o montante da aplicação de um capital de $ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses, á taxa de 3% 
ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
i. Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de $ 60.000,00, sabendo-se que a taxa 
de juros é de 5% ao mês e que faltam quatro meses para o seu vencimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira Pág.10 
j. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, á taxa de 36% ao ano rende $ 
72.000,00 de juros, determinar o montante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k. Um empréstimo de $ 40.000,00 deverá ser quitado por $ 80.000,00 no final de 12 meses. 
Determinar as taxas, mensal e anual cobradas nessa operação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l. Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$53.375,00, 
considerando-se uma taxa de 30% ao ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. ATIVIDADES PROPOSTAS 
1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano de juro 
simples, durante sete meses. 
Resposta: $ 8.400,00. 
 
2. Um capital de $ 28.000.00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros simples de $ 11.200,00. 
Determinar a taxa anual. 
Resposta. 60% a.a. 
 
3. Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de $ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de juros 
simples é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. 
Resposta: $ 53.204,42. 
 
4. Qual o valor dos juros simples contidos no montante de $ 100.000.00 resultante da aplicação de 
certo capital a taxa de 42% a.a., durante 13 meses? 
Resposta. $ 31.271,48. 
 
5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de $ 
125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 27% ao semestre? 
Resposta. $ 156.500,00. 
 
6. Em quanto tempo um capital de $ 800.00 aplicado à taxa de 0,1% ao dia gera um montante de $ 
1.000,00? (juro simples) 
Resposta: 250 dias 
Matemática Financeira Pág.11 
 
7. Um capital de $ 50.000,00 foi aplicado no dia 19-06-09 e resgatado em 20-01-10. Sabendo-se que a 
taxa de juros simples da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o 
número de dias efetivo entre as duas datas. 
Resposta: $ 16.722,22. 
 
8. Uma empresa aplicou $ 2.000,00 no dia 15-07-09 e resgatou essa aplicação no dia 21-07-09 por 
$2.01 8.00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? (juros simples) 
Resposta: 4,5% ao mês. 
 
9. Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e três meses, 
produz um montante de $ 600.000,00. (juros simples) 
Resposta: $ 281.162.14. 
 
10. Ao fim de quanto tempo o capital de $ 40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz $ 18.600,00 
de juros simples? 
Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias. 
 
11. Obteve-se um empréstimo de $ 10.000,00, para ser liquidado por $ 14.675,00 no final de oito meses 
e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? (juros simples) 
Resposta: 66% ao ano. 
 
 
12. Em quantos meses um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? (juros simples) 
Resposta: 25 meses. 
 
13. A que taxa de juros simples um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual à 1/4 do seu 
valor? 
Resposta: 2,5% ao mês 
 
14. Um capital emprestado gerou $ 96.720,00 de juros Sabendo se que o prazo da aplicação foi de 13 
meses e a taxa de juros simples é de 6% mês, calcular o valor do montante. 
Resposta: $ 220.720,00. 
 
15. Em quantos dias um capital de $ 270.420,00 produzirá juros de $ 62.304.77 a uma taxa de 5,4% ao 
mês? (juros simples) 
Resposta: 128 dias 
 
16. Determinar o capital necessário para produzir um montante de $ 798.000,00 no final de um ano e 
meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre de juros simples. 
Resposta: $ 420.000,00. 
 
17. A aplicação de $ 35.600,00 gerou um montante de $ 58.028,00 no final de nove meses. Calcular a 
taxa anual de juros simples. 
Resposta: 84% ao ano. 
 
18. Certo capital aplicado gerou um montante de $ 1.000,00 Sabendo se que a taxa de juros é de 5% ao 
mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros. (juro simples) 
Resposta: $ 285,71 
 
19. Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $ 450.000,00, por 225 dias, á taxa de 
5,6% ao mês. (juros simples) 
Resposta: $ 639.000,00. 
 
20. Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um 
montante de $ 543.840,00. (juros simples) 
Resposta. $ 400.000,00. 
 
21. Um título de renda prefixada foi adquirido por $ 80.000,00 e resgatado por $ 117.760,00 no final de 
oito meses. Calcular a taxa mensal de juros simples. 
Resposta: 5,9% ao mês. 
Matemática Financeira Pág.12 
 
22. Em que prazo uma aplicação de $ 500.000,00 possibilita o resgate de $ 614.000,00 à taxa de 7,2% 
ao mês de juros simples? 
Resposta: 3,167 meses ou 95 dias 
 
23. A que taxa anual de juros simples, devo aplicar um capital de $ 275.000,00 para obter juros de $ 
177.320,00 no final de 186 dias? 
Resposta: 124,8% ao ano. 
 
2.3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido 
dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia 
exponencialmente em função do tempo. 
 
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do 
capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida. 
 
A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, VF para valor futuro ou montante, VP para valor 
presente ou capital inicial, n para o prazo decorrido e i para a taxa. 
 
A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que 
aquela já vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir o seguinte 
problema: 
 
Qual o montante no final de cinco meses resultante da aplicação de R$ 100,00, aplicado á taxa de 10% 
ao mês. 
Dados: 
VP = 100,00 
n = 5 meses 
i = 10% ao mês = 0,10 
VF = ? 
 
Período 
(n ) 
Capital no início do mês 
(VPt) 
Juros correspondentes ao mês (jt) 
juro = capital x taxa 
Montante no final do 
mês (VFt) 
1 100,00 100,00 x 0,10 = 10,00 110,00 
2 110,00 110,00 x 0,10 = 11,00 121,00 
3 121,00 121,00 x 0,10 = 12,10 133,10 
4 133,10 133.10 x 0,10 = 13,31 146,41 
5 146,31 146,31 x 0,10 = 14,64 161,05 
 
Logo o montante será de R$ 161,06 
Algebricamente podemos deduzir que: 
VF0 = VP =>montante no momento zero (hoje). 
Temos que montante é capital inicial mais juros => VF = VP + VP.i, então: 
 
VF1 = VP + VP x i = VP(1+i) => montante no final do primeiro período; 
VF2 = VP(1+i) + VP(1+i) x i = VP(1+i)(1+i) = VP(1 + i)
2 
VF3 = VP(1 + i)
2+ VP(1 + i)2 x i = VP(1 + i)
2 (1+i) = VP(1 + i)3 
VF4 = VP(1 + i)
3 + VP(1 + i)3 x i= VP(1 + i)
3 (1+i) = VP(1 + i)4 
. . . . 
. . . . 
VFn = VP(1 + i)
n + VP(1 + i)nx i = VP(1 + i)
n(1+i) = VP(1 + i)n 
Como não há possibilidade de confusão,para simplificar vamos fazer VFn = VF. Assim, a fórmula final do 
montante é dada pela equação: 
 
VF = VP(1+i)n 
 
No exercício anterior podemos fazer: 
VF5 = 100 (1+0,10)
5 = 161,05, que confere com o valor determinado anteriormente. 
Matemática Financeira Pág.13 
 
Situação problema: 
a. Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, á taxa de 3% ao mês. 
Matemática Financeira Pág.14 
Dados: 
VP = 15.000,00 
n = 6 meses 
i = 3% ao mês =0,03 
VF=? 
 
Solução: 
VF = P(1+i)n 
VF = 
 
 
 
b. No final de dois anos, devo efetuar um pagamento de $ 200.000,00 referente ao valor de um 
empréstimo contraído hoje, sabendo que a taxa acordada foi de 4% ao mês com capitalização mensal, 
pergunta-se: Qual o valor emprestado? 
 
Dados: 
VF = 
n = 
¡ = 
VP = 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
c. Uma determinada loja financia a venda de uma mercadoria no valor de $ 1.299,99, sem entrada, para 
pagamento em uma única prestação de $ 2.151,48 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela 
loja? 
 
Dados: 
VF = 
VP = 
n = 
i = 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
d. Em que prazo um empréstimo de $ 20.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de $ 
41.578,56, sabendo-se que a taxa contratada é de 5% ao mês? 
 
Dados: 
VF = 
VP = 
¡ = 
n = 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
e. A que taxa um capital de $ 43.000,00 pode ser dobrado em 18 meses? 
 
Dados: 
VF = 
VP = 
n = 
i= 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
f. Um título de renda fixa deverá ser resgatado por $ 10.000,00 no seu vencimento, que ocorrerá dentro 
de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 15% ao ano, determinar o seu valor 
presente. 
Nesse caso o período está em meses e a taxa em ano, na capitalização composta à taxa não pode ser 
dividida para se adequar ao período, para adequar a taxa ao período temos que fazer equivalência de 
taxa, ou adequar o período a taxa. 
 
Dados: 
VF = 
n = 
¡ = 
VP = 
 
 
2.4. TAXAS DE JUROS NOMINAIS E EFETIVAS 
 
Pode-se notar que em cálculos de capitalização composta as taxas de juros apresentadas são, na maioria 
das vezes, taxas nominais, que não correspondem às taxas realmente empregadas na operação. Por 
Matemática Financeira Pág.15 
1)1(1)1( 12
1
12  aam iii
exemplo, se em certo empreendimento é proposta uma taxa de 12 % ao ano, com a capitalização dos 
juros acontecendo todos os meses, ou seja, 1 % ao mês, não será difícil demonstrar que a taxa anual 
realmente empregada é superior àquela dada inicialmente. 
A taxa de 12 % a.a é, portanto, denominada taxa nominal de juros, já que a capitalização dos juros é 
mensal e a taxa está expressa em termos anuais. Desta forma, surge uma nova taxa anual, denominada 
de taxa efetiva de juros, que pode ser calculada utilizando-se a seguinte expressão: 
 
 
 
onde in, corresponde à taxa nominal de juros, em bases anuais; p é o número de períodos de 
capitalização contidos num ano; e ief é a taxa efetiva de juros obtida, também em bases anuais. Assim, 
para o exemplo acima, a taxa efetiva é 12,68% a.a. 
O quadro abaixo apresenta as taxas efetivas anuais de juros correspondentes à taxa de 12% a.a., com 
capitalização anual, semestral, trimestral, mensal, semanal, diária e de forma contínua. Nesta última, 
considera-se que os juros possam ser capitalizados em infinitos períodos por ano. Deste modo, a taxa 
anual efetiva de juros é definida por: 
 
 
 
Taxas Efetivas Anuais de Juros Correspondentes à Taxa Nominal de 12 % a.a. 
 
ANUAL SEMESTRAL TRIMESTRAL MENSAL SEMANAL DIÁRIA CONTÍNUA 
1 
12,0000 % 
12,0000 % 
2 
6,0000 % 
12,3600 % 
4 
3,0000 % 
12,5509 % 
12 
1,0000 % 
12,6825 % 
52 
0,2308 % 
12,7341 % 
365 
0,0329 % 
12,7474 % 
∞ 
0,0000 % 
12,7497 % 
 
Em resumo, a taxa nominal de juros é aquela que o período de capitalização difere de seu período base. 
Por exemplo, uma taxa de juros de 24% ao ano com capitalização trimestral é dita nominal. Por outro 
lado, quando o período de capitalização coincidir com o período base da taxa de juros dada, esta taxa é 
dita efetiva. 
Assim, uma taxa de 8% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva. 
 
2.5. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS 
 
Diz-se que a taxa mensal im é equivalente á taxa anual ia quando: 
 
VP(i+ia)
1 = VP(i+ im)
12 
 
ou seja, duas ou mais taxas referenciadas a períodos unitários distintos são equivalentes quando 
produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital 
inicial. Da igualdade acima, deduz-se que: 
(1+ia) = (1 + im)
12 
Para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal. 
ia = (1+im)
12 -1 
Para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual. 
 
 
 
Da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se à taxa diária e vice-versa. 
 
Situação problema: 
a) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês: 
Solução: 
ia = (1 + im)
12 – 1 = (1,02)12 - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82% 
 
b) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano: 
Solução: 
im = (1 + ia)
1/12 –1 = (1,60103)1/2 –1 = 1,04 - 1 ou 4% ao mês 
 
 1 - )
p
i
 (1 i pnef 
1e i nief 
Matemática Financeira Pág.16 
c) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia: 
Solução: 
ia = (1 + id)
360 - 1 = (1,0019442)360 - 1 = 2,0122 – 1 = 1,0122 ou 101,22% ao ano 
 
d) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos: 
Solução: 
it = (1 + i2a)
1/8 - 1 = (1,47746 )1/8 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 = 5% ao trimestre 
 
e) Determinar a taxa anual equivalente a 1% á quinzena: 
Solução: 
ia = (1 + iq)
24 - 1 = (1,01)24 - 1 = 1,2697 - 1 = 0,2697 = 26,97% ao ano 
 
Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais 
variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja: 
 
Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue: 
iq = taxa para o prazo que eu quero 
it = taxa para o prazo que eu tenho 
q = prazo que eu quero 
t = prazo que eu tenho 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
f) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano: 
Solução: 
i183 = (1+0,65)
183/360 — 1=28,99% 
 
g) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês: 
Solução: 
i491 = (1+0,05)
491/30
 — 1 = 122,23% 
 
h) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre: 
Solução: 
i27 = (1+0,13)
27/90 — 1 = 3,73% 
 
2.5.1. ATIVIDADES 
1. Determinar o montante acumulado em seis trimestres, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime 
de juros compostos, a partir de um principal de $ 10.000,00. 
Resposta: 12.395,08 
 
2. Determinar o principal que deve ser investido para produzir um montante de $20.000,00, num prazo 
de dois anos, com uma taxa de 12% ao semestre, no regime de juros compostos. 
Resposta: 12.710,36 
 
3. Um investidor aplicou $10.000,00 para receber $11.200,00 no prazo de um ano. Determinar a taxa 
de rentabilidade mensal desse investidor, no regime de juros compostos. 
Resposta: 0,949% a.m. 
 
4. Determinar o montante acumulado em oito trimestres a partir de um principal aplicado de $ 
10.000,00, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. 
Resposta: 13.314,72 
 
5. Determinar o período necessário para um capital duplicar de valor, com uma taxa de 1% ao mês, no 
regime de juros compostos. 
Resposta: 2.090 dias 
 
 
6. Uma empresa contraiu um empréstimo a juros compostos de 1,2% ao mês, para ser liquidado no 
prazo de um ano, com dois pagamentos semestrais iguais de $ 100.000,00. Esse empréstimo, entretanto, 
pode ser quitado com um único pagamento no valor de $ 197.755,02.Determinar no final de que mês 
deve ser feito esse pagamento para que a taxa de 1,2% ao mês seja mantida. 
1)i(1i t
q
tq 
Matemática Financeira Pág.17 
Resposta: 8 meses 
 
7. Determinar o valor de uma aplicação financeira que produz um valor de resgate de $10.000,00 ao 
final de 21 dias, com uma taxa efetiva de 1,5% ao mês. 
Resposta: 9.896,32 
 
8. Determinar o valor de resgate de uma aplicação financeira de $10.000,00, realizada no regime de 
juros compostos, com uma taxa efetiva de 15% ao ano, pelo prazo de 18 dias. 
Resposta: 10.070,13 
 
9. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de $100.000,00 
à taxa de 3,75%, ao mês. 
Resposta: $ 144 504,39. 
 
10. Uma pessoa empresta $ 80.000,00 hoje para receber $ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular as 
taxas, mensal e anual desse empréstimo. 
Resposta: 8% ao mês. ou 151,817% ao ano 
 
11. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira e de 12,486%, 
determinar qual o prazo em que um empréstimo de $ 20 000.00 será resgatado por $ 36 018,23. 
Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses). 
 
12. Quanto devo aplicar hoje. á taxa de 51,107% ao ano, para ter $ 1.000 000,00 no final de 19 meses? 
Resposta $ 520 154,96 
 
13. Uma empresa obtém um empréstimo de $ 700.000,00 que será liquidado de uma só vez, no final de 
dois anos Sabendo se que a taxa de juros e de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse 
empréstimo deverá ser quitado. 
Resposta $ 1.708.984,38 
 
14. Em que prazo uma aplicação de $ 374.938,00, a taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de $ 
500.000,00. 
Resposta: 9 meses. 
 
15. Um terreno está sendo oferecido por $ 45.000,00 à vista ou $ 15.000 00 de entrada e mais uma 
parcela de $ 35.000,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação 
em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida) determinar a melhor opção 
para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo. 
 
16. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do 
seu valor? 
Resposta: 4,162% ao mês. 
 
17. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor se aplicado a 3,755% 
ao mês? 
Resposta: 11 meses. 
 
18. A aplicação de certo capital, a taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de $ 820.000,00 no 
final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. 
Resposta: $ 396.288,79 
 
19. Qual e mais vantajoso: aplicar $ 10.000.00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar 
esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês? 
Resposta. Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. 
 
20. No fim de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4 % ao mês, quadruplica o seu valor: 
a) no regime de capitalização composta. 
b) no regime de capitalização simples. 
Respostas: a) 35,35 meses. 
b) 75 meses. 
 
Matemática Financeira Pág.18 
21. Qual o montante produzido pela aplicação de $ 580.000,00, a taxa de 175% ao ano, pelo prazo de 
213 dias? 
Resposta. $ 1.055.277,08. 
 
22. Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18 % ao trimestre durante 181 dias, produziu um 
montante de $5.000,00? 
Resposta: $ 3.584,32. 
 
23. A aplicação de $ 400.000.00 proporcionou um resgate de $ 610.461,56 no final de seis meses. 
Determinar as taxas mensal e anual dessa operação. 
Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano. 
 
24. Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua 
aplicação? 
Resposta: 308 dias. 
 
25. A aplicação de $ 380.000,00 proporcionou um rendimento de $ 240 000,00 no final de 208 dias. 
Determinar a taxa diária, mensal, trimestral e anual de juros 
Resposta: 0,24% ao dia, 7,32% ao mês; 23,59% ao trimestre e 133,33% a a 
 
26. Quanto uma pessoa resgatara no final de 93 dias se aplicar $ 2 milhões à taxa de 150% ao ano? E 
qual a taxa mensal equivalente? 
Resposta $ 2.534.143,27 e 7,935% ao mês. 
 
 
3. DESCONTOS 
 
3.1. CONCEITO 
A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de 
um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate) e se quer determinar o seu valor atual. O 
desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de um título e o seu valor 
presente na data da operação, ou seja: D= VF - VP, em que D representa o valor monetário do desconto, 
VF o seu valor futuro (valor assumido pelo título na data do seu vencimento) e VP o valor creditado ou 
pago ao seu titular. Assim como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma 
taxa e a determinado período de tempo. 
Embora seja freqüente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois critérios distintos, 
claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação 
incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto à taxa do período incide sobre o seu 
montante ou valor futuro. 
De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em simples e composto, 
envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e exponenciais no caso do desconto composto. 
 
3.2. DESCONTO SIMPLES (OU BANCÁRIO OU COMERCIAL) 
 
Desconto simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o montante ou valor 
futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizado, principalmente nas chamadas operações de 
“desconto de duplicatas” realizadas pelos bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por 
desconto bancário ou comercial. É obtido multiplicando-se o valor de resgate do título pela taxa de 
desconto e pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: 
 
D = VF.d.n 
 
em que “d” representa a taxa de desconto e “n” o prazo. Para se obter o valor presente, também 
chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do título, como segue: 
 
VP = VF - D 
 
Situação problema: 
a. Qual o valor do desconto simples de um título de $ 2.000,00, com vencimento para 90 dias, á taxa de 
2,5% ao mês? 
Dados: 
Matemática Financeira Pág.19 
VF = 2.000,00 
n = 90 dias = 3 meses 
d = 2,5% ao mês 
D=? 
 
Solução: 
D=S.d.n 
D = 2.000,00 x 0,025 x 3 = 150,00 
 
b. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de $ 
1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? 
Dados: 
VF = 1.000,00 
VP = 880,00 
n = 120 dias = 4 meses 
d=? 
 
c. Uma duplicata no valor de $ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de $ 6.000,00 
na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% ao mês, determinar o prazo 
de vencimento da duplicata. 
Dados: 
VF = 
VP = 
d = 
n = 
 
d. Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma 
duplicata no valor $ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o Banco está cobrando nessa 
operação uma taxa de desconto de 4,7% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. O desconto de uma duplicata gerou um crédito de $ 70.190,00 na conta de uma empresa. Sabendo-
se que esse título tem um prazo a decorrer de 37 dias até o seu vencimento e que o Banco cobra uma 
taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa operação, calcular o valor da duplicata. 
 
 
 
 
 
 
 
f. No caso do exemplo anterior, calcular a taxa mensal de juros correspondente àquela operação, de 
acordo com o critério de juros compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3. DESCONTO COMERCIAL PARA UMA SÉRIE DE TÍTULOS DE MESMO VALOR 
 
Vamos admitir que sejam apresentados a um banco 5 títulos, no valor de $ 1.000,00 cada um, 
com vencimentos de 30 a 150 dias (de 1 a 5 meses) respectivamente,para serem descontados. 
Matemática Financeira Pág.20 
2
N )t(t
dSD n1T


2
N )t(1
dSD nT


Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto 
global e o valor líquido correspondente a ser creditado na conta do cliente. As novas variáveis serão 
representadas pelos seguintes símbolos: 
 
 DT = valor do desconto total = D1 + D2 + ... + Dn 
N = número de títulos (ou prestações); 
S = valor de cada título; 
PT= valor líquido total dos títulos = N x S - DT 
 
Obtenção do desconto global, a partir do cálculo individual, para cada título. 
 
Sendo D = S.d.n, tem - se que: 
 
D1 = 1.000,00 x 0,03 x 1 = 30,00 
D2 = 1.000,00 x 0,03 x 2 = 60,00 
D3 = 1.000,00 x 0,03 x 3 = 90,00 
D4 = 1.000,00 x 0,03 x 4 = 120,00 
D5 = 1.000,00 x 0,03 x 5 = 150,00 
DT= 30,00 + 60,00 + 90,00 + 120,00 + 150,00 = 450,00 
 
Dedução de uma fórmula que possibilita obter o desconto total de forma simplificada. 
Com base no desenvolvimento feito no item anterior, podemos escrever: 
 
DT = D1 + D2 + D3 + D4 + D5 
DT =1.000 x 0,03 x 1 + 1.000 x 0,03 x 2 + 1.000 x 0,03 x 3 + 1.000 x 0,03 x 4 + 1.000 x 0,03 x 5 
DT= (1.000, x 0,03) x (1+2+3+4+5) 
Aplicando-se a fórmula que dá a soma de uma progressão aritmética: 
 
 
em que t1 representa o prazo do título que vence primeiro, tn o prazo do título que vence por último e N 
o número de títulos, ternos: 
 
 (1) 
 
 
DT= 1.000,00 x 0,03 x 15 = 450,00. 
 
O valor líquido creditado na conta do cliente seria: 
 
VP = S x N - DT = 1.000,00 x 5 - 450,00 = 4.550,00 
 
Substituindo na expressão (1) cada número pelo seu símbolo correspondente, ternos: 
 
 ou 
 
em que a expressão representa o prazo médio dos títulos descontados. 
 
 
Essa fórmula somente é válida para desconto de séries de títulos ou de prestações com valores 
iguais de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento. Quando 
os vencimentos ocorrem no final dos períodos unitários, a partir do primeiro, a fórmula para determinar o 
desconto total de uma série de títulos pode ser escrita como segue: 
 
 
 
em que tn, que representa o prazo expresso em número de períodos unitários (mês, bimestre, ano etc.) 
referente ao título que vence por último, será sempre igual ao número de títulos N. 
 
2
N )t (t
S n1PA


2
tt n1 
2
)t(t
dNSD n1
T


2
5 5)(1
0,031.000DT


Matemática Financeira Pág.21 
É importante lembrar que o período unitário da taxa deve estar sempre coerente com o período 
unitário do prazo, isto é, se na fórmula de cálculo os prazos forem representados em meses, trimestres 
ou anos, a taxa de desconto também deve ser representada em termos de taxa mensal, trimestral ou 
anual, respectivamente. 
 
Situação Problema 
a. Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de $ 1.680,00 
cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 
2,5% ao mês. 
 
Dados: 
S = 1.680,00 
N = tn = 12 
d = 2,5% 
PT = ? 
 
 
b. Quatro duplicatas, no valor de $ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, 
são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3,45% ao 
mês, calcular o valor do desconto. 
Dados: 
S = 32.500,00 
N = 4 
d = 3,45% ao mês 
t1 = 90 dias = 3 meses 
tn = 180 dias = 6 meses 
DT = ? 
 
 
c. Uma empresa apresenta nove títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. 
Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir 
da data de entrega do borderô, e que o valor líquido creditado a empresa foi de $ 25.000,00, calcular o 
valor de cada título. 
Dados: 
PT = 25.000,00 
N = tn =9 
d = 2,8% 
S =? 
 
 
 
d. Um consumidor deseja liquidar antecipadamente 6 prestações restantes de um financiamento obtido 
para a compra de um bem. Sabendo-se que o valor de cada prestação é de $ 30.000,00; que a primeira 
prestação vence a 30 dias de hoje e a última a 180 dias, e que o desconto dado pelo credor é de 1% ao 
mês (desconto simples ou bancário), calcular o valor a ser pago pelo financiado para liquidar o contrato. 
Dados: 
S = 30.000,00 
N =tn = 6 
d = 1% 
PT = ? 
 
 
 
 
e. Oito títulos, no valor de $ 1.000,00 cada um, são descontados por um banco, cujo líquido 
correspondente, no valor de $ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos 
desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcular a taxa de desconto. 
Dados: 
S = 1.000,00 
PT = 6.830,00 
N =tn = 8 
Matemática Financeira Pág.22 
d = ? 
 
 
3.4. ATIVIDADES PROPOSTAS 
1. Uma duplicata de $ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento foi descontada por um 
banco a taxa de 2,70% ao mês Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 
Resposta: 64 330,00 
 
 
 
 
 
 
2. Calcular o valor do desconto de um título de $ 100 000,00, com 115 dias a vencer, sabendo se que a 
taxa de desconto é de 3% ao mês. 
Resposta: 11.500,00 
 
 
 
 
 
 
 
3. Sabendo se que o desconto de uma duplicata no valor de $ 25 000.00, com 150 dias a vencer, gerou 
um crédito de $ 22.075,06 na conta do cliente. Determinar a taxa mensal de desconto. 
Resposta: 2.34% 
 
 
 
 
 
 
4. Um título de $ 140 000,00 foi descontado a 33% ao ano, 5 meses antes do seu vencimento. 
Determinar o valor líquido entregue ao seu portador 
Resposta: 120.750,00 
 
 
 
 
 
 
5. Determinar o valor nominal ou de face de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que 
descontado á taxa de 48% ao ano proporcionou um valor atual (valor líquido creditado) de $ 38.784.00. 
Resposta: 48.000.00. 
 
 
 
 
 
 
6. Sendo de $ 3419,44 o valor do desconto uma duplicata, descontada a taxa de 3,55% ao mês, 120 
dias antes do seu vencimento. Calcular o valor creditado na conta do cliente. 
Resposta: 20.661,12 
 
 
 
 
 
 
 
7. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de $ 9.800,00, que 
Matemática Financeira Pág.23 
sofreu um desconto de $ 548,50, á taxa de 32% ao ano 
Resposta: 63 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
8. Uma empresa desconta uma duplicata no valor de $ 44.000,00 e com 60 dias de prazo até o 
vencimento. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de desconto de 5,3% ao mês, calcular o valor 
creditado na conta dessa empresa e a taxa efetiva de juros, calculada de acordo com o regime de 
capitalização composta, cobrada nessa operação. 
Respostas: 39.336,00 
5,76% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Uma pessoa obteve um financiamento para ser quitado em 18 prestações mensais, iguais e 
consecutivas de $ 9.470,00. No dia do vencimento da 10ª prestação, após ter pago esta, o financiado 
propõe à financeira a quitação, nesta data, das 8 prestações restantes. Sabendo se que essa Financeira 
concede um desconto de 3,4% ao mês para pagamentos antecipados, calcular o valor do desconto total 
concedido. 
Resposta: 11.591,28 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, quatro duplicatas no valor de $ 32.600,00 cada 
uma, com vencimentos para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o valor líquido creditado pelo banco na 
conta da empresa, sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de 2,4% ao mês. 
Resposta: 114.752,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Determinar a que taxa devem ser descontados três títulos, no valor de $ 6.000,00 cada um, com 
vencimento para 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um valor atual, global, de $ 16.524,00 
Resposta:4,1% ao mês 
 
 
Matemática Financeira Pág.24 
4. SÉRIE DE PAGAMENTOS 
 
4.1. NOÇÕES SOBRE FLUXO DE CAIXA 
 
Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos, em 
dinheiro, previstos para determinado período de tempo. 
 
A fim de facilitar o entendimento dos problemas a serem apresentados, será utilizada a 
representação gráfica do fluxo de caixa, como mostra o exemplo a seguir, correspondente a um fluxo 
mensal. 
 
 Recebimentos previstos Pagamentos previstos 
 Dia Valor ($) Dia Valor ($) 
 05 10.000,00 09 12.000,00 
 11 28.000,00 14 14.000,00 
 17 9.000,00 17 7.000,00 
 25 16.000,00 28 20.000,00 
 
Representação gráfica do fluxo mensal 
 
 10.000 28.000 9.000 16.000 
 
 
 0 5 10 15 20 25 30 meses 
 
 12.000 14.000 7.000 20.000 
 
Um banco concede um empréstimo de R$ 40.000,00 a um cliente, para pagamento em 6 prestações 
iguais de R$ 9.000,00. Represente graficamente o fluxo de caixa. 
 
Do ponto de vista do banco, a representação gráfica do fluxo de caixa é a seguinte: 
 
 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 
0 
 
 1 2 3 4 5 6 
40.000 
 
ou seja, há uma saída inicial de caixa no valor de R$ 40.000,00 e a entrada de seis parcelas de R$ 
9.000,00 cada uma nos meses seguintes. Do ponto de vista do cliente, a orientação das setas é feita no 
sentido inverso, como segue: 
 
40.000 
 
0 1 2 3 4 5 6 
 
 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 
 
Situação problema 
1. Você resolve aplicar, em uma instituição financeira, quatro parcelas iguais, mensais e consecutivas de 
$ 4.000,00. Sabendo-se que a primeira parcela será efetivada hoje e que você deseja saber o valor do 
montante no final do 4º mês, representar o fluxo de caixa correspondente. 
 
A representação gráfica será a seguinte: 
 
 (hoje) Montante? 
 0 1 2 3 
 
 
 4.000 4.000 4.000 4.000 
 
Matemática Financeira Pág.25 
4.2. SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS VENCIDOS 
 
Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será representado por “R”; as 
demais variáveis serão representadas pelos símbolos já conhecidos: 
 
¡ = taxa de juros, coerente com a unidade de tempo (mês, trimestre, ano etc.). 
n = número de prestações quase sempre coincidente com o número de períodos unitários. 
VP = principal, capital inicial, valor atual ou valor presente. 
VF = montante ou valor futuro. 
 
4.2.1. FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (FAC) 
 
Situação problema: 
1. Determinar o valor do montante, no final do 5º mês, de uma série de cinco aplicações mensais, 
iguais e consecutivas, no valor de R$ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a 
primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tornada como base 
(“momento zero”), e que a última, no final do 5º mês, é coincidente com o momento em que é pedido o 
montante. 
 
Dados: 
R = 100 
¡ = 4% 
n = 5 
VF = ? 
 
Em termos de fluxo de caixa, o problema pode ser esquematizado como segue: 
 
 Montante? 
 0 1 2 3 4 5 (meses) 
 
 
 100 100 100 100 100 
 
 
 
 
 
 
2. Quanto terá, no final de quatro anos, uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês, durante esse 
prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, á taxa de 3% ao mês? 
 
Esquematicamente, ternos: 
 Montante? 
 
 0 1 2 3 ……. 47 48 (meses) 
 
 
 500 500 500 500 500 
 
Dados: 
R = 500 
n = 48 prestações (porque durante quatro anos ternos 48 meses) 
¡ = 3% ao mês (aplicações mensais) 
VF=? 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira Pág.26 
  1i1
i
n

4.2.2. FATOR DE FORMAÇÃO DE CAPITAL (FFC) 
 
O FFC é obtido facilmente a partir da fórmula do montante deduzida no item anterior: 
 
i
1]i)[(1
RVF
n


 
 
Essa fórmula, como vimos, é utilizada para obter o valor do montante, quando são conhecidos: o 
valor das prestações, a taxa e o número de prestações. Quando a incógnita do problema é o valor das 
prestações, basta fazer: 
 
i
1]i)[(1
VF
R n


  
1]i)[(1
i
VFR
n


 
 
em que é chamado Fator de Formação de Capital. 
 
 
3. Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num “Fundo de Renda Fixa”, durante cinco anos, 
para que possa resgatar R$ 200.000,00 no final do período, sabendo que o fundo proporciona um 
rendimento de 2% ao mês? 
 
Esquematicamente: 
 Montante=200.000 
 
 0 1 2 3 … 59 60 (meses) 
 
 
 R R R R R 
Dados: 
R = ? 
n = 60 prestações (porque durante cinco anos ternos 60 meses) 
¡ = 2% ao mês (aplicações mensais) 
VF=200.000 
 
 
 
 
 
4. Quantas prestações de $ 4.000,00 devem ser aplicadas trimestralmente, á taxa de 7% ao trimestre, 
para acumular um montante de $ 100.516,08 no final do período? 
 
Esquematicamente: 
 Montante=100.516,08 
 
 0 1 2 3 ……. n-1 n (meses) 
 
 
 4.000 4.000 4.000 4.000 4.000 
 
Dados: 
R = 4.000,00 por trimestre 
VF = 100.516,08 
¡ = 7% ao trimestre 
n = ? (nº de trimestres) 
 
 
Observação: Como a unidade de tempo está coerente com a taxa, não é necessária nenhuma conversão. 
 
Matemática Financeira Pág.27 
Problema em que a taxa é a incógnita: 
5. A que taxa devo aplicar $ 15.036,28 por ano para que eu tenha um montante de R$ 500.000,00 no 
final de 10 anos? 
 
Esquematicamente: 
 VF=500.000 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 
 
 R=15.036,28 
 
Dados: 
R= 15.036,28 
VF= 500.000,00 
n= 10 anos = 10 prestações 
¡=? ao ano 
 
 
i
1i1
 x 15.036,28500.000,00
10


 
ou 
 
i
1i1
 33,2529
10


 
 
A solução desta equação somente pode ser obtida por “tentativa e erro”. Mesmo as calculadoras 
financeiras, que solucionam problemas como este de forma simples e rápida, utilizam esse processo. Ele 
consiste em atribuir valores sucessivos à ¡ até que o resultado da expressão 
 
i
1i1
 
10

 
que é o Fator de Acumulação de Capital (FAC), seja exatamente igual a 33,25290. Assim, para ¡ = 10%, 
o valor da expressão é 15,93742, o que evidencia que a taxa procurada é maior; para ¡ = 20%, o 
resultado é 25,95868, o que significa que a taxa ainda tem de ser maior; já para ¡ = 30%, o resultado 
42,61950 indica que a taxa desejada deve ser menor. Fazendo-se ¡ = 25% obtém-se 33,25290, que 
coincide com o valor informado. Portanto, a taxa procurada é de 25% ao ano. 
 
 
4.2.3. FATOR DE VALOR ATUAL (FVA) 
 
Situação problema: 
Qual o valor que, financiado à taxa de 5% ao mês, pode ser pago ou amortizado em 5 prestações 
mensais, iguais e sucessivas de R$ 100,00 cada uma? 
 
O que se deseja é o valor presente desta série de cinco parcelas iguais. Usando o que já conhecemos, 
podemos calcular o montante desta série, e após faremos uma descapitalização de 5 meses usando a 
fórmula da capitalização composta para calcular o valor atual, ou o valor financiado. 
Construindo o fluxo de caixa, temos 
 VF 
 0 1 2 3 4 5 (meses) 
 
 
 VP 100 100 100 100 100 
 
Dados: 
 R = 100 
 i = 5% ao mês 
 n = 5 parcelas mensais 
 VP = ? 
 
  
i
1i1
 xRVF
n


Matemática Financeira Pág.28 
Sabemos que 
i
iR
VF
n ]1)1[( 

 (1) 
e também que VF=VP(1 +i)n ou 
ni
VF
VP
)1( 

 (2) 
 
Substituindo (1) em (2) temos: 
 
n
n
n
n
ii
iR
i
i
iR
VP
)1.(
]1)1[(
)1(
]1)1[(






 
Logo o valor do financiamento pode ser dado pela fórmula: 
n
n
ii
iR
VP
)1.(
]1)1[(



 
Sendo assim no problema acima temos: 
])05,01.(05,0[
]1)05,01[(100
5
5


VP
 donde VP=432,95 
Logo o valor financiado no problema acima é de R$ 432,95 
 
4.3. FATOR RECUPERAÇÃODE CAPITAL 
 
Situação problema: 
1. Um empréstimo de R$ 10.000,00 é concedido por uma Instituição Financeira para ser liquidado em 12 
prestações iguais, mensais e consecutivas. A Instituição Financeira cobra uma taxa de juros de 3,5% ao 
mês para esse tipo de financiamento, calcular o valor de cada prestação. 
 
Esquematicamente 
Valor Financiado=10.000 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 R R R R R R R R R R R R 
Dados: 
VP=10.000 
n = 12 prestações mensais 
i = 3,5% ao mês = 0,035 
R = ? 
Utilizando o que já conhecemos temos que 
n
i)i.(1
1]
n
i)R[(1
VP



 como queremos o valor da parcela, 
isolando, 
1]
n
i)[(1
n
i)VP.i.(1
R



 ,substituindo valores temos: 
1.034,84
1]
12
0,035)[(1
12
0,035)35.(110.000.0,0
R 



 
Logo o valor da parcela que pode amortizar o financiamento acima é de R$ 1.034,84 
 
4.3.1. QUANDO O PRAZO NÃO É CONHECIDO 
 
2. Calcule em quantas prestações bimestrais de R$ 100,00 cada uma, pode-se liquidar um financiamento 
de R$ 1.240,90, a taxa de 7% ao bimestre, sendo a primeira parcela paga em 60 dias. 
Esquematicamente 
VP=1.240,90 
 
 1 2 3 4 5 6 ... ... ... ... n-1 n 
 
 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 
Dados: 
Matemática Financeira Pág.29 
VP=1.240,90 
n = x prestações bimestrais 
i = 7% ao bimestre = 0,07 
R = 100 
Solução: Temos que isolar n: 
Usando a fórmula do valor presente 
n
i)i.(1
1]
n
i)R[(1
VP



 temos: 
Fazer 
1]
n
i)R[(1
n
i)VP.i.(1 
 
=>
R
n
i)R(1
n
i)VP.i.(1 
 
=>
R
n
i)R(1
n
i)VP.i.(1 
 
=>
R
n
i)VP.i.(1
n
i)R(1 
 
=>
RVP.i][R
n
i)(1 
 
VP.i][R
Rn
i)(1


 








VP.i][R
R
log
n
i)log(1
 








VP.i][R
R
logi)n.log(1
 
 
Resultado 
i)log(1
VP.i][R
R
log
n









=> substituindo os valores tem-se: 
log1,07
log7,61209
n 
=30 prestações 
bimestrais. 
 
4.4. SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS 
 
Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada 
período unitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na 
data do contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma 
série de pagamentos, ou recebimentos. 
 
4.4.1. FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL 
 
Situação problema: 
Qual o montante daqui a 12 meses, resultante da aplicação de 12 parcelas mensais de R$100,00, a taxa 
de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje. 
Esquematicamente temos: 
 Montante? 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 
 
Dados: 
VF = ? 
n = 12 
i = 4% mês 
R = 100 por mês 
Solução: 
Se usarmos a fórmula 
i
1
n
i)R[(1
VF


 o valor de montante será encontrado no momento da última 
aplicação, neste caso, no momento “11”. Como desejamos o montante no momento “12” teremos que 
capitalizar um período a mais, ou seja 
i)(1
i
1]
n
i)R[(1
VF 


assim teremos o montante no final dos 12 
meses. 
0,04)(1
0,04
1]
12
0,04)100[(1
VF 


= 1.562,68 
Matemática Financeira Pág.30 
Conclusão: 
Para calcular o Montante de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, 
devemos utilizar a fórmula: 
i)(1
i
1]
n
i)R[(1
VF 


 
 
4.4.2. FATOR DE VALOR ATUAL 
 
Situação problema: 
Uma TV 29 polegadas foi financiada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas de R$100,00, 
sabendo-se que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5% ao mês e que a primeira prestação foi paga no 
ato da compra, quanto pagaria pela TV se comprasse a vista? 
 
Esquematicamente temos: 
Valor financiado? 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 
100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 
 
 
 
Dados: 
VP = ? 
n = 12 
i = 5% mês 
R = 100 por mês 
Solução: 
Aproveitando o que já sabemos, temos que 
i)(1
i
1]i)R[(1
VF
n



, como desejamos saber o valor de 
VP pela fórmula da capitalização composta VF=P(1+i)n => 
n
i)(1
VF
VP


temos que; 
n
n
i)(1
i)(1
i
1]i)R[(1
VP




 => 
i)(1
i)i(1
1]i)R[(1
VP
n
n




 
 
Donde: 
0,05)(1
0,05)0,05(1
1]0,05)100[(1
VP
12
12




= 930,64 
Conclusão: 
Para calcular o Valor Presente de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, 
devemos utilizar a fórmula: 
i)(1
i)i(1
1]i)R[(1
VP
n
n




 
 
4.5. PERPETUIDADE 
 
A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. 
Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um 
dividendo anual etc. 
O valor presente de uma perpetuidade VP, deduzido a partir do cálculo do limite da expressão 
n
n
ii
iR
VP
)1.(
]1)1[(



 , com n tendendo ao infinito, pode ser encontrado pela fórmula. 
 
VP= R / i 
 
 
12 parcelas mensais 
Matemática Financeira Pág.31 
Situação problema: 
Determine o valor teórico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa 
de juros de mercado de 0,8 % a.m. 
Como o aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela fórmula acima 
se chega ao seu valor teórico: 
 
VP= 1.000 / 0,008 = 125.000,00 
 
4.5.1. ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
1. Calcular o montante, no final de 2 anos, correspondente à aplicação de 24 parcelas iguais e mensais 
de R$1.000,00 cada uma, dentro do conceito de termos vencidos, sabendo-se que a taxa de juros é de 
3,5% ao mês. Resposta; 36.666,53. 
 
2. Calcular, para as taxas de 2%, 3% e 5% ao mês, quais os montantes obtidos no final de 5 anos pela 
aplicação de 60 parcelas iguais de $ 2.000,00, de acordo com o conceito de termos vencidos. 
Respostas: 228.103,08 para 2% ao mês. 
 326.106,87 para 3% ao mês. 
 707.167,44 para 5% ao mês. 
 
3. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 15 meses, à taxa de 3,25% ao mês, para que tenha 
$150.000,00 no final do 15° mês, dentro dos conceitos de termos antecipados e vencidos? 
Respostas: $ 7.669,04 (para termos antecipados). $ 7.918,29 (para termos vencidos). 
 
4. Sabendo se que uma instituição financeira paga 46,41% ao ano para “aplicações programadas”, 
calcular que montante será obtido no final de 18 meses por uma pessoa que aplica 6 parcelas trimestrais 
de $ 10.000,00 cada uma, sendo a primeira aplicação efetuada hoje. 
Resposta: 84.871,71. 
 
5. Sabendo-se que um empréstimo pode ser liquidado em 12 parcelas mensais de R$ 2.500,00 cada 
uma, e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4,75% ao mês, calcular o valor líquido a ser 
entregue ou creditado ao financiado: 
a) de acordo com o conceito de termos vencidos; 
b) de acordo com o conceito de termos antecipados. 
Respostas: a) 22.473,89. 
 b) 23.541,40. 
 
6. Determinar a que taxa de juros a aplicação de $ 5.000,00 por mês gera um montante de $ 
655.687,47 no final de 4 anos e meio, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do 1° mês. 
Resposta: 3,0% ao mês. 
 
7. Um veículo “zero Km” foi adquirido por $ 220.000,00, sendo 70% financiados em 12 parcelas iguais. 
Sabendo-se que a financeira cobra uma taxa de 4,5% ao mês, calcular o valor da prestação mensal. 
Resposta: 16.888,59. 
 
8. Uma TV, no valor de $ 50.000,00, é financiada por uma loja, para pagamento em 13 parcelas iguais 
de $5.328,31, sendo a primeira paga no ato da compra. Calculara taxa de juros cobrada pela loja. 
Resposta: 6% ao mês. 
 
9. A Financiadora “Carga Pesada S.A.” apresenta, em suas tabelas, um coeficiente de 0,06043 para 
financiamento de caminhões em 36 parcelas mensais. Qual a taxa de juros que essa instituição está 
cobrando? 
Resposta: 5% ao mês. 
 
10. Que taxa mensal é cobrada num financiamento de $ 12.766,00, a ser liquidado em 12 prestações 
iguais de $1.360,24, vencíveis no final de cada mês? 
Resposta: 4% ao mês. 
 
11. Em quantos pagamentos trimestrais de $ 5.700,25 podemos liquidar um financiamento de R$ 
50.000,00, à taxa de 3,228% ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos ou postecipados? 
Resposta: 22 trimestres. 
Matemática Financeira Pág.32 
 
12. Qual o valor da prestação bimestral referente a um financiamento de R$ 25.000,00, a ser liquidado 
em 2 anos, à taxa de 9% ao bimestre, sendo que a 1ª prestação vence a 180 dias da data do contrato? 
Resposta: 4.628,24 
 
13. Qual o montante, no final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas iguais, mensais e 
consecutivas de $ 1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5% ao mês e que a 
primeira aplicação é feita “hoje”? 
Resposta: 40.482,12 
 
14. Um veículo é financiado para pagamento em 36 prestações mensais, á taxa de 4,5% ao mês. 
Sabendo-se que o valor financiado foi de $ 245.000,00, calcular o valor das prestações: 
a) de acordo com o conceito de termos vencidos; 
b) de acordo com o conceito de termos antecipados. 
Respostas: a) 13.868,42. 
 b) 13.271,21. 
 
15. A aplicação de 15 parcelas mensais, iguais e consecutivas gerou um montante de $ 400.000,00 no 
final de 30 meses. Sabendo-se que a taxa de juros da operação foi de 3% ao mês e que a primeira 
parcela é aplicada “hoje”, calcular o valor de cada aplicação. 
Resposta: 13.402,20. 
 
16. Quanto devo aplicar hoje, de uma só vez, para que tenha no final de 60 meses o equivalente ao 
montante constituído por aplicações mensais de $ 500,00, à taxa de 2% ao mês, sendo a primeira 
aplicação de hoje a 30 dias? 
Resposta: $ 17.380,44. 
 
17. Em quantas prestações anuais de $ 20.000,00 poderei amortizar uma dívida de $48.711,40, à taxa de 
2,21045% ao mês? 
Resposta: 5. 
 
18. Quanto terei no final de 60 meses se aplicar $ 100,00 por mês em fundo de renda fixa, à taxa de 
2,5% ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos ou postecipados? 
 Resposta: $ 13.599,15 
 
19. Quanto deverei aplicar mensalmente, à taxa de 3% ao mês, para ter um montante de $ 20.000,00 no 
final do 12° mês, de acordo com os conceitos de termos vencidos e antecipados? 
 Rospostas a) $ 1.409,24. 
 b) $ 1.368,20. 
 
20. No final de quantos meses terei o montante de $ 124.892,78, aplicando $ 400,00 por mês, a uma 
taxa mensal de 2%, de acordo com o conceito de termos vencidos? 
Resposta: 100 meses. 
 
21. Quanto terei no final de 18 meses se aplicar $200,00 a cada bimestre, à taxa de 2,4695% ao mês, 
sendo a primeira aplicação a 60 dias de hoje? 
Resposta: $ 2.205,31. 
 
22. Quanto terei no final de 30 meses se aplicar $ 500,00 por mês, durante os 25 primeiros meses, a 
uma taxa de 3,5% ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos e antecipados? 
 Respostas: a) $23.130,11 (termos vencidos). 
 b)$ 23.939,66 (termos antecipados). 
 
23. Um consumidor adquire uma mercadoria, para pagamento em 12 parcelas mensais, sendo as 6 
primeiras de $3.000,00 e as 6 restantes de $ 5.000,00. Qual o valor financiado, sabendo-se que a taxa 
de juros cobrada foi de 3,5% ao mês? 
Resposta: $ 37.659,57. 
 
24. Uma pessoa resolve aplicar $ 1.000,00 por mês em fundo de renda fixa à taxa de 3% ao mês, 
durante 18 meses. Como essa pessoa recebe gratificações semestrais, deverá, no final do 6° e do 12° 
Matemática Financeira Pág.33 
mês, fazer aplicações extras de $ 5.000,00 cada uma. Qual o valor do montante global no final do 18° 
mês, de acordo com o conceito de termos antecipados? 
Resposta: $ 37.215,93. 
 
25. Uma pessoa adquire uma casa para ser paga em 20 prestações mensais e iguais, á taxa de 3,5% ao 
mês. Sabendo-se que a 1ª prestação vence no final do 5° mês e a última no final do 24° mês, e que o 
valor financiado foi de $ 150.000,00, pede-se calcular o valor da prestação. 
Resposta: $ 12.111,14. 
 
26. Quanto terei, no final de 42 meses, se aplicar 10 parcelas trimestrais, iguais e consecutivas de $ 
5.000,00, a partir de hoje, a uma taxa de 10% ao trimestre? 
Resposta: $ 128.336,91. 
 
27. Uma loja financia um automóvel, para ser pago em 20 prestações iguais de $ 6.000,00. Sabendo-se 
que a taxa cobrada é de 5% ao mês, determinar o valor financiado pela loja segundo os conceitos de: 
a) Séries de pagamentos com termos vencidos ou postecipados. 
b) Séries de pagamentos com termos antecipados. 
Respostas: a) $ 74.773,26. 
 b) $78.511,93. 
 
28. Qual o valor financiado que pode ser liquidado em 18 prestações mensais, à taxa de 4% ao mês, 
sendo as 9 primeiras prestações de $ 4.000,00 e as 9 restantes de $ 3.000,00? 
Resposta: $ 45.413,23. 
 
29. Um empréstimo de $ 50.000,00 deve ser liquidado em 12 prestações iguais. Sabendo-se que a 
primeira prestação vence no final do 4° mês e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira é 
de 5% ao mês, determinar o valor da prestação. 
Resposta: $ 6.530,48. 
 
30. Quanto terá no final do 13° mês uma pessoa que aplicar 13 parcelas mensais, iguais e consecutivas 
de $2.000,00 cada uma, à taxa de 3% ao mês, sendo que a aplicação da primeira parcela ocorre hoje? 
Resposta: $ 32.172,65. 
 
31. O financiamento de um veículo deverá ser amortizado em 20 parcelas mensais e iguais. Sabendo-se 
que o valor de cada parcela é de $ 3.500,00 e que a taxa cobrada pela instituição financeira é de 4% ao 
mês, calcular o valor da prestação única, com vencimento no 10° mês, que poderia substituir o plano 
inicial. 
Resposta: $ 70.409,51 
 
32. Em quantas prestações trimestrais de $ 8.000,00 poderei liquidar uma dívida de $ 60.848,64, à taxa 
de 10% ao trimestre, sabendo que as prestações são pagas no final de cada trimestre? 
Resposta: 15 prestações. 
 
33. Determinar quantas aplicações bimestrais e iguais de $ 10.000,00 são necessárias para ter um 
montante de $177.129,83, considerando-se uma taxa de 5% ao bimestre, e de acordo com o conceito de 
termos vencidos 
Resposta: 13 aplicações. 
 
34. Um correntista resolve aplicar em um fundo de renda fixa que paga 1% ao mês, parcelas mensais 
iguais de $ 500,00 durante 10 anos. Determinar o montante que ele terá no final do período.(termos 
vencidos) 
Resposta: 115.019,34 
 
35. Um terreno está sendo oferecido por $ 120.000,00 a vista, ou $ 20.000,00 de entrada e mais 24 
prestações mensais de $ 5.000,00 cada uma. Supondo que o mercado paga 1,8% ao mês para 
aplicações financeiras, mostrar qual o plano economicamente melhor para o comprador, se o mesmo 
tiver condições de comprar a vista. 
 
36. Uma pessoa aplica $ 5.000,00 por mês durante os 10 primeiros meses consecutivos, a uma taxa de 
38,478% ao ano. Segundo o conceito de termos vencidos, calcular o montante no final do 20° mês. 
Resposta: 74.323,16. 
Matemática Financeira Pág.34 
 
Matemática Financeira Pág.35 
 
5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
A necessidade de recursos obriga aqueles que querem fazer investimentos a tomar empréstimos 
e assumir dívidas que são pagas com juros que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as 
partes interessadas. 
 
As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização. 
 
Os sistemas de amortização são os mais variados, alguns prevendo pagamento único, outros 
possibilitando parcelamentos. Alguns deles são mais comuns e têm até denominações próprias, como o