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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PROFESSORES: JOANA DARC E TATIANA AULA 7 - TUTORIA DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I Questa˜o 1. Considere a sequeˆncia √ 2, √ 2 + √ 2, √ 2 + √ 2 + √ 2, ... a) Determine a lei de recorreˆncia que define a sequeˆncia. b) Mostre que a sequeˆncia e´ mono´tona. c) Mostre que a sequeˆncia e´ convergente. d) Determine o limite da sequeˆncia. Soluc¸a˜o: a) Temos a1 = √ 2 a2 = √ 2 + √ 2 = √ 2 + a1 a3 = √ 2 + √ 2 + √ 2 = √ 2 + a2 ... an = √ 2 + an−1, para n ≥ 2. Logo a sequeˆncia e´ definida recursivamente por an = √ 2, n = 1 √ 2 + an−1, n ≥ 2. b) Mostremos que a sequeˆncia e´ crescente. Usaremos induc¸a˜o. Temos a1 < a2, pois a1 = √ 2 > 0 e a2 = √ 2 + a1. Suponha por induc¸a˜o que an−1 < an. Mostremos que an < an+1, para todo n ≥ 1. Temos an = √ 2 + an−1 < √ 2 + an = an+1, pois por hipo´tese de induc¸a˜o an−1 < an. Portanto, a sequeˆncia dada e´ mono´tona. c) Agora mostraremos que a sequeˆncia e´ limitada. Como an < an+1, para todo n ≥ 1, segue que an < √ 2 + an ⇔ a2n < 2 + an ⇔ a2n − an − 2 < 0 (fazer o estudo do sinal da func¸a˜o f(an) = a 2 n − an − 2) ⇔ −1 < an < 2, para todo n ≥ 1. Logo a sequeˆncia (an) e´ limitada. Pelo item (a), a sequeˆncia e´ mono´tona, disso e do fato de ser limitada, pelo Teorema da Con- vergeˆncia Mono´tona segue que a sequeˆncia (an)n≥1 e´ convergente. d) Como a sequeˆncia e´ convergente lim n→∞ an = L ∈ R. Ale´m disso, an+1 = √ 2 + an, logo usando propriedades de limite temos L = √ 2 + L ⇔ L2 = 2 + L ⇔ L2 − L− 2 = 0 ⇔ L1 = −1 e L2 = 2. Do fato da sequeˆncia ser de termos positivos, segue que L = 2, ou seja, a sequeˆncia converge para 2. Questa˜o 2. Verifique se a sequeˆncia ( 5n n + sen 2n ) n≥1 e´ convergente. Soluc¸a˜o: Temos que lim n→∞ ( 5n n + sen 2n ) = lim n→∞ 5n n ( 1 + sen 2n n ) · Como |sen 2n| < 1 temos − 1 n < sen 2n n < 1 n · Pelo Teorema do Confronto, segue que lim n→∞ sen 2n n = 0, pois lim n→∞ 1 n = 0 = − lim n→∞ 1 n · Assim, lim n→∞ ( 5n n + sen 2n ) = lim n→∞ 5( 1 + sen 2n n ) = 5· Logo a sequeˆncia dada converge para 5. Questa˜o 3. Verifique se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes. a) ∞∑ n=1 9−n+24n+1 b) ∞∑ k=0 1 k2 + 4k + 3 c) ∞∑ k=1 ( 4 k2 + 4k + 3 − 9−k+24k+1 ) Soluc¸a˜o: a) Primeiramente escreveremos o 4 e o 9 com um mesmo expoente, obtendo uma se´rie geome´trica. Temos ∞∑ n=1 9−n+24n+1 = ∞∑ n=1 4n+1 9n−2 = ∞∑ n=1 4n−1(42) 9n−1(9−1) = ∞∑ n=1 (42)9 ( 4 9 )n−1 = 144 ∞∑ n=1 ( 4 9 )n−1 · Como ∞∑ n=1 ( 4 9 )n−1 e´ uma se´rie geome´trica de raza˜o r = 4 9 , e |r| < 1, esta se´rie corresponde a soma dos termos de uma PG infinita, logo ∞∑ n=1 ( 4 9 )n−1 = a1 1− r = 1 1− 4 9 = 9 5 · Portanto ∞∑ n=1 9−n+24n+1 = ∞∑ n=1 4n+1 9n−2 = 144 ( 9 5 ) = 1296 5 , ou seja, a se´rie e´ convergente. b) Determinaremos as ra´ızes do polinoˆmio p(k) = k2 + 4k + 3. Usando a fo´rmula de Bhaskara obtemos k1 = −1 e k2 = −3. Agora usando frac¸o˜es parciais obtemos 1 k2 + 4k + 3 = 1 (k + 1)(k + 3) = A k + 1 + B k + 3 = A(k + 3) + B(k + 1) (k + 1)(k + 3) ⇒ A(k + 3) + B(k + 1) = 1. Para k = −1, A = 1 2 · Para k = −3, B = −1 2 · Assim, sn = n∑ k=0 1 k2 + 4k + 3 = n∑ k=0 ( A k + 1 + B k + 3 ) = n∑ k=0 ( 1 2 k + 1 − 1 2 k + 3 ) = 1 2 n∑ k=0 ( 1 k + 1 − 1 k + 3 ) = 1 2 [( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n + 1 ) + ( −1 3 − 1 4 − 1 5 − 1 6 − ...− 1 n + 3 )] = 1 2 [( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ... + 1 n + 1 ) + ( −1 3 − 1 4 − 1 5 − 1 6 − ...− 1 n + 1 − 1 n + 2 − 1 n + 3 )] = 1 2 ( 1 + 1 2 − 1 n + 2 − 1 n + 3 ) = 1 2 ( 3 2 − 1 n + 2 − 1 n + 3 ) · Logo ∞∑ k=0 1 k2 + 4k + 3 = lim n→∞ sn = lim n→∞ n∑ k=0 1 k2 + 4k + 3 = lim n→∞ 1 2 ( 3 2 − 1 n + 2 − 1 n + 3 ) = 3 4 , pois 1 n + 2 → 0 e 1 n + 3 → 0, quando n→∞. Portanto a se´rie e´ convergente. c) Temos ∞∑ k=1 ( 4 k2 + 4k + 3 − 9−k+24k+1 ) = 4 ∞∑ k=1 1 k2 + 4k + 3 − ∞∑ k=1 9−k+24k+1 = 4 ( ∞∑ k=0 1 k2 + 4k + 3 − 1 3 ) − ∞∑ k=1 9−k+24k+1 = 4 ( 3 4 − 1 3 ) − 1296 5 = 4 ( 5 12 ) − 1296 5 = −3863 15 · Portanto a se´rie e´ convergente.
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