Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
2a Prova de A´lgebra Linear — Turma A — 29/05/2012 Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso 1. Escreva as poss´ıveis formas canoˆnicas de Jordan do operador T cujo polinoˆmio caracter´ıstico e´ p(x) = (x− 3)5(x− 2)4 e cujo polinoˆmio minimal e´ m(x) = (x− 3)2(x− 2)2. 2. Encontre a matriz canoˆnica do operador linear de R2 dado pela composic¸a˜o de uma homotetia (isto e´, uma dilatac¸a˜o na direc¸a˜o do vetor) de raza˜o k = 2 seguida de uma rotac¸a˜o de 30o seguida de uma reflexa˜o no eixo y. 3. Seja T : R3 → R2 dada por T (x, y, z) = (3x+ y − z, 2x+ y − 2z). Determine a matriz de T com relac¸a˜o a`s bases A = {(1, 1), (−1, 1)} e B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. 4. Seja T : R2 → R2 o operador linear cuja matriz na base B = {(1, 1), (0, 1)} e´ [T ]B = [ 1 2 −1 1 ] . Determine T−1(x, y). 5. Mostre que a imagem do operador linear T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (x− 2y + z, 5x− y + 3z, 4x+ y + 2z) na˜o e´ todo o R3 e encontre um vetor que na˜o esta´ na imagem. 6. Seja o operador linear T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (x+ y + z, x+ y + z, x+ y + z). Determine se T e´ diagonaliza´vel. Em caso afirmativo, determine uma base B de R3 na qual a matriz de T seja diagonal e fornec¸a esta matriz. 7. Seja o operador linear T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (2x+ y − z, x+ 2y − z, y + z). Determine se T e´ diagonaliza´vel. Em caso afirmativo, determine uma base B de R3 na qual a matriz de T seja diagonal e fornec¸a esta matriz. Gabarito 1. Os autovalores sa˜o 3 e 2, com multiplicidade 5 e 4, respectivamente. Enta˜o a matriz deve ter 5 entradas 3 e 4 entradas 2 na diagonal. Ambos os autovalores sa˜o elevados a 2 no polinoˆmio minimal. Enta˜o o bloco elementar de maior ordem de ambos os autovalores deve ter ordem 2. Ficamos, enta˜o, com as seguintes possibilidades: 3 0 1 3 3 3 3 2 0 1 2 2 2 3 0 1 3 3 0 1 3 3 2 0 1 2 2 2 3 0 1 3 3 3 3 2 0 1 2 2 0 1 2 3 0 1 3 3 0 1 3 3 2 0 1 2 2 0 1 2 . 2. Escrevemos H para a homotetia, R para a rotac¸a˜o e T para a reflexa˜o. Enta˜o, [T ◦R ◦H] = [ −1 0 0 1 ][ √ 3 2 −1 2 1 2 √ 3 2 ] [ 2 0 0 2 ] = [ −√3 1 1 √ 3 ] . 3. Temos T (1, 1, 1) = (3, 1) = 2(1, 1)− 1(−1, 1), T (0, 1, 1) = (0,−1) = −1 2 (1, 1)− 1 2 (−1, 1), T (0, 0, 1) = (−1,−2) = −3 2 (1, 1)− 1 2 (−1, 1). Logo, [T ]BA = [ 2 −1 2 −3 2−1 −1 2 −1 2 ] . 4. Se C e´ a base canoˆnica de R2, enta˜o temos as matrizes de mudanc¸a de base [I]BC = [ 1 0 1 1 ] e [I]CB = ( [I]BC )−1 [ 1 0 −1 1 ] . Da´ı [T ]C = [I] B C [T ]B [I] C B = [ −1 2 −3 3 ] e [ T−1 ] C = ([T ]C) −1 = [ 1 −2 3 1 −1 3 ] . Portanto, T−1(x, y) = ( x− 2 3 y, x− 1 3 y ) . 5. O vetor (a, b, c) esta´ na imagem de T se, e so´ se, satisfaz o sistema x − 2y + z = a 5x − y + 3z = b 4x + y + 2z = c , ou seja, se, e so´ se, c = b− a. Logo, Im T = {(a, b, b− a) ; a, b ∈ R} 6= R3. Um vetor que na˜o esta´ na imagem de T e´, por exemplo, (0, 0, 1). 6. O polinoˆmio caracter´ıstico de T e´ p(λ) = −λ2(λ − 3). Logo, seus autovalores sa˜o 0 (com multiplicidade 2) e 3 (com multiplicidade 1). O autoespac¸o S1 associado a 0 sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 , isto e´, S1 = {(x, y,−x− y) ; x, y ∈ R} que possui B1 = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} como base. O autoespac¸o S2 associado a 3 sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear − 2x + y + z = 0 x − 2y + z = 0 x + y − 2z = 0 , isto e´, S2 = {(x, x, x) ; x ∈ R} que possui B2 = {(1, 1, 1)} como base. Enta˜o, B = B1∪B2 = {(1, 0,−1), (0, 1,−1), (1, 1, 1)} e´ uma base de R3 formada por autovetores de T . Logo, T e´ diagonaliza´vel e [T ]B = 0 0 00 0 0 0 0 3 . 7. O polinoˆmio caracter´ıstico de T e´ p(λ) = −(λ− 2)2(λ− 1). Logo, seus autovalores sa˜o 2 (com multiplicidade 2) e 1 (com multiplicidade 1). O autoespac¸o S1 associado a 2 sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear y − z = 0 x − z = 0 y − z = 0 , isto e´, S1 = {(x, x, x) ; x ∈ R} que possui B1 = {(1, 1, 1)} como base. Como dimS1 = 1 e´ menor que a multiplicidade do autovalor 2, segue que T na˜o e´ diagonaliza´vel.
Compartilhar