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2a Prova de A´lgebra Linear — Turma A — 29/05/2012
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
1. Escreva as poss´ıveis formas canoˆnicas de Jordan do operador T cujo polinoˆmio caracter´ıstico e´
p(x) = (x− 3)5(x− 2)4 e cujo polinoˆmio minimal e´ m(x) = (x− 3)2(x− 2)2.
2. Encontre a matriz canoˆnica do operador linear de R2 dado pela composic¸a˜o de uma homotetia
(isto e´, uma dilatac¸a˜o na direc¸a˜o do vetor) de raza˜o k = 2 seguida de uma rotac¸a˜o de 30o
seguida de uma reflexa˜o no eixo y.
3. Seja T : R3 → R2 dada por
T (x, y, z) = (3x+ y − z, 2x+ y − 2z).
Determine a matriz de T com relac¸a˜o a`s bases
A = {(1, 1), (−1, 1)} e B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}.
4. Seja T : R2 → R2 o operador linear cuja matriz na base B = {(1, 1), (0, 1)} e´
[T ]B =
[
1 2
−1 1
]
.
Determine T−1(x, y).
5. Mostre que a imagem do operador linear T : R3 → R3 dado por
T (x, y, z) = (x− 2y + z, 5x− y + 3z, 4x+ y + 2z)
na˜o e´ todo o R3 e encontre um vetor que na˜o esta´ na imagem.
6. Seja o operador linear T : R3 → R3 dado por
T (x, y, z) = (x+ y + z, x+ y + z, x+ y + z).
Determine se T e´ diagonaliza´vel. Em caso afirmativo, determine uma base B de R3 na qual a
matriz de T seja diagonal e fornec¸a esta matriz.
7. Seja o operador linear T : R3 → R3 dado por
T (x, y, z) = (2x+ y − z, x+ 2y − z, y + z).
Determine se T e´ diagonaliza´vel. Em caso afirmativo, determine uma base B de R3 na qual a
matriz de T seja diagonal e fornec¸a esta matriz.
Gabarito
1. Os autovalores sa˜o 3 e 2, com multiplicidade 5 e 4, respectivamente. Enta˜o a matriz deve ter
5 entradas 3 e 4 entradas 2 na diagonal. Ambos os autovalores sa˜o elevados a 2 no polinoˆmio
minimal. Enta˜o o bloco elementar de maior ordem de ambos os autovalores deve ter ordem 2.
Ficamos, enta˜o, com as seguintes possibilidades:
3 0
1 3
3
3
3
2 0
1 2
2
2


3 0
1 3
3 0
1 3
3
2 0
1 2
2
2


3 0
1 3
3
3
3
2 0
1 2
2 0
1 2


3 0
1 3
3 0
1 3
3
2 0
1 2
2 0
1 2

.
2. Escrevemos H para a homotetia, R para a rotac¸a˜o e T para a reflexa˜o. Enta˜o,
[T ◦R ◦H] =
[ −1 0
0 1
][ √
3
2
−1
2
1
2
√
3
2
] [
2 0
0 2
]
=
[ −√3 1
1
√
3
]
.
3. Temos
T (1, 1, 1) = (3, 1) = 2(1, 1)− 1(−1, 1),
T (0, 1, 1) = (0,−1) = −1
2
(1, 1)− 1
2
(−1, 1),
T (0, 0, 1) = (−1,−2) = −3
2
(1, 1)− 1
2
(−1, 1).
Logo,
[T ]BA =
[
2 −1
2
−3
2−1 −1
2
−1
2
]
.
4. Se C e´ a base canoˆnica de R2, enta˜o temos as matrizes de mudanc¸a de base
[I]BC =
[
1 0
1 1
]
e [I]CB =
(
[I]BC
)−1 [ 1 0
−1 1
]
.
Da´ı
[T ]C = [I]
B
C [T ]B [I]
C
B =
[ −1 2
−3 3
]
e [
T−1
]
C = ([T ]C)
−1 =
[
1 −2
3
1 −1
3
]
.
Portanto, T−1(x, y) =
(
x− 2
3
y, x− 1
3
y
)
.
5. O vetor (a, b, c) esta´ na imagem de T se, e so´ se, satisfaz o sistema
x − 2y + z = a
5x − y + 3z = b
4x + y + 2z = c
,
ou seja, se, e so´ se, c = b− a. Logo, Im T = {(a, b, b− a) ; a, b ∈ R} 6= R3. Um vetor que na˜o
esta´ na imagem de T e´, por exemplo, (0, 0, 1).
6. O polinoˆmio caracter´ıstico de T e´ p(λ) = −λ2(λ − 3). Logo, seus autovalores sa˜o 0 (com
multiplicidade 2) e 3 (com multiplicidade 1).
O autoespac¸o S1 associado a 0 sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear
x + y + z = 0
x + y + z = 0
x + y + z = 0
,
isto e´, S1 = {(x, y,−x− y) ; x, y ∈ R} que possui B1 = {(1, 0,−1), (0, 1,−1)} como base.
O autoespac¸o S2 associado a 3 sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear
− 2x + y + z = 0
x − 2y + z = 0
x + y − 2z = 0
,
isto e´, S2 = {(x, x, x) ; x ∈ R} que possui B2 = {(1, 1, 1)} como base.
Enta˜o, B = B1∪B2 = {(1, 0,−1), (0, 1,−1), (1, 1, 1)} e´ uma base de R3 formada por autovetores
de T . Logo, T e´ diagonaliza´vel e
[T ]B =
 0 0 00 0 0
0 0 3
 .
7. O polinoˆmio caracter´ıstico de T e´ p(λ) = −(λ− 2)2(λ− 1). Logo, seus autovalores sa˜o 2 (com
multiplicidade 2) e 1 (com multiplicidade 1).
O autoespac¸o S1 associado a 2 sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear
y − z = 0
x − z = 0
y − z = 0
,
isto e´, S1 = {(x, x, x) ; x ∈ R} que possui B1 = {(1, 1, 1)} como base. Como dimS1 = 1 e´ menor
que a multiplicidade do autovalor 2, segue que T na˜o e´ diagonaliza´vel.