linear 2014 1 prova 2 gabarito

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2a Prova de A´lgebra Linear — Turma B — 09/06/2014
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
Gabarito
1) (15 pontos) Determine se a aplicac¸a˜o T : R2 → R3 dada por T (x, y) = (x2 + 2y, x+y, y) e´ linear
ou na˜o.
Uma Soluc¸a˜o
Repare que T (1, 0, 0) = (1, 1, 0) e T [2(1, 0, 0)] = T (2, 0, 0) = (4, 2, 0). Logo, na˜o e´ verdade que
T (αv) = αT (v) para todo v ∈ R2 e todo α ∈ R. Portanto, T na˜o e´ linear.
2) (15 pontos) Determine se a transformac¸a˜o linear T : R4 → R3 dada por
T (x, y, z, w) = (x+ 2z + w, x+ y + z + 2w, 2x− 2y + 6z)
e´ sobrejetora.
Uma Soluc¸a˜o
Determinemos o nu´cleo de T . Sabemos que (x, y, z, w) ∈ N (T ) se, e somente se,
T (x, y, z, w) = 0.
Esta u´ltima equac¸a˜o e´ equivalente ao sistema de equac¸o˜es lineares
x + 2z + w = 0
x + y + z + 2w = 0
2x − 2y + 6z = 0
cuja soluc¸a˜o e´ 
x = −2z − w
y = z − w
z,w ∈ R
.
Logo, N (T ) = {(−2z−w, z−w, z, w) ; z, w ∈ R} e uma base do nu´cleo e´ {(−2, 1, 1, 0), (−1,−1, 0, 1)}.
Portanto a dimensa˜o do nu´cleo de T e´ 2.
Sabemos que dimN (T ) + dim I(T ) = dimR4, onde I(T ) e´ a imagem de T . Obtemos, enta˜o,
que dim I(T ) = 2 < 3 = dimR3. Portanto, T na˜o e´ sobrejetora.
3) (15 pontos) Seja a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2, T (x, y) = (2x + y, x − y) e sejam
B = {(1, 1), (1,−1)} e D = {(1, 1), (0, 1)} bases de R2. Determine a matriz de [T ]BD.
Uma Soluc¸a˜o
Para qualquer (a, b) ∈ R2 temos (a, b) = a(1, 1) + (b− a)(0, 1). Agora, temos
T (1, 1) = (3, 0) = 3(1, 1) − 3(0, 1)
T (1,−1) = (1, 2) = 1(1, 1) − 1(0, 1) .
Logo,
[T ]BD =
[
3 1
−3 1
]
.
4) (15 pontos) Seja T : R3 → R2. Determine T (1, 2, 1) sabendo que
T (1, 1, 1) = (1, 2), T (0, 1, 1) = (2, 3) e T (0, 0, 1) = (3, 4).
Uma Soluc¸a˜o
Temos que (1, 2, 1) = 1(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1)− 1(0, 0, 1). Enta˜o,
T (1, 2, 1) = T (1(1, 1, 1) + 1(0, 1, 1)− 1(0, 0, 1))
= 1T (1, 1, 1) + 1T (0, 1, 1)− 1T (0, 0, 1)
= (1, 2) + (2, 3)− (3, 4)
= (0, 1).
5) (20 pontos) Sejam B = {(1, 1), (1,−1)} e D = {(1, 1), (0, 1)} bases de R2.
a) Determine a matriz de mudanc¸a de base [I]BD.
b) Seja T um operador linear em R2. Determine [T ]B sabendo que
[T ]D =
[
1 0
2 1
]
.
Uma Soluc¸a˜o
a) Temos que (a, b) = a(1, 1) + (b− a)(0, 1). Enta˜o,
(1, 1) = 1(1, 1) + 0(0, 1),
(1,−1) = 1(1, 1)− 2(0, 1).
Logo,
[I]BD =
[
1 1
0 −2
]
.
b) Temos
[T ]B = [I]DB [T ]D[I]
B
D.
Ale´m disso, sabemos que
[I]DB =
(
[I]BD
)−1
=

1
1
2
0 −1
2
 .
Logo,
[T ]B =

1
1
2
0 −1
2

[
1 0
2 1
] [
1 1
0 −2
]
=
[
2 1
−1 0
]
.
6) (20 pontos) Seja T : R3 → R3 dado por
T (x, y, z) = (2x+ 2y − 2z, 4x− 2z, 4x+ 2y − 4z).
Determine uma base B de R3 na qual [T ]B e´ diagonal e exiba esta matriz.
Uma Soluc¸a˜o
A matriz A de T na base canoˆnica de R3 e´
A =
 2 2 −24 0 −2
4 2 −4
 .
O polinoˆmio caracter´ıstico de T e´
p(λ) = det(A− λI) = −λ3 − 2λ2 + 4λ+ 8 = −(λ− 2)(λ+ 2)2.
Logo, seus autovalores sa˜o 2 e −2.
O autoespac¸o S2 associado a 2 e´ o conjunto das soluc¸o˜es do sistema linear homogeˆneo
2y − 2z = 0
4x − 2y − 2z = 0
4x + 2y − 6z = 0
,
ou seja, S2 = {(x, x, x) ; x ∈ R}. Uma base deste subespac¸o e´ B2 = {(1, 1, 1)}.
O autoespac¸o S−2 associado a −2 e´ o conjunto das soluc¸o˜es do sistema linear homogeˆneo
4x + 2y − 2z = 0
4x + 2y − 2z = 0
4x + 2y − 2z = 0
,
ou seja, S2 = {(x, y, 2x+ y) ; x, y ∈ R}. Uma base deste subespac¸o e´ B−2 = {(1, 0, 2), (0, 1, 1)}.
A matriz de T com relac¸a˜o a` base B = {(1, 1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 1)} e´
[T ]B =
 2 0 00 −2 0
0 0 −2
 .