AULA DE ESTATISTICA APLICADA
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AULA DE ESTATISTICA APLICADA


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segue a distribuição t-Student
com r g.l. é X \u223c t(r).
Valores aproximados de
1\u2212 P (T \u2264 t) = 1\u2212
\u222b t
\u2212\u221e
f(x)dx
para alguns valores seleccionados de r e t estão representados na Tabela A.8 do Apêndice.
Tal como a distribuição normal com parâmetros 0 e 1, esta distribuição t é também
simétrica em relação ao 0, isto é, a sua média é 0, mas a sua variância depende de g.l. e
por esta razão do tamanho da amostra r. A distribuição aproxima-se da normal padrão,
quando g.l.\u2192\u221e.
A figura 5.16 apresenta o efeito de r na forma da distribuição t-Student.
5.4.9 Distribuição F. Fisher
Por vezes, na análise de dados experimentais é preciso comparar as variâncias de duas
amostras aleatórias independentes, para nos certificarmos se as amostras foram retiradas
de distribuições com variâncias iguais.
Se s21 e s22 são as variâncias de duas amostras independentes de tamanhos respectiva-
mente iguais a n1 e n2, retiradas de duas distribuições normais com a mesma variância,
então a \u2019estatística\u2019
F =
s21
s22
86 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
V alo r d e x
f(
x
)
Figura 5.16: Distribuições t-student com r = 2, 5 e 10
segue a distribuição F de Fisher/Snedecor com parâmetros g.l.1 = n1 \u2212 1 e g.l.2 =
n2 \u2212 1.
Outra \u2019estatística\u2019 com a mesma distribuição obtém-se da seguinte maneira:
Considere duas v.a. estocasticamente independentes Q1 e Q2 com distribuições Qui-
quadrado e com, respectivamente, r1 e r2 graus de liberdade. Se definirmos uma nova
v.a.
F =
Q1/r1
Q2/r2
,
então F tem a seguinte f.d.p.
f(x) =
\u393[(r1 + r2)/2](r1/r2)
r1/2
\u393(r1/2)\u393(r2/2)
(x)
r1
2
\u22121
(1 + r1
x
r2
)(r1+r2)/2
, 0 < x <\u221e,
conhecida for distribuição F-Fisher/Snedecor.
A Tabela A.9 do Apêndice apresenta valores calculados de 1\u2212P (F \u2264 c) = 1\u2212\u222b c
0
f(x)dx
para vários valores de r1, r2 e c.
A figura 5.17 mostra a distribuição F.
A notação simplificada para representar uma v.a. X que segue a distribuição F é
X \u223c F (r1, r2).
5.5. EXERCÍCIOS 87
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
V alo r d e x
f(
x
)
Figura 5.17: Distribuição F com r1 = 10 e r2 = 5
5.5 Exercícios
1. Faça um gráfico a partir dos dados
x 1 2 3 4 10 10
y 1 3 3 5 1 11
(a) Calcule o coeficiente de correlação?
(b) Quais os factos relacionados com estes dados que são responsáveis por reduzir
a correlação a este nível, apesar da associação forte e linear existente entre a
maioria dos pontos?
(a) Utilize os valores 0.25, 0.5 e 0.8 para completar as seguintes afirmações:
- a correlação entre a altura do pai e a altura do filho adulto é
- a correlação entre a altura de uma criança de 4 anos do sexo masculino e a
sua altura aos 18 anos é de
- a correlação entre as alturas do marido e da esposa é de
(b) Para cada par de variáveis, espera que exista uma correlação forte e negativa,
forte e positiva ou fraca?
- A idade de um carro em segunda mão e o seu preço.
- O peso de um carro novo e o consumo em litros por Km.
- O peso e a altura de uma pessoa.
- A altura e o coeficiente de inteligência de uma pessoa.
2. Considere a afirmação: \u201d Quando r=0.7, quer dizer que o valor da v. Y pode ser
previsto a partir do valor de X para 70 por cento das unidades na amostra\u201d. Acha
que ela é verdadeira ou falsa? Justifique.
88 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
3. Uma experiência aleatória consiste em retirar uma carta de um baralho normal de 52
cartas. A distribuição das probabilidades atribui a probabilidade 1
52
a cada um dos
resultados possíveis. Seja C1 o acontecimento definido pelo conjunto das 13 cartas
de copas e C2 o acontecimento definido pelo conjunto dos 4 reis. Calcule P (C1),
P (C2), P (C1
\u22c2
C2) e P (C1
\u22c3
C2).
4. Joga-se uma moeda, tantas vezes quantas as necessárias, até se obter uma cara. Os
elementos ai do espaço E são c, Cc, CCc, CCCc, CCCCc, etc (c=cara, C=coroa). A
distribuição de probabilidades atribui àqueles elementos as seguintes probabilidades:
1
2
, 1
4
, 1
8
, 1
16
, 1
32
, etc.
(a) Mostre que P (E) = 1.
(b) Seja C1 o acontecimento definido por:
C1 = {c, Cc, CCc, CCCc, CCCCc};
calcule P (C1).
(c) Seja agora o acontecimento C2 definido por:
C2 = {CCCCc,CCCCCc} Calcule P (C1\u22c2C2) e P (C1\u22c3C2);
5. Sejam C1, C2 e C3 subconjuntos do espaço da amostra E. Mostre que P (C1
\u22c3
C2
\u22c3
C2) =
P (C1)+P (C2)+P (C3)\u2212P (C1\u22c2C2)\u2212P (C1\u22c2C3)\u2212P (C2\u22c2C3)+P (C1\u22c2C2\u22c2C3).
(Considere P (C1
\u22c3
C2
\u22c3
C3) = P (C1
\u22c3
(C2
\u22c3
C3))).
6. Seja X uma v.a. com f.d.p. f(x) = 2x, definida para 0 < x < 1.
Calcule P (1
2
< X < 3
4
) e P (\u22121
2
< X < 1
2
).
7. Seja f(x, y) a f.d.p. conjunta de X e Y : f(x, y) = 6x2y, definida para 0 < x < 1, 0 <
y < 1.
Calcule P (0 < X < 3
4
, 1
3
< Y < 2).
8. Considere a f.p. conjunta:
f(x, y) = 9
4x+y
, definida para x = 1, 2, 3... e y = 1, 2, 3, ...
Calcule P (X \u2264 4, 3 < Y < 6).
9. Para cada uma das funções, determine a constante c por forma a que a função f(x)
satisfaça as propriedades de uma f.d.p. de uma v.a. X,
(a) f(x) = c2
3
x, definida para x = 1, 2, 3, .....
(b) f(x) = cx exp(\u2212x), definida para 0 < x <\u221e.
10. Seja f(x) = x/15, definida para x = 1, 2, 3, 4, 5, uma f.p. da v.a. X. Determine
P (X = 1 ou 2), P (1
2
< X < 5
2
) e P (1 \u2264 X \u2264 2).
5.5. EXERCÍCIOS 89
11. Seja f(x, y) = 4xy, definida para 0 < x < 1 e 0 < y < 1 uma f.d.p. conjunta de X e
Y . Determine P (0 < X < 1
2
, 1
4
< Y < 1), P (X = Y ), P (X < Y ) e P (X \u2264 Y ).
12. A moda de uma distribuição de uma v.a. X do tipo contínuo ou discreto é o valor
de x que maximiza a f.d.p. f(x). Quando esse valor é único, chama-se moda da
distribuição. Determine as modas das distribuições:
i) f(x) = (1
2
)x, definida para x = 1, 2, 3, ...
ii) f(x) = 1
2
x2 exp(\u2212x), definida para 0 < x <\u221e.
13. A mediana de uma distribuição de uma v.a. X do tipo contínuo ou discreto é o valor
de x para o qual:
P (X < x) \u2264 1
2
e P (X \u2264 x) \u2265 1
2
.
Se for único, chamar-se-á mediana da distribuição.
Calcule a mediana de f(x) = 3x2, definida para 0 < x < 1.
14. Para cada um dos casos seguintes, calcule a função distribuição acumulada, F (x) e
represente-a graficamente:
i) f(x) = x/6, definida para x = 1, 2, 3.
ii) f(x) = 2/x3, definida para 1 < x <\u221e.
iii) f(x) = 3(1\u2212 x)2, definida para 0 < x < 1
iv) f(x) = 1/3, nos intervalos 0 < x < 1 e 2 < x < 4.
15. Dada a função de distribuição acumulada,
F (x) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
0 se x < \u22121
x+2
4
se \u22121 \u2264 x < 1
1 se x \u2265 1
calcule P (\u22121
2
< X \u2264 1
2
), P (X = 0) e P (2 < X \u2264 3).
16. Seja X uma v.a. com f.d.p. f(x) = 2(1\u2212 x), definida para 0 < x < 1. Calcule E[X],
E[X2] e a variância.
17. Considere as v.a. X e Y com f.d.p. conjunta f(x, y) = x + y, definida para 0 < x <
1, 0 < x < 1. Calcule E[XY 2].
18. Considere as v.a. X e Y com f.d.p. conjunta f(x, y) = 1/3, definida para (X, Y ) =
(0, 0), (0, 1), (1, 1).
(a) Calcule E(X \u2212 1
3
)(Y \u2212 2
3
).
90 CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
(b) Verifique se as variáveis são estocasticamente independentes.
19. Considere a f.d.p. conjunta f(x, y) = exp(\u2212x \u2212 y), definida para 0 < x < \u221e, 0 <
y <\u221e. Mostre se E[XY ] = E[X]E[Y ]. Calcule a função geradora de momentos.
20. Para cada uma das f.d.p. conjuntas das v.a. X e Y , determine as f.d.p. marginais
de X e de Y e a f.d.p. condicional de X, dado Y :
i) f(x, y) = x+y
21
, definida para x = 1, 2, 3 e y = 1, 2
ii) f(x, y) = 2, definida para 0 < x < y < 1
iii) f(x, y) = 21x2y3, definida para 0 < x < y < 1
21. Se f(x, y) = x + y, 0 < x < 1, 0 < y < 1 é a f.d.p. conjunta das v.a. X e Y ,
i) calcule a covariância de X e Y
ii) mostra que as variáveis são estocasticamente dependentes
22. Sejam X e Y v.a. contínuas cuja f.d.p. conjunta é f(x, y)
kaethe
kaethe fez um comentário
preciso das formulas do exercicio 31
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ines
ines fez um comentário
onde eu acho as formulas das resposta dos exercicios
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