AULA DE ESTATISTICA APLICADA
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AULA DE ESTATISTICA APLICADA


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a hipótese alternativa H11: de que existem diferenças entre os níveis de A e o
teste consiste em
rejeitar H01 se F1 > c
com c determinado de
\u3b1 = Pr[F1 > c;H01] .
ii) Para testar a hipótese nula de que não existem diferenças significativas entre os níveis
do factor B,
H02 : \u3b21 = \u3b22 = ... = \u3b2q = 0
contra a hipótese alternativa H12: de que existem diferenças devidas aos efeitos de
B e o teste é baseado na \u2019estatística\u2019 F2 e consiste em
rejeitar H02 se F2 > c .
A variável F2 é distribuída segundo F com (q\u22121) e (p\u22121)(q\u22121) graus de liberdade.
Para comparar as médias das populações para os níveis i e j do factor A conservando
fixo um nível k do factor B, comparam-se os valores esperados,
(média do - (média do = µ+ \u3b1i + \u3b2k \u2212 (µ+ \u3b1j + \u3b2k) = \u3b1i \u2212 \u3b1j
nível i) nível j)
de A de A
para todos os níveis k de B, pois a diferença é a mesma qualquer que seja o nível de
B (k = 1, ..., q). Esta propriedade está representada na figura 7.2 (a), em que a diferença
entre duas das curvas é constante para todos os níveis de B.
Para determinar intervalos de confiança para a diferença \u3b1i \u2212 \u3b1j usa-se um processo
idêntico ao que foi usado no planeamento com blocos aleatórios.
Pode acontecer, que a diferença entre as médias dos níveis i e j do factor A seja positiva
para uns níveis de B e negativa para outros. O comportamento (em média) dos níveis do
factor A é então dependente do nível do factor B e diz-se que os factores interagem. A
representação gráfica desta situação está na figura 7.2.
Em geral ocorrem interacções entre factores e torna-se bastante importante o reco-
nhecimento da sua presença. Para estes problemas, não é permitido o uso do modelo
populacional do tipo aditivo para descrever o planeamento.
Modelo populacional multiplicativo
O modelo anterior (aditivo) pode ser estendido, com a inclusão de mais um termo que
representa a interacção do nível i do factor A com o nível j do factor B. Esse termo passa
a ser o \u3b3ij. Assim, o modelo do tipo multiplicativo é:
134 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
Figura 7.2: Efeitos entre níveis de factores (a) sem interacção; (b) com interacção
yij = µ + \u3b1i + \u3b2j + \u3b3ij + eij .
para i = 1, ..., p e j = 1, ..., q. Um planeamento factorial pq com uma só replicação não
permite fazer inferências sobre os efeitos de ambos os factores e da interacção. Portanto,
quando a componente interacção é incluída no modelo, torna-se necessário o uso de mais do
que uma replicação no planeamento factorial pq. Com r replicações, o planeamento resul-
tante chama-se planeamento factorial pq com r replicações. Ao todo serão necessárias
rpq unidades experimentais para testar os pq tratamentos.
Se yijk for o resultado da observação número k (k = 1, ..., r), para r replicações, do
tratamento definido pelos níveis i de A e j de B, em que A e B são os dois factores a
estudar, a tabela com as observações tem a seguinte forma:
B1 B2 ... Bq média do
nível de A
A1 y111, y112, ..., y11r y121, ..., y12r ... y1q1, ..., y1qr y1..
A2 y211, y212, ..., y21r y221, ..., y22r ... y2q1, ..., y2qr y2..
... ... ... ...
Ap yp11, yp12, ..., yp1r yp21, ..., yp2r ... ypq1, ..., ypqr yp..
média do
nível de B y.1. y.2. y.q. Y
A decomposição da variação da observação em relação à grande média, inclui quatro
termos, um devido ao factor A, outro devido ao factor B, outro devido à interacção entre
A e B e outro ao resíduo,
7.4. TESTE ÀS MÉDIAS DE K DISTRIBUIÇÕES 135
yijk \u2212 Y = (yi.. \u2212 Y ) + (y.j. \u2212 Y ) + (yij. \u2212 yi.. \u2212 y.j. + Y ) +
variação variação variação devida
devida devida à interacção
ao factor A ao factor B
+ (yijk \u2212 yij.)
resíduo
A soma dos quadrados das variações devidas ao factor A é
SQFA = qr
p\u2211
i=1
(yi.. \u2212 Y )2 , (7.28)
a soma dos quadrados das variações devidas ao factor B é
SQFB = pr
q\u2211
j=1
(y.j. \u2212 Y )2 , (7.29)
a soma dos quadrados das variações devidas à interacção entre A e B é dada por
SQIAB = r
p\u2211
i=1
q\u2211
j=1
(yij. \u2212 yi.. \u2212 y.j. + Y )2 , (7.30)
e a soma dos quadrados dos resíduos é
SQR =
p\u2211
i=1
q\u2211
j=1
r\u2211
k=1
(yijk \u2212 yij.)2 . (7.31)
Finalmente, a soma total dos quadrados é
STQ =
p\u2211
i=1
q\u2211
j=1
r\u2211
k=1
(yijk \u2212 Y )2 . (7.32)
e
STQ = SQFA + SQFB + SQIAB + SQR .
Se considerarmos os yijk como normalmente distribuídos com variância comum \u3c32 pode-
mos definir as seguintes variáveis, SQFA
\u3c32
cuja distribuição é \u3c72(p\u22121), SQFB
\u3c32
que é \u3c72(q\u22121),
SQIAB
\u3c32
que é \u3c72((p \u2212 1)(q \u2212 1)). Como STQ
\u3c32
\u223c \u3c72(pqr \u2212 1), também, de acordo com o
Teorema das Formas Quadráticas SQR
\u3c32
\u223c \u3c72(pq(r \u2212 1)).
A tabela ANOVA para este tipo de planeamento factorial pq com r replicações é,
fonte soma dos graus de média dos v.a. F
quadrados liberdade quadrados
factor A SQFA p\u2212 1 MQFA = SQFAp\u22121 F1 = MQFAMQR
factor B SQFB q \u2212 1 MQFB = SQFBq\u22121 F2 = MQFBMQR
iteracção A×B SQIAB (p\u2212 1)(q \u2212 1) MQIAB = SQIAB(p\u22121)(q\u22121) F3 = MQIABMQR
erro SQR pq(r \u2212 1) MQR = SQRpq(r\u22121)
TOTAL STQ pqr \u2212 1
136 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
Testes de hipóteses
Para testar a hipótese, de que não existem diferenças significativas entre os níveis de
A, a hipótese nula é
H01 : \u3b11 = \u3b12 = ... = \u3b1p = 0
contra a hipótese alternativa H11: de que existem diferenças significativas entre os níveis
de A, o teste baseia-se na \u2019estatística\u2019 F1 e consiste em
rejeitar H01 se F1 > c
com c determinado de
\u3b1 = Pr[rejeitar H01;H01] = [F1 > c;H01]
sendo F1 distribuída segundo F com (p\u2212 1) e pq(r \u2212 1) graus de liberdade.
Para testar a hipótese, de que não existem diferenças significativas entre os níveis de
B, a hipótese nula é
H02 : \u3b21 = \u3b22 = ... = \u3b2q = 0
contra a hipótese alternativa H12: de que existem diferenças significativas entre os níveis
de B, o teste baseia-se na \u2019estatística\u2019 F2 e consiste em
rejeitarH02 se F2 > c
com c determinado de \u3b1 = Pr[F2 > c;H02], com F2 distribuída segundo F com (q \u2212 1) e
pq(r \u2212 1) graus de liberdade.
Finalmente, para testar a hipótese nula
H03 : \u3b311 = \u3b312 = ... = \u3b321 = ... = \u3b3pq = 0
da não existência de efeitos significativos da interacção entre os dois factores A e B, contra
a hipótese alternativa H13: da existência desses efeitos, o teste baseia-se na \u2019estatística\u2019 F3,
cuja distribuição é F - Fisher com (p \u2212 1)(q \u2212 1) e pq(r \u2212 1) graus de liberdade. O teste
consiste em
rejeitar H03 se F3 > c
com c determinado de
\u3b1 = Pr[F3 > c;H03]
sendo \u3b1 o nível de significância escolhido para o teste.
Obs: Se o efeito da interacção for considerado significativo, isto é, se H03 for rejeitada,
nunca se poderá concluir que o efeito principal de cada um dos factores não é signi-
ficativo.
7.4. TESTE ÀS MÉDIAS DE K DISTRIBUIÇÕES 137
7.4.6 Planeamento factorial a dois níveis, 22 e 23
Quando cada factor no planeamento aparece apenas com 2 níveis, o planeamento passa a
chamar-se factorial a dois níveis. É costume usar este tipo de planeamento nas situações
em que um número elevado de factores podem influenciar os resultados.
Planeamento 22
Neste tipo de planeamento factorial a dois níveis, são testados 2 factores, cada um deles
com 2 níveis. O número de tratamentos é igual a 4.
A análise deste tipo de planeamento vem simplificada se atribuirmos o valor -1 ao nível
inferior e +1 ao nível superior de cada factor. As diferentes combinações de níveis dão
origem aos tratamentos e os resultados da experiência podem ser apresentados na tabela,
tratamentos factor factor A×B observações médias dos
A B interacção (r replicações) tratamentos
T1 - - + y11 y12 ... y1r y1
T2 + - - y21 y22 ... y2r y2
T3 - + - y31 y32 ... y3r y3
T4 + + + y41 y42 ... y4r y4
Estimativa dos efeitos principais
Se usarmos esta notação, a análise deste planeamento é muito simples. Assim, o efeito
principal devido ao factor A pode ser estimado pela média das variações de A,
eeA =
(y2 \u2212 y1) + (y4 \u2212 y3)
2
, (7.33)
(eeA \u2261efeito
kaethe
kaethe fez um comentário
preciso das formulas do exercicio 31
1 aprovações
ines
ines fez um comentário
onde eu acho as formulas das resposta dos exercicios
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