AULA DE ESTATISTICA APLICADA
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AULA DE ESTATISTICA APLICADA


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se
|Si \u2212 Sj | > c
\u221a
2b(STQ\u2212 SQT )
(b\u2212 1)(k \u2212 1) (7.48)
sendo c o ponto crítico da distribuição t-Student, da tabela A.8, com (b\u2212 1)(k \u2212 1) graus
de liberdade que corresponde a uma região de rejeição de tamanho \u3b1, sendo \u3b1 o nível de
significância usado para o teste do Quade.
7.4.11 Amostras relacionadas. Planeamento com blocos incom-
pletos. Teste de Durbin.
Já vimos que os planeamentos, em que nem todos os tratamentos são aplicados em cada
bloco, se chamam planeamentos com blocos incompletos. Por sua vez, se o planeamento é
ajustado por forma a que
1) cada bloco contenha t unidades experimentais,
2) cada tratamento apareça em r blocos, e
3) cada par de tratamentos seja testado um número igual de vezes.
Então o planeamento diz-se ajustado e com blocos incompletos. Para um planeamento
deste tipo o teste de Durbin, baseado em graduações, pode ser usado para testar a
hipótes nula de que não existem diferenças entre os tratamentos.
O teste de Durbin deve ser preferido ao teste paramétrico, baseado na Análise da
Variância, se as condições de normalidade não se verificarem, se for desejável um método
de análise simples, ou se as observações apresentarem a forma de graduações.
As variáveis k, t (t < k), b, r (r < b) e \u3bb têm significado idêntico ao descrito em
7.4.4.
Seja yij(i = 1, ..., b, j = 1, ...k) o resultado da aplicação do tratamento j no bloco i, (se
o tratamento j aparece no bloco i).
7.4. TESTE ÀS MÉDIAS DE K DISTRIBUIÇÕES 151
A atribuição de graduações é feita da seguinte maneira:
-Dentro de cada bloco i (i = 1, 2, ..., b), atribuem-se graduações Rij aos valores yij.
Existem t graduações em cada bloco.
A soma das graduações atribuídas aos r valores observados com a aplicação do trata-
mento j define a \u2019estatística\u2019 Rj,
Rj =
b\u2211
i=1
Rij , j = 1, ..., k (7.49)
embora somente r valores de Rij existam, em cada tratamento j.
Teste de hipótese
As hipóteses são:
H0 : Os tratamentos têm efeitos idênticos. (As graduações das variáveis aleatórias, dentro
de cada bloco, são igualmente prováveis).
H1 : Pelo menos um tratamento tem tendência a produzir valores observados maiores do
que os de um outro tratamento.
A \u2019estatística\u2019 para o teste de Durbin é definida por
T2 =
12(k \u2212 1)
rk(t\u2212 1)(t + 1)
k\u2211
j=1
(Rj \u2212 r(t + 1)
2
)2 (7.50)
Ao nível de significância \u3b1,
a H0 é rejeitada se T2 > c ,
sendo c o ponto crítico da distribuição assimptótica de T2, \u3c72 com k\u22121 graus de liberdade
(Tabela A.7), que define uma região de rejeição de tamanho \u3b1.
Comparações múltiplas
Se a hipótese nula for rejeitada, podemos comparar pares de tratamentos. Os tra-
tamentos i e j consideram-se significativamente diferentes se a diferença, entre as somas
das graduações atribuídas às observações provenientes da aplicação dos tratamentos i e j,
satisfaz
|Rj \u2212 Ri| > c
\u221a
r(t + 1)(t\u2212 1)[bt(k \u2212 1)\u2212 kT ]
6(k \u2212 1)(bt\u2212 k \u2212 b + 1) (7.51)
em que c é o ponto crítico da distribuição t - Student com (bt\u2212k\u2212b+1) graus de liberdade,
que corresponde a uma região de rejeição de tamanho \u3b1 e T é o valor da \u2019estatística\u2019 do
teste.
152 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
Se existir um número bastante elevado de observações repetidas, usa-se o seguinte
método:
Determina-se a variância das graduações atribuídas, em cada bloco,
s2i =
1
t
t\u2211
j=1
[Rij \u2212 t + 1
2
]2, i = 1, 2, ..., b (7.52)
sendo E[Rij ] = t+12 .
Nota: Se no bloco não existirem observações repetidas, s2i = (t\u2212 1)(t + 1)/12.
A variância da soma das graduações atribuídas aos valores observados vindos da apli-
cação do tratamento j, Rj , pode ser calculada através de
var[Rj] =
b\u2211
i=1
var(Rij) =
\u2211
r blocos
s2i (7.53)
(j = 1, ..., k), que, juntamente com o valor esperado
E[Rj ] =
b\u2211
i=1
E[Rij ] =
r(t + 1)
2
(7.54)
são usados para calcular a \u2019estatística\u2019 T2, de acordo com a expressão:
T2 =
k \u2212 1
k
k\u2211
j=1
(Rj \u2212E[Rj ])2
var[Rj ]
(7.55)
cuja distribuição assimptótica é \u3c72 com k \u2212 1 graus de liberdade.
7.5. EXERCÍCIOS 153
7.5 Exercícios
1. Deverá decidir quais das duas distribuições discretas descreve o comportamento de
uma variável aleatória X. Chamaremos às distribuições p0(x) e p1(x). As probabili-
dades associadas a cada valor de X = x são, nos dois modelos, as seguintes:
x 0 1 2 3 4 5 6
p0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.3
p1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1
Observe a variável X uma única vez e formule:
H0 : p0 é a distribuição correcta
H1 : p1 é a distribuição correcta
Um procedimento possível de decisão consiste em não rejeitar H0 se X = 4 ou X = 6
e rejeitar H0 nos outros casos.
(a) Determine a probabilidade de cometer um erro do tipo I;
(b) Determine a probabilidade de cometer um erro do tipo II.
2. Suponha que a variável aleatória Y , vida de um pneu, em milhas, segue a distribuição
normal com média \u3b8 e desvio padrão 5000. A experiência anterior mostra que \u3b8 =
30000. O fabricante de pneus, tem um processo novo para fazer pneus e afirma que
a média da vida dos pneus novos é \u3b8 > 30000, possivelmente \u3b8 = 35000.
Para verificar esta afirmação, considere H0 : \u3b8 \u2264 30000 e H1 : \u3b8 > 30000.
Depois de observados os n elementos de uma amostra aleatória e com o teste: rejeitar
H0 se Y \u2265 c, determine n e c de modo a que a função potência do teste K(\u3b8) tome
os seguintes valores,
K(30000) = 0.01 e K(35000) = 0.98 .
3. De uma amostra casual de 100 horas, uma máquina produziu em média, 678 artigos
por hora com um desvio padrão de 25.
Depois de ter sido introduzido um esquema de controle, a máquina passou a produzir
em média 674 artigos com desvio padrão de 5, tirada de uma amostra aleatória de
500 horas.
O administrador da empresa afirma que o esquema de controle, reduziu a produção.
O sindicato, no entanto, afirma que os 4 artigos a menos na média calculada, são
devidos a flutuações estatísticas.
(a) Calcule a função potência, quando a hipótese nula é verdadeira.
154 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
(b) Se o nível de significância for 1%, considerar-se-á a afirmação da administração
ou do sindicato?
4. Suponha que é conhecido pela experiência que o desvio padrão do peso de 8 g. de
bolos fabricados por uma certa padaria é 0.18 g. Para verificar se a produção está
sobre controle, isto é, para verificar se o verdadeiro peso médio dos pacotes é de 8
g., foi extraída uma amostra aleatória de 25 pacotes sendo a sua média X = 8.112 g.
Uma vez que a padaria perde dinheiro quando µ > 8 e os clientes o perdem quando
µ < 8, teste a hipótese nula µ = 8 contra a hipótese alternativa µ \ufffd= 8 usando
\u3b1 = .01. Considere um modelo normal.
5. Experimentou-se uma nova máquina de enchimento estéril de frascos de antibióticos,
obtendo-se para os 33 frascos, o peso médio de 1 093 mg e um desvio padrão de 36
mg. Pelo processo de enchimento manual, uma amostra de 30 frascos deu o peso
médio de 1 122 mg e um desvio padrão de 23 mg. Acha que existe uma diferença
significativa entre as médias dos pesos obtidos pelos dois processos?
6. Os teores de nicotina de duas marcas de cigarros estão a ser medidos. Se numa
experiência 50 cigarros da marca A têm um teor médio de nicotina de Y 1 = 2, 61
mg com um desvio padrão de s1 = 0.12 mg enquanto que 40 cigarros da marca B
têm um teor médio de nicotina Y 2 = 2.38 mg com um desvio padrão de s2 = 0.14
mg, teste a hipótese nula µ1 \u2212 µ2 = 0.2 contra a hipótese alternativa µ1 \u2212 µ2 \ufffd= 0.2,
usando \u3b1 = 0.05.
7. Na comparação de dois tipos de tinta constatou-se que com 4 latas de tinta de uma
marca se pintou em média uma superficie de 512cm2 com um desvio padrão de 31cm2,
enquanto que com a mesma quantidade de outra tinta se conseguiu pintar em média
uma superficie de 492cm2 com um desvio padrão de 26cm2. Teste a hipótese nula
µ1 \u2212 µ2 = 0 contra a hipótese alternativa µ1 \u2212 µ2 \ufffd= 0, a um nível de significância
\u3b1 = 0.05. Considere que as duas populações
kaethe
kaethe fez um comentário
preciso das formulas do exercicio 31
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ines
ines fez um comentário
onde eu acho as formulas das resposta dos exercicios
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