AULA DE ESTATISTICA APLICADA
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AULA DE ESTATISTICA APLICADA


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77
+ + + 80, 80
(a) Construa a tabela ANOVA.
(b) Usando intervalos de confiança, o que pode concluir sobre os efeitos dos factores?
21. Cinco operadores trabalham com 5 máquinas para produzir alfinetes. Os operadores
afirmam que as máquinas são diferentes, relativamente à capacidade de produção.
Assim, os prémios de produtividade que recebem vão depender da máquina com que
trabalham e não do esforço e eficiência do operador.
Foi feita uma experiência, na qual, cada operador vai trabalhar com cada uma das
máquinas, uma por cada dia da semana. Os operadores são identificados pelas letras
A a E. Os resultados da experiência, apresentados na tabela, representam o \u2019output\u2019
diário, (número de artigos).
160 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
Máquina
dia da semana 1 2 3 4 5
2 feira B 257 E 230 A 279 C 287 D 202
3 \u201d D 245 A 283 E 245 B 80 C 260
4 \u201d E 182 B 252 C 280 D 246 A 25
5 \u201d A 203 C 204 D 227 E 193 B 259
6 \u201d C 231 D 271 B 266 A 334 E 338
Analise a experiência, e diga se os efeitos operador e dia da semana mostram uma
variação significativa.
22. Três grupos de pessoas pertencentes às chamadas classes baixa, média e alta foram
entrevistadas e foi-lhes solicitado que indicassem numa escala a sua opinião relativa
à concessão de mais direitos à mulher na sociedade.
Os resultados obtidos foram os seguintes:
Classe baixa 5 5 6 4 5 6 7 4
Classe média 8 10 6 6 5 4 3 9
Classe alta 10 12 9 9 10 10 6 12
Tire as conclusões que os dados permitem, sabendo-se que quanto maior é o valor
da escala mais favorável é a atitude do entrevistado em relação ao tema. Justifique
a utilização do teste estatístico.
23. A freguesia de StoAntónio da cidade de Vila Velha tem dois bairros habitacionais.
De cada bairro, seleccionaram-se aleatoriamente 20 casas e foram-lhes atribuídas
classificações de 0 a 10 dependendo do estado de degradação das casas (0 \u2261 estado
novo, ..., 10 \u2261 casa degradada). Os resultados da experiência foram os seguintes:
Bairro da Sé Bairro Canoa
0 3 7 9
4 2 4 7
4 4 7 9
6 4 0 3
0 0 3 3
8 3 6 8
7 6 1 2
4 0 4 7
1 8 1 8
5 9 2 3
Faça uma lista de todos os testes não paramétricos que poderia usar na análise
destes dados, para detectar diferenças entre o estado de degradação das casas nos
7.5. EXERCÍCIOS 161
dois bairros. Diga quais as vantagens e inconvenientes de cada teste. Seleccione o
que acha melhor para este caso, e teste a hipótese de que não existem diferenças
significativas entre o estado de degradação das casas dos dois bairros.
24. Foram seleccionados sete armazéns por uma inspecção de vendas. Foram colocadas,
lado a lado na mesma prateleira e em cada armazém, cinco marcas diferentes de
creme para as mãos.
No fim da semana, registou-se o número de garrafas vendidas de cada marca, em
cada armazém.
marca
armazém A B C D E
1 5 4 7 10 12
2 1 3 1 0 2
3 16 12 22 22 35
4 5 4 3 5 4
5 10 9 7 13 10
6 19 18 28 37 58
7 10 7 6 8 7
Face a estes dados, acha que existem diferenças significativas quanto às preferências
dos consumidores em relação às marcas do creme.
25. Um fabricante de gelados pretende saber as preferências das pessoas em relação às
sete variedades (de sabor) de gelados.
É pedido a cada pessoa que experimente três variedades e classifique-as de 1 a 3, (a
graduação 1 será atribuída à variedade preferida, etc.).
As graduações, resultantes da experiência feita com sete pessoas, são as seguintes:
Variedade
Pessoa \u201d1\u201d \u201d2\u201d \u201d3\u201d \u201d4\u201d \u201d5\u201d \u201d6\u201d \u201d7\u201d
A 2 3 1
B 3 1 2
C 2 1 3
D 1 2 3
E 3 1 2
F 3 1 2
G 3 1 2
Teste a hipótese nula, de que nenhuma das variedades de gelados é mais preferida do
que as outras.
162 CAPÍTULO 7. TESTES ÀS MÉDIAS DAS DISTRIBUIÇÕES
Capítulo 8
Testes às proporções
8.1 Teste às proporções de duas binomiais
SejamX1 eX2 duas variáveis aleatórias distribuídas segundo a lei binomial com parâmetros
respectivamente iguais a p1, n1 e p2, n2, sendo pi a proporção de unidades da população i,
que possuem certa característica e ni o tamanho da amostra retirada da população.
8.1.1 Teste à proporção p1
Para testar a hipótese nula de que p1 é igual a um valor especificado K, considere
Caso A:
H0 : p1 = K
contra a hipótese alternativa bilateral
H1 : p1 \ufffd= K.
Caso B.
H0 : p1 = K
contra a hipótese alternativa unilateral
H1 : p1 > K.
Seja X1 o número de elementos, da amostra de tamanho n1, que possuem a tal carac-
terística. Então a \u2019estatística\u2019
p\u302 =
X1
n1
serve de estimador pontual para p1. Para grandes amostras n1, a \u2019estatística\u2019 do teste
Z =
(p\u302\u2212 p1)\u221a
p\u302(1\u2212p\u302)
n1
,
tem uma distribuição assimptótica N(0,1). Assim, o teste é
Caso A:
Se |Z| > c, rejeita-se H0.
Caso B:
163
164 CAPÍTULO 8. TESTES ÀS PROPORÇÕES
Se Z > c\u2032, rejeita-se H0.
c e c\u2032 são os pontos críticos da distribuição da \u2019estatística\u2019 (Tabela A.6) que definem a
região de rejeição de tamanho (área) \u3b1. O valor \u3b1 será o nível de significância do teste.
8.1.2 Teste à diferença de duas proporções
Para testar a hipótese nula de que as proporções p1 e p2 das duas binomiais são iguais,
considere
Caso A:
H0 : p1 \u2212 p2 = 0
contra a hipótese alternativa bilateral
H1 : p1 \u2212 p2 \ufffd= 0.
Caso B:
H0 : p1 \u2212 p2 = 0
contra a hipótese alternativa unilateral
H1 : p1 \u2212 p2 > 0.
Seja X1 o número de elementos da amostra, de tamanho n1, retirada da 1a população
e X2 o número de elementos da amostra, de tamanho n2, retirada da 2a população que
possuem a tal característica. Então as \u2019estatísticas\u2019
p\u3021 =
X1
n1
e p\u3022 =
X2
n2
serão usadas para definir estimadores pontuais, respectivamente para p1 e p2. Para grandes
amostras n1 e n2, a \u2019estatística\u2019 do teste
Z =
(p\u3021 \u2212 p\u3022)\u2212 (p1 \u2212 p2)\u221a
p\u3021(1\u2212p\u3021)
n1
+ p\u3022(1\u2212p\u3022)
n2
tem distribuição assimptótica N(0,1), sendo o teste
Caso A:
Se |Z| > c, rejeita\u2212 se H0.
Caso B:
Se Z > c\u2032, rejeita\u2212 se H0.
com c e c\u2032 os pontos críticos da distribuição da \u2019estatística\u2019 Z (Tabela A.6) que definem
a região de rejeição de tamanho (área) \u3b1. O valor \u3b1 será o nível de significância do teste.
8.2 \u2019Estatística\u2019 dos testes do Qui-Quadrado
Alguns casos de variáveis aleatórias com distribuições assimptóticas Qui-quadrado:
i) Se X1 for uma v.a. distribuída segundo a lei binomial, com parâmetros n e p1, então
a v.a.
Z =
X1 \u2212 np1\u221a
np1(1\u2212 p1)
8.2. \u2019ESTATÍSTICA\u2019 DOS TESTES DO QUI-QUADRADO 165
tem distribuição assimptótica N(0,1) e a distribuição limite de Q = Z2 é \u3c72(1).
ii) Se X2 = n\u2212X1 e p2 = 1\u2212 p1, então a \u2019estatística\u2019
Q = Z2 =
(X1 \u2212 np1)2
np1(1\u2212 p1) ,
com distribuição \u3c72(1), pode ser reescrita na forma:
Q =
(X1 \u2212 np1)2
np1
+
(X1 \u2212 np1)2
n(1\u2212 p1)
ou, substituindo X1 = n\u2212X2 e 1\u2212 p1 = p2 no 2o termo da expressão,
Q = Z2 =
(X1 \u2212 np1)2
np1
+
(X2 \u2212 np2)2
np2
=
2\u2211
i=1
(Xi \u2212 npi)2
npi
.
iii) Generalizando o caso anterior, se X1, X2, ...Xk\u22121 forem v.a. com f.d.p. conjunta
multinomial e com parâmetros n, p1, p2, ..., pk\u22121 e se
Xk = n\u2212 (X1 + X2 + ... + Xk\u22121)
e
pk = 1\u2212 (p1 + p2 + ... + pk\u22121),
então a variável aleatória Qk\u22121, definida por
Qk\u22121 =
k\u2211
i=1
(Xi \u2212 npi)2
npi
(8.1)
tem uma distribuição que se aproxima da \u3c72(k\u22121), quando n\u2192\u221e.
Esta variável aleatóriaQk\u22121 vai servir de base para certos testes de hipóteses estatísticas.
Uma das aplicações da \u2019estatística\u2019 Qk\u22121 consiste em verificar se duas distribuições
multinomiais são idênticas.
Assim, considere duas distribuições multinomiais independentes com parâmetros n.1, p11, p21, ..., pk1
e n.2, p12, p22, ..., pk2.
Se Xi1 e Xi2 para i = 1, ..., k forem respectivamente as frequências observadas das duas
distribuições de tal forma que
n.1 =
k\u2211
i=1
Xi1 e n.2 =
k\u2211
i=1
Xi2
166 CAPÍTULO 8. TESTES ÀS PROPORÇÕES
TOTAL
X11 X21 X31 ... Xk1 n.1
X12 X22 X32 ... Xk2 n.2
e se n.1 e n.2 forem suficientemente grandes, a
variável aleatória
Q =
2\u2211
j=1
(
k\u2211
i=1
(Xij \u2212 n.jpij)2
n.jpij
kaethe
kaethe fez um comentário
preciso das formulas do exercicio 31
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ines
ines fez um comentário
onde eu acho as formulas das resposta dos exercicios
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