AULA DE ESTATISTICA APLICADA
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AULA DE ESTATISTICA APLICADA


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de tamanhos iguais a n. As distribui-
ções empíricas são, respectivamente, S1(x), S2(x), ..., Sk(x), e as funções de distribuição
F1(x), F2(x), ..., Fk(x) representam as k populações, desconhecidas, As amostras aleatórias
devem ser independentes umas das outras. As variáveis devem ser contínuas, para que
o teste seja exacto. Caso contrário, torna-se conservador. A escala de medições é, pelo
menos, ordinal.
As hipóteses são as seguintes:
H0 : F1(x) \u2264 F2(x) \u2264 ... \u2264 Fk(x) para todo o x
H1 : Fi(x) > Fj(x) para algum i < j e algum x
(A amostra i tende a ter valores mais elevados do que os da amostra j, para algum
i < j).
A hipótese nula pode ser interpretada como:
9.4. TESTES ÀS VARIÂNCIAS 185
- todas as amostras foram retiradas de populações idênticas, uma vez que este teste
unilateral é apropriado para os casos em que as diferenças entre populações ocorrem
somente na direcção indicada por H1.
A \u2019estatística\u2019 deste teste, T2, é definida como sendo a maior das distâncias, medidas
na vertical, calculadas quando Si(x) está acima (tem valores mais elevados) de Si+1(x). As
amostras adjacentes comparadas correspondem aos i\u2032s que vão de 1 a k \u2212 1. Isto é,
T2 = supx,i<k[ Si(x)\u2212 Si+1(x) ] (9.10)
e a hipótese nula é rejeitada se T2 > c, sendo c o ponto crítico, que corresponde a p = 1\u2212\u3b1,
obtido da Tabela A.16, ao nível de significância \u3b1. As entradas da tabela são: k, número
de distribuições e n, o tamanho da amostra (igual para todas as populações). A leitura na
coluna de p = 1\u2212 \u3b1 deve ser dividida por n para dar o ponto crítico c.
9.4 Testes às variâncias
9.4.1 Teste à variância \u3c32
Seja X uma variável aleatória com distribuição normal com média µ e variância \u3c32, des-
conhecida. Se da população se retirar uma amostra de tamanho n, X1, X2, X3, ..., Xn, a
\u2019estatística\u2019 variância da amostra,
s2 =
1
n\u2212 1
n\u2211
i=1
(Xi \u2212X)2
serve de estimador pontual para \u3c32.
Para testar a hipótese nula de que a variância da distribuição é igual a um valor espe-
cificado K, considere
H0 : \u3c3
2 = K
contra a seguinte hipótese alternativa unilateral
H1 : \u3c3
2 > K.
A \u2019estatística\u2019 do teste é
Q =
(n\u2212 1)s2
\u3c32
que segue a distribuição \u3c72 com n\u2212 1 graus de liberdade. O TESTE consiste em:
rejeitar a hipótese nula se Q > c
com c o ponto crítico da distribuição da \u2019estatística\u2019 Q (Tabela A.7) que define a re-
gião de rejeição de tamanho (área) \u3b1. O valor \u3b1 será o nível de significância do teste.
Também é possível fazer um teste estatístico em que a hipótese alternativa seja bilateral
(H1 : \u3c3
2 \ufffd= K). O teste estatístico seria então bilateral:
rejeitar a hipótese nula se Q < c1 ou Q > c2.
186 CAPÍTULO 9. TESTES DE AJUSTE DE DISTRIBUIÇÕES
9.4.2 Teste à razão de duas variâncias
Para testar a hipótese nula de que as variâncias \u3c321 e \u3c322 de duas distribuições normais são
iguais (\u3c321 = \u3c322 = \u3c32), considere:
H0 :
\u3c321
\u3c322
= 1
contra a seguinte hipótese alternativa unilateral
H1 :
\u3c321
\u3c322
> 1.
SejaX1, X2, ..., Xn1 uma amostra de tamanho n1, retirada da 1a população; Y1, Y2, ..., Yn2
uma amostra de tamanho n2, retirada da 2a população. As \u2019estatísticas\u2019 s21 e s22 são usadas
como estimadores pontuais, respectivamente, dos parâmetros \u3c321 e \u3c322 . A partir delas é
possível definir as seguintes variáveis estocasticamente independentes, com distribuição \u3c72
com n1 \u2212 1 e n2 \u2212 1 graus de liberdade, respectivamente:
Q1 =
(n1 \u2212 1)s21
\u3c321
,
Q2 =
(n2 \u2212 1)s22
\u3c322
.
Nestas condições, podemos definir a \u2019estatística\u2019
F =
(n1\u22121)s21
\u3c321
/(n1 \u2212 1)
(n2\u22121)s22
\u3c322
/(n2 \u2212 1)
=
s21
s22
,
que, de acordo com a hipótese nula, segue a distribuição F-Fisher com (n1 \u2212 1, n2 \u2212 1)
graus de liberdade. O teste unilateral consiste em:
rejeitar a hipótese nula se F > c
sendo c o ponto crítico da distribuição da \u2019estatística\u2019 F - F-Fisher com (n1 \u2212 1, n2 \u2212 1)
graus de liberdade (Tabela A.9) - que define a região de rejeição de tamanho (área) \u3b1. O
valor \u3b1 será o nível de significância do teste. Neste teste às variâncias também podia ser
formulada uma hipótese alternativa bilateral (H1 :
\u3c321
\u3c322
\ufffd= 1). O correspondente teste teria
de ser também bilateral.
9.5. EXERCÍCIOS 187
9.5 Exercícios
1. Foi registado o número de nascimento num hospital, durante os quatro períodos
do ano, Jan-Março, Abril-Junho, Julho-Set e Out-Dezembro. Diz-se que durante o
período de Jan-Março nascem duas vezes mais crianças do que nos outros períodos.
Verifique se os dados obtidos na experiência, contradizem a afirmação.
Períodos Jan-Mar Abril-Jun Jul-Set Out-Dez
Node nascimentos 110 57 53 80
2. Caixas de mercadoria de um certo tipo foram expostas ao risco de acidentes sob a
acção de tempestades, gelo, fogo, queda, etc, por um período de 400 dias.
O número de acidentes com cada caixa é uma variável aleatória X que se afirma seguir
a distribuição de Poisson. Verifique se os dados da experiência efectuada, registados
na tabela, fundamentam a afirmação
Node acidentes, X 0 1 2 3 4 5 6
Node recipientes
com X acidentes 1 448 805 206 34 4 2 1
3. Fez-se um estudo relativo aos defeitos apresentados por peça de um tecido e obtiveram-
se os seguintes valores:
Distribuição dos Defeitos por peça de tecido
Defeitos Frequência
0 8
1 10
2 15
3 12
4 10
5 9
6 4
7 1
8 0
9 1
10 0
Faça uma análise estatística destes resultados.
4. Examinando os registos de uma agência de venda de automóveis (camiões), verificou-
se que, em 70 dias houve vendas diárias de um só camião, em 60 dias venderam-se 2
188 CAPÍTULO 9. TESTES DE AJUSTE DE DISTRIBUIÇÕES
camiões, em 40 dias venderam-se diariamente 3 camiões e em 30 dias, 4 camiões.
Camiões vendidos por dia Número de dias
1 70
2 60
3 40
4 30
Considerando, primeiro \u3b1 = 0.01 e depois \u3b1 = 0.05, teste a hipótese de que a procura
de camiões é uniformemente distribuída.
5. No estudo da velocidade dos fios, efectuou-se a contagem do número de fibras soltas
por mm, de comprimento.
Ajuste uma curva exponencial à distribuição dos comprimentos das fibras soltas de
um fio de lã, usado na experiência. A tabela, dos valores observados, é a seguinte
comprimento frequências
valor médio da classe observadas
2.5 55
7.5 19
12.5 6
17.5 20
6. Foram testadas 20 válvulas electrónicas relativamente à sua duração de vida, em
horas. Foram registados os seguintes valores da duração de vida
7.2 37.8 49.6 21.4 67.2 41.1 3.8 8.1 23.2 72.1
11.4 17.5 29.8 57.8 84.6 12.8 2.9 42.7 7.4 33.4
Verifique se estes dados são consistentes com a hipótese de que a variável aleatória
X, duração de vida em horas, segue a distribuição exponencial.
7. De uma amostra aleatória de tamanho 10, obtiveram-se os seguintes resultados, x1 =
0.621, x2 = 0.503, x3 = 0.203, x4 = 0.477, x5 = 0.710, x6 = 0.581, x7 = 0.329, x8 =
0.480, x9 = 0.554 e x10 = 0.382.
Acha que estes dados se ajustam à distribuição uniforme representada por:
F \u2217(x) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
0 se x < 0
x se 0 \u2264 x < 1
1 se x \u2265 1 .
8. Um professor de Estatística queria testar a hipótese de que a hora de chegada dos
seus alunos à aula teórica das 14H00 às 16H00 de 5afeira, segue uma distribuição
9.5. EXERCÍCIOS 189
Normal com variância = 4 min. Num dos dias, registou as horas de chegada dos
alunos que assistiram àquela aula:
13H53 13H56 13H57 13H57 13H59 13H59
14H00 14H01 14H02 14H02 14H02 14H03
14H04 14H05 14H05 14H07 14H07 14H11
O que poderá ele concluir em relação à distribuição das horas de chegada dos seus
alunos?
9. Após longos anos de experiência, verificou-se que o número de plaquetas no sangue
de pessoas saudáveis do sexo masculino segue uma distribuição normal com média
235 000 por mm3 e desvio padrão igual a 44 600 por mm3. Os números de plaque-
tas registados a partir de doentes com cancro nos pulmões foram os seguintes (em
unidades de 1 000 por mm3).
173 189 196 207 215 237 275 282 293 300
305 316 346 382 395 399 401 437 480 504
524 634
kaethe
kaethe fez um comentário
preciso das formulas do exercicio 31
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ines
ines fez um comentário
onde eu acho as formulas das resposta dos exercicios
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