Unidade II - Lista 2 - gabarito

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Disciplina: Cálculo da Probabilidades e Estatística I
Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística
Gabarito Lista 2 - Maio de 2008
1a. Questão
(a) Seja a = Alemanha, b = Itália, c = Portugal e d = França, seja ω= (ω1,ω2,ω3,ω4) em que ωi = k ,
k ∈ {a ,b ,c ,d }, significa que o time k fica no i-ésimo lugar. Assim,
Ω= {(ω1,ω2,ω3,ω4) :ωi = k ,k ∈ {a ,b ,c ,d },ωi 6=ωj , para todo i 6= j }
ou
Ω=
n
(a ,b ,c ,d ), (a ,b ,d ,c ), (a ,c ,b ,d ), (a ,c ,d ,b ), (a ,d ,b ,c ), (a ,d ,c ,b ),
(b ,a ,c ,d ), (b ,a ,d ,c ), (b ,c ,a ,d ), (b ,c ,d ,a ), (b ,d ,a ,c ), (b ,d ,c ,a ),
(c ,b ,a ,d ), (c ,b ,d ,a ), (c ,a ,b ,d ), (c ,a ,d ,b ), (c ,d ,b ,a ), (c ,d ,a ,b ),
(d ,b ,c ,a ), (d ,b ,a ,c ), (d ,c ,b ,a ), (d ,c ,a ,b ), (d ,a ,b ,c ), (d ,a ,c ,b )
o
;
OBS: Toda vez que o espaço amostral for muito grande ou quando ele é infinito, utilizamos apenas
a primeira forma sintética.
(b) A =
n
ω∈Ω :ω1 =b
o
ou A =
n
(b ,a ,c ,d ), (b ,a ,d ,c ), (b ,c ,a ,d ), (b ,c ,d ,a ), (b ,d ,a ,c ), (b ,d ,c ,a )
o
;
(c) B =
n
ω∈Ω :ω1 = c ou ω2 = c
o
ou
B =
n
(a ,c ,b ,d ), (a ,c ,d ,b ), (b ,c ,a ,d ), (b ,c ,d ,a ), (c ,b ,a ,d ), (c ,b ,d ,a ),
(c ,a ,b ,d ), (c ,a ,d ,b ), (c ,d ,b ,a ), (c ,d ,a ,b ), (d ,c ,b ,a ), (d ,c ,a ,b )
o
;
(d)
A ∪ B = n(a ,c ,b ,d ), (a ,c ,d ,b ), (b ,c ,a ,d ), (b ,c ,d ,a ), (c ,b ,a ,d ), (c ,b ,d ,a ),
(c ,a ,b ,d ), (c ,a ,d ,b ), (c ,d ,b ,a ), (c ,d ,a ,b ), (d ,c ,b ,a ), (d ,c ,a ,b ),
(b ,a ,c ,d ), (b ,a ,d ,c ), (b ,d ,a ,c ), (b ,d ,c ,a )
o
;
e
A ∩ B = nω∈Ω :ω1 =b e ω2 = co ou A ∩ B = n(b ,c ,a ,d ), (b ,c ,d ,a )o
2a. Questão
(a) Sejaω= (ω1,ω2,ω3) em que: f=“continuar na BR-230”, d=“seguir em direção à UFPB” e e=“seguir
em direção ao centro pela Pedro II”, assimωi = k , k ∈ { f ,d ,e }, é o i-ésimo carro toma a direção k .
Portanto, Ω=
n
(ω1,ω2,ω3) :ωi = k ,k ∈ { f ,d ,e }
o
ou,
Ω=
n
( f , f , f ), ( f , f ,d ), ( f , f ,e ), ( f ,d , f ), ( f ,d ,d ), ( f ,d ,e ), ( f ,e , f ), ( f ,e ,d ), ( f ,e ,e ),
(e , f , f ), (e , f ,d ), (e , f ,e ), (e ,d , f ), (e ,d ,d ), (e ,d ,e ), (e ,e , f ), (e ,e ,d ), (e ,e ,e ),
(d , f , f ), (d , f ,d ), (d , f ,e ), (d ,d , f ), (d ,d ,d ), (d ,d ,e ), (d ,e , f ), (d ,e ,d ), (d ,e ,e )
o
;
(b) A =
n
( f , f , f ), (d ,d ,d ), (e ,e ,e )
o
ou A =;
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(c) B =
n
( f ,d ,e ), ( f ,e ,d ), (e , f ,d ), (e ,d , f ), (d , f ,e ), (d ,e , f )
o
;
(d) C =
n
( f ,d ,d ), (e ,d ,d ), (d , f ,d ), (d ,d , f ), (d ,d ,e ), (d ,e ,d )
o
;
(e)
D =
n
( f , f ,d ), ( f , f ,e ), ( f ,d , f ), ( f ,d ,d ), ( f ,e , f ), ( f ,e ,e ), (e , f , f ), (e , f ,e ), (e ,d ,d ),
(e ,d ,e ), (e ,e , f ), (e ,e ,d ), (d , f , f ), (d , f ,d ), (d ,d , f ), (d ,d ,e ), (d ,e ,d ), (d ,e ,e )
o
;
(f ) A ∩ B =∅; A ∩C =∅; A ∩D =∅; B ∩C =∅; B ∩D =∅; C ∩D =C ;
Os eventos A,BeD formam uma partição deΩ pois A∩B = A∩D = B∩C = B∩D =∅ e A∪B∪D =Ω
3a. Questão
(a) B1 = A1 ∪A2 ∪A3;
(b) B2 = A1 ∩A2 ∩A3;
(c) B3 = A1 ∩Ac2 ∩Ac3;
(d) B4 =
�
A1 ∩Ac2 ∩Ac3
�∪�Ac1 ∩A2 ∩Ac3�∪�Ac1 ∩Ac2 ∩A3�;
(e) B5 = Ac1 ∩Ac2 ∩Ac3
4a. Questão
(a) Ω=
n
(ω1,ω2) :ω1,ω2 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
o
,
A =
n
(ω1,ω2) :ω1 >ω2, ω1,ω2 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
o
,
B =
n
(ω1,ω2) :ω1 = 2ω2, ω1,ω2 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
o
,
C =
n
(ω1,ω2) :ω1+ω2 ≥ 8, ω1,ω2 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
o
;
(b) Pode-se resolver este ítem de duas maneiras: uma utilizando probabilidade condicional e outra
descrevendo cada evento de modo detalhado:
Utilizando probabilidade condicional: seja D1 =ω1 o valor do 1o. dado e D2 =ω2 o valor do 2o.
dado, assim,
P(A) =
6∑
i=1
P(D1 = i )P(D2 <D1|D1 = i ) =
6∑
i=1
P(D1 = i )P(D2 < i ) =
6∑
i=1
1
6
i −1
6
=
15
36
;
P(B ) =
6∑
i=1
P(D2 = i )P(D1 = 2D2|D2 = i ) =
6∑
i=1
P(D2 = i )P(D1 = 2i ) =
3∑
i=1
1
6
1
6
=
3
36
;
P(C ) =
6∑
i=1
P(D1 = i )P(D1+D2 ≥ 8|D1 = i ) =
6∑
i=1
P(D1 = i )P(D2 ≥ 8− i ) =
6∑
i=2
1
6
6− (8− i )+1
6
=
15
36
;
e outra descrevendo cada evento de modo detalhado, por exemplo, B = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}, logo
pela definição de probabilidade para um espaço de eventos equiprováveis tem-se que,
P(B ) =
3
36
.
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(c) • A ∩C = {(5, 3), (5, 4), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)} logo P(A ∩C ) = 636 , ou
P(A ∩C ) = P�{D1 >D2}∩ {D1+D2 ≥ 8}�= 6∑
i=1
P(D1 = i )P(D2 < i ,D2 ≥ 8− i )
=
6∑
i=1
P(D1 = i )P(8− i ≤D2 < i ) =
6∑
i=5
P(D1 = i )P(8− i ≤D2 < i )
=
1
6
[P(3≤D2 < 5)+P(2≤D2 < 6)]
=
1
6
[(P(D2 = 3)+P(D2 = 4))+ (P(D2 =)+P(D2 = 3)+P(D2 = 4)+P(D2 = 5))]
=
1
6
�
6
6
�
=
6
36
=
1
6
.
• B ∩C c = {(1, 2), (2, 4)} logo P(B ∩C c ) = 236 , ou
P(B ∩C c ) = P�{D1 = 2D2}∩ {D1+D2 < 8}�= 6∑
i=1
P(D2 = i )P(D1 = 2i ,D1 < 8− i )
=
2∑
i=1
P(D2 = i )P(D1 = 2i ) =
1
6
1
6
+
1
6
1
6
=
2
36
.
• Para P(A |C c ) tem-se que
P(A |C c ) = P(A ∩C c )
P(C c )
Agora, observe que P(A) = P(A ∩C )+P(A ∩C c ) logo P(A ∩C c ) = P(A)−P(A ∩C ), assim
P(A |C c ) = P(A)−P(A ∩C )
1−P(C ) =
15
36 − 636
1− 1536
=
9
21
.
5a. Questão
(a) Ω=
n
(v,v ), (v,p ), (p ,v ), (p ,p )
o
;
(b) A =
n
(v,v ), (p ,v )
o
. Seja R1 a cor da ficha retirada da 1a. caixa e R2 a cor da ficha retirada da 2a.
caixa, assim
P(A) = P
�n
(v,v ), (p ,v )
o�
= P
�
(R1 = v,R2 = v )∪ (R1 = p ,R2 = v )
�
= P(R1 = v,R2 = v )+P(R1 = p ,R2 = v )
= P(R1 = v )P(R2 = v |R1 = v )+P(R1 = p )P(R2 = v |R1 = p ) = 18
49
.
6a. Questão
(a) Seja a i=o sensor i entrou em funcionamento e b i= o sensor i não entrou em funcionamento.
Assim,
Ω=
n
(a 1,a 2,a 3), (a 1,a 2,b3), (a 1,b2,a 3), (a 1,b2,b3),
(b1,a 2,a 3), (b1,a 2,b3), (b1,b2,a 3), (b1,b2,b3)
o
;
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(b) Note que Ac =
n
(b1,b2,b3)
o
, perceba também que os eventos não são equiprováveis. Como os
sensores são independentes, segue que,
P(Ac ) = P(b1)P(b2)P(b3) = 0, 13 = 0, 001
Logo, P(A) = 1−P(Ac ) = 0, 999.
7a. Questão
(a) Seja f = máquina em funcionamento, p= máquina parada, e= ocorre somente defeito elétrico,
m= ocorre somente defeito mecânico, n= não ocorre nenhum defeito. Assim,
Ω=
n
( f ,e ), ( f ,m ), ( f ,n ), (p ,e ), (p ,m ), (p ,n )
o
;
Note que P((p ,n )) = 0. Note também que os eventos não são equiprováveis.
(b) Seja S o estado da máquina e D o defeito ou não ocorrido. Do problema tem-se que:
P(S = p |D = e ) = 0, 3, P(S = p |D =m ) = 0, 25, P((D =m )c ) = P(D = {e ,n}) = 0, 8, P(D = e ) = 0, 1.
Assim, utilizando o teorema de Bayes segue que P(D =m |S = p ) = 0, 625;
(c) Seja A = {(p ,e ), (p ,m ), (p ,n )} o evento a máquina para de funcionar. Assim, pelo teorema da pro-
babilidade total segue que P(S = p ) = 0, 08.
8a. Questão
(a) Ω=
n
(h, l ), (h,b ), (h,u ), (m , l ), (m ,b ), (m ,u )
o
;
(b) Seja A1 =
n
(h, l ), (h,b ), (h,u ), (m ,b )
o
o evento ser homem ou ter entre 25 e 40 anos. Assim,
P(A1) = P
�
(h, l )
�
+P
�
(h,b )
�
+P
�
(h,u )
�
+P
�
(m ,b )
�
=
108
158
(c) Seja A2 =
n
(h,u )
o
o evento ser homem e ter mais de 40 anos. Assim,
P(A2) = P
�
(h,u )
�
=
18
158
;
(d) Seja S a variável sexo e I a variável idade. Seja A3 =
n
(m , l )
o
o evento ser mulher e ter menos de 25
anos. Assim, utilizando a definição de probabilidadecondicional, tem-se que
P(I = l |S =m ) = P(S =m , I = l )
P(S =m )
=
P
�
(m , l )
�
P(m )
=
8
75
;
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(e) Tem-se queΩ=
n
(h, l ), (h,b ), (h,u ), (m , l ), (m ,b ), (m ,u )
o×n(h, l ), (h,b ), (h,u ), (m , l ), (m ,b ), (m ,u )o
ou
Ω=
��
(h, l ), (h, l )
�
,
�
(h, l ), (h,b )
�
,
�
(h, l ), (h,u )
�
,
�
(h, l ), (m , l )
�
,
�
(h, l ), (m ,b )
�
,
�
(h, l ), (m ,u )
�
,�
(h,b ), (h, l )
�
,
�
(h,b ), (h,b )
�
,
�
(h,b ), (h,u )
�
,
�
(h,b ), (m , l )
�
,
�
(h,b ), (m ,b )
�
,
�
(h,b ), (m ,u )
�
,�
(h,u ), (h, l )
�
,
�
(h,u ), (h,b )
�
,
�
(h,u ), (h,u )
�
,
�
(h,u ), (m , l )
�
,
�
(h,u ), (m ,b )
�
,
�
(h,u ), (m ,u )
�
,�
(m , l ), (h, l )
�
,
�
(m , l ), (h,b )
�
,
�
(m , l ), (h,u )
�
,
�
(h, l ), (m , l )
�
,
�
(h, l ), (m ,b )
�
,
�
(h, l ), (m ,u )
�
,�
(m ,b ), (h, l )
�
,
�
(m ,b ), (h,b )
�
,
�
(m ,b ), (h,u )
�
,
�
(m ,b ), (m , l )
�
,
�
(m ,b ), (m ,b )
�
,
�
(m ,b ), (m ,u )
�
,�
(m ,u ), (h, l )
�
,
�
(m ,u ), (h,b )
�
,
�
(m ,u ), (h,u )
�
,
�
(m ,u ), (m , l )
�
,
�
(m ,u ), (m ,b )
�
,
�
(m ,u ), (m ,u )
��
(f) Existem duas maneiras de responder as próximas questões: uma utilizando a informação do es-
paço amostral e outra utilizando os resultados estudados. Utilizando os resultados estudados,
tem-se que: Seja A4 o evento ambos tenham menos de 25 anos, pode-se escrever este evento como
A4 =
n
(l , l )
o
ou A4 =
n
(I1 = l , I2 = l )
o
em que I i é a idade da pessoa selecionada na i-ésima seleção.
Assim,
P(A4) = P(I1 = l , I2 = l ) = P(I1 = l )P(I2 = l |I1 = l ) = 756
24806
;
(g) Seja A5 =
n
(I1 = u , I2 = l ), (I1 = u , I2 = b ), (I1 = l , I2 = u ), (I1 = b , I2 = u )
o
o evento exatamente um
tenha mais de 40 anos. Assim,
P(A5) = P(I1 = u , I2 = l )+P(I1 = u , I2 =b )+P(I1 = l , I2 = u )+ (I1 =b , I2 = u )
= P(I1 = u )P(I2 = l |I1 = u )+P(I1 = u )P(I2 =b |I1 = u )
+P(I1 = l )P(I2 = u |I1 = l )+P(I1 =b )P(I2 = u |I1 =b )
=
11760
24806
;
(h) Temos que verificar se P
�
S = ω1, I = ω2)
�
= P(S = ω1)P(I = ω2) para todo ω1 ∈ {h,m } e ω2 ∈
{l ,b ,u }. Deste modo, se pelo menos em um caso tivermos P�S =ω1, I =ω2)� 6= P(S =ω1)P(I =
ω2) então a idade dos funcionários dependerá do sexo. Assim,
P(S = h) =
83
158
e P(I = l ) =
28
158
P
�
S = h, I = l )
�
=
20
158
6= P(S = h)P(I = l ) = 83
158
28
158
.
Logo, a idade dos funcionários depende do sexo.
9a. Questão
(a) As variáveis observadas são: Sexo(S), S={m , f }, m=masculino, f=feminino e Peso(P), P={o,n},
o=obeso, n=normal. Do problema tem-se que P(P = o|S = m ) = 0, 05, P(P = o|S = f ) = 0, 02,
P(S=m ) = 0, 6 e P(S= f ) = 0, 4. Assim, do Teorema da probabilidade total, segue que
P
�
P=o
�
= P
�
P=o|S=m�P�S=m�+P�P=o|S= f �P�S= f �= 0, 038;
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(b) Do teorema de Bayes, segue que,
P
�
S= f |P=o�= P
�
P=o|S= f �P�S= f �
P
�
P=o|S=m�P�S=m�+P�P=o|S= f �P�S= f � = 0, 21.
10a. Questão
Seja a e=o evento o estudante e termina a prova antes de 1 hora, em que e = {1 = Paulo, 2 = João} e
be=o evento o estudante e não termina a prova antes de 1 hora. Assim,
Ω=
n
(a 1,a 2), (a 1,b2), (b1,a 2), (b1,b2)
o
Deste modo, o evento: a prova é resolvida em menos de 1 hora é dado porA =
n
(a 1,a 2), (a 1,b2), (b1,a 2)
o
.
Observe que o tempo que Paulo e João levam para fazer a prova em tese dever ser independente, assim
considerando as variáveis P e J, em que P={a 1,b1} e J={a 2,b2} segue que
P(A) = P(a 1,a 2)+P(a 1,b2)+P(b1,a 2) = P(P= a 1, J= a 2)+P(P= a 1, J=b2)+P(P=b1, J= a 2)
= P(P= a 1)P(J= a 2)+P(P= a 1)P(J=b2)+P(P=b1)P(J= a 2)
Do problema tem-se que: P(P=b1) = 0, 6 e P(J= a 2) = 0, 7. Assim,
P(A) = 0, 4×0, 7+0, 4×0, 3+0, 6×0, 7= 0, 82
Outra solução poderia ser: Seja A o evento Paulo termina a prova em menos de uma hora e A o evento
João termina a prova em menos de uma hora. Deste modo, A∪B será o evento Paulo ou João ou os dois
terminam a prova antes de uma hora, assim,
P(A ∪ B ) = P(A)+P(B )−P(A ∩ B ) = P(A)+P(B )−P(A)P(B ) = 0, 4+0, 7−0, 4×0, 7= 0, 82.
11a. Questão
(a) 320 ;
(b) 620 ;
(c) 1820 ;
(d) 920 ;
12a. Questão
3
5
13a. Questão
(a) 0, 998;
(b) 0, 002;
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(c) 0,912;
(d) 0, 048;
(e) 0, 086;
14a. Questão
(a) 0, 12;
(b) 0, 18;
(c) 0,40;
(d) 0, 62;
(e) 0, 08.
15a. Questão
(a) 0, 8;
(b) 0, 3;
(c) 0,2;
16a. Questão
38%
17a. Questão
A e B são mutuamente exclusivos para p = 0, 3 e independentes para p = 0, 5.
18a. Questão
Seja a=bola azul; b=bola branca e p=bola preta.
(a) Tem-se queΩ=
n
(b ,b ), (b ,p ), (p ,b ), (p ,p )
o×n(b ,b ), (b ,p ), (b ,a ), (p ,b ), (p ,p ), (p ,a ), (a ,a ), (a ,b ), (a ,p )o
(b) 2791008 ;
(c) 90225 ;
19a. Questão
(a) Tem-se queΩ=
n
c , (r,c ), (r,r,c ), (r,r,r,c ), . . .
o
ouΩ=
n
1, 2, 3, 4, . . .
o
neste caso a informação fornecida
pelo espaço amostral é o número de lançamentos até que ocorra um cara;
(b) Seja A i =“o primeiro jogador ganha o jogo no seu i-ésimo lançamento”. Assim,
P(Do 1o. jog. ganhar o jogo) = P(A1 ∪A2 ∪A3 ∪ · · · ) = P
�∪∞i=1 A i�= ∞∑
i=1
P(A i ) =
∞∑
i=1
�
1
2
�2i−1
=
2
3
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(c) 13 .
20a. Questão
Seja d=lâmpada defeituosa e b=lâmpada boa.
(a)
(b) Seja Di = {d }=“A i-ésima lâmpada é defeituosa”. Assim
P(D1 ∩D2 ∩D3) = P(D1)P(D2|D1)P(D2|D1 ∩D2) = 56
220
;
(c) 112220 ;
(d) 164220 ;
(e) 48220 ;
21a. Questão
(a)
(b) 0, 0296;
(c) 0,0298;
22a. Questão
(a) 0, 88;
(b) 0, 06;
(c) 0,05;
(d) 0, 99;
(e) 0, 5;
(f) 112 ≈ 0, 0833;
(g) 514 ≈ 0, 3571;
(h) 56 ≈ 0, 8333;
23a. Questão
(a) 0, 217;
(b) 0, 178;
24a. Questão
(a) 0, 04;
(b) 0, 25.
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Disciplina: Cálculo da Probabilidades e Estatística I
Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística
Gabarito Lista 2 - Maio de 2008
25a. Questão
(a) 0, 008886;
(b) 0, 00421;
26a. Questão
0,9981
27a. Questão
(a) 0, 1;
(b) 0, 2;
(c) 0;
28a. Questão
(a) Para a 1a rota: 0,0523 e para 2a rota:0,19. Logo, a 1a rota minimiza a probabilidade do professor
chegar atrasado;
(b) 0,216;
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